第6章 圖形的相似（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

第6章圖形的相似（基礎(chǔ)、典型、易錯(cuò)、壓軸）分類專項(xiàng)訓(xùn)練【基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·江蘇南京·九年級(jí)期末）已知是線段的黃金分割點(diǎn)，且，，則長(zhǎng)約為（）A．0.618 B．6.18 C．3.82 D．0.382【答案】B【分析】根據(jù)黃金分割的定義=即可解題.【詳解】∵是線段的黃金分割點(diǎn)，且，∴=即APAB=6.18故選B【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義,屬于簡(jiǎn)單題,熟悉定義概念是解題關(guān)鍵.2．（2022·江蘇·射陽外國語學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列四組線段中，不成比例的是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】C【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，只需判斷最小值與最大值的乘積是否等于另外兩數(shù)值的乘積，即可判定是否能夠組成比例．【詳解】解：A、，可以組成比例，不符合題意；B、，可以組成比例，不符合題意；C、，不能組成比例，符合題意；D、，可以組成比例，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的概念，熟練運(yùn)用比例的基本性質(zhì)判斷四個(gè)數(shù)值是否可以組成比例是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇·江陰市周莊中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）兩三角形的相似比是，則其面積之比是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)面積之比等于相似比的平方作答即可．【詳解】解：∵兩三角形的相似比是，∴其面積之比是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊之比、周長(zhǎng)之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．4．（2022·江蘇·陽山中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm，則AC的長(zhǎng)為（

）A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，即可求解．【詳解】解∶∵，AD∶DB=3：2，∴AD∶DB=AE∶EC=3∶2，∵AE=6cm，∴6∶EC=3∶2，∴EC=4cm，∴AC=AE+EC=10cm．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了成比例線段，熟練掌握平行線分線段成比例基本事實(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇·江陰市青陽初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，∵BC和AD對(duì)應(yīng)，CE和DF對(duì)應(yīng)，BE和AF對(duì)應(yīng)，∴，，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，確定出對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇蘇州·九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC． D．【答案】D【詳解】解：A．當(dāng)∠ABP=∠C時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．當(dāng)∠APB=∠ABC時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．當(dāng)時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．無法得到△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)正確．故選：D．二、填空題7．（2022·江蘇南京·九年級(jí)期末）若，則的值為_____．【答案】【分析】由，設(shè)，然后再代入求解即可．【詳解】解：∵，設(shè)，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇·靖江市靖城中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在比例尺為1:1000000的地圖上,量得甲、乙兩地的距離是2.6cm,則甲、乙兩地的實(shí)際距離為_______千米.【答案】26【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離．根據(jù)比例尺關(guān)系即可直接得出實(shí)際的距離．【詳解】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離，得：A，B兩地的實(shí)際距離為2.6×1000000＝2600000（cm）＝26（千米）．故答案為26．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的比．能夠根據(jù)比例尺正確進(jìn)行計(jì)算，注意單位的轉(zhuǎn)換．9．（2022·江蘇·靖江外國語學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)（），，則_____．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】##【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義得到，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)（），，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割點(diǎn)的定義，即：把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)．10．（2022·江蘇·射陽外國語學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）兩個(gè)數(shù)與的比例中項(xiàng)是___________．【答案】或【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念：如果，那么b是a與c的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例的基本性質(zhì)得：，據(jù)此即可求解．【詳解】解：設(shè)b是兩個(gè)數(shù)與的比例中項(xiàng)，，，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查比例中項(xiàng)的概念，熟練掌握比例中項(xiàng)的概念與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，連接，若，，則________．【答案】3【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再說明DE∥AC，得到，即可求出DE．【詳解】解：∵∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴AB=2CD=10，∵BC=8，∴AC==6，∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC，∴，即，∴DE=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是通過平行得到比例式．12．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，，則的長(zhǎng)_____．【答案】4【分析】根據(jù)平行線分線段成比例進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵∴，∴∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13．（2022·江蘇無錫·九年級(jí)期中）已知，相似比為，則與的周長(zhǎng)比為___________．【答案】【分析】相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，根據(jù)性質(zhì)直接可得答案．【詳解】解：∵，相似比為，∴與的周長(zhǎng)比等于相似比．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握“相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比”是解本題的關(guān)鍵．14．（2022·江蘇·東海實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為2：3，那么它們對(duì)應(yīng)高線的比是______．【答案】2：3##【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高線的比等于相似比解答．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為2：3，∴它們對(duì)應(yīng)高線的比為2：3，故答案為：2：3．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形對(duì)應(yīng)高線的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．15．（2022·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)期末）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，是位似中心，位似比為，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．若，則的長(zhǎng)為______．【答案】9【分析】根據(jù)位似圖形的概念列出比例式，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵圖形甲與圖形乙是位似圖形，位似比為2：3，AB＝6，∴，即，解得，A′B′＝9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似圖形的兩個(gè)圖形是相似圖形、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022·江蘇南通·九年級(jí)期末）如圖，△AOB與△COD是位似圖形，且OA＝AC，則與的相似比為_____．【答案】##【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵OA＝AC，∴，∵△AOB與△COD是位似圖形，∴△AOB∽△COD，∴與的相似比為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2022·江蘇南通·一模）如圖，為了測(cè)量一棟樓的高度，小王在他的腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子中看到樓的頂部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同時(shí)量得BC＝0.3m，CE＝2m，則樓高DE為______m．