16.1 第1課時(shí) 二次根式 教學(xué)設(shè)計(jì)

人教版八下16.1.1二次根式（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容解析教學(xué)流程圖地位與作用二次根式是初中階段“數(shù)與式”的重要內(nèi)容之一，也是勾股定理和一元二次方程的基礎(chǔ)．本節(jié)課的主要內(nèi)容是二次根式的概念．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)二次根式的定義及其雙重非負(fù)性有較深刻的認(rèn)識(shí)，為學(xué)習(xí)二次根式的其它性質(zhì)和運(yùn)算打下基礎(chǔ)．概念解析由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過算術(shù)平方根的相關(guān)內(nèi)容，所以二次根式的概念對(duì)于學(xué)生而言并不是一個(gè)全新的概念，二次根式是在算術(shù)平方根的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象得到的，把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”叫做二次根號(hào)．在數(shù)學(xué)中，一旦對(duì)于一個(gè)舊事物給予一個(gè)新定義以后，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的體系．所以二次根式是脫胎于算術(shù)平方根的數(shù)學(xué)新概念．本節(jié)課的核心是讓學(xué)生從解決實(shí)際問題的需要和抽象表示一類式子對(duì)二次根式的概念進(jìn)行學(xué)習(xí)和掌握．思想方法數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的重要素養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)概念的產(chǎn)生需要數(shù)學(xué)抽象．本節(jié)課遵循數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生和發(fā)展的一般路徑，借助實(shí)際問題，通過概括算術(shù)平方根這一類事物的特性，引出二次根式的定義，經(jīng)歷從特殊到一般的概念產(chǎn)生過程．知識(shí)類型二次根式的概念是概念性知識(shí)．由知識(shí)類型決定，教學(xué)中需要通過豐富的實(shí)例對(duì)一類問題進(jìn)行概括．在數(shù)的擴(kuò)充過程中，“引入一種新的數(shù)，就要研究它的運(yùn)算，就要研究它的運(yùn)算律”，這是研究數(shù)的一般路徑．為此我們要從運(yùn)算的角度提出學(xué)習(xí)任務(wù)，在分析開方運(yùn)算的意義中使得學(xué)生認(rèn)識(shí)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的合理性，并在認(rèn)知策略上需要學(xué)生養(yǎng)成“看到根號(hào)就要注意被開方數(shù)的符號(hào)”的習(xí)慣．教學(xué)重點(diǎn)二次根式的概念．教學(xué)目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo)1.在實(shí)際問題中經(jīng)歷二次根式概念的形成過程；2.了解二次根式的概念并會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)正確表示；3.利用二次根式的非負(fù)性正確判斷被開方數(shù)中字母的取值范圍．目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)1標(biāo)志是學(xué)生能通過實(shí)際問題并利用算術(shù)平方根的表示形式列出式子；達(dá)成目標(biāo)2標(biāo)志是學(xué)生會(huì)正確識(shí)別二次根式，并正確使用數(shù)學(xué)符號(hào)表示二次根式；達(dá)成目標(biāo)3標(biāo)志是學(xué)生會(huì)利用二次根式的非負(fù)性正確判斷被開方數(shù)為何值時(shí)，二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．教學(xué)問題診斷分析具備的基礎(chǔ)學(xué)生已較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了平方根和算術(shù)平方根、立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、立方根；知道了乘方和開方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根；學(xué)習(xí)了整式和分式的相關(guān)概念、性質(zhì)和運(yùn)算．與本課目標(biāo)的差距分析本節(jié)課將研究二次根式的概念和性質(zhì)，目的是以二次根式這一類典型的“式”為載體，進(jìn)一步學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)字、符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算的方法，進(jìn)而培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)和運(yùn)算能力．存在的問題本節(jié)課可能存在的問題是學(xué)生在對(duì)二次根式的理解中容易忽略對(duì)被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù)的判斷．同時(shí)二次根式有意義即被開方數(shù)的非負(fù)性與分式有意義即分母的非零性這二者也容易混淆．應(yīng)對(duì)策略1.先從實(shí)際問題出發(fā)，讓學(xué)生感受到研究二次根式是實(shí)際的需要，其非負(fù)性是與實(shí)際生活密切聯(lián)系的．接著由已學(xué)的平方和開平方的互逆關(guān)系出發(fā)理解被開方數(shù)只能是非負(fù)數(shù)，并通過與算術(shù)平方根的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系從而幫助學(xué)生對(duì)二次根式的雙重非負(fù)性的理解．再通過對(duì)二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍的討論，加深學(xué)生的二次根式中被開方數(shù)的非負(fù)性的理解．2.將二次根式是否有意義與分式是否有意義的問題進(jìn)行類比，加深學(xué)生對(duì)二者的區(qū)別．教學(xué)難點(diǎn)二次根式的概念以及開方式中字母的取值范圍．教學(xué)支持條件分析本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容主要是二次根式的概念，二次根式概念的學(xué)習(xí)需要類比算術(shù)平方根和字母表示數(shù)的有關(guān)知識(shí)．因此可以借助希沃授課助手、智慧教室等師生互動(dòng)平臺(tái)，通過不斷展示學(xué)生的思維過程、概括抽象出二次根式的概念．教學(xué)過程設(shè)計(jì)課前檢測(cè)1．判斷下列說法是否正確：（1）－9的平方根是－3;

