高等數(shù)學(xué)下冊(cè)電子教案

第四章常微分方程

§4.1基本概念和一階微分方程

甲內(nèi)容要點(diǎn)

一.基本概念

1.常微分方程

含有自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程，若未知函數(shù)

是一元函數(shù)則稱為常微分方程，而未知函數(shù)是多元函數(shù)則稱為偏微分方程，我們只討論常微

分方程，故簡(jiǎn)稱為微分方程，有時(shí)還簡(jiǎn)稱為方程。

2.微分方程的階

微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為該微分方程的階

3.微分方程的解、通解和特解

滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解；

通解就是含有獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同的解；

通解有時(shí)也稱為一般解但不一定是全部解；

不含有任意常數(shù)或任意常數(shù)確定后的解稱為特解。

4.微分方程的初始條件

要求自變量取某定值時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)與各階導(dǎo)數(shù)取指定的值，這種條件稱為初始條件，滿

足初始條件的解稱為滿足該初始條件的特解。

5.積分曲線和積分曲線族

微分方程的特解在兒何上是一條曲線稱為該方程的一條積分曲線；而通解在幾何上是一

族曲線就稱為該方程的積分曲線族。

6.線性微分方程

如果未知函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)都是一次項(xiàng)，而且它們的系數(shù)只是自變量的函數(shù)或常數(shù)，

則稱這種微分方程為線性微分方程。不含未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱為自由項(xiàng)，自由項(xiàng)為零

的線性方程稱為線性齊次方程：自由項(xiàng)不為零的方程為線性非齊次方程。

二.變量可分離方程及其推廣

1.變量可分離的方程

（1）方程形式：半=P（x）Q（y）（Q（y）H0）

ax

通解dy=jP(x)dx+C

。(>)

（注：在微分方程求解中，習(xí)慣地把不定積分只求出它的一個(gè)原函數(shù)，而任意常數(shù)另外

再加）

方程形式：

（2）M,（x）Nt（y）dx+M2[X}N2{y}dy=0

dx+\^7T\dy=C(M2(x)H0，M(y)H0)

JM(y)

2.變量可分離方程的推廣形式

(1)齊次方程包=

dx

令上=〃，

x

則@="+X叁=/(?)

dxdx

rdurdx...

『7^=%+。=舊"

(2)—=/(or+by+c)(〃W0,。W0)

dx

令ar+0y+c=〃，

則包=〃+/(〃)

dx

f—/、=idx=x-]-c

dy_A++G

(3)~T-J-----；------

dx\<a2x+b2y+c2

ab+ay+G=0/-

①當(dāng)△=x?x'HO情形,先求出《1]1c的解

a2b2a2x+b2y+c2=()

令〃u=y一尸

則包=/紐_LL=f------@屬于齊次方程情形

dut+bv

W2）a2+b^

Iu7

/a,b,

1

②當(dāng)△=1=0情形，

a2b2

令”=%=2

6A

則包=/封工工]

dx1/1（。環(huán)+々田+。2J

令〃=qx+Ay,

,7（\

nldu,ay,「u+c,

則——=q+4—=+b、f-------

dxdx\Xu+c2）

屬于變量可分離方程情形。

三.一階線性方程及其推廣

1.一階線性齊次方程

半+P[x）y=0

dx

它也是變量可分離方程，通解公式）=。""3&,（c為任意常數(shù)）

2.一階線性非齊次方程

華+P（x）y=Q（x）

ax

用常數(shù)變易法可求出通解公式

依

代入方程求出C（x）

則得y=Q{xYP(x}<Lxdx+c]

3.貝努利方程

孚+P（x）y=0（尤）＞。3/0,1）

ax

令z=yl~a

把原方程化為—+（1-a）P（x）z=（1-a）Q[x）

dx

再按照一階線性非齊次方程求解。

4.方程：@=/J、

dxQ（y）-P（y）x

dx

可化為一-+P（y）尤=Q（y）

dy

以y為自變量，x為未知函數(shù)