【答案】10【分析】如圖，根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△ABC∽△DEC，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，∵∠ABC＝∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DCE（反射角等于入射角，它們的余角相等），∴△ABC∽△DEC，∴＝，即＝，∴DE＝10（m）故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．18．（2022·江蘇宿遷·二模）某一時(shí)刻，身高為的小麗影長(zhǎng)是，此時(shí)，小玲在同一地點(diǎn)測(cè)得旗桿的影長(zhǎng)為，則該旗桿的高度為________．【答案】【分析】根據(jù)同一時(shí)刻實(shí)物高度與影子的比值相等，列方程即可．【詳解】解：設(shè)旗桿的高度為xm，則，解得，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了利用相似測(cè)高，掌握相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2022·江蘇南京·九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BC＝8，AC＝4，D是BC邊上一點(diǎn)，CD＝2．求證△ABC∽△DAC．【答案】證明見詳解【分析】由題中線段長(zhǎng)度得出＝，結(jié)合相似三角形的判定定理即可證明．【詳解】證明：∵BC＝8，AC＝4，CD＝2，∴＝＝2，．∴＝．∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC．【點(diǎn)睛】題目主要考查相似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．20．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AB∥DC，點(diǎn)E、F在線段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．（1）求證：△ABE∽△CDF．（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）EF＝2．【分析】（1）根據(jù)AB∥DC，可得∠B＝∠D，再由AB＝2DC，BE＝2DF，可得AB：DC＝BE：DF＝2，即可證得；（2）根據(jù)BE＝2DF，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：∵AB∥DC，∴∠B＝∠D，∵AB＝2DC，BE＝2DF，∴AB：DC＝BE：DF＝2，∴△ABE∽△CDF；（2）解：∵BE＝2DF，DF＝2，∴,∵BD＝8，∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．21．（2022·江蘇·江陰市青陽初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，A、B、C三點(diǎn)均在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．(1)請(qǐng)?jiān)贐C上標(biāo)出點(diǎn)D，連接AD，使得△ABD∽△CBA；(2)試證明上述結(jié)論：△ABD∽△CBA．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的定義作圖即可．（2）借助勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，根據(jù)相似三角形的判定定理證明．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)D是所求作的點(diǎn)，（2）證明：，BC＝5，BD＝1，，，，∵∠DBA＝∠ABC，∴△ABD∽△CBA．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是熟悉相似三角形的判定定理．22．（2022·江蘇淮安·九年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1個(gè)單位長(zhǎng)度．(1)以點(diǎn)為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△，使△與的位似比為，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)______；(2)△的面積為______．【答案】(1)作圖見解析；(2)8【分析】（1）延長(zhǎng)到使，延長(zhǎng)到使，從而得到；然后寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）利用面積公式直接進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：如圖，為所作；點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：由圖可知：．【點(diǎn)睛】本題考查位似三角形的作圖，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握位似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形不僅是相似三角形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這兩個(gè)三角形叫做位似三角形．23．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著再過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過點(diǎn)Q且垂直PS的直線b的交點(diǎn)R．如果測(cè)得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的寬度PQ．?【答案】90米【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出,進(jìn)而代入求出即可．【詳解】解答：根據(jù)題意得出：QR∥ST

，則△PQR∽△PST

，故，∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，∴，解得：PQ=90（m），∴河的寬度為90米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出△PQR∽△PST是解題關(guān)鍵．【典型】一、單選題1．（2022·江蘇·宜興市樹人中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）下列各組線段中，長(zhǎng)度成比例的是（

）A．2cm、3cm、4cm、1cm B．1.5cm、2.5cm、4.5cm、6.5cm C．1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cm D．1cm、2cm、2cm、4cm【答案】D【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對(duì)選項(xiàng)一一分析，排除錯(cuò)誤答案．【詳解】A.2×3≠4×1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B.1.5×6.5≠2.5×4.5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C.1.1×4.4≠2.2×3.3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.1×4=2×2，故本選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查比例線段，掌握成比例線段的定義和特征為解題關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)，平分，分別交于點(diǎn)，連接，，，則下列結(jié)論：①；②；③S平行四邊形ABCD；④；⑤，正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】①先利用角平分線和平行四邊形的性質(zhì)判斷三角形ABE為等邊三角形，由外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得∠ACE=30°，最后由平行的性質(zhì)得到最后結(jié)論；②先根據(jù)三角形中位線定理得：OE=AB=，OE∥AB，根據(jù)已知條件可推出∠COE＝90°，∠ACD=90°，根據(jù)勾股定理和平行四邊形的性質(zhì)可計(jì)算OC和OD的長(zhǎng)，最終可得BD的長(zhǎng)；③因?yàn)椤螧AC=90°，根據(jù)平行四邊形的面積公式可作判斷；④根據(jù)三角形中位線定理可作判斷；⑤先判斷出，根據(jù)△ABP∽△EOP得到AP：OE=2∶1，同高三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)底邊的比，可得到，，故可將⑤作出判斷．【詳解】①∵平分，∴∠BAE=∠DAE，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC=60°，∴∠DAE=∠BEA，∠BAE=∠BEA，∴AB=BE=1，∴△ABE是等邊三角形，∵BC=2，∴EC=1，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ACE，∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，∴∠ACE=30°，∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ACE=30°，故①正確；②∵BE=EC，OA＝OC，∴OE=AB=，OE∥AB，∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，在RT△EOC中，，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD=∠BAD=120°，∴∠ACB=30°，∴∠ACD=90°，在RT△OCD中，，∴BD=2OD=，故②正確；③由②知，∠DCA=∠BAC=90°，∴S平行四邊形ABCD故③正確；④由②知：OE是△ABC的中位線，∴OE=，∵AB=，∴OE=，故④正確；⑤∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=，∴，∵OE∥AB，△EOP∽△ABP，∴,∴,∴；故⑤錯(cuò)誤；本題正確的有4個(gè)，故選擇C．【點(diǎn)睛】本題是一道幾何的綜合題目，掌握平行四邊形的性質(zhì)及求面積方法、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、中位線定理、相似等是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇·無錫市金橋雙語實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知A(3，6)、B(0，n)(0＜n≤6)，作AC⊥AB，交x軸于點(diǎn)C，M為BC的中點(diǎn)，若P(，0)，則PM的最小值為()A．3 B． C． D．【答案】D【分析】作AH⊥y軸于H，CE⊥AH于E，作MN⊥OC于N,易得△AHB∽△CEA從而，設(shè)BH＝x，則AE＝2x，可得PM2＝PN2+MN2＝x2+（）2＝x2﹣3x+9＝（x﹣）2+即可求出PM最小值【詳解】如圖，作AH⊥y軸于H，CE⊥AH于E，作MN⊥OC于N．則四邊形CEHO是矩形，OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴，∴，∴AE＝2BH，設(shè)BH＝x，則AE＝2x，∴OC＝HE＝3+2x，OB＝6﹣x，∴B（0，6﹣x），C（3+2x，0）∵BM＝CM，∴M（，），∵P（，0），∴PN＝ON﹣OP＝﹣＝x，∴PM2＝PN2+MN2＝x2+（）2＝x2﹣3x+9＝（x﹣）2+，∴x＝時(shí)，PM2有最小值，最小值為，∴PM的最小值為＝．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查平面內(nèi)兩點(diǎn)之間最小值，涉及到相似三角形以及二次函數(shù)的性質(zhì)4．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC與△DEF形狀完全相同，且AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，則DE的長(zhǎng)度為（