（）（2）49的平方根是7

；

（）（3）(－2)2的平方根是±2;

（）（4）0的平方根是

0

；

（）2．13的平方根是___________；7的算術(shù)平方根是___________．3．解下列不等式（組），并把解集表示在數(shù)軸上.（1）（2）設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課前測(cè)所必須掌握的平方根和算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根；知道了乘方和開方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根；會(huì)解不等式和不等式組．新課引入1．實(shí)際出發(fā)，新課引入問題1：請(qǐng)根據(jù)圖中所示的正方形、長方形和圓的條件，你還能求出哪些相應(yīng)圖形的其它相關(guān)數(shù)量？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立思考并展示，可得到的結(jié)果有：正方形的邊長cm；長方形的另一邊長cm；

圓的半徑cm．若結(jié)果不完整由教師提示補(bǔ)充．設(shè)計(jì)意圖：通過具體實(shí)例讓學(xué)生感知開平方運(yùn)算是被廣泛運(yùn)用的一種運(yùn)算．問題2：，，，，中，哪些式子是我們已學(xué)習(xí)的，并說出名稱．師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立思考并回答是整式中的單項(xiàng)式，是分式．教師補(bǔ)充強(qiáng)調(diào)中m≠1．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生歸納概括出帶有二次根號(hào)的一類代數(shù)式．問題3：觀察，，有什么共同的特征？師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生相互交流并給出初步答案，這些式子都有．教師小結(jié)：我們知道，一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根；0的平方根為0；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)沒有平方根，因此，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)開平方時(shí)，被開方數(shù)只能是非負(fù)數(shù)．這就是我們今天學(xué)習(xí)的二次根式，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)．顯然在實(shí)際幾何圖形中線段長度和面積已具有非負(fù)性，因此，，，這些式子都是二次根式．由此我們知道中a可以是數(shù)、還可以是一個(gè)字母或式子，而a≥0，≥0，為此二次根式具有雙重非負(fù)性．設(shè)計(jì)意圖：(1)借組實(shí)際幾何問題，引出二次根式的定義．設(shè)置實(shí)際問題的目的是讓學(xué)生感受到研究二次根式與研究整式、分式類似，都是實(shí)際的需要，二次根式與實(shí)際生活聯(lián)系緊密．教學(xué)時(shí)，也可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，選擇其它有趣的實(shí)際問題引入，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．(2)對(duì)于二次根式的定義，應(yīng)側(cè)重讓學(xué)生理解開方數(shù)是非負(fù)數(shù)的要求．此處從實(shí)際幾何圖形中線段長度和面積的非負(fù)性的同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回憶平方根的意義和特征兩方面幫助學(xué)生理解這一要求．形如a(a≥0)1.表示a的算術(shù)平方根；2.a可以是數(shù)，也可以是一個(gè)字母或式子；3.形式上含有二次根號(hào)

；4.a≥0,a≥05.既可表示開方運(yùn)算，也可表示運(yùn)算的結(jié)果.2．鞏固概念問題4：根據(jù)你對(duì)二次根式的理解，請(qǐng)你任意選用下列數(shù)或字母構(gòu)造二次根式：2，x．2，x，2x，x2，2x，x+2，x-2，2-x，x問題5：請(qǐng)同學(xué)們小組交流，再次判斷上列式子中哪些是二次根式，哪些不是，并說明理由．問題6：若x是二次根式，顯然要滿足x≥0．思考：當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，x-2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？由x-2≥0，得x≥2．當(dāng)x≥2時(shí)，x-2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．問題7：當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（1）-2x；（2）2-x；（3）2x鞏固概念學(xué)以致用3．學(xué)以致用，鞏固提高問題8：自我挑戰(zhàn)，完成下列問題：（1）當(dāng)a是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？①；②；③（2）已知，求x+y的值．師生互動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立完成，并展示．教師講評(píng)．其中（1）③可進(jìn)行相應(yīng)變式“”讓學(xué)生再次回答；（2）的講解注重對(duì)二次根式雙重非負(fù)性的歸納．設(shè)計(jì)意圖：(1)鞏固練習(xí)，通過對(duì)二次根