再按照一階線性非齊次方程求解。

四.全微分方程及其推廣（數(shù)學(xué)一）

1.全微分方程

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,滿足挈=半

oxdy

通解：u[x,y)=C,

其中“(x,y)滿足du{x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy

求〃（九,y）的常用方法。

第一種：湊全微分法

P\x,y）dx+Q（x,y）dy=■--=du[x,y）

把常見(jiàn)的一些二元函數(shù)的全微分公式要倒背如流，就很有幫助。

x2+y2

(1)xdx+ydy=d

2

(2)xdx-ydy-dI2)

(3)ydx+xdy-cl(xy)；

(4)①曲=d(lnx力

(5)

尤+y1_2」

華*臼9G一川

(6)

x-yL2」

xdy-ydx

(7)

x1

ydx-xdy_/尤]

(8)----2~~=4—；

y⑴

ydx-xdy.(x

(9)個(gè)---六二darctan-

尸+yIy)

xdy-ydx=arctan—1；

(10)

x2+y2

ydx-xdy

(11)22~d-In——-

x-y(2x+y)

xdy-ydx邛13、

(12)

廠2+9(2x-y)

z

xdx+ydy.[11

(13)-(--3--)---2--=cl1——2-3-------

z、

xdx-ydy.\11

(14)--------2)-2--dI---2--X--2----/-.-

xdx+ydy=^/(^arctan(x2+y2

(15)

1+(/+)2)2

xdx-ydy

(16)

l+(x2-y2)2

第二利L特殊路徑積分法（因?yàn)榉e分與路徑無(wú)關(guān)）

》I八

-------＞一

（Aa,%））十

~

"（%,y）="（/，y0）+「'“、P（X，y）dx+。（乂）‘My

="Go，y0）+[P（X，%）公+[：Q（x，y）辦‘

第三種：不定積分法

由半=p（x,y）得

dx

〃（x,y）=Jp（x,y）dx+C（j）

對(duì)y求導(dǎo)，

得Q（x,引="='[jP（尤,y）tZx]+C\y），

oydy'

求出C'（y）積分后求出C（y）

2.全微分方程的推廣（約當(dāng)因子法）

設(shè)P（x,y）dx+Q（x,y）dy=0不是全微分方程。

才、曲08QHP

不滿足二〕=不一

dxdy

但是存在R（x,y）

使得R（x,y）P（x,y）dx+R（x,y）Q（x,y^y=0為全微分方程，

也即滿足坐

dxdy

則火（x,y）稱為約當(dāng)因子，

按全微分方程解法仍可求出R（x,y）P（x,y）dx+R（x,＞）0（x,y）dy=du（x,y）

通解〃（x,y）=C。

這種情形，求約當(dāng)因子是關(guān)鍵。

乙典型例題

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一.變量可分離方程及其推廣

例1.求下列微分方程的通解。

(1)(xy*+x)dx+(>?-x2y)dy=0

(2)e'"=0

例2.求下列微分方程的通解。

/-、22dydy

(1)包…2(2)y**+x—=xy-

dxxdxdx

啜=y(l"7nx)

(3)(4)—=(x+4y+l)2

dx

解：(1)令2=〃，則包

=u+x—,原方程化為

xdxdx

dudu

u+x—=eu4t~ur

dx

e~u-ln|x|+C)=ln|Cx|

y

ex=-ln|Cr|

y_

(注：?.?JI>0,.\0<|。乂<1)

(2)y24-(x2-=0；包=工

dxxy-x(小

2

AyM1duu

令工=〃，貝ij〃+x——=----

xdxw-1

udx+x(l-u)du=0

d〃+a=G

UJX

ln|xw|-n=G

y_

xu=e0+"=Ceu,y=Cex

(3)包令2=〃，nI

則u+x——=uIfnu

dxxxxdx

duln|lnw-1|=InCx

u(inuF-1)TJ'X+G

Inw=1+Cx,u=el+Cx,y=xel+CA

(4)令x+4y+1=〃，則一"—=dx,

4/+1

x=-arctan2w+C=—arctan2(x+4y+1)+C

例3.求微分方程y=/+y2的通解。

dx

求微分方程包=——,-v

例4.

dxx_J/+y2

例5.求微分方程(y-51+小蟲(chóng)=(1+y2)%的通解。

dx

例6.求微分方程由=-一孫下的通解。

dxx-xy+y

2

例7.求微分方程位=2y+2

dxx+y-]

例8.求微分方程生=.一尤+i的通解

dxy-x+5

二.一階線性方程及其推廣

例.求下列微分方程的通解

辦名=(x+l)2dy.