）A．1.2 B．1.8 C．3 D．7.2【答案】A【分析】利用△ABC∽△DEF，對(duì)應(yīng)線段成比例即可求出DE的長(zhǎng).【詳解】∵△ABC∽△DEF，∴=，即=∴DE=1.2故選A.【點(diǎn)睛】此題主要考察相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例.5．（2021·江蘇·濱?？h第一初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）點(diǎn)B是線段AC的黃金分割點(diǎn)，且AB＜BC，若AC＝2，則BC的長(zhǎng)為（）A． B． C．+1 D．﹣1【答案】D【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得出較長(zhǎng)的線段BC＝AC，將AC＝2代入即可得出BC的長(zhǎng)度．【詳解】∵點(diǎn)B是線段AC的黃金分割點(diǎn)，且AB＜BC，∴BC＝AC，∵AC＝2，∴BC＝﹣1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，應(yīng)該識(shí)記黃金分割的公式：較短的線段=原線段的倍，較長(zhǎng)的線段=原線段的倍．6．（2021·江蘇淮安·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（―3，6）、B（―9，一3），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）【答案】D【詳解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O關(guān)于原點(diǎn)位似∴△ABO∽△A′B′O且＝.∴＝＝∴A′E＝AD＝2OE＝OD＝1∴A′（-1,2）同理可得A′′（1,-2）方法二：∵點(diǎn)A（-3，6）且相似比為∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（-3×，6×），∴A′（-1,2）∵點(diǎn)A′′和點(diǎn)A′（-1,2）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱∴A′′（1,-2）故選：D．7．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知CD是Rt△ABC斜邊上的高，則下列各式中不正確的是(

)A．BC2＝BD?AB B．CD2＝BD?ADC．AC2＝AD?AB D．BC?AD＝AC?BD【答案】D【分析】根據(jù)①直角三角形中,斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng).②每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng),進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:根據(jù)射影定理每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)可得:A、C都正確.根據(jù)直角三角形中,斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)可得B選項(xiàng)正確;綜上可得:A,B、C選項(xiàng)都正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查射影定理的知識(shí),屬于基礎(chǔ)題,注意掌握射影定理的內(nèi)容并靈活運(yùn)用.8．（2021·江蘇·泰興市洋思中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，若DE∥BC，則S△ADE∶S四邊形DECB的值為(

)A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶【答案】B【分析】由DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，且相似比為1：2，再由相似三角形的性質(zhì)即可得到兩個(gè)三角形的面積比，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴AD：AB=1：2，∴=1：4，∴S△ADE∶S四邊形DECB=1：3．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，能夠熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2021·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，不符合題意，B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，不符合題意，C、兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，符合題意，D、兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似；兩組邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等，兩個(gè)三角形相似；三組邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．二、填空題10．（2022·江蘇·南京漢開書院學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知：，則的值是_______.【答案】【分析】根據(jù)已知等式設(shè)a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.【詳解】解：由，可設(shè)a=2k，b=3k，(k≠0),故：，故答案：.【點(diǎn)睛】此題主要考查比例的性質(zhì)，a、b都用k表示是解題的關(guān)鍵.三、解答題11．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，在四邊形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，在直線BC的同側(cè)作一個(gè)以CE為底的等腰△CEF，且滿足∠B+∠F＝180°，則稱三角形CEF為四邊形ABCD的“伴隨三角形”．（1）如圖1，若△CEF是正方形ABCD的“伴隨三角形”：①連接AC，則∠ACF＝；②若CE＝2BC，連接AE交CF于H，求證：H是CF的中點(diǎn)；（2）如圖2，若△CEF是菱形ABCD的“伴隨三角形”，∠B＝60°，M是線段AE的中點(diǎn)，連接DM、FM，猜想并證明DM與FM的位置與數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①90°；②見解析；（2）DM＝FM，理由見解析【分析】（1）①連接AC，利用正方形的性質(zhì)得到∠ACB=45°，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠FCE=45°，然后利用∠ACF+∠ACB+∠FCE=180°進(jìn)行求解即可；②設(shè)BC＝a，則CE＝2a，利用等腰直角三角形的判定及性質(zhì)得到AC=EF，然后利用全等三角形的判定及性質(zhì)以及中點(diǎn)的定義進(jìn)行求證即可；（2）延長(zhǎng)DM交BE于G，連接FM，F(xiàn)G，根據(jù)△CEF是菱形ABCD的“伴隨三角形”，∠B＝60°，得到△CEF是等腰三角形，且∠CFE＝120°，然后利用全等三角形的判定及性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）①連接AC，∵四邊形ABCD是正方形∴∠ACB＝45°，∠B＝90°，∵△CEF是正方形ABCD的“伴隨三角形”，∴∠B+∠F＝180°，∴∠F＝90°，又∵△CFE是等腰三角形，∴∠FCE＝45°，∴∠ACF＝180°﹣∠FCE﹣∠ACB＝90°，故答案為90°；②連接AE，交CF于點(diǎn)H，∵CE＝2BC，∴設(shè)BC＝a，CE＝2a，∵∠B＝90°，AB＝BC＝a，∴AC＝a，∵∠F＝90°，CE＝2a，∴EF＝FC＝a，∵∠ACF＝∠F＝90°，∴AC∥EF，∴△ACH∽△EFH，∴，∴CH＝HF，∴點(diǎn)H是CF的中點(diǎn)，（2）DM＝FM，F(xiàn)M⊥DM理由如下：如圖，延長(zhǎng)DM交CE于點(diǎn)P，連接DF，F(xiàn)P，∵四邊形ABCD是菱形∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠B＝∠DCP＝60°，∠DAM＝∠PEM，∵若△CEF是菱形ABCD的“伴隨三角形”，∠B＝60°，∴∠CFE+∠B＝180°，∴∠CFE＝120°，且△CEF是等腰三角形，∴∠ECF＝30°＝∠FEC，CF＝EF，∴∠DCF＝30°∵∠DAM＝∠PEM，AM＝ME，∠AMD＝∠PME，∴△ADM≌△EPM（ASA），∴AD＝PE，DM＝MP，∴CD＝PE，且CF＝EF，∠DCF＝∠FEC＝30°，∴△CDF≌△EPF（SAS），∴DF＝PF，∠DFC＝∠PFE，∵∠PFE+∠CFP＝∠CFE＝120°，∴∠DFC+∠CFP＝120°＝∠DFP，且DF＝FP，DM＝PM，∴FM⊥DM，∠FDM＝30°，∴DM＝FM.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平角的定義，補(bǔ)角，正方形的性質(zhì)，三角形的中線等有關(guān)知識(shí).正確理解“伴隨三角形”的含義是解答本題的關(guān)鍵.12．（2022·江蘇·靖江外國語學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）馬路兩側(cè)有兩根燈桿AB、CD，當(dāng)小明站在點(diǎn)N處時(shí)，在燈C的照射下小明的影長(zhǎng)正好為NB，在燈A的照射下小明的影長(zhǎng)為NE，測(cè)得BD=24m，NB=6m，NE=2m.（1）若小明的身高M(jìn)N=1.6m，求AB的長(zhǎng)；（2）試判斷這兩根燈桿的高度是否相等，并說明理由．【答案】（1）AB=6.4m；（2）AB=CD，理由見解析.【分析】（1）直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)分析得出答案；（2）直接利用平行線分線段成比例定理分析得出答案．【詳解】（1）∵M(jìn)N∥AB，∴△MNE∽ABE，∴=．