2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 二次函數(shù)壓軸題 專項(xiàng)練習(xí)九（含答案）

2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)二次函數(shù)壓軸題專項(xiàng)練習(xí)九LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)C(點(diǎn)C點(diǎn)A的右側(cè))，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn).(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，交AB于點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PE最長(zhǎng)？此時(shí)PE等于多少？(3)如果平行于x軸的動(dòng)直線l與拋物線交于點(diǎn)Q，與直線AB交于點(diǎn)N，點(diǎn)M為OA的中點(diǎn)，那么是否存在這樣的直線l，使得△MON是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，已知拋物線y=0.5x2﹣1.5x﹣2圖象與x軸相交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))．若C(m，1﹣m)是拋物線上位于第四象限內(nèi)的點(diǎn)，D是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A，B重合)，過點(diǎn)D分別作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求證：四邊形DECF是矩形；(3)連接EF，線段EF的長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線y＝mx2﹣2mx＋3(m＜0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝3OA．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若M、N是第一象限的拋物線上不同的兩點(diǎn)，且△BCN的面積總小于△BCM的面積，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)若D為拋物線的頂點(diǎn)，P為第二象限的拋物線上的一點(diǎn)，連接BP、DP，分別交y軸于點(diǎn)E、F，若EF＝eq\f(1,3)OC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，已知一條直線過點(diǎn)(0，4)，且與拋物線y=eq\f(1,4)x2交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣2．(1)求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)過線段AB上一點(diǎn)P，作PM∥x軸，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N(0，1)，當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時(shí)，MN＋3MP的長(zhǎng)度最大？最大值是多少？LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸相交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0，﹣3)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC．①求線段PM的最大值；②當(dāng)△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，且OA＝OC＝3OB，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，其中D點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)判斷△ADC的形狀并且求△ADC的面積；(3)如圖2，點(diǎn)P是該拋物線第三象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作PE⊥AC于E點(diǎn)，當(dāng)PE的值最大時(shí)，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及PE的最大值．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+1.5x+c(a≠0)的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0，4)，與x軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)C坐標(biāo)為(8，0)，連接AB、AC．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由；(3)若點(diǎn)H在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、H、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B、C重合)，過點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．LISTNUMOutlineDefault\l3若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(3，0)、B(0，﹣2)，且過點(diǎn)C(2，﹣2)．(1)求二次函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且S△PBA=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線上(AB下方)是否存在點(diǎn)M，使∠ABO=∠ABM？若存在，求出點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴A(﹣4，0)，B(0，4)拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，可得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣3x+4.令y=0，得﹣x2﹣3x+4=0，解得x1=﹣4，x2=1，∴C(1，0).(2)如答圖1所示，設(shè)D(t，0).∵OA=OB，∴∠BAO=45°，∴E(t，t+4)，P(t，﹣t2﹣3t+4).PE=yP﹣yE=﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4=﹣t2﹣4t=﹣(t+2)2+4，∴當(dāng)t=﹣2時(shí)，線段PE的長(zhǎng)度有最大值4，此時(shí)P(﹣2，6).(3)存在.如答圖2所示，過N點(diǎn)作NH⊥x軸于點(diǎn)H.設(shè)OH=m(m＞0)，∵OA=OB，∴∠BAO=45°，∴NH=AH=4﹣m，∴yQ=4﹣m.又M為OA中點(diǎn)，∴MH=2﹣m.