(1)(2)x—4-2y=sinx

dxx+1dx

(3)(4)(x-siny}dy4-tanydx=0

dxx+y

解：(1)直接用常數(shù)變易法

對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為電=①，通解y=C(x+iy

dxx+1

令非齊次線性方程立一一—y=(x+l)2的通解為y=C(x)?(x+1)2

dxx+1

代入方程得c'(“(x+1)2=(x+i)i

I23

C'(x)=(x+1)3，C(x)=—(x+l)2+c

o3o7

故所求方程的通解為y=j(x+l)i+C(x+1)2=j(x+l)2+C(^+1)2

(2)直接用通解公式(先化標(biāo)準(zhǔn)形式立+2了=理)

dxxx

P(x)=-,c(x)=

XX

-[-dxrsinX{-dx

通解y=f把竺Jx公+C

JX

=—r[fxsinxdx+c]=—(sin尤-xcosx+C)

尤一Jx'

(3)此題不是一階線性方程，但把x看作未知函數(shù)，y看作自變量,

所得微分方程蟲(chóng)+葉￡即蟲(chóng)一，x=y3

dyydyy

是一階線性方程P(y)=-LQ(y)=y3

y

f-dyf,-\-dy1

x=eyJy3eydy+C=-y4+Cy

(4)此題把工看作未知函數(shù)，y看作自變量所得微分方程為

一4-(coty)x=cosy,P(y)=coty,Q(y)=cosy

dy

-[cotvdyC[cotvdy.11.2-

x=e}cosyeJdy+C=-------siny+C

Jsiny|_2

§4.2特殊的高階微分方程(數(shù)學(xué)四不要)

甲內(nèi)容要點(diǎn)

一.可降階的高階微分方程

方程類型解法及解的表達(dá)式

通解〉=J???+G『I+cx,-2+■??+C,iX+c?

=/（x）2

而

令y'=p.則y"=p',原方程=>

y"=/（x，/）P'=f(x,p)-----階方程,設(shè)其解為〃=g(x，G)，

即=g(x,G),則原方程的通解為y=Jg(x,G)公+C2?

令y'=P，把〃看作y的函數(shù)，則丫"=蟲(chóng)=4巳.蟲(chóng)=042

dxdydxdy

把y',y"的表達(dá)式代入原方程，得亞=^/(y,p)----階方程，

y"=/（y，y'）dyP

設(shè)其解為p=g(y，G),即電g(y，G),則原方程的通解為

dx

J,「+。2。

Jg(y，G)

二.線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)

我們討論二階線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，其結(jié)論很容易地推廣到更高階的線性微分

方程。

二階齊次線性方程y"+p[x}y'+q[x)y=0(1)

二階非齊次線性方程y+p(x)y'+q(x)y=/(x)(2)