∵NB=6，NE=2，MN=1.6，∴=，∴AB=6.4（m）；（2）這兩根燈桿的高度相等，理由如下：∵M(jìn)N∥CD，BD=24，∴===，∴===，∴AB=CD．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2021·江蘇無錫·九年級(jí)期中）在菱形ABCD中，CD＝CA＝6，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E為邊BC上一點(diǎn)，直線EO分別交邊AD、射線BA于點(diǎn)G、F．（1）求菱形ABCD的面積；（2）請(qǐng)判斷是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；（3）設(shè)△BEF的面積為S1，四邊形ABED的面積為S2，試確定點(diǎn)E的位置，使得．【答案】（1）18；（2）是，定值為；（3）BE＝4【分析】（1）證明得到△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，即可求出菱形面積；（2）利用平行線段成比例，可以得出△FAG∽△FBE，得出BF的表達(dá)式，即可求出的值，據(jù)此判斷是否為定值；（3）利用（2）各邊的表示方法，可以求出S1、S2的表示方法，依此列方程求解，即可得出BE的值．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AC，又CD＝CA＝6，∴△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形．∴＝∴S菱形＝＝18．（2）是定值，理由如下：設(shè)BE＝m，則CE＝6－m，∵AD∥BC，AO=CO∴∴AG=CE＝6－m由AG∥BE可知，△FAG∽△FBE．∴＝，＝．得FA＝，∴BF＝．∴＋＝＋＝；（3）由（2）得S1＝·m··＝，S2＝(m+6)·3＝，∴5×＝4×．解得m1＝4，m2＝－12（舍），∴當(dāng)BE＝4時(shí)，＝．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形也比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14．（2021·江蘇蘇州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，矩形內(nèi)接于（矩形各頂點(diǎn)在三角形邊上），，在上，，分別在，上，且于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，設(shè)，矩形的面積為，求出與之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）由四邊形是矩形，可得，即可證明；（2）由可表示出的長(zhǎng)度，再由矩形的面積，即可求出與之間的函數(shù)表達(dá)式．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∵，∴，∵，∴，（2）解：∵四邊形是矩形，∴，又∵，∴四邊形是矩形，設(shè)，AN⊥HG∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵矩形的面積，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)表示出的長(zhǎng)度是解決本題的關(guān)鍵．15．（2021·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)期末）如圖1，在△ABC中，∠B＝30°，AB=4cm，AC=6cm，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度沿折線B—A—C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E也從點(diǎn)B出發(fā)以1cm/s的速度沿BC運(yùn)動(dòng)，當(dāng)某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），△BDE的面積為y（cm2）．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，x為何值，△ABD∽△ACB；（2）求y（cm2）關(guān)于x（s）的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在某一時(shí)段的△BDE的面積大于D在AB上運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻的△BDE的面積，請(qǐng)你求出這一時(shí)段x的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）2<x<3【分析】（1）由△ABD∽△ACB可得，列出方程求解即可；（2）分D點(diǎn)在AB上和AC上兩種情況，運(yùn)用三角形面積公式求解即可；（3）求出的最大值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：（1）當(dāng)D在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABD∽△ACB，∴∴∵∴∴∴（2）①當(dāng)D在AB上時(shí)，作于點(diǎn)G，如圖，此時(shí)，即時(shí)，∵∠B=30°∴∴②當(dāng)D在AC上時(shí)，作，于點(diǎn)H，Q，∴AH//DQ∴，則∴∵AH//DQ∴△CAH∽△CDQ∴∴∴∴又∵∴∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：（3）當(dāng)x=2時(shí)，取得最大值2，即當(dāng)D在AB上時(shí)，面積最大值為2令，則有∴∴或∴當(dāng)時(shí)，存在△BDE的面積大于D在AB上運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻的△BDE的面積．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形面積的計(jì)算，二次函數(shù)解析式的確定，二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象確定x的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．（2021·江蘇·泰州市海軍中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)．（1）求證：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF運(yùn)動(dòng)過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)線段BE為何值時(shí)，線段AM最短，最短是多少？【答案】（1）證明見解析；（2）能；BE=1或．（3）BE=3時(shí)，AM最短為.【分析】（1）由AB=AC，根據(jù)等邊對(duì)等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF與三角形外角的性質(zhì)，易證得∠CEM=∠BAE，則可證得△ABE∽△ECM；（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分別從AE=EM與AM=EM去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；（3）首先設(shè)BE=x，由△ABE∽△ECM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，繼而求得AM的值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得線段AM的最小值．【詳解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B．又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；（2）能．∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；①當(dāng)AE=EM時(shí)，則△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1；②當(dāng)AM=EM時(shí)，則∠MAE=∠MEA．∵∠MEA=∠B，∴∠MAE=∠B．∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE=，∴BE=6﹣=．綜上所述：BE=1或．（3）設(shè)BE=x．又∵△ABE∽△ECM，∴，即：，∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，∴AM=5﹣CM=（x﹣3）2+，∴當(dāng)x=3時(shí)，AM最短為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用是解答此題的關(guān)鍵．【易錯(cuò)】一．選擇題（共2小題）1．（2021秋?高郵市期末）如圖，在下列四個(gè)條件：①∠B＝∠C，②∠ADB＝∠AEC，③AD：AC＝AE：AB，④PE：PD＝PB：PC中，隨機(jī)抽取一個(gè)能使△BPE∽△CPD的概率是（）A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．1【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法判斷即可．【解答】解：由題意得：∠DPC＝∠EPB，①∠B＝∠C，根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似可得：△BPE∽△CPD，②∵∠ADB＝∠AEC，∴∠PDC＝∠PEB，所以，根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似可得：△BPE∽△CPD，③∵AD：AC＝AE：AB，∠A＝∠A，∴△ADB和△AEC不相似，∴∠B≠∠C，故③不能使△BPE∽△CPD，④PE：PD＝PB：PC，根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似可得：△BPE∽△CPD，∴在上列四個(gè)條件中，隨機(jī)抽取一個(gè)能使△BPE∽△CPD的概率是：0.75，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，概率公式，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022?吳中區(qū)模擬）如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，連接AF，以AF為斜邊作等腰直角三角形AEF．有下列四個(gè)結(jié)論：①∠CAF＝∠DAE；②FC＝DE；③當(dāng)∠AEC＝135°時(shí)，E為△ADC的內(nèi)心；④若點(diǎn)F在BC上以一定的速度，從B往C運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)E與點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度相等．