高中數(shù)學(xué)試題分類匯編(易錯(cuò)易混易忘)

高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類匯編

“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”一直以來成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去的

痛，如何解決這個(gè)問題對(duì)決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。木文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)

驗(yàn)精心挑選學(xué)生在考試中常見的66個(gè)易錯(cuò)、易混、易忘典型題目，這些問題也是高考中的熱點(diǎn)和重

點(diǎn)，做到力避偏、怪、難，進(jìn)行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這

樣的問題在高考中確實(shí)存在，另一方面通過作針對(duì)性練習(xí)幫你識(shí)破命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱，以達(dá)到授

人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)破浪，實(shí)現(xiàn)自一的理想報(bào)負(fù)。

【易錯(cuò)點(diǎn)1】忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。

例1、設(shè)4={xl/—8x+15=0},6={xlox—1=0},若4門6=6,求實(shí)數(shù)a組成的集合的子

集有多少個(gè)？

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題由條件4仆8=6易知由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極

易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。

解析：集合A化簡(jiǎn)得A={3,5},

由4口6=8知8±A，

故(I)當(dāng)8=。時(shí)，即方程辦-1=0無解，此時(shí)a=0符合已知條件

(11)當(dāng)8H“時(shí)，即方程ax—1=0的解為3或5,代入得或(。

綜上滿足條件的a組成的集合為lo,g,,故其子集共有23=8個(gè)。

I【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】(1)在應(yīng)用條件AUB=B=ACB=A=ACB時(shí)，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)；

思想，將集合A是空集中的情況優(yōu)先進(jìn)行討論.

(2)在解答集合問題時(shí)，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對(duì)集合元素

的限制。有時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)果是滿足集合中元素的這個(gè)性質(zhì)，此外，解題過程中要注意集合

:語(yǔ)言(數(shù)學(xué)語(yǔ)言)和自然語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化如：A={(x,y)lY+y2=4},

:B={(x,y)l(x—3p+(y—4)2=/},其中「〉0,若=0求r的取值范圍。將集合所表達(dá)的：

數(shù)學(xué)語(yǔ)言向自然語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化就是：集合A表示以原點(diǎn)為圓心以2的半徑的圓，集合B表示以(3,4)|

為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)兩圓無公共點(diǎn)即兩圓相離或內(nèi)含時(shí)，求半徑r的取值范圍。思維馬上就|

:可利用兩圓的位置關(guān)系來解答。此外如不等式的解集等也要注意集合語(yǔ)言的應(yīng)用。

【練1】已知集合4=卜1/+4工=0}、B={xlx2+2（a+l）x+a2-1=0},若8=A,則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是。答案：。=1或。4一1。

【易錯(cuò)點(diǎn)2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。

2

例2、已知（X+2）2+?=1,求+y2的取值范圍

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的函數(shù)最值求解，但極易忽

略X、y滿足（X+2）2+匕=1這個(gè)條件中的兩個(gè)變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。

4

22

解析：由于(x+2y+?=l,得(X+2)2=1-、W1,

28

.??-3WxWT,從而x'+yJ-3x"T6x-12二+——，

3

因此當(dāng)x=T時(shí).x2+y2有最小值1,

QOR

當(dāng)時(shí)，x?+y2有最大值三。

33

故x，y2的取值范圍是[1,—]

3

2【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上我們可以從解析幾何的角度來理解條件（x+2）2+工=1對(duì)x、y的限制，

24W

ii

;顯然方程表示以（-2,0）為中心的橢圓，則易知-3WxW-L-2<y<2o此外本題還可通過三角換:

|元轉(zhuǎn)化為三角最值求壁____________\

22

（

【練2】（05重慶卷）若動(dòng)點(diǎn)（x,y）在曲線?+1r=1伍>0）上變化，則/+2），的最大值為）

A2、A2

—+4(0<&<4)----F4(0<Z?<2)/?■

(A)<(B)《417(C)—+4(D)2b

4

2b(b>4)2b(b>2)

答案：A

a-2x-}

例3、/(x)=——i■是R上的奇函數(shù)，

(1)求a的值(2)求的反函數(shù)/T(X)