i.若必(x),必(6為二階齊次線性方程的兩個(gè)特解，則它們的線性組合

<%(x)+C2y2(x)(Cg為任意常數(shù))仍為同方程的解，特別地，當(dāng)力(X)。加2(%)(4

為常數(shù))，也即乃(X)與內(nèi)但線性無(wú)關(guān)時(shí)，則方程的通解為丁=&月(只+。2%(月

2.若y(x),%3為二階非齊次線性方程的兩個(gè)特解，則必⑴-必⑴為對(duì)應(yīng)的二

階齊次線性方程的一個(gè)特解。

3.若歹(x)為二階非齊次線性方程的一個(gè)特解，而y(x)為對(duì)應(yīng)的二階齊次線性方程的

任意特解，則?(x)+y(x)為此二階非齊次線性方程的一個(gè)特解。

4.若歹為二階非齊次線性方程的一個(gè)特解，而6必(%)+。2%(X)為對(duì)應(yīng)的二階齊次線

性方程的通解(G，C?為獨(dú)立的任意常數(shù))則y=y(x)+(x)+G%(x)是此二階非

齊次線性方程的通解。

5.設(shè)%(%)與當(dāng)(%)分別是y"+PW+q(x)y=/,(九)與

y"+p(x)y'+q{x)y=—(%)的特解，則%(%)+%(%)是

yr+p(x)y'+q(x)y=/,(%)+/Ux)的特解。

三.二階和某些高階常系數(shù)齊次線性方程

1.二階常系數(shù)齊次線性方程

"1，、f\

y+py+qy=0

其中p,q為常數(shù)，

特征方程矛+/?A+<7=0

特征方程根的三種不同情形對(duì)應(yīng)方程通解的三種形式

(1)當(dāng)△=p2—4q>0,特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根%,4

xx

則方程的通解為y=C^+C2e^

(2)當(dāng)A=p2—4q=0,特征方程有二重根4=4

則方程的通解為y=(G+Gx/、

(3)當(dāng)A=p2—4q<0,特征方程有共聊復(fù)根?！理荩?/p>

則方程的通解為y=e*(Gcos/?x+C2sin/?x)

2.〃階常系數(shù)齊次線性方程

嚴(yán)+P1/T+P2V…+P,Q'+P,J=O

其中億(i=l,2,…為常數(shù)。

相應(yīng)的特征方程

4"+P|4"」+〃2丸(----1■P"-12+Pn=0

特征根與方程通解的關(guān)系同二階情形很類似。

(1)若特征方程有“個(gè)不同的實(shí)根丸?…,4,

則方程通解y=Ge4"+Ge和+…+C?e2"x

(2)若4為特征方程的左重實(shí)根(％<〃)

則方程通解中含有(G+。2*+…

(3)若a±3為特征方程的k重共軌復(fù)根(2k<〃)

則方程通解中含有

mkk

e[(C,+C2x-\—+Ckx~')cosx+(3+D2XA—+Dkx~')sin(3x\

由此可見(jiàn)，常系數(shù)齊次線性方程的通解完全被其特征方程的根所決定，但是三次及三次

以上代數(shù)方程的根不一定容易求得，因此只能討論某些容易求特征方程的根所對(duì)應(yīng)的高階常

系數(shù)齊次線性方程的通解。

四.二階常系數(shù)非齊次線性方程

方程：y"+py'+gy=/(x)其中為常數(shù)

通解：y=y+Clyi(x)+c2y2(x)

其中Gy(》)+。2乂(%)為對(duì)應(yīng)二階常系數(shù)齊次線性方程的通解上面已經(jīng)討論。所以關(guān)

鍵要討論二階常系數(shù)非齊次線性方程的一個(gè)特解y如何求？

我們根據(jù)/(X)的形式，先確定特解》的形式，其中包含一些待定的系數(shù)，然后代入方

程確定這些系數(shù)就得到特解y,常見(jiàn)的f(x)的形式和相對(duì)應(yīng)地歹的形式如下：

1./(x)=2(x),其中2(x)為〃次多項(xiàng)式

(1)若0不是特征根，則令了=R“(x)=a()尤"+…

其中a,(i=0,1,2,)為待定系數(shù)。

(2)若0是特征方程的單根，則令歹=xH,(x)

(3)若0是特征方程的重根，則令y&(X)

2./(x)=%(x)*其中月⑴為〃次多項(xiàng)式，a為實(shí)常數(shù)

(1)若a不是特征根，則令y=R“(x)e歐

(2)若a是特征方程單根，則令歹=x&(x,?

