2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破練習(xí)題型9 二次函數(shù)綜合題 類型6 二次函數(shù)與等腰三角形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）（原卷版）

PAGE類型六二次函數(shù)與等腰三角形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值及此時(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移SKIPIF1<0個(gè)單位，點(diǎn)SKIPIF1<0為點(diǎn)SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以SKIPIF1<0為腰的SKIPIF1<0是等腰三角形的點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)的過程寫出來．2．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知拋物線SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，與y軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與拋物線交于B，C兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為腰的等腰三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)SKIPIF1<0作y軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E．試探究：是否存在常數(shù)m，使得SKIPIF1<0始終成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，拋物線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0．

(1)直接寫出拋物線和直線SKIPIF1<0的解析式；(2)如圖2，連接SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為等腰三角形時(shí)，求SKIPIF1<0的值；(3)當(dāng)SKIPIF1<0點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，在SKIPIF1<0軸上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點(diǎn)的三角形與以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0相對(duì)應(yīng)），若存在，直接寫出點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．4.如圖，已知拋物線SKIPIF1<0與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為SKIPIF1<0．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，連接OQ．當(dāng)線段PQ長(zhǎng)度最大時(shí)，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由．（3）如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點(diǎn)，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)E，且SKIPIF1<0．在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得SKIPIF1<0為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5.如圖，拋物線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于A(-1，0)，B(4，0)，與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖①，若點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)Q在PA的延長(zhǎng)線上，當(dāng)∠CAQ=∠CBASKIPIF1<045°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖②，若點(diǎn)P在第一象限，直線AP交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作SKIPIF1<0軸的垂線交BC于點(diǎn)H，當(dāng)△PFH為等腰三角形時(shí)，求線段PH的長(zhǎng)．

6.如圖，已知二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)SKIPIF1<0．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求頂點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)及直線SKIPIF1<0的表達(dá)式；（3）判斷SKIPIF1<0的形狀，試說明理由；（4）若點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，一動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段SKIPIF1<0勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)SKIPIF1<0，再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段SKIPIF1<0勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)SKIPIF1<0后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)SKIPIF1<0的運(yùn)動(dòng)時(shí)間SKIPIF1<0的最小值．7.如圖，已知拋物線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，（點(diǎn)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0的左邊），與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為拋物線的頂點(diǎn)，連接SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0．

（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)SKIPIF1<0是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，并延長(zhǎng)SKIPIF1<0與線段SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0（點(diǎn)SKIPIF1<0在第一象限）．當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)．8.已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．（1）求拋物線的解析式．（2）在y軸上找一點(diǎn)E，使得△EAC為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)P、Q、B、D為頂點(diǎn)，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P、Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AC，BC．M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M（m，0），請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？（3）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．10.如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接與拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)N是對(duì)稱軸l右側(cè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在射線上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．11.已知直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的另一個(gè)交點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)E時(shí)，求k，b，c的值及拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，設(shè)該拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，若點(diǎn)Q在拋物線上，且點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為b，當(dāng)時(shí)，求m的值；（3）點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，當(dāng)?shù)淖钚≈刀鄷r(shí)，求b的值．12.如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對(duì)稱軸l與直線相交于點(diǎn)P，連接，判定的形狀，并說明理由；（3）在直線上是否存在點(diǎn)M，使與直線的夾角等于的2倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．13.如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖2，將拋物線先向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到拋物線，若拋物線與拋物線相交于點(diǎn)，連接，，．①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②判斷的形狀，并說明理由；（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．14.如圖，拋物線SKIPIF1<0交x軸于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0