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以判斷①；根據(jù)△DEF，△ADC是等腰直角三角形，可得AC＝AD，AF＝，所以＝＝，因?yàn)椤螩AF＝∠DAE，所以△CAF∽△DAE，進(jìn)而可以判斷②；證明△ADE≌△CDE（SAS），進(jìn)而可得∠EAC＝∠ECA＝22.5°，可得CE，AE分別平分∠DCA，∠CAD，DE平分∠ADC，得點(diǎn)E是△ADC角平分線的交點(diǎn)，進(jìn)而可以判斷③；根據(jù)正方形的性質(zhì)可得當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)O重合；當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段OD，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段BC，BC＝CD＝OD，且點(diǎn)F與點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，進(jìn)而可以判斷④．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∠DAC＝∠DCA＝45°，∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝∠DAC＝45°，∴∠EAF﹣∠CAE＝∠DAC﹣∠CAE，∴∠CAF＝∠DAE，故①正確；∵△DEF，△ADC是等腰直角三角形，∴AC＝AD，AF＝，∴＝＝，∵∠CAF＝∠DAE，∴△CAF∽△DAE，∴＝＝，∴FC＝DE，故②正確；∵△CAF∽△DAE，∴∠ACF＝∠ADE＝45°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠AEC＝135°，∴∠EAC＝∠ECA＝22.5°，∵∠DAC＝∠DCA＝45°＝2∠EAC＝2∠ECA，∴CE，AE分別平分∠DCA，∠CAD，∵∠ADE＝∠CDE＝45°，∴DE平分∠ADC，∴點(diǎn)E是△ADC角平分線的交點(diǎn)，∴E為△ADC的內(nèi)心，故③正確；如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵∠ADE＝∠CDE＝45°，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)O重合；當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段OD，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段BC，∵BC＝CD＝OD，且點(diǎn)F與點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，∴vF＝vE，∴點(diǎn)F與點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度不相同，故④錯(cuò)誤．綜上所述：正確的結(jié)論是①②③，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何綜合題，是中考選擇題的壓軸題，考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，正方形的性質(zhì)，勾股定理，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，解決本題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡．二．填空題（共5小題）3．（2022秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，BC＝6，＝，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D，∠CBP的平分線交CE于點(diǎn)Q，當(dāng)CQ＝CE時(shí)，EP+BP的值為18．【分析】如圖，延長(zhǎng)EF交BQ的延長(zhǎng)線于G．首先證明PB＝PG，EP+PB＝EG，由EG∥BC，推出＝＝3，即可求出EG解決問題．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)EF交BQ的延長(zhǎng)線于G．∵＝AF，∴EG∥BC，∴∠G＝∠GBC，∵∠GBC＝∠GBP，∴∠G＝∠PBG，∴PB＝PG，∴PE+PB＝PE+PG＝EG，∵CQ＝EC，∴EQ＝3CQ，∵EG∥BC，∴△EQG∽△CQB，∴＝＝3，∵BC＝6，∴EG＝18，∴EP+BP＝EG＝18．故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022?揚(yáng)州模擬）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，則的值為．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理推出＝，代入求出即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AD＝1，BD＝2，∴AB＝3，∴＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，注意：一組平行線被兩條直線所截的對(duì)應(yīng)線段成比例中的對(duì)應(yīng)．題目較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．5．（2022秋?惠山區(qū)校級(jí)月考）已知＝＝≠0，則的值是．【分析】利用設(shè)k法進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵＝＝≠0，∴設(shè)＝＝＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴＝+＝+＝+＝+＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設(shè)k法進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．（2022?廣陵區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6cm等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中作QR∥BA交AC于點(diǎn)R，連接PR，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），當(dāng)t＝1.2s時(shí)△APR∽△PRQ．【分析】先證△CRQ為等邊三角形，并用含t的式子表示圖中的相關(guān)線段，由QR∥BA推得∠QRP＝∠APR，從而△PRQ中再有一個(gè)角等于∠A，即等于60°，即可得△APR∽△PRQ．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即可．【解答】解：∵△ABC是邊長(zhǎng)為6cm等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°∵QR∥BA∴∠CRQ＝∠A＝60°，∠CQR＝∠B＝60°∴△CRQ為等邊三角形∵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s∴AP＝t，PB＝6﹣t，BQ＝2t，CQ＝CR＝RQ＝6﹣2t，AR＝2t∵QR∥BA∴∠QRP＝∠APR若要△APR∽△PRQ，則需滿足∠RPQ＝60°∴∠BPQ+∠APR＝120°，∠ARP+∠APR＝120°∴∠BPQ＝∠ARP又∵∠A＝∠B∴△APR∽△BQP∴＝∴＝解得t＝1.2故答案為1.2．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于動(dòng)點(diǎn)問題與相似三角形的綜合填空題，用含t的代數(shù)式表示相關(guān)線段，并找到等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，本題難度較大．7．（2022秋?錫山區(qū)校級(jí)月考）如圖，a∥b∥c，直線a與直線b之間的距離為，直線c與直線b之間的距離為2，等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在直線a、直線b、直線c上，則等邊三角形的邊長(zhǎng)是2．【分析】過點(diǎn)A作AD⊥直線b于D，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，作EG⊥直線c于G交直線a于F．想辦法求出AE，EC即可解決問題．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥直線b于D，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，作EG⊥直線c于G交直線a于F．則有∠AEC＝∠ADB＝∠AFE＝∠EGC＝90°，AE＝AD＝，∠EAF＝∠CEG＝30°，∴EF＝AE＝，∴EG＝，CG＝EG＝，CE＝2CG＝5，∴AC＝＝＝2．∴等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)構(gòu)造相似三角形是關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）8．（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D在BC上且DA⊥AC，垂足為A．（1）求證：AB2＝BD?BC；（2）若BD＝2，則AC的長(zhǎng)是2．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C＝30°，再利用垂直定義可得∠DAC＝90°，從而利用三角形的外角可得∠BDA＝∠BAC＝120°，然后證明△BDA∽△BAC，利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得∠B＝∠BAD＝30°，從而可得BD＝AD＝2，然后在Rt△ADC中，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DA⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝120°，∴∠BAC＝∠BDA＝120°，∵∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，∴AB2＝BD?BC；（2）∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，∵∠B＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD＝2，在Rt△ADC中，∠C＝30°，∴AC＝AD＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?南京期末）閱讀下面的短文，并解答下列問題：我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．如圖，甲、乙是兩個(gè)不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對(duì)應(yīng)線段之比都等于相似比（a：b）．設(shè)S甲、S乙分別表示這兩個(gè)正方體的表面積，則＝＝（）2，又設(shè)V甲、V乙分別表示這兩個(gè)正方體的體積，則＝＝（）3．（1）下列幾何體中，一定屬于相似體的是A；A．兩個(gè)球體B．兩個(gè)錐體C．兩個(gè)圓柱體D．兩個(gè)長(zhǎng)方體（2）請(qǐng)歸納出相似體的三條主要性質(zhì)：①相似體的一切對(duì)應(yīng)線段（或弧）長(zhǎng)的比等于相似比；②相似體表面積的比等于相似比的平方，；③相似體體積比等于相似比的立方．（3）假定在完全正常發(fā)育的條件下，不同時(shí)期的同一人的人體是相似體，一個(gè)小朋友上幼兒園時(shí)身高為1.1米，體重為16千克，到了初三時(shí)，身高為1.65米，則他的體重是54千克（不考慮不同時(shí)期人體平均密度的變化）．