(3)若a是特征方程的重根，則令y=/R“(x)e儂

3.7(x)=匕sin夕光或/(%)=2(九)e*cos/?x

其中匕(x)為〃次多項(xiàng)式，a,夕皆為實(shí)常數(shù)

(1)若a±i￡不是特征根，則令了=06［此(%)(：0541+1,(%項(xiàng)11/?》］

n

其中Rn(x)=aox+qx"T+…+a?_1x+an

q(i=0,1,…,〃)為待定系數(shù)

T?(尤)=%無(wú)"+仇x'i+…+A,-x+bn

，(/?=0,1,…,〃)為待定系數(shù)

(2)若a±i/?是特征根，則令歹=即叫/?”(%)以《夕x+〃x)sin萬(wàn)光］

五.歐拉方程(數(shù)學(xué)一)

(nl)，

x"y(")+p］x"-'y-+---+pn_］xy+凡＞=0,其中2(i=l,2,…,〃)為常數(shù)稱為〃階

歐拉方程。令x=e’代入方程，變?yōu)椋亲宰兞?，y是未知函數(shù)的微分方程，一定是常系數(shù)

齊次線性微分方程。

注意下面變換公式：

dy_dydt___dydydy_dy

=,—€t-,X—，

dxdtdxdtxdtdxdt

d^=dt_±(dy\=婷4(/dyy=「心dy

dx2dxdt\dx)力Idt)drdt

1(d2ydy)d2y_d2ydy

————-------，x—2—=—----------，

x"(d廣dt)dxcl「dt

乙典型例題

一.可降階的高階微分方程

例1.求下列微分方程的通解

(1)x2yr-2xy--(y)2=o

(2)(1+%)/+/=ln(x+l)

解：(1)令y'=〃則<=〃'，原方程化為

x~pr-2xp-j92=0

，212

P一一P=FP屬于貝努里方程

XX

dz21

再令Z=pT則有---1—z=--

dxxx

通解：z=e「小--^-e^dXdx+C=，■(-x+G)

XJX

.2

1A

p==八

zC,-X

)'=J上

dx+C—2(x+G)C「1川*G1+c?

-JC,-A2

(2)令y'=p,貝=原方程化為

(x+M+p=ln(x+l)

，,i=MD屬于一階線性方程

p+1p二

尢+1x+1

-f—dvrln(x+1)

p=e'V+II———dx+C

Jx+\}1

—[jln(x4-\)dx+Cj]=ln(x+1)-1+工

冗+1

y=+X+Edx-\-C2

=(x+Cj)ln(x+1)—2x+C,9

例2.求下列微分方程的通解

(1)yy*-(X)2+1=0

(2)2y/=(y)2+i

二.常系數(shù)齊次線性微分方程

例1.求下列微分方程的通解。

(1)y"-7y'+6y=0(2)y"-6y'+9y=0

(3)y"-6y'+l3y=0(4)y"-4y"+4y'-2y=0

解：(1)特征方程矛—74+6=0,B|J(2-1)(/1-6)=0

特征根4=1，4=6

x6x

微分方程通解y=C,e+C2e

(2)特征方程矛-64+9=0,即(4-3)2=0

特征根X=3二重根

3x

微分方程通解y=(C,+C2x)e

(3)特征方程X--62+13=0

特征根A=3±2A

3v

微分方程通解y=e(C(COS2X+C2sin2x)

(4)特征方程A3-4/l2+42-2=0即(幾一1)2(/1—2)=0

特征根4=1二重根，4=2

微分方程通解xlx

>=(4+C2x)e+C,e

例2.設(shè)方程y"+3y'—4y=0,求滿足y=0,y'=5的特解。

x=0x=0

三.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

例1.求微分方程/'一2了-3y=(x+l)e'的一個(gè)特解。

解：這是二階線性常系數(shù)非齊次方程，其自由項(xiàng)呈E.(x)e3的形狀，其中

E“(x)=x+1(m=1),4=1。而該微分方程的特征方程是：

尤-2/1-3=0

特征根是4=一1,4=3。由于〃=1不是特征根，故設(shè)特解為

?=(3+%)優(yōu)

