專題1.1 冪的運算【八大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

第=1+1頁共sectionpages20頁專題1.1冪的運算【八大題型】 【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用冪的運算法則進行簡便運算】 1【題型2利用冪的運算法則求式子的值】 3【題型3利用冪的運算法則比較大小】 5【題型4利用冪的運算法則整體代入求值】 8【題型5利用冪的運算法則求字母的值】 9【題型6利用冪的運算法則表示代數(shù)式】 11【題型7冪的混合運算】 14【題型8新定義下的冪的運算】 15【知識點1冪的運算】①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。②冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。③積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。④同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。【題型1利用冪的運算法則進行簡便運算】【例1】（2023春·河北保定·七年級校聯(lián)考期末）用簡便方法計算：(1)45(2)?93【答案】(1)5(2)8【分析】（1）先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再根據(jù)同底數(shù)冪的運算法則進行計算即可；（3）根據(jù)乘法結(jié)合律和積的乘方逆運算，先計算后兩項乘積，再求解即可．【詳解】（1）解：原式====1×=5（2）解：原式=====8．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)混合運算的簡便運算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)范圍內(nèi)依舊適用各個運算律，以及熟練運用同底數(shù)冪的運算法則．【變式1-1】（2023春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期中）計算?5A．1 B．?1 C．54 D．【答案】D【分析】根據(jù)積的乘方的逆運算，即可得到答案．【詳解】解：?=?故選：D．【點睛】本題考查了積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是積的乘方運算的逆運用進行化簡．【變式1-2】（2023春·上海楊浦·七年級統(tǒng)考期中）用簡便方法計算：?【答案】500000【分析】根據(jù)積的乘方即可求出答案．【詳解】原式==（3×【點睛】本題考查學(xué)生的運算能力，解題的關(guān)鍵是熟練運用運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式1-3】（2023春·上?！て吣昙壣虾Ｊ形餮影仓袑W(xué)?？计谥校┖啽惴椒ㄓ嬎悖?1)32(2)(?1.5)【答案】(1)2023(2)1.5【分析】（1）先變形，再利用乘法分配律合并計算；（2）先逆用同底數(shù)冪的乘法變形，再逆用積的乘方二次變形，再計算即可．【詳解】（1）解：3==34×20.23+87×20.23?21×20.23==100×20.23=2023；（2）?1.5====1.5【點睛】本題考查了乘法分配律，積的乘方和同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是靈活運用公式．【題型2利用冪的運算法則求式子的值】【例2】（2023春·江蘇宿遷·七年級?？计谥校┤魓m=2，xn=5【答案】8【分析】逆用同底數(shù)冪的除法公式及冪的乘法公式，化成已知條件的形式，再計算即可求解.【詳解】解：x3m?2n故答案為：825【點睛】本題考查同底數(shù)冪的除法及冪的乘法公式的逆運算，熟練掌握公式后再靈活變通是解題關(guān)鍵.【變式2-1】（2023春·四川自貢·七年級四川省榮縣中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知2a=18，2b=3，則【答案】4【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘除運算法則將原式變形進而得出答案．【詳解】：∵2a=18，2b=3，∴2a-2b+1=2a÷（2b）2×2=18÷32×2=4．故答案為：4．【點睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除運算，解題關(guān)鍵是將原式進行正確變形．【變式2-2】（2023春·廣東深圳·七年級深圳外國語學(xué)校?？计谥校┮阎獂3m=2，y【答案】-5【分析】直接利用積的乘方運算法則以及冪的乘方運算法則計算得出答案．【詳解】∵x3mx====?5.【點睛】考查單項式乘單項式，冪的乘方與積的乘方，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.【變式2-3】（2023春·浙江溫州·七年級溫州市第二十三中學(xué)校考期中）已知整數(shù)a、b、c、d滿足a＜b＜c＜d且【答案】2【分析】根據(jù)3不是10000的公約數(shù)，可得b=0，由10000=24×54=42×54【詳解】∵10000=2∴3則b=0∴2∵整數(shù)a、b、c、d滿足a∴10000=2∴a=-2，b=0，c=3，d=4∴4a+3b+2c+d=-8+0+6+4=2故答案為：2．【點睛】此題主要考查冪的運算，解題的關(guān)鍵是熟知冪的運算法則及特點．【題型3利用冪的運算法則比較大小】【例3】（2023春·浙江杭州·七年級期中）如A=999999，B=1199A．A>B B．A<B C．A=B D．A、B大小不能正確【答案】C【分析】先運用冪的乘方的運算性質(zhì)先把A和B進行轉(zhuǎn)化變成同底數(shù)冪的形式，再進行比較即可．【詳解】解：∵A=999B=11∴A=B；故選：C．【點睛】本題主要考查了冪的大小比較的方法，一般說來，比較幾個冪的大小，或者把它們的底數(shù)變得相同，或者把它們的指數(shù)變得相同，再分別比較它們的指數(shù)或底數(shù)．【變式3-1】（2023春·山西晉中·七年級統(tǒng)考期中）閱讀探究題：【閱讀材料】比較兩個底數(shù)大于1的正數(shù)冪的大小，可以在底數(shù)(或指數(shù))相同的情況下，比較指數(shù)(或底數(shù))的大小，如：25>2在底數(shù)(或指數(shù))不相同的情況下，可以化相同，進行比較，如：2710與3解：2710∵30>25，∴3∴27(1)上述求解過程中，運用了哪一條冪的運算性質(zhì)（______）A．同底數(shù)冪的乘法