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯(cuò)。

解析：⑴利用〃x)+/(—x)=0(或”0)=0),求得a=L

2'_1

(2)由a=l,即/(x)=r—,

設(shè)丁=/(X)，則2%l-y)=l+y

1_L

由于ywl,故2、=-x=log,石

i-y

而〃力-品€(wěn)(F),

-11-jt

所以y(x)=iog2(-1<%<i)

:;【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】(1)在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在

：反函數(shù)的解析式后表明(若反函數(shù)的定義域?yàn)镽可省略)。

I

i(2)應(yīng)用fa=/(a)=匕可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和

:函數(shù)值要互換。

【練3】(2004全國(guó)理)函數(shù)/(X)=G1+1(XN1)的反函數(shù)是()

A、y=x2-2x+2(x<1)B、y=x2-2x+2(x>1)

C、y=x2-2x(x<1)D、y-x2-2x(x>1)

答案：B

:【為曾忠4】求反色掣￥鳥哽啰蛆_■___________________________________________I

1_Or

例4、已知函數(shù)/(x)=-----,函數(shù)y=g(x)的圖像與〉=/7(工—1)的圖象關(guān)于直線y=》對(duì)

1+X

稱，則y=g(x)的解析式為。

/\3-2x/\2-x/\1—x/\3

A、g(x)=-----B、g(x)=----C、g(x)=--D、g(x)=^—

x1+x2+x2+x

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】解答本題時(shí)易由y=g(x)與丁=尸(》一1)互為反函數(shù)，而認(rèn)為y=尸(％-1)的

l-2(x-l)3-2v

反函數(shù)是、=/(x—l)則y=g(x)=/(x—l)==—而錯(cuò)選A?

1+(x—1)x

解析：由/(耳=戶得廣1(%)二底二從而y=/T(x_i)=：(；：?=2

1+x2+x2+(-1)1+x

再求y=/T(X—l)的反函數(shù)得g(x)=三。正確答案：B

【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù)y=/T(x—1)與函數(shù)y=/(x-1)并不互為反函數(shù)，他只是我示尸⑴中

x用xT替代后的反函數(shù)值。這是因?yàn)橛汕蠓春瘮?shù)的過程來看：設(shè)y=/(x-1)則/T()，)=X-1,

x=/T(y)+l再將x、y互換即得y=/(x—1)的反函數(shù)為了=尸(》)+1,故y=/(x—1)的反

函數(shù)不是丁=/T(X-1)，因此在今后求解此題問題時(shí)一定要謹(jǐn)慎。

【練4X2004高考福建卷)已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f'(x),則函數(shù)y=f'(1-x)的圖象是()

￡【易錯(cuò)點(diǎn)5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。3

lg(l-%2)

例5、判斷函數(shù)/(x)=1\|)的奇偶性。

|x-2|-2

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題常犯的錯(cuò)誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解:/(r)=H/（X）從

|x+2|-2

而得出函數(shù)/（X）為非奇非偶函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論。

l-x2>0

解析：由函數(shù)的解析式知x滿足（,

小-21H±2

即函數(shù)的定義域?yàn)椋?1,O）U（（M）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

1。（1一國(guó)

在定義域下〃x）=E----^易證/（-x）=-〃x）,即函數(shù)為奇函數(shù)。

—X

j【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在;

I判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域。j

;（2）函數(shù)/（x）具有奇偶性，則/（x）=〃-x）或/（x）=-/（-x）是對(duì)定義域內(nèi)x的恒等式。常常;

ii

（_利用這一點(diǎn)求解函數(shù)中字母參數(shù)的值。I

【練5】判斷下列函數(shù)的奇偶性:

①〃x)=R+目②小)=(1”藝③〃上正寢鬻

答案：①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非奇非偶函數(shù)

例6、函數(shù)/（X）=log2五石［x<—；或X>R的反函數(shù)為/T（x）,證明/T（x）是奇函數(shù)且在其定

義域上是增函數(shù)。

【思維分析】可求/T（X）的表達(dá)式，再證明。若注意到/T（X）與/（X）具有相同的單調(diào)性和奇偶性,

只需研究原函數(shù)/（X）的單調(diào)性和奇偶性即可。

-2x-l2x+l21

2x+12x-12x+1

解析：/（-%）=log2_=log2=-log2=-/（x）,

故〃x）為奇函數(shù)從而一］（尤）為奇函數(shù)。

又令"，1=1一5］在1—00,-￡|和6，+00）上均為增函數(shù)且>=1082'為增函數(shù)，

故“X）在100,—和+00）上分別為增函數(shù)。

故/T（x）分別在（0,+8）和（-8,0）上分別為增函數(shù)。

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于反函數(shù)知識(shí)有如下重要結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。（2）奇：