為了確定仇和外,把歹代入原方程，經(jīng)化簡(jiǎn)，可得

-40]X—4%=x+1

令此式兩端同次基系數(shù)相等，有

44=1

—4%=1

由此解得仇=—工，

b(一，因此特解為

'414

y=--[x+\)ex

例2.求微分方程

yv-5y，+6y-xe2x

的通解。

答案：最后得原方程通解為丁=丫+了

例3.求y"-4y'+4y=/'的通解。

答案：因此原方程的通解為

2

2x2xr2v

y=cte+c2xe+—e

例4.求方程y〃+3y'+2y=2/+x+l的通解。

答案：原方程的通解為

,,513

y=C.e-2x+C-X+x2--x+—

'2ie24

例5.求y"+2y'-3y=2e*的通解。

答案：原方程的通解為

3xx

y=C,e-+C2e'+^xe

例6.求方程y"+y'—2y=2cos2x的通解。

答案：原方程的通解為

31

y=C,e~2x+Cex-----cos2x+—sin2x

'21010

例7.求微分方程/一：/=5也％的通解。

答案：原方程的通解為：

x

y=G+C2e(cosx-sinx)?

第五章向量代數(shù)與空間解析幾何(數(shù)學(xué)一)

§5.1向量代數(shù)

甲內(nèi)容要點(diǎn)

一.空間直角坐標(biāo)系

從空間某定點(diǎn)。作三條互相垂直的數(shù)軸，都以。為原點(diǎn)，有相同的長(zhǎng)度單位，分別稱

為x軸，y軸，Z軸，符合右手法則，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，稱0為坐標(biāo)原點(diǎn)。

1.兩點(diǎn)間距離

設(shè)點(diǎn)（七，y,zj,M2（X2，〉2，Z2）為空間兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)間的距離可以表示為

d=\M}M2\=J（》2-xj+（%-+62

2.中點(diǎn)公式

設(shè)M（x,y,z）為加2（%,為"2）聯(lián)線的中點(diǎn)，則

222

二.向量的概念

1.向量

既有大小又有方向的量稱為向量。方向是一個(gè)幾何性質(zhì)，它反映在兩點(diǎn)之間從一點(diǎn)A到

另一點(diǎn)5的順序關(guān)系，而兩點(diǎn)間又有一個(gè)距離。常用有向線段Q表示向量。A點(diǎn)叫起點(diǎn),

B點(diǎn)叫終點(diǎn)，向量A3的長(zhǎng)度叫做模，記為AB

模為1的向量稱為單位向量。

2.向量的坐標(biāo)表示

若將向量的始點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)。，記其終點(diǎn)M,且點(diǎn)M在給定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

(x,y,z)。記以三個(gè)坐標(biāo)軸正向?yàn)榉较虻膯挝幌蛄恳来斡洖閯t向量而可以表示為

0M=xi+yjzk

稱之為向量而的坐標(biāo)表達(dá)式，也可以表示為

0M=(x,y,z)