△MON為等腰三角形：①若MN=ON，則H為底邊OM的中點(diǎn)，∴m=1，∴yQ=4﹣m=3.由﹣xQ2﹣3xQ+4=3，解得xQ=，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(，3)或(，3)；②若MN=OM=2，則在Rt△MNH中，根據(jù)勾股定理得：MN2=NH2+MH2，即22=(4﹣m)2+(2﹣m)2，化簡(jiǎn)得m2﹣6m+8=0，解得：m1=2，m2=4(不合題意，舍去)∴yQ=2，由﹣xQ2﹣3xQ+4=2，解得xQ=，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(，2)或(，2)；③若ON=OM=2，則在Rt△NOH中，根據(jù)勾股定理得：ON2=NH2+OH2，即22=(4﹣m)2+m2，化簡(jiǎn)得m2﹣4m+6=0，∵△=﹣8＜0，∴此時(shí)不存在這樣的直線l，使得△MON為等腰三角形.綜上所述，存在這樣的直線l，使得△MON為等腰三角形.所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(，3)或(，3)或(，2)或(，2).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)當(dāng)y=0時(shí)，0.5x2﹣1.5x﹣2=0，解方程，得x1=﹣1，x2=4．∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(﹣1，0)，(4，0)；(2)證明：把C(m，1﹣m)代入y=0.5x2﹣1.5x﹣2得0.5m2﹣1.5m﹣2=1﹣m，解方程，得m=3或m=﹣2．∵點(diǎn)C位于第四象限，∴m＞0，1﹣m＜0，即m＞1，∴m=﹣2舍去，∴m=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，﹣2)．過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，則∠AHC=∠BHC=90°．由A(﹣1，0)，B(4，0)，C(3，﹣2)得到：AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，∴AH：CH=CH：BH=2．又∵∠AHC=∠CHB=90°，∴△AHC∽△CHB，∴∠ACH=∠CBH．∵∠CBH+∠BCH=90°，∴∠ACH+∠BCH=90°，∴∠ACB=90°，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四邊形DECF是平行四邊形，∴平行四邊形DECF是矩形；(3)存在．理由如下：連接CD．∵平行四邊形DECF是矩形，∴EF=CD．當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD的值最?。逤(3，2)，∴DC的最小值是2，∴EF的最小值是2．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，∵OB＝3OA，∴x2＝﹣3x1，令y＝0，則mx2﹣2mx＋3＝0，∵x1與x2是方程的兩根，∴x1＋x2＝2，又x2＝﹣3x1，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，將x＝﹣1代入到方程中得m＝﹣1，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2＋2x＋3；(2)令x＝0，則y＝﹣x2＋2x＋3＝3，∴C(0，3)，設(shè)直線BC解析式為y＝kx＋3，代入點(diǎn)B的坐標(biāo)得，k＝﹣1，∴直線BC的解析式為：y＝﹣x＋3，設(shè)M(a，﹣a2＋2a＋3)，如圖1，過M作MG∥y軸交直線BC于G點(diǎn)，則G(a，﹣a＋3)，∴MG＝﹣a2＋3a，∴S△MBC＝S△MGC＋S△MGB＝＝，當(dāng)a＝eq\f(3,2)時(shí)，△MBC面積最大，此時(shí)△BCN的面積總小于△BCM的面積，∴M(eq\f(3,2),eq\f(15,4))；(3)如圖2，由(1)可得，OC＝3，∴EF＝eq\f(1,3)OC=1，設(shè)P(t，﹣t2＋2t＋3)，∵B(3，0)，∴直線BP的解析式為y＝﹣(t＋1)(x﹣3)，∵y＝﹣(x﹣1)2＋4，∴D(1，4)，過D作y軸的平行線交直線BP于Q點(diǎn)，∴Q(1，2t＋2)，∴DQ＝2﹣2t，∵DQ∥y軸，∴△PEF∽△PQD，∴，∴，∴P()．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵點(diǎn)A是直線與拋物線的交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為﹣2，∴y=eq\f(1,4)×(﹣2)2=1，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣2，1)，設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx＋b，將(0，4)，(﹣2，1)代入得，解得，∴直線y=eq\f(3,2)x＋4，∵直線與拋物線相交，∴eq\f(3,2)x＋4=eq\f(1,4)x2，解得：x=﹣2或x=8，當(dāng)x=8時(shí)，y=16，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，16)；(2)如圖1，連接AC，BC，∵由A(﹣2，1)，B(8，16)可求得AB2=325．設(shè)點(diǎn)C(m，0)，同理可得AC2=(m＋2)2＋12=m2＋4m＋5，BC2=(m﹣8)2＋162=m2﹣16m＋320，①若∠BAC=90°，則AB2＋AC2=BC2，即325＋m2＋4m＋5=m2﹣16m＋320，解得：m=﹣eq\f(1,2)；②若∠ACB=90°，則AB2=AC2＋BC2，即325=m2＋4m＋5＋m2﹣16m＋320，解得：m=0或m=6；③若∠ABC=90°，則AB2＋BC2=AC2，即m2＋4m＋5=m2﹣16m＋320＋325，解得：m=32；∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣eq\f(1,2)，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)(3)設(shè)M(a，eq\f(1,4)a2)，如圖2，設(shè)MP與y軸交于點(diǎn)Q，在Rt△MQN中，由勾股定理得MN==eq\f(1,4)a2＋1，又∵點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同，∴eq\f(3,2)x＋4=eq\f(1,4)a2，∴x=，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，∴MP=a﹣，∴MN＋3PM=eq\f(1,4)a2＋1＋3(a﹣)=﹣eq\f(1,4)a2＋3a＋9，∴當(dāng)a=6，又∵﹣2≤6≤8，∴取到最大值18，∴當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時(shí)，MN＋3PM的長(zhǎng)度的最大值是18．