函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。（3）定義域?yàn)榉菃卧氐呐己瘮?shù)不存I

在反函數(shù)。（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。I

即廣'⑹=aof（a）=b。:

【練6】(1)(99全國(guó)高考題)已知/(x)=——，則如下結(jié)論正確的是()

A、/(x)是奇函數(shù)且為增函數(shù)B、/(x)是奇函數(shù)且為減函數(shù)

C、“X)是偶函數(shù)且為增函數(shù)D、/(X)是偶函數(shù)且為減函數(shù)

答案：A

(2)(2005天津卷)設(shè)廠lx)是函數(shù)=(a>I)的反函數(shù)，則使(x)>1成立的x的

222

a_ia_ia_i

取值范圍為()A、(----,+oo)B、(-oo,-----)C、(-----,a)D、(a,+8)

2a2a2a

答案：A(a>l時(shí)，〃x)單調(diào)增函數(shù)，所以廣(x)>lo/(廣,⑴卜/⑴^^/⑴:號(hào)工)

【易錯(cuò)點(diǎn)7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。

例7、試判斷函數(shù)〃x)=ax+2(a>0,b>0)的單調(diào)性并給出證明。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義

x,eO,x2eO/(^)>/(x2)(/(%,)</(々))中的司,馬的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)

定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識(shí)。

解析：由于”-力=-/(X)即函數(shù)"X)為奇函數(shù),

因此只需判斷函數(shù)/(X)在(0,+8)上的單調(diào)性即可。

aX|%2b

設(shè)再>工2>0，/(xl)-/(x2)=(x1-x2)

由于$-x2>0

時(shí)/(%)—/(々)>0,此時(shí)函數(shù)/(X)在上為增函數(shù),

同理可證函數(shù)”X)在0,上為減函數(shù)。

又由于函數(shù)為奇函數(shù),

為減函數(shù)，在為增函數(shù)。

■【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】(1)函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問題中，：

I應(yīng)引起足夠重視。

(2)單調(diào)性的定義等價(jià)于如下形式：/(工)在［。力］上是增函數(shù)=山上￡區(qū)>0,/(x)在

X］~~X2

［。,可上是減函數(shù)=/(%)［"4)<0,這表明增減性的幾何意義：增(減)函數(shù)的圖象上任意兩

x{-x2

點(diǎn)(%,/(占)),(々,/(々))連線的斜率都大于(小于)零。

(3)/(x)=ox+)(a>0,b>0)是種重要的函數(shù)模型,

要引起重視并注意應(yīng)用。但注意本題中

不能說“X)在U上為增函數(shù)，在

I述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號(hào)“U”和“或”，

1—V-

【練7】⑴(濰坊市統(tǒng)考題)/(x)=ax+——(a>0)(1)用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)“X)在(0,+8)

上的單調(diào)性。

⑵設(shè)/(X)在0<x41的最小值為g(a),求y=g(a)的解析式。

答案：(1)函數(shù)在(L+s］為增函數(shù)在(0」)為減函數(shù)。(2)y=g(a)=<2-

(2)(2001天津)設(shè)。>0且〃x)=《+巴為R上的偶函數(shù)。

aex

(1)求a的值(2)試判斷函數(shù)在(O,+8)上的單調(diào)性并給出證明。

答案：(1)。=1(2)函數(shù)在(0,+o。)上為增函數(shù)(證明略)

【易錯(cuò)點(diǎn)8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致

錯(cuò)誤結(jié)論。

例8、(2004全國(guó)高考卷)已知函數(shù)〃x)=ax3+3x2—x+l上是減函數(shù)，求a的取值范圍。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】(x)<0(xw(a,b))是/(x)在(。,與內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程