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中相似形的定義去判斷即可；（2）根據(jù)閱讀材料進(jìn)行歸納即可；（3）根據(jù)身高的比求出相似比，體重之比等于體積之比，等于相似比的立方即可解答．【解答】解：（1）A．兩個(gè)球體，形狀完全相同，是相似體，B．兩個(gè)錐體，如果底面或高發(fā)生變化，圖形就會(huì)改變，不是相似體，C．兩個(gè)圓柱體，如果底面半徑或高發(fā)生變化，圖形就會(huì)改變，不是相似體，D．兩個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)，寬，高中有一個(gè)發(fā)生變化，圖形就會(huì)改變，不是相似體，故選：A；（2）根據(jù)閱讀材料進(jìn)行歸納可以得到：①相似體的一切對(duì)應(yīng)線段（或?。╅L(zhǎng)的比等于相似比，②相似體表面積的比等于相似比的平方，③相似體體積比等于相似比的立方，（3）由題意可得：他的相似比等于：＝，設(shè)他初三時(shí)的體重是x千克，＝（）3，解得：x＝54，答：他初三時(shí)的體重是54千克．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，幾何體的表面積，類比閱讀材料來解決問題是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?吳江區(qū)月考）如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，若S△ADE＝4cm2，S△EFC＝9cm2，求S△ABC．【分析】先求出△ADE∽△ECF，得出S△ADE：S△ECF＝（AE：EC）2，進(jìn)而得出AE：EC＝2：3，在得出S△ABC：S△ADE＝（5：2）2，求出答案即可．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠A＝∠FEC，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ECF；∴S△ADE：S△ECF＝（AE：EC）2，∵S△ADE＝4cm2，S△EFC＝9cm2，∴（AE：EC）2＝4：9，∴AE：EC＝2：3，即EC：AE＝3：2，∴（EC+AE）：AE＝5：2，即AC：AE＝5：2．∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE，∴S△ABC：S△ADE＝（AC：AE）2，∴S△ABC：4＝（5：2）2，∴S△ABC＝25cm2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出S△ABC：S△ADE＝（AC：AE）2進(jìn)而求出是解題關(guān)鍵．11．（2021秋?邗江區(qū)期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后，△ABC與△ADE構(gòu)成位似圖形，我們稱△ABC與△ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．（1）知識(shí)理解：兩個(gè)重合了一個(gè)頂點(diǎn)且邊長(zhǎng)不相等的等邊三角形是（填“是”或“不是”）“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；如圖1，△ABC和△ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，①若α＝26°，∠B＝100°，∠E＝29°，則∠BAE＝25°；②若AD＝6，DE＝8，AB＝4，則BC＝；（2）知識(shí)運(yùn)用：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，AE⊥BD于E，∠DAC＝∠DBC，求證：△ACD和△ABE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3）拓展提高：如圖3，△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)G為AC中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)，D是GF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在線段GF上，且△ABD與△AGE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，若AC＝6，AD＝2，求出DE和BD的值．【分析】（1）①依據(jù)△ABC和△ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，可得△ABC∽△ADE，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，即可得到∠BAE＝180°﹣100°﹣29°﹣26°＝25°；②依據(jù)△ABC∽△ADE，可得＝，根據(jù)AD＝6，DE＝8，AB＝4，即可得出BC＝；（2）依據(jù)△AOD∽△BOC，即可得到，進(jìn)而得到△AOB∽△DOC，再根據(jù)∠7＝∠8，∠ADC＝∠AEB，即可得到△ABE∽△ACD，進(jìn)而得出△ACD和△ABE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3）依據(jù)△ABD∽△AGE，即可得到＝，∠1＝∠2，把AB＝3，AG＝3代入＝求得：AE＝2．過E作EH⊥AD于H，利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，即可得到BD＝＝．【解答】解：（1）兩個(gè)重合了一個(gè)頂點(diǎn)且邊長(zhǎng)不相等的等邊三角形，把其中一個(gè)三角形繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后構(gòu)成位似圖形，故它們互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；①∵△ABC和△ADE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，∴△ABC∽△ADE，∴∠D＝∠B＝100°，又∵α＝26°，∠E＝29°，∴∠BAE＝180°﹣100°﹣29°﹣26°＝25°；②∵△ABC∽△ADE，∴＝，∵AD＝6，DE＝8，AB＝4，∴，∴BC＝，故答案為：是；25°；；（2）證明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△AOD∽△BOC，∴＝，即，又∵∠5＝∠6，∴△AOB∽△DOC，∴∠7＝∠8，又∵∠ADC＝90°，AE⊥BD，∴∠ADC＝∠AEB，∴△ABE∽△ACD，∴△ACD和△ABE互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3）∵△ABD∽△AGE，∴＝，∠1＝∠2，∵AC＝6，AD＝2，∴AB＝3，AG＝3，代入＝求得：AE＝2．如圖3，過E作EH⊥AD于H，∵∠2+∠3＝45°，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝45°，∵AE＝2，∴AH＝，∴AH＝AD，∴DE＝AE＝2，∴∠DEA＝∠GEA＝90°，∴∠ADB＝∠GEA＝90°，根據(jù)勾股定理，得BD＝＝；綜上，DE＝2，BD＝．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的綜合運(yùn)用．在解答時(shí)添加輔助線等腰直角三角形，利用相似形的對(duì)應(yīng)邊成比例是關(guān)鍵．12．（2022秋?錫山區(qū)期中）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥AB，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線DC上一點(diǎn)，且∠EPD＝∠A．設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，△BEP的面積為y．（1）求證：AE＝2PE；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，求△BEP的面積．【分析】（1）先由已知條件判斷出△ADP∽△ABC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出＝＝，再由∠EPD＝∠A，∠PED＝∠AEP可知△EPD∽△EAP，再根據(jù)其對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出答案；（2）由△EPD∽△EAP，得＝＝，進(jìn)而可得出AE與DE的關(guān)系，作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，由PD∥HE可得出＝＝，進(jìn)而可得出y與x的關(guān)系式；（3）由△PEH∽△BAC，得＝，當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，只有兩種情形：∠BEP＝∠C＝90°或∠EBP＝∠C＝90°，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠APD＝∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△ADP∽△ABC，（1分）∴＝＝，（1分）∵∠EPD＝∠A，∠PED＝∠AEP，∴△EPD∽△EAP．∴＝＝．（1分）∴AE＝2PE．（1分）（2）由△EPD∽△EAP，得＝＝，∴PE＝2DE，（1分）∴AE＝2PE＝4DE，（1分）作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，∵AP＝x，∴PD＝x，∵PD∥HE，∴＝＝．∴HE＝x．（1分）又∵AB＝2，y＝（2﹣x）?x，即y＝﹣x2+x．（1分）∵點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，∴AD＜4，AP＝2PD，∴AP＜，定義域是0＜x＜．（1分）另解：由△EPD∽△EAP，得＝＝，∴PE＝2DE．（1分）∴AE＝2PE＝4DE．（1分）∴AE＝×x＝x，（1分）∴S△ABE＝×x×2＝x，∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x．（1分）定義域是0＜x＜．（1分）（3）由△PEH∽△BAC，得＝，∴PE＝x?＝x．（1分）當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，只有兩種情形：∠BEP＝∠C＝90°或∠EBP＝∠C＝90°．（i）當(dāng)∠BEP＝90°時(shí)，＝，∴＝．解得x＝．（1分）∴y＝﹣x××5+×＝．（1分）（ii）當(dāng)∠EBP＝90°時(shí)，同理可得x＝，（1分）y＝．（1分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，在解（3）時(shí)要注意分類討論，不要漏解．【壓軸】一、解答題1．（2022·江蘇·南閘實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）（1）模型建立：如圖1，在中，D是上一點(diǎn)，，求證：．（2）類比探究：如圖2，在菱形中，分別為上的點(diǎn)，且，射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，若．求：①的長(zhǎng)；②的長(zhǎng)．（3）解決問題：如圖3，在菱形中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，在平面內(nèi)存在點(diǎn)F，且滿足，以為一邊作（頂點(diǎn)F、A、P按逆時(shí)針排列），使得，且，請(qǐng)直接寫出的最小值．