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)將A，B，C代入函數(shù)解析式得，，解得，∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝x2﹣2x﹣3；(2)①設(shè)BC的解析式為y＝kx＋b，將B，C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，，解得，∴BC的解析式為y＝x﹣3，設(shè)M(n，n﹣3)，P(n，n2﹣2n﹣3)，PM＝(n﹣3)﹣(n2﹣2n﹣3)＝﹣n2＋3n＝﹣(n﹣eq\f(3,2))2＋eq\f(9,4)，當(dāng)n＝eq\f(3,2)時(shí)，PM最大＝eq\f(9,4)，∴線段PM的最大值eq\f(9,4)；②當(dāng)PM＝PC時(shí)，(﹣n2＋3n)2＝n2＋(n2﹣2n﹣3＋3)2，解得n1＝n2＝0(不符合題意，舍)，n3＝2，n2﹣2n﹣3＝﹣3，P(2，﹣3)．當(dāng)PM＝MC時(shí)，(﹣n2＋3n)2＝n2＋(n﹣3＋3)2，解得n1＝0(不符合題意，舍)，n2＝3﹣eq\r(2)，n3＝3＋eq\r(2)(不符合題意，舍)，n2﹣2n﹣3＝2﹣4eq\r(2)，P(3﹣eq\r(2)，2﹣4eq\r(2))．綜上所述：P(3﹣eq\r(2)，2﹣4eq\r(2))或(2，﹣3)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，∴OB＝1，又∵OA＝OC＝3OB，∴OA＝OC＝3，∴A(﹣3，0)，C(0，﹣3)，將A，B，C三點(diǎn)代入解析式得，，解得，∴拋物線的解析式為：y＝x2＋2x﹣3；(2)由(1)知拋物線的解析式為y＝x2＋2x﹣3，∴對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝(﹣1)2＋2×(﹣1)﹣3＝﹣4，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣1，﹣4)，∴|AD|＝2eq\r(5)，|AC|＝3eq\r(2)，|CD|＝eq\r(2)，∵|AD|2＝|AC|2＋|CD|2，∴△ACD是直角三角形，S△ABC＝eq\f(1,2)|AC||CD|＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×eq\r(2)＝3；(3)設(shè)直線AC的解析式為y＝sx＋t，代入A，C點(diǎn)坐標(biāo)，得，解得，∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3，如右圖，過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y軸，∴∠PHE＝∠OCA＝45°，設(shè)點(diǎn)P(x，x2＋2x﹣3)，則點(diǎn)H(x，﹣x﹣3)，∴PH＝﹣x﹣3﹣(x2＋2x﹣3)＝﹣x2﹣3x，∴PE＝PHsin∠PHE＝(﹣x2﹣3x)×eq\f(\r(2),2)＝﹣eq\f(\r(2),2)(x＋eq\f(3,2))2＋eq\f(9,8)eq\r(2)，∴當(dāng)x＝﹣eq\f(3,2)時(shí)，PE有最大值為eq\f(9,8)eq\r(2)，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣eq\f(3,2)，﹣eq\f(15,4))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵二次函數(shù)y=ax2+eq\f(3,2)x+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)A(0，4)，C(8，0)，∴，解得，∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+4；(2)△ABC是直角三角形，理由如下：∵y=﹣eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+4，∴當(dāng)y=0時(shí)，﹣eq\f(1,4)x2+eq\f(3,2)x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2，0)．在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2=42+22=20，在Rt△AOC中，AC2=OA2+OC2=42+82=80，∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中，AB2+AC2=20+80=100=102=BC2，∴△ABC是直角三角形；(3)設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(n，0)，則AC2=80，AH2=n2+16，HC2=(n﹣8)2=n2﹣16n+64．當(dāng)以點(diǎn)A、H、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，可分三種情況：①如果AH=AC，那么n2+16=80，解得n=±8(正值舍去)，此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(﹣8，0)；②如果HC=AC，那么(n﹣8)2=80，解得n=8±4eq\r(5)，此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(8+4eq\r(5)，0)或(8﹣4eq\r(5)，0)；③如果AH=HC，那么n2+16=n2﹣16n+64，解得n=3，此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(3，0)；綜上所述，若點(diǎn)H在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A、H、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)分別為(﹣8，0)、(8﹣4eq\r(5)，0)、(3，0)、(8+4eq\r(5)，0)；(4)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(t，0)，則BN=t+2，過M作MD⊥x軸于點(diǎn)D．∵M(jìn)D∥OA，∴△BMD∽△BAO，∴=，∵NM∥AC，∴=，∴=，∵AO=4，BC=10，BN=t+2，∴MD=eq\f(2,5)(t+2)，∴S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=eq\f(1,2)BN×OA﹣eq\f(1,2)BN×MD=eq\f(1,2)×(t+2)×4﹣eq\f(1,2)×(t+2)×eq\f(2,5)(t+2)=﹣eq\f(1,2)t2+eq\f(6,5)t+3.2=﹣eq\f(1,2)(t﹣3)2+5，∴當(dāng)t=3時(shí)，△AMN面積最大，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3，0)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)、B(0，﹣2)、C(2，﹣2)∴

解得：∴二次函數(shù)表達(dá)式為y=eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x﹣2(2)如圖1，設(shè)直線BP交x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D設(shè)P(t，eq\f(2,3)t2﹣eq\f(4,3)t﹣2)(t＞3)∴OD=t，PD=eq\f(2,3)t2﹣eq\f