中易誤作是充要條件，如/(x)=—d在R上遞減，但/(工)=一3/40。

解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/'(x)=3ax2+6x-1

(1)當(dāng)/'(x)<0時(shí)?，/(x)是減函數(shù),則廣(x)=3ax2+6x-1<O(xeR),故｛；：；,解得a<—3。

(2)當(dāng)a=-3時(shí)，/(x)=-3x，+3f—x+1=-3(x-；)+￡易知此時(shí)函數(shù)也在R上是減函數(shù)。

(3)當(dāng)a>-3時(shí)，在R上存在一個(gè)區(qū)間在其上有/'(x)>0,

所以當(dāng)a>—3時(shí)，函數(shù)/(x)不是減函數(shù),

綜上，所求a的取值范圍是(-8,-3］。

：【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】若函數(shù)/(x)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明：

:①/'(x)>0與/(x)為增函數(shù)的關(guān)系：/'(x)>0能推出/(x)為增函數(shù)，但反之不一定。

:j

如函數(shù)/(X)=/在(-00,+8)上單調(diào)遞增，但/'(X)>0,

...廣(X)>0是/(X)為增函數(shù)的充分不必要條件。

:②尸(x)wO時(shí)，:(x)>0與/(X)為增函數(shù)的關(guān)系：

若將/'(x)=0的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定/'(X)H0,即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)/(x)為增函數(shù)，:

：就一定有了'(X)>0。

...當(dāng)f'(x)豐0時(shí)，/'a)>0是/(x)為增函數(shù)的充分必要條件。

:i

:③/(無)20與/(x)為增函數(shù)的關(guān)系：/(x)為增函數(shù)，一定可以推出r(x)20,但反之不一定，

因?yàn)槭?X)20,即為/'(x)>0或尸3=0。

當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有/'*)=0,則/(X)為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。

;(x)20是/(x)為增函數(shù)的必要不充分條件。

,函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)?條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，|

i用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間,?

避免討論以上問題，也簡(jiǎn)化了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題,要謹(jǐn)慎處理。

因此本題在第一步后再對(duì)。=-3和?！?3進(jìn)行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充|

分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯(cuò)誤還很多，這需要同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程

中注意思維的嚴(yán)密性。

【練8】⑴（2003新課程）函數(shù)>=/+法+。卜?0,+8））是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）

A、b>0B、b<0C、b>0D、b<0

答案：A

2i

（2）是否存在這樣的K值，使函數(shù)/（x）=一小+2x+g在（1,2）上遞減，在（2,+8）上

遞增？

答案：k=g。（提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知/'（2）=0,但/'（2）=0是函數(shù)在（1,2）上遞減，

在（2,+8）上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由/'（2）=0求出K值后要檢驗(yàn)。）

【易錯(cuò)點(diǎn)9】應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號(hào)時(shí)的

［變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。

例9、已知：a>0,b>0,a+b=l,求（a+'）2+（b+—>的最小值。

ab

錯(cuò)解:(a+—)2+(b+—)2=a2+b2+上+與+422ab+—+424

+4=8

aba，b~ab

.?.(a+1)2+(b+L)2的最小值是8

ab

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b222ab,第一次等號(hào)成立的條件是a=b=l,

2

第二次等號(hào)成立的條件ab=」-,顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不是最小值。

ab

解析：原式二a2+b2++4=(a2+b2)+()+4=[(a+b)2-2ab]+[(—+—)2--]+4

a2b2a2h2abab

=(l-2ab)(l+-^-)+4

a2b2

由abW(空2)2=1得：i_2ab》l-L=L，且/v216,1+」^217

2422a2b°a2b2

1251

???原式2上X17+4=巴(當(dāng)且僅當(dāng)"b二上時(shí)，等號(hào)成立)

222

1]25

???(a+-)2+(b+上)2的最小值是—o

ab2

I【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可即“一正、二定、I

VY

［三相等”，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號(hào)成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)。j

【練9】（97全國(guó)卷文22理22）甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過

ckm/h，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v

（km/h）的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元。

（1）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

答案為：（1）y=-^bv2+（z）（O<v<c）

（2）使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)怖<c時(shí)，行駛速度丫=機(jī)；當(dāng)聆>c時(shí)，行駛速度丫氣。

【易錯(cuò)點(diǎn)10］在涉及指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時(shí)、沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論的意識(shí)和易忽略

I

對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。

例10、是否存在實(shí)數(shù)2使函數(shù)〃力=唾尸-，在［2,4］上是增函數(shù)？若存在求出a的值，若不存在,

說明理山。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過程中易忽略

對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)限制條件而導(dǎo)致a的范圍擴(kuò)大。

解析：函數(shù)/（無）是由0（x）="2-X和y=log/（”復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法

