高考數(shù)學復習 專題四 數(shù)列 4.1 數(shù)列基礎題練習 理-人教版高三數(shù)學試題

4.1數(shù)列基礎題命題角度1求數(shù)列的通項公式高考真題體驗·對方向1.(2016浙江·13)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,則a1=,S5=.

答案1121解析由題意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3.再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).又因為a2=3a1,所以數(shù)列{an}是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列.所以S5=1-352.(2015全國Ⅱ·16)設Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=.

答案-1解析由an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得1Sn-1Sn+1=1,即1Sn+1-1Sn=-1,則1Sn典題演練提能·刷高分1.(2019四川廣元萬達中學、八二一中學高一下學期期中考試)設數(shù)列{an}中,已知a1=1,an=1+1an-1(n>1),則a3A.85 B.53 C.32答案C解析因為a1=1,an=1+1an-1(n>1),所以a2=1+1a1=2,a3=2.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=32n2+12n,則a5=答案14解析由題意得a5=S5-S4=32×52+52-32×42+2=143.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且log3Sn+1=n+1,則數(shù)列{an}的通項公式為.

答案an=8解析由log3(Sn+1)=n+1,得Sn+1=3n+1,當n=1時,a1=S1=8;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2×3n,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=84.已知數(shù)列{an}前n項和為Sn,若Sn=2an-2n,則Sn=.

答案n·2n解析∵Sn=2an-2n=2(Sn-Sn-1)-2n,整理得Sn-2Sn-1=2n,等式兩邊同時除以2n有Sn2又S1=2a1-2=a1,可得a1=S1=2,所以數(shù)列bn=Sn2n可看作以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以Sn2n=n,所以S5.已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn,且an+Sn=3n-1,則數(shù)列{an}的通項公式an=.

答案3-12n-2解析由題得an+Sn=3n-1①,an-1+Sn-1=3n-4②,兩式相減得an=12an-1+3∴an-3=12(an-1-∴{an-3}是一個等比數(shù)列,所以an-3=(a1-3)12n-1=(1-3)12n-1,∴an=3-12n-2.故填3-12n-2.命題角度2等差數(shù)列基本量的運算高考真題體驗·對方向1.(2019全國Ⅰ·9)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S4=0,a5=5,則()A.an=2n-5 B.an=3n-10C.Sn=2n2-8n D.Sn=12n2-2答案A解析由題意可知,S4=4a1+4×32·d=0,a5=a12.(2018全國Ⅰ·4)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=()A.-12 B.-10 C.10 D.12答案B解析因為3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.設公差為d,則3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.3.(2017全國Ⅰ·4)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為()A.1 B.2 C.4 D.8答案C解析設首項為a1,公差為d,則a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+6×52d=48,聯(lián)立可得2a1+7d=24,①6a1+15d4.(2017全國Ⅲ·9)等差數(shù)列{an}的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}前6項的和為()A.-24 B.-3 C.3 D.8答案A解析設等差數(shù)列的公差為d,則d≠0,a32=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=6×1+6×52×(5.(2019全國Ⅲ·14)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a1≠0,a2=3a1,則S10S5=答案4解析設等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a1≠0,a2=3a1,∴a1+d=3a1,即d=2a1.∴S10S5典題演練提能·刷高分1.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a3=7,S3=12,則a10=()A.10 B.28 C.30 D.145答案B解析由題意,設等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,則a3=a1+2d=7,S3=3a1+3d=12,解得2.(2019四川百校高三模擬沖刺)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S7=28,則a4=()A.4 B.7 C.8 D.14答案A解析S7=7(a1+a7)2=7a4=3.我國古代數(shù)學名著《九章算術·均輸》中記載了這樣一個問題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等,問各得幾何?”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列,問五人各得多少錢?”(“錢”是古代一種重量單位).這個問題中,等差數(shù)列的通項公式為()A.-16n+76(n∈N*,B.16n+32(n∈N*,C.16n+76(n∈N*,D.-16n+32(n∈N*,答案D解析依題意甲、乙、丙、丁、戊所分得錢分別為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由題意可知a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,所以a=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,所以a=1,所以此等差數(shù)列首項為43,公差為-16,故通項公式為an=-16n+32(n∈N*4.在等差數(shù)列{an}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n項和,則使Sn達到最大值的n是()A.21 B.20 C.19 D.18答案B解析因為a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,所以a3=35,a4=33,從而d=-2,a1=39,Sn=39n+12n(n-1)(-2)=-n2+40n所以當n=20時,Sn取最大值,故選B.5.(2019廣東潮州高三二模)我國古代名著《九章算術》中有這樣一段話:“今有金錘,長五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤.”意思是:“現(xiàn)有一根金錘,長5尺,頭部1尺,重4斤,尾部1尺,重2斤”,若該金錘從頭到尾,每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列,該金錘共重多少斤?()A.6斤 B.7斤 C.9斤 D.15斤答案D解析因為每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列{an},a1=4,a5=2,∴a1+a5=6,數(shù)列的前5項和為S5=5×a1+a52=5×36.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S6>S7>S5,則滿足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值為()A.10 B.11 C.12 D.13答案C解析∵S6>S7>S5,∴6a1+6×52d>7a1+7×62d>5∴a7<0,a6+a7>0,∴S13=13(a1+a13)2=13a7<0,S12=12(∴滿足SnSn+1<0的正整數(shù)n的值為12,故選C.7.設等差數(shù)列{an}滿足a2=7,a4=3,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則使得Sn>0的最大的自然數(shù)n是()A.7 B.8 C.9 D.10答案C解析a2=所以Sn=9n+n(n-1)2×(-2)所以-n2+10n>0,所以0<n<10,則最大的自然數(shù)是9.故選C.8.已知{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若a1=-1,S10=35,則a20=.