稱戊切’,2%分別為向量0M在x軸，y軸，z軸上的分量。稱x,y,z分別為向量0M

在x軸，y軸，z軸上的投影。

記0M與x軸、y軸、z軸正向的夾角分別為4,y,則

x

cosa=

7X2+/+Z2

y

COSB-

ylx2+y2+z2

z

cosy=.=

-yjx2+y2+z2

方向余弦間滿足關(guān)系cos?a+cos2/3+cox2y=\

a,￡,7描述了向量OM的方向，常稱它們?yōu)橄蛄康姆较蚪?。OM的模可以表示為

OM=J%2+y2+z2

與向量麗=(x,y,z)同方向的單位向量可以表示為而。與向量而平行的單

OM

+1-----

位向量可以表示為三

OM

向量a同方向上的單位向量常記為a°o

三.向量的運(yùn)算

a=axi+a2j+aik={at,a2,a3}

b=b}i+b2j+b3k={仇也也}

=+={q,c2,c3}

1.加法?！?〃={4+4，生+力2，。3+々}

減法。a-b={a}一仇，a?-4,a?一出}

2.數(shù)乘。Aa={Aa],Aa2,Aa3}（4是常數(shù)）

向量的加、減和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。

/

3.數(shù)量積。ah=\a^b\?cos力

=a}b]+a2b2+%%

/、

其中力為向量。力間夾角

。心為數(shù)量也稱點(diǎn)乘。

表示向量a在向量。上的投影，即

a-/?°=Prjha

4.向量積axb也稱為叉乘。

吩.=|郴in（fj

axb的方向按右手法則垂直于。力所在平面，且

iJk

axb=%a2a3

“b2by

axb是向量，axb=-bxa.|axq等于以a力為鄰邊的平行四邊形的面積。

a\。2。3

5.混合積：定義(a,仇c)=(axb)-c,坐標(biāo)公式(a,仇c)=4b2b3

C|c2C3

幾何意義|(a,九c)表示以a/,c為棱的平行大面體的體積。

四.兩向量間的關(guān)系

設(shè)。={q,2,4}/={4也也}

關(guān)系向量表示向量坐標(biāo)表示

ah+ah+&仇

ahccw(0--------------'------=---------------^-—--2------------I----------------

a,。間夾角(°)COS(D—-：~~fp-r擊;+a；+a；?J0：+b；+b^

\*\

。與b垂直ab=0a}h}+a2b2+b3h3=0

a\_a2_a3

a與匕平行axb=0

仇％bi

乙典型例題

例.設(shè)a,b為兩個(gè)非零向量，彳為非零常數(shù)，若向量。+/1。垂直于向量b,則2等于

()。

(A)土^(B)一巴g(C)1(D)ah

分析：所給向量為抽象向量，宜用向量運(yùn)算公式。如果a+46垂直于向量b,因此應(yīng)

有(a+48)?b=0

即ab+Abb=O

a./?+津『=0

a.h

由于b為非零向量，因而應(yīng)有4=----丁，故應(yīng)選(B)。

§5.2平面與直線

甲內(nèi)容要點(diǎn)

一.空間解析幾何

1.空間解析幾何研究的基本問(wèn)題

（1）已知曲面（線）作為點(diǎn)的幾何軌跡，建立這曲面（線）的方程。

（2）已知坐標(biāo)和z間的一個(gè)方程（組），研究這方程（組）所表示的曲面（線）。

2.距離公式空間兩點(diǎn)A（X］，H，ZJ與B（X2，%，Z2）間的距離△為

d=J（》2-*）2+（＞2-力+也-Zj

3.定比分點(diǎn)公式M（x,y,z）是AB的分點(diǎn)：黑=Q點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為A（$,%，zJ,

8（*2,%，Z2）則

X,+AX2V,+Ay2Z,+AZ2

1+A1+1+A

當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí),

丫一事+々v一弘+W.Z|+Z2

A-,y-，/一

2.22

二.平面及其方程

1.法（線）向量，法（線）方向數(shù)。

與平面"垂直的非零向量，稱為平面"的法向量，通常記成〃。法向量{〃?,〃,p}的坐

標(biāo)稱為法（線）方向數(shù)。對(duì)于給定的平面力，它的法向量有無(wú)窮多個(gè)，但它所指的方向只有

兩個(gè)。

2.點(diǎn)法式方程已知平面乃過(guò)“（小，為"。）點(diǎn)，其法向量〃={A,B,C},則平面》的

方程為

A（x-xo）+B（y-yo）+C（z-zo）=O

或〃?(/■-%)=()

其中“={/，％，Zo}"={x，y，z}

3.一般式方程

Ax+5y+Cz+￡>=0

其中A,3,C不全為零。x,y,z前的系數(shù)表示力的法線方向數(shù)，〃={A,3,C}是"的法

向量。

特別情形：

Ax+By+Cz=O,表示通過(guò)原點(diǎn)的平面。

Ax+By+D=0,平行于z軸的平面。

Ax+D=0,平行yOz平面的平面。

》=0表示）。2平面。

4.三點(diǎn)式方程

設(shè)A（Xi，y”zJ,B（X2,y2,z2）,。（*3，乂，23）三點(diǎn)不在一條直線上，則通過(guò)4氏。的

平面方程為

%—%!y-必z_Z]