（1）當(dāng)a>l時(shí)，若使〃耳=腕嚴(yán)-，在［2,4］上是增函數(shù)，

［±<2

則。（%）=/一％在［2,4］上是增函數(shù)且大于零。故有｛2。一,解得a>l。

⑵=4"2〉0

（3）當(dāng)a<l時(shí)若使〃尤）=唾尸-，在［2,4］上是增函數(shù)，

［±>4

則。（》）=辦2-工在［2,4］上是減函數(shù)且大于零。故有｛2&,不等式組無解。

［0（4）=16a-4〉0

綜上所述存在實(shí)數(shù)2>1使得函數(shù)/（》）=108/27在［2,4］上是增函數(shù)

:【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，j

二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)及對(duì)稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其

底數(shù)的范圍（大于1還是小于1）,特別在解決涉及指、對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)要樹立分類討論

的數(shù)學(xué)思想（對(duì)數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制）。

【練10]（1）（黃崗三月考變式題）設(shè)。＞0,且。工1試求函數(shù)y=log“4+3x—%2的的單調(diào)區(qū)間。

答案：當(dāng)0＜。＜1,函數(shù)在上單調(diào)遞減在|,4）上單調(diào)遞增，

當(dāng)a〉l函數(shù)在1―上單調(diào)遞增在4）上單調(diào)遞減。

（2）（2005高考天津）若函數(shù)/（x）=log“（x3-ax）S＞0MHl）在區(qū)間（_2,0）內(nèi)單調(diào)遞增，貝Ija的

1399

取值范圍是（）A＞[-,1）B、[[[）C、（-,+o））D、（1,-）

答案：B.（記g（x）=d-QX,貝ljg〈x）=3f一〃

當(dāng)a＞l時(shí)，要使得〃x）是增函數(shù)，則需有g(shù)[x）＞0恒成立，所以=1.矛盾.排除C、D

當(dāng)0＜〃＜1時(shí)，要使“X）是函數(shù)，則需有g(shù)[x）＜0恒成立，所以。＞3'「=：.排除A）

【易錯(cuò)點(diǎn)11】用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性.

1)

例11、已知sinx+siny=§求siny-cos-x的最大值

[易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過條件sinx+siny=」將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的函數(shù)，進(jìn)而利用換

3

元的思想令f=sinx將問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價(jià)性而造

成錯(cuò)解，

解析：由已知條件有siny=§-sinx且siny=§—sinx￡[-1,1]

2

(結(jié)合sinx￡1,1])得-1WsinxWl,

-r—.21?2?2?2

而siny-cosx-——sinx-cosx-=sin-x-sinx—

33

令f=sin1,gK/W1),則原式二產(chǎn)K￡?1]，

224

根據(jù)二次函數(shù)配方得：當(dāng)，二一一，即sinx=-一時(shí)，原式取得最大值一。

339

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是：

提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式

子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)

鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去

研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量

代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論

;里系型來二或者里力熟啰的一形史..把"雜網(wǎng)計(jì)算刊超證簡(jiǎn)生。

【練11](1)(高考變式題)設(shè)a>0,000求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a2的最大值和最

小值。

叵、

1-(0<a<-)

答案：￡6）的最小值為一222—2行2—5,最大值為<

-2a*+2A/2O——(a>——■)

122

（2）不等式小>ax+3的解集是（4,b）,則2=,b=。

2

答案：力=36（提示令換元五=f原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式的解集為（2,、歷卜

【易錯(cuò)點(diǎn)12］已知S“求a”時(shí)，易忽略n=1的情況.