答案18解析∵{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若a1=-1,S10=35,∴a∴d=1,∴a20=a1+(20-1)×1=18.9.已知遞增的等差數(shù)列{an}的前三項和為-6,前三項積為10,則前10項和S10=.

答案85解析∵a1+a2+a3=-6,a1a2a3=10,∴a2=-2,a1+a3=-4,a1a3=-5.∴a1=-5,a3=1,∴公差為3,S10=10×(-5)+12×10×9×3=85命題角度3等比數(shù)列基本量的運算高考真題體驗·對方向1.(2019全國Ⅲ·5)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=()A.16 B.8 C.4 D.2答案C解析設等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),則a1(所以a3=a1q2=1×22=4.故選C.2.(2017全國Ⅱ·3)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈()A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞答案B解析設塔的頂層共有x盞燈,則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個公比為2的等比數(shù)列,由x(1-273.(2019全國Ⅰ·14)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a1=13,a42=a6,則S答案121解析設等比數(shù)列{an}的公比為q,則a4=a1q3=13q3,a6=a1q5=13q∵a42=a6,∴19q6=1∵q≠0,∴q=3.∴S5=a14.(2017北京·10)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=-1,a4=b4=8,則a2b2=答案1解析設等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,由題意知-1+3d=-q3=8,即-1+3d故a2b2典題演練提能·刷高分1.Sn是正項等比數(shù)列{an}的前n項和,a3=18,S3=26,則a1=()A.2 B.3 C.1 D.6答案A解析由題得a∴a1=22.等比數(shù)列{an}中各項均為正數(shù),Sn是其前n項和,滿足2S3=8a1+3a2,a4=16,則S4=()A.9 B.15 C.18 D.30答案D解析設等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0).∵2S3=8a1+3a2,∴2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,即2a3-a2-6a1=0.∴2q2-q-6=0,∴q=2或q=-32(舍去)∵a4=16,∴a1=a4q3=2,∴S4=a1(3.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關,出行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關,要見次日行里數(shù),請公仔細算相還.”其大意為“有一個人走了378里路,第一天健步行走,從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地,請計算此人第二天走的路程”.該問題的計算結(jié)果為()A.24里 B.48里 C.96里 D.192里答案C解析由題意得此人每天走的路程構(gòu)成公比為12的等比數(shù)列,且前6項的和為378,求該數(shù)列的第2項.設首項為a1,則有a1[1-(12)