【答案】（1）見解析；（2）①；②；（3）．【分析】（1）由題意易證，即可得出；（2）①連接，由菱形的性質(zhì)可求出，即易證，得出，代入數(shù)據(jù)，即可求出，進(jìn)而可求出；②由①同理可證，即得出，代入數(shù)據(jù)，即可求出，進(jìn)而可求出；（3）由菱形的性質(zhì)結(jié)合題意易證，即得出，從而說明點(diǎn)P在以點(diǎn)B為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)．在上截取，連接，即又易證，得出，即說明當(dāng)D，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即的最小值為的長(zhǎng)．過點(diǎn)D作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可求出，又可求出，從而可求出，最后即得出的最小值為．【詳解】（1）∵，，∴，∴，即；（2）①如圖，連接．∵四邊形為菱形，∴，．∵，∴，即，∴．∵，∴，∴．又∵，∴，∴，即，解得：，∴；②由①同理可證，，∴，∴，即，解得：，∴；（3）∵，四邊形為菱形，∴，∴．∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴．∵，即，∴，∴，∴，∴點(diǎn)P在以點(diǎn)B為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，在上截取，連接，∵，，∴，∴，∴當(dāng)D，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，且最小值為的長(zhǎng)，即的最小值為的長(zhǎng)．如圖，過點(diǎn)D作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴的最小值為，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．正確的作出輔助線和掌握三角形相似的判定定理是解題關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·南京鐘英中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）【數(shù)學(xué)概念】我們把存在內(nèi)切圓與外接圓的四邊形稱為雙圓四邊形．例如，如圖①，四邊形內(nèi)接于，且每條邊均與相切，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，因此該四邊形是雙圓四邊形．【性質(zhì)初探】(1)雙圓四邊形的對(duì)角的數(shù)量關(guān)系是___________，依據(jù)是___________．(2)直接寫出雙圓四邊形的邊的性質(zhì)．（用文字表述）(3)在圖①中，連接，，求證．【揭示關(guān)系】(4)根據(jù)雙圓四邊形與四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系，在圖②中畫出雙圓四邊形的大致區(qū)域，并用陰影表示．【特例研究】(5)已知P，M分別是雙圓四邊形的內(nèi)切圓和外接圓的圓心，若，，，則的長(zhǎng)為___________．【答案】(1)對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)(2)雙圓四邊形的兩組對(duì)邊的和相等(3)見解析(4)見解析(5)【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)性質(zhì)，解答即可；（2）根據(jù)圓的切線長(zhǎng)定理，解答即可；（3）作直徑，連接，，，，先證，，繼而證得，即，即可得出結(jié)論；（4）雙圓四邊形，應(yīng)滿足兩組對(duì)邊和相等，對(duì)角互補(bǔ)兩個(gè)條件，畫出圖形即可；（5）連接，，，，，過點(diǎn)M作于點(diǎn)Q，根據(jù)證明，，得出，，求出，，證明，設(shè)，則，證明，得出，即，求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：四邊形內(nèi)接于，（圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)）．故答案為：對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．（2）解：四邊形每條邊均與相切，，，，，，，即雙圓四邊形的兩組對(duì)邊的和相等．（3）解：作直徑，連接，，，，如圖，是直徑，，，是切線，，，，，，同理，，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，H，G，F(xiàn)，E是切點(diǎn)，，，，，，，，，，，．（4）解：雙圓四邊形，應(yīng)滿足兩組對(duì)邊和相等，對(duì)角互補(bǔ)兩個(gè)條件，正方形滿足條件，還有一些兩組對(duì)邊和相等，對(duì)角互補(bǔ)的四邊形也滿足條件，所以雙圓四邊形的大致區(qū)域，如圖所示：（5）解：連接，，，，，過點(diǎn)M作于點(diǎn)Q，如圖所示：，點(diǎn)P，點(diǎn)M在上，四邊形內(nèi)接于，，，，，，∴，∵，，∴，，∴，，∵，，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，，∴，即，解得：，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查新定義，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，圓周角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?jí)狠S題．3．（2022·江蘇·蘇州市吳江區(qū)銅羅中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，且．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，若點(diǎn)P是線段（不與B，C重合）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于M點(diǎn)，連接，當(dāng)和相似時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P是直線（不與B，C重合）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸垂線交拋物線于M點(diǎn)，連接，將沿對(duì)折，如果點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N恰好落在y軸上，求此時(shí)的值．【答案】(1)(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或(3)此時(shí)的值為或【分析】（1）在拋物線中，令y=0，得出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，再根據(jù)OB=OC，建立方程求出a的值即可得到二次函數(shù)的解析式；（2）易證∠CPM=∠OBC，則可分兩種情況討論：①當(dāng)△PCM∽△BAC時(shí)，②當(dāng)△PCM∽△BCA時(shí)；求出直線BC解析式，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，m2?2m?3)，則P的坐標(biāo)為(m，m?3)，分別表示出PM，PC，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，求出m的值即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)（不與B，C重合），根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠PCM=∠PMC，則PC=PM，然后列方程求解即可得出解答；②當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可求出解答；③當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N不可能落在y軸上，此情況不存在．（1）解：在中，令y=0，得：，解得：，∴，∴OB=3，∵OB=OC，∴OC=3，∴C(0，?3)，∴?3a=?3，∴a=1，∴拋物線解析式為：；（2）解：∵OB=OC=3，OA=1，∠BOC=90°，∴∠OBC=∠OCB=45°，AB=4，BC=3，∵PM⊥x軸，∴PMy軸，∴∠CPM=∠OCB=45°，∴∠CPM=∠OBC，分情況討論：①當(dāng)△PCM∽△BAC時(shí)，設(shè)直線BC解析式為y=kx＋b，代入B(3，0)，C(0，?3)得：，解得：，∴直線BC解析式為：y=x?3，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則P的坐標(biāo)為(m，m?3)，∴，∵△PCM∽△BAC，∴，即，整理得：，解得：m=或m=0（舍去），當(dāng)m=時(shí)，m?3=?，∴此時(shí)P的坐標(biāo)為；②當(dāng)△PCM∽△BCA時(shí)，則有，由①可得，整理得：，解得：m=或m=0（舍去），當(dāng)m=時(shí)，m?3=?，∴此時(shí)P的坐標(biāo)為；綜上所述：當(dāng)△PCM和△ABC相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（3）解：分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)（不與B，C重合），由（2）可知直線BC解析式為：y=x?3，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則P的坐標(biāo)為(m，m?3)，∵△PCM沿CM對(duì)折，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N恰好落在y軸上，∴∠PCM=∠NCM，∵PMy軸，∴∠NCM=∠PMC，

∴∠PCM=∠PMC，∴PC=PM，∴，整理得：，解得：（舍去），∴，∴，∵，∴，②當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，由（3）中情況①可知：，∵PC=PM，∴，整理得：，解得：（舍去），