例12、（2005高考北京卷）數(shù)列｛a“｝前n項(xiàng)和s“且q=1,4什］=。（1）求的94的值及數(shù)列｛q｝

的通項(xiàng)公式。

［易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在應(yīng)用,與an的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為=s,-s?_,對(duì)于任意n值都成立，忽略了對(duì)n=l

的情況的驗(yàn)證。易得出數(shù)列｛4,｝為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。

解析：易求得電='，。4=3。

3927

由q=L%+i=,得%=（〃N2）

1114

故％-4=§s,--5,,-1=-a?（n>2）,得％=§a.（〃N2）

又見=1,%=一

1-3

=1）

故該數(shù)列從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列故%=<1（4丫/。

（〃"2）

S[（n=1）

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于數(shù)列a“與‘之間有如下關(guān)系：%=<'\、利用兩者之間的關(guān)系

G（〃22）

可以已知s“求4o但注意只有在當(dāng)4適合a“=s“22）時(shí)兩者才可以合并否則要寫分段函

數(shù)的形式。

【練12](2004全國(guó)理)已知數(shù)列｛%｝滿足％=l,a“=q+2/+3%+…+(n(〃N2)則

數(shù)列｛6,｝的通項(xiàng)為

1(”=1)

答案：（將條件右端視為數(shù)列｛〃a“｝的前n-1項(xiàng)和利用公式法解答即可）a?=<

[*2)

【易錯(cuò)點(diǎn)13】利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集

尊多于集（叢1開始）

例13、等差數(shù)列｛6,｝的首項(xiàng)外〉0,前n項(xiàng)和s“，當(dāng)/力機(jī)時(shí)，5?,=5,o問n為何值時(shí)最大？

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的

最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。

解析：由題意知s“=/（〃）=〃<+〃（?。?[—g）〃，此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù),

因?yàn)閍1>0,當(dāng)機(jī)時(shí)，%=y,故d<0,即此二次函數(shù)開口向下，

故由/（/）=/（」）得，當(dāng)X=等時(shí)/（X）取得最大值,

/+>7?

但由于〃eN+,故若/+機(jī)為偶數(shù)，當(dāng)”=^^時(shí)，s“最大?

若/+機(jī)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)“二，十；一]時(shí)S”最大。

:【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集（從1開始）:

上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問題。特別的等差數(shù)列的前n

項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項(xiàng)，反之滿足形如s“=。〃2+而所對(duì)應(yīng)的數(shù)列也必然是等

差數(shù)列的前n項(xiàng)和。此時(shí)由1=。n+匕知數(shù)列中的點(diǎn)〃，色是同一直線上，這也是一個(gè)很重要的結(jié)

nInJ

I論。此外形如前n項(xiàng)和=ca"-c所對(duì)應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。|

E夕

【練13］（2001全國(guó)高考題）設(shè)｛q｝是等差數(shù)列，S,是前n項(xiàng)和，且$5<$6,$6=$7>$8,則下列

結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A、d<0B、%=°c>59>55D、$6和$7均為S"的最大值。

答案：c（提示：利用二次函數(shù)的知識(shí)得等差數(shù)列前n項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)的對(duì)稱軸再結(jié)合單調(diào)性

解答）

［；手嬴工］■癡癡而嬴晟■工薪嬴薪嬴嬴高嬴贏薪飛贏甚贏￡］

3

例14、已知關(guān)于的方程Y—3x+a=0和x2—3x+b=O的四個(gè)根組成首項(xiàng)為二的等差數(shù)列，求

4

a+b的值。

【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)

是如何排列的。

3

解析：不妨設(shè)二是方程-—3x+a=0的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方

4

程f-3x+a=0的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng),而方程x2-3x+b=O的兩根是等差數(shù)列的中間

3579773531

兩項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列知識(shí)易知此等差數(shù)列為：1,±乙,=故。=二力=3從而。+/;二衛(wèi)。

44,4416168

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列：

的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對(duì)于箜差數(shù)列｛%｝,若〃+加=p+q,則%+a,“=ap+ay；

對(duì)于等比數(shù)列｛%｝,若〃+機(jī)=〃+v,則an.am=%?av；若數(shù)列｛a,,｝是等此數(shù)列，S“是其前n項(xiàng)

的和，kwN*,那么4,S2k-Sk,S3A-S2*成等比數(shù)列；若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，S,是其前n項(xiàng)

的和，kwN*,那么臬，S2k-Sk,S3.-$2“成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用。

【練14］（2003全國(guó)理天津理）已知方程/-2了+加=0和/一2x+〃=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)

為上的等差數(shù)列，則帆-小（

41

答案：C

【易錯(cuò)點(diǎn)15］用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比q=1的情況

例15、數(shù)列｛%｝中，a,=1,%=2,數(shù)列是公比為q（q>0）的等比數(shù)列。

（I）求使a”a“+i+。“+口”+2>?！?2?！?3成立的4的取值范圍；

（II）求數(shù)列｛%｝的前2n項(xiàng)的和S2..