6]1-12=378,解得4.(2019河北保定高三第二次模擬考試)等比數(shù)列{an}中,若an>0,a2a4=1,a1+a2+a3=7,則公比q=()A.14 B.12 C.2 D答案B解析設等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,且q>0.由題意可得a解得q=12.故選B5.已知公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,S3=3a3,則S5=()A.1 B.5 C.3148 D.答案D解析由題意得a1(1-q3)1-q=3所以S5=a1(6.古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題:“今有蒲生一日,長三尺;莞生一日,長一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長等?”意思是:“今有蒲草第一天,長為3尺;莞生長第一天,長為1尺.以后蒲的生長長度逐天減半,莞的生長長度逐天加倍.問幾天后蒲的長度與莞的長度相等?”以下給出了問題的4個解,其精確度最高的是(結(jié)果保留一位小數(shù),參考數(shù)據(jù):lg2≈0.30,lg3≈0.48)()A.1.3日 B.1.5日 C.2.6日 D.3.0日答案C解析由題意可知蒲的長度是首項為3,公比為12的等比數(shù)列,莞的長度是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,設n天后長度相等,由等比數(shù)列前n項和公式有:3(1-12n)1-12=1(17.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an,Sn為{an}的前n項和,若{Sn+λ}為等比數(shù)列,則λ=()A.-1 B.1C.-2 D.2答案B解析由題意{an}是等比數(shù)列,公比為2,∴Sn=2n-1,Sn+λ=2n-1+λ,{Sn+λ}為等比數(shù)列,則-1+λ=0,即λ=1,故選B.8.已知遞減的等比數(shù)列{an},各項均為正數(shù),且滿足a1+a2+a3=269A.12 B.13 C.23答案B解析因為數(shù)列是等比數(shù)列,故得到1=a=a3化簡得到a1a3=a22=49,由a1+a2+a3=269=a2q+a2+a2q?q+9.已知等比數(shù)列{an}的首項a1=2,前n項和為Sn,若S5+4S3=5S4,則數(shù)列2log2an+1A.-11 B.-35 C.193 D答案D解析由已知得S5-S4=4(S4-S3)?a5=4a4?q=4,an=2×4n-1=22n-1,所以2log2an+1log2an-10.如圖所示,正方形上連接著等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再連接正方形,…,如此繼續(xù)下去得到一個樹形圖形,稱為“勾股樹”.若某勾股樹含有1023個正方形,且其最大的正方形的邊長為22,則其最小正方形的邊長為.答案1解析由題意,正方形的邊長構(gòu)成以22為首項,以22為公比的等比數(shù)列,現(xiàn)已知共得到1023個正方形,則有1+2+…+2n-1=1023,則n=10,故最小正方形的邊長為22×229=命題角度4等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應用高考真題體驗·對方向1.(2016全國Ⅰ·15)設等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為.

答案64解析由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,兩式相除得a1解得q=12,a1=所以a1a2…an=8n·121+2+…+(n-1)=2-12n2+7n又n∈N*,所以當n=3或4時,a1a2…an取最大值為2-12×322.(2015廣東·10)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=.

答案10解析根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5.又a2+a8=2a5,所以a2+a8=10.典題演練提能·刷高分1.在等差數(shù)列{an}中,前n項和Sn滿足S7-S2=45,則a5=()A.7 B.9 C.14 D.18答案B解析S7-S2=a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9,故選B.2.(2019東北三省三校高三第三次模擬)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),a1=1,a1+a2+a3=7,則a3+a4+a5=()A.14 B.21 C.28 D.63答案C解析設等比數(shù)列的公比為q.∵a1=1,a1+a2+a3=7,∴a1(1+q+q2)=1+q+q2=7,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.又an>0,∴q=2.∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4×7=28.故選C.3.已知等比數(shù)列{an}中,a5=2,a6a8=8,則a2018-a2016aA.2 B.4 C.6 D.8答案A解析∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,∴a6a8=a72=8,∴a7=22(與a5同號),∴q2=a7a5=2,從而a2018-a2016a4.(2019吉林長春高三質(zhì)量監(jiān)測四)設Sn是各項均不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和,且S13=13S7,則a7a4等于(A.1 B.3 C.7 D.13答案C解析因為Sn是各項均不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和,且S13=13S7,所以13(a1+a13)2=13×7(a1+a75.(2019四川綿陽高三下學期第三次診斷性考試)已知{an}是正項等比數(shù)列,且a1a8=4a5,a4與2a6的等差中項為18,則a5=()A.2 B.4 C.8 D.16答案C解析設正項等比數(shù)列{an}的公比為q,且q>0,∵a1a8=4a5,a4與2a6的等差中項為18,∴a即a12則a5=a1q4=8.故選C.6.已知等比數(shù)列{an}中,a2a5a8=-8,S3=a2+3a1,則a1=()A.12 B.-C.-29 D.-答案B解析因為a2a5a8=-8,所以a53=-8,a5=-2,因為S3=a2+3a1,所以a1+a2+a3=a2+3a1,所以a3=2a1,所以q2=2,因此a5=a1q4=-2,a1=-2227.(2019福建廈門外國語學校高三最后一模)已知公差d≠0的