，∴，∵，∴，③當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N不可能落在y軸上，故此情況不存在；綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N恰好落在y軸上時(shí)，此時(shí)的值為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．4．（2022·江蘇無錫·二模）如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，P為BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），將△BPE沿直線PE翻折，點(diǎn)B落在B'處，直線PB'交射線AD于點(diǎn)Q，連接EQ，設(shè)BP＝a．(1)求證：∠PEQ＝90°；(2)設(shè)的值為y，用含a的代數(shù)式表示y并求出y的最大值；(3)若F為BC中點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)F且垂直于BC的直線被直角三角形PEQ截得的線段長(zhǎng)為d，請(qǐng)直接寫出d與a的關(guān)系式．【答案】(1)見解析；(2)（0＜a＜6），當(dāng)a=3時(shí)，y有最大值1；(3)0＜a＜3時(shí)，；a=3時(shí)，；3＜a＜6時(shí)，【分析】（1）根據(jù)△QEA≌△QEB′（HL）可得∠QEA=∠QEB′，由折疊性質(zhì)可得∠PEB=∠PEB′，即可證明；（2）由△EB′Q∽△PB′E求得B′Q的長(zhǎng)，根據(jù)QA=QB′，CP=BC-PB計(jì)算線段的比即可解答；（3）分三種情況討論：①當(dāng)0＜a＜3時(shí)，②當(dāng)a=3時(shí)，③當(dāng)3＜a＜6時(shí)；根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)計(jì)算線段的差即可解答.（1）解：由折疊可得EB′⊥PQ，PB=PB′，EB=EB′，∠PEB=∠PEB′，在△QEA和△QEB′中，∠QAE=∠QB′E=90°，QE=QE，E是AB中點(diǎn)則AE=BE=B′E，∴△QEA≌△QEB′（HL），∴QA=QB′，∠QEA=∠QEB′，∵∠AEB=∠AEB′+∠BEB′=180°，∴2∠QEB′+2∠PEB′=180°，∴∠PEQ=∠QEB′+∠PEB′=90°；（2）解：△EB′Q和△PB′E中，∠EB′Q=∠PB′E=90°，∵∠QEB′+∠EQB′=90°，∠QEB′+∠PEB′=90°，∴∠EQB′=∠PEB′，∴△EB′Q∽△PB′E，∴B′Q∶B′E=EB′∶PB′，∵EB′=3，PB′=PB=a，∴B′Q=，∵QA=QB′=，CP=BC-PB=6-a，∴=，∴（0＜a＜6），當(dāng)a=3時(shí)，y有最大值1；（3）解：①當(dāng)0＜a＜3時(shí)，如圖，F(xiàn)N∥BA，F(xiàn)N分別交QP、QE于點(diǎn)G、H，ABCD是正方形，F(xiàn)N∥BA，則ABFN是矩形，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，則FB=NA=3，∵QA=，PB=a，則QN=，PF=，∵NH∥AE，∴△QNH∽△QAE，∴QN∶QA=NH∶AE，∴NH=（）×3÷=，∵AD∥BC，∴△QNG∽△PEG，∴QN∶PF=NG∶FG，∵（）∶（）=NG∶（6-NG），

∴NG==，∴=GH=GN-HN=-（）=；②當(dāng)a=3時(shí)，如圖，F(xiàn)N∥BA，F(xiàn)N與PQ重合，此時(shí)=PQ=6，③當(dāng)3＜a＜6時(shí)，如圖，F(xiàn)N∥BA，F(xiàn)N分別交PE、PQ于點(diǎn)G、H，ABCD是正方形，F(xiàn)N∥BA，則ABFN是矩形，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，則FB=NA=3，∵QA=，PB=a，則QN=，PF=，∵FG∥BE，∴△PFG∽△PBE，∴PF∶PB=FG∶BE，∴FG=（）×3÷a=，∵AD∥BC，∴△PFH∽△QNH，∴PF∶QN=HF∶HN，∵（）∶（）=HF∶（6-HF），∴HF=，∴=GH=HF-GF=-（）=；綜上所述：0＜a＜3時(shí)，；a=3時(shí)，；3＜a＜6時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)；綜合性較強(qiáng)，根據(jù)a的值分類討論是解題關(guān)鍵．5．（2022·江蘇蘇州·九年級(jí)專題練習(xí)）拋物線y＝ax2+bx+3過點(diǎn)A(﹣1，0)，點(diǎn)B(3，0)，頂點(diǎn)為C．(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)P在拋物線上，連接CP并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，連接AC，若△DAC是以AC為底的等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)E是線段AC上（與點(diǎn)A，C不重合）的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，作∠PEF＝∠CAB，邊EF交x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為m，求m的取值范圍．【答案】(1)；C(1，4)(2)P(3)【分析】（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，求出的值，進(jìn)而可得拋物線的表達(dá)式；然后化成頂點(diǎn)式可得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)，由題意知，則即，求出的值，進(jìn)而得點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線CD的解析式為，將代入求解的值，得直線CD的解析式為y，聯(lián)立得方程組，求解即可；（3）如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，則OH，PH，，PD，，，設(shè)，則，等邊對(duì)等角得∠DAC＝∠C，由∠CAB+∠AEF+∠AFE＝180°，∠AEF+∠PEF+∠CEP＝180°，∠PEF＝∠CAB，可得∠CEP＝∠AFE，證明△CEP∽△AFE，則，即，整理得xy，可知當(dāng)y時(shí)，x即AF有最大值，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)F在線段AD上，進(jìn)而可求點(diǎn)F的橫坐標(biāo)m的取值范圍．（1）解：將點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得：∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；∵∴C（1，4）．（2）解：設(shè)由題意知∴即解得∴設(shè)直線CD的解析式為，將代入得解得：∴直線CD的解析式為y聯(lián)立得方程組解得：，∴P（）．（3）解：如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，則OH，PH∵OD＝4∴∴PD∴∵設(shè)，則∵DA＝DC∴∠DAC＝∠C∵∠CAB+∠AEF+∠AFE＝180°，∠AEF+∠PEF+∠CEP＝180°，∠PEF＝∠CAB∴∠CEP＝∠AFE∴△CEP∽△AFE∴即∴xy∴當(dāng)y時(shí)，x即AF有最大值∴AF最大時(shí)，∵點(diǎn)F在線段AD上，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)m的取值范圍為﹣1＜m．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的最值，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)與角度綜合等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．6．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)解析式；(2)如圖1，點(diǎn)E在線段AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），過點(diǎn)E作ED⊥AB，交AB于點(diǎn)D，作EF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)M，求△DEM的周長(zhǎng)的最大值；(3)在（2）的結(jié)論下，連接CM，點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P、Q、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．(4)如圖2，點(diǎn)N的坐標(biāo)是（1，0），將線段ON繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ON′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接N′A、N′B，求N′A+N′B的最小值．【答案】(1)(2)的周長(zhǎng)的最大值為(3)存在，或或(4)【分析】（1）、由一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式即可求解；（2）、設(shè)，則可用m表示出點(diǎn)M、F點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的坐標(biāo)公式，可用m表示出周長(zhǎng)，再證明，則由周長(zhǎng)比等于相似比，即可表示出周長(zhǎng)，將得到的式子配成頂點(diǎn)式并利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求解；（3）、由（2）可知E、M點(diǎn)坐標(biāo)，則可分成AM為邊和AM為對(duì)角線去求解即可；（4）、在y軸上截取OH=，連接，可證得：，則可得當(dāng)H、、A共線時(shí)，有最小值，且最小值為，再由勾股定理即可求解．(1)解：∵直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∴令x=0，則y=3；令y=0，則x=4，，∵拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，，解得：，；(2)設(shè)，則，，，，，∵點(diǎn)E在線段AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），，，的周長(zhǎng)為：，∵ED⊥AB，EF⊥AC，，，，的周長(zhǎng)∶的周長(zhǎng)=，，的周長(zhǎng)為：，，，時(shí)，的周長(zhǎng)最大值為；(3)存在點(diǎn)P，由（2）可知：，此時(shí)可得：，，∴拋物線的對(duì)稱軸為：，則Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，，，設(shè)，①當(dāng)CM為平行四邊形的邊時(shí)，且P點(diǎn)在Q點(diǎn)的左側(cè)，此時(shí)：，C點(diǎn)先向右平移4個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位到M，則P點(diǎn)先向右平移4個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位到Q，∵Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴，將其代入拋物線解析式得：，，②當(dāng)CM為平行四邊形的邊時(shí)，且P點(diǎn)在Q點(diǎn)的右側(cè)，同理可知：將Q點(diǎn)先向右平移4個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位到P，此時(shí)，代入拋物線解析式得：，，③當(dāng)CM為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，，代入拋物線解析式得：，綜上所述：或或；(4)在y軸上截取OH=，連接，，，，又，，，，，當(dāng)H、、A共線時(shí)，有最小值，且最小值為，在直角三角形AOH中，，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)和三角形的綜合問題，點(diǎn)到點(diǎn)的距離，相似三角形判定與性質(zhì)，最值問題，平行四邊形的存在性問題，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)并會(huì)綜合應(yīng)用