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和易忽略公比q=l的特殊情況，造成概念性錯(cuò)誤。再者學(xué)生沒

有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列｛%?。,向｝是公比為q（夕>0）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成

等比數(shù)列而找不到解題突破口。使思維受阻。

解:（I）?.?數(shù)列｛%?。用｝是公比為q的等比數(shù)列，

.2

,,an+\an+2=anan+\Q9?！?2勺+3=%?！?1夕，

由*a”+i+a“+i*+2>%+2%+3,得%%M+%%+闖>%%+國(guó)2nl+q>q2,

即q2_q_i<（）（?〉（）），解得

（II）由數(shù)列｛%",用｝是公比為q的等比數(shù)列，得馱&2=q=>吐=q,

這表明數(shù)列｛%｝的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是q,

又—1,。2=2,

???當(dāng)qW1時(shí)，S9n=Q[+。)+。3+。4+…+。2”-1+。2〃

—(6f|+〃<■>+%+,,?+%)+(%+。4+〃6+■**+)

_%(1-/)生(1-/)_3(1-/)

一?一,

\-ql-q1-q

當(dāng)q=1時(shí)，$2〃=。[+。2+。3+。4"I------。2〃-1+a2n

=(6F|+%+%+,,,+%)+(%+〃4+〃6+???+出〃)

=(1+1+1+.??+1)+(2+2+2+..?+2)=3〃.

【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本題中拆成的兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，其中吐=q是解題的關(guān)鍵，這種給出

a?

數(shù)列的形式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個(gè)數(shù)列成

等比數(shù)列，解題時(shí)要慎重，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行觀察就得出正確結(jié)論.對(duì)等比數(shù)列的求和一定要注

意其公比為1這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計(jì)陷阱使考生產(chǎn)生對(duì)現(xiàn)而不全的錯(cuò)誤。

【練15](2005高考全國(guó)卷一第一問)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,前n項(xiàng)和sa>0(1)求q的取

值范圍。答案：(—l,O)U(O,+8)

【易錯(cuò)點(diǎn)16】在數(shù)列求和中對(duì)求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和不會(huì)采用錯(cuò)項(xiàng)

相減法或解答結(jié)果不到位。

例16、.(2003北京理)已知數(shù)列｛。“｝是等差數(shù)列，且q=2,a,+a2+a3=12

(1)求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式，⑵令"=%x"(xwR)求數(shù)列也｝前項(xiàng)和的公式。

【思維分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式再由數(shù)列依｝的通項(xiàng)公式分析可知數(shù)列也｝是

一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求和。

解析：(1)易求得a“=2〃

(2)由(1)得"=2nx"令s”=2x+4x2+6x3+...+2nx"(I)

貝ijxs,,=2/+4/+3+2(〃-1卜"+2”￡出(II)

用(I)減去(H)(注意錯(cuò)過一位再相減)得(1-x)s“=28+2/+2八...+2/-2W

當(dāng)x=l時(shí)s“=2+4+6+…+2”=〃(〃+1)

2

綜上可得：當(dāng)XNls“=——

1-X

當(dāng)x=1時(shí)s“=2+4+6+…+2〃=〃(〃+1)

［知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】一般情況下對(duì)于數(shù)列｛c“｝有％=anbn其中數(shù)列｛a,,｝和｛bn｝分別為等差數(shù)列和

等比數(shù)列，則其前n項(xiàng)和可通過在原數(shù)列的每一項(xiàng)的基礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯(cuò)過一項(xiàng)相減的

方法來求解，實(shí)際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例。

【練161（2005全國(guó)卷一理）已知“"=a"+a"'b+a""2b~+...+ab"~l+b"（〃wN+,a〉0,8〉0）當(dāng)

a=b時(shí)，求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和s“

（n+l）a^2-（n+2］a,>+i-a2+2a〃（n+3）

答案：當(dāng)"工］時(shí)s'二^——------——-------------，當(dāng)a=］時(shí)——L

（1-?）22

【易錯(cuò)點(diǎn)17】不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)對(duì)裂項(xiàng)后抵

消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。

例17、求S,—I--------1------------+…H-----------------------

11+21+2+31+2+3+???+〃

【易錯(cuò)點(diǎn)