Z0

%2一玉當(dāng)一口Z2-1=

與一事>3一必Z3-Z|

5.平面束

fA.x4-B.y+C,z+D,=0

設(shè)直線L的一般式方程為41口??八，則通過(guò)L的所有平面方程為

[A2X+B2y+C2z+D2=0

匕（A]X+BQ+C[Z+Df）+A:2（A2X+B2y+C2Z+D2）=0,其中依，出?）工（。,。）°

6.有關(guān)平面的問(wèn)題

兩平面為

%:A/+3]y+Gz+￡>]=0

7T2:A2x-^B2y+C2z4-D2=0

兀i與萬(wàn)2間A.A+B,B)+C,C,2

COS(P=/I-I--:

2

夾角（夕）JA：++c,-JA；+B；+C；

垂直條件A[+GG=0

平行條件

4B?G、^2J

A_且_

重合條件

為

B2C2D2

設(shè)平面乃的方程為Ax+By+Cz+D=O,而點(diǎn),zj為平面乃外的一點(diǎn)，則

M到平面4的距離d：

d_AXj+By}4-Czj4-D

7A2+B2+c2

三.直線及其方程

1.方向向量、方向數(shù)

與直線平行的非零向量S,稱為直線L的方向向量，方向向量的坐標(biāo)稱為方向數(shù)。

2.直線的標(biāo)準(zhǔn)方程（對(duì)稱式方程）。

X7o=yM)=zz0

Imn

其中（x（）,yo，Zo）為直線上的點(diǎn)，/,加,〃為直線的方向數(shù)。

3.參數(shù)式方程

x=xn+It

<y-y0+mt

z—z0+nt

s={/,"?,〃}/為參變量。

4.兩點(diǎn)式

設(shè)A（$,y,zJ,5（尤2，為，22）為不同的兩點(diǎn)，則通過(guò)A和3的直線方程為

X7]=)一必=ZZ]

%2一網(wǎng)內(nèi)一/Z2-Z]

5.一般式方程（作為兩平面的交線）:

A/+用y+Gz+2=0

方向向量S=,B],}x,B,C}

{A}CJ{A222

A2X-\-+C2Z+D2=0

6.有關(guān)直線的問(wèn)題

兩直線為

.x"_y-x_z-Z]

i,\——

/jm}/

工一々=y-為二z-z?

八1八+m,m-y+〃1%

右與心間夾角?）cos0=,?——L----!/

J/；+m；+”:.也+欣+n2

垂直條件“2+町加2+〃]%=0

\_m\_n\

平行條件

l2m2n2

四.平面與直線相互關(guān)系

平面乃的方程為：

Ax+By+Cz+D=O

直線L的方程為：

一一0二yf二Z.Z。

Imn

Al+Bm+Cn

L與萬(wàn)間夾角（a）sina=/~..=r

^A2+B-+C2?J/?+m2+n2

I_m_n

L與4垂直條件

L與〃平行條件Al+Bm+C〃=0

Al+Bm+Cn=0

L與不重合條件

L上有一點(diǎn)在乃上

乙典型例題

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例1.己知直線=U=若平面不過(guò)點(diǎn)5）且與/垂直，求平面〃

的方程。

分析：由題意可知，直線/的方向向量s=（3,2,-1）必定平行于所求平面%的法線向量

n,因此可取

n=s=（3,2,—1）

利用平面的點(diǎn)法式方程可知

3（x-2）+2（y-l）-（z-（-5））=0

即3（x-2）+2（y-l）-（z+5）=0

為所求平面方程。

或?qū)憺橐话闶椒匠?x+2y-z-13=0。

例2.設(shè)平面乃過(guò)點(diǎn)（1,0,—1）且與平面4x—y+2z—8=0平行，則平面"的方程為

例3.通過(guò)點(diǎn)M（1,2,3）且與直線/：

x=2+3f,y=2t,z=-l+r

垂直的平面方程為o

例4.求點(diǎn)M[}（1,2,1）到平面乃：3x—4y+5z+2=0的距離。

例5.試確定過(guò)M（2,3,0），加2（—2,—3,4）及加3（0，6,0）三點(diǎn)的平面方程。

例6.求通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且垂直于直線/: