構(gòu)造函數(shù)方法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用-2

構(gòu)造函數(shù)方法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用泉州現(xiàn)代中學(xué)高中數(shù)學(xué)組在導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中,我們有時需根據(jù)對條件和結(jié)論的分析,構(gòu)造一個恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù),通過導(dǎo)數(shù)知識對輔助函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行探討,化難為易,從而使原問題得到解決.這種方法稱為構(gòu)造函數(shù)法,該方法在比擬大小、證明不等式、求參數(shù)的取值范圍等問題中有著廣泛的應(yīng)用。證明不等式是導(dǎo)數(shù)的一個非常重要的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)法解決這些問題的關(guān)鍵是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，進(jìn)而通過研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，最終解決問題。運用構(gòu)造函數(shù)法來解題是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造意識和創(chuàng)新思維的手段之一，同時對提高學(xué)生的解題能力也有所幫助。具體地說構(gòu)造函數(shù)法就是根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特殊性，構(gòu)造出一些新的函數(shù)，并借助它認(rèn)識與解決原問題的一種思想方法。通過巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)，把原來的問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，從而到達(dá)解題目的。本文主要運用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法來比擬大小、證明不等式、求參數(shù)的取值范圍等問題。構(gòu)造函數(shù)比擬大小對任意，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，假設(shè)且，，那么的大小關(guān)系為解析：令，那么，所以在Ｒ上為增函數(shù)，因為，所以。故點評：此類問題，通常需要根據(jù)條件提供的與有關(guān)的不等式，結(jié)合需比擬大小的兩個表達(dá)式的特征構(gòu)造函數(shù)，利用所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行大小比擬。構(gòu)造函數(shù)證明不等式例２：設(shè)函數(shù),它們的圖象在軸上的公共點處有公切線.求證:當(dāng)解析：因為與軸的公共點為(1,0),的圖象在軸上的公共點處有公切線.所以.故可得令,由所以,所以點評：在證明不等式時，通常根據(jù)要證明結(jié)論的特點合理的構(gòu)造函數(shù)〔不一定要把不等式右邊的項全移到左邊〕，將問題轉(zhuǎn)化為證明新函數(shù)的最大值非正或最小值非負(fù)的問題來解決。構(gòu)造函數(shù)求參數(shù)值例3：函數(shù)假設(shè)方程有唯一解，試求實數(shù)的值。解析：原方程等價于令那么原方程因為且原方程有唯一解，所以函數(shù)的圖象在右側(cè)有唯一的交點。又所以當(dāng)即故處取得極小值，此極小值也是最小值，因為當(dāng)且原方程有唯一解，所以點評：對于方程解的個數(shù)問題，通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題來處理，此時可構(gòu)造適宜的新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識探討該函數(shù)的性質(zhì)〔如單調(diào)性、極值情況等〕再結(jié)合函數(shù)圖象來解決。構(gòu)造函數(shù)求參數(shù)范圍例4.函數(shù)。假設(shè)對于任意的都有成立，求實數(shù)的取值問題解析：對于任意的都有恒成立，等價于在上恒成立。令，那么，當(dāng)時，即在上遞增，故所以在上遞增，，所以，即實數(shù)的取值范圍是點評：對于含參不等式恒成立的問題，通常要先將參數(shù)從不等式中別離出來，通過構(gòu)造新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為使參數(shù)大于新函數(shù)的最大值或小于新函數(shù)的最小值的問題，再利用導(dǎo)數(shù)知識求解。總之，構(gòu)造函數(shù)具有較強(qiáng)的靈活性和創(chuàng)新性，在解數(shù)學(xué)題時，觀察題目的特