B．同底數(shù)冪的除法

C．冪的乘方

D．積的乘方(2)類比解答：比較254，125(3)拓展提高：比較3555，4444，【答案】(1)C(2)25(3)5【分析】（1（2（3【詳解】（1）上述求解過程中，運用了冪的乘方的運算性質(zhì)，故答案為：C；（2）∵254=(58∴25（3）∵3555=(35125111∴5【點睛】本題考查冪的乘方與積的乘方、有理數(shù)大小比較，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)大小的比較方法．【變式3-2】（2023春·江蘇·七年級期末）若a3=2，b5=3，比較a，b大小關(guān)系的方法：因為a15=a35=25=32，b15=b5【答案】<【詳解】解：參照題目中比較大小的方法可知，∵x35=(x∴x∴x<y，故答案為：<．【點睛】本題考查利用冪的乘方比較未知量的大小，熟練掌握冪的乘方的運算法則（底數(shù)不變，指數(shù)相乘）是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·河北張家口·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀：已知正整數(shù)a,b,c，對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個冪ab和ac(a≠1)，若b>c，則ab>ac；對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪a(1)比較大?。?882（填“>”“<”或“(2)比較233與3(3)比較9913×102【答案】(1)>(2)233(3)9913【分析】（1）根據(jù)材料提示，正整數(shù)a,b,c，對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個冪ab和ac(a≠1)，指數(shù)越大，值越大；對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪a（2）根據(jù)冪的運算將233與3（3）將9913×102【詳解】（1）解：∵28=(∴162故答案為：>．（2）解：∵233=(23∴811∴233（3）解：∵9913×10210=∴(99×102)10∴9913【點睛】本題主要考查冪的知識，冪的乘方，積的乘方等運算的綜合，掌握以上知識及運算是解題的關(guān)鍵．【題型4利用冪的運算法則整體代入求值】【例4】（2023春·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期中）若a+b+c=1，則(?2)a?1×(?2)【答案】16【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可進行求解．【詳解】解：∵a+b+c=1，∴(?2)a?1故答案為16．【點睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）已知2x+y=1，則4x·2【答案】2【分析】根據(jù)冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法法則，進行計算即可解答．【詳解】解：∵2x+y=1，∴===2=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握它們的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·四川成都·七年級成都嘉祥外國語學(xué)校校考期中）已知2x+4y?3=0，則4x?16A．3 B．8 C．0 D．4【答案】C【分析】根據(jù)冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法將原式化為22x+4y【詳解】解：∵2x+4y?3=0，即2x+4y=3，∴原式====8?8=0，故選：C．【點睛】本題考查冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法，掌握冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法的計算方法是正確解答的前提，將原式化為22x+4y【變式4-3】（2023春·廣西崇左·七年級統(tǒng)考期中）若2a+3b?4c?2=0，則9a×27【答案】9【分析】由冪的乘方進行化簡，然后把2a+3b?4c=2代入計算，即可得到答案．【詳解】解：∵2a+3b?4c?2=0，∴2a+3b?4c=2，∴9a故答案為：9．【點睛】本題考查了冪的乘方的運算法則，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則，正確的進行化簡．【題型5利用冪的運算法則求字母的值】【例5】（2023春·上海浦東新·七年級統(tǒng)考期中）已知42x?5【答案】x=4【分析】根據(jù)積的乘方的逆運算即可解得．【詳解】解：4420202x=3x?4x=4【點睛】此題考查了積的乘方的逆運算，題解的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成同底數(shù)．【變式5-1】（2023春·河北邯鄲·七年級?？计谥校┯嬎悖?1)已知2?8n?(2)已知n是正整數(shù)，且x3n=2，求【答案】(1)3；(2)4．【分析】（1）由2?8n?（2）把(3x3n)2+【詳解】（1）解：∵2?8∴8n+1=25，解得n=3.（2）解：∵(3當(dāng)x3n原式==36?32=4．【點睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）若2a=3，2b=7，2c=m，且【答案】21【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運算法則求解即可．【詳解】解：∵2a=3，∴2a∵a+b=c，∴2c=21，又∴m=21，故答案為：21．【點睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則：am【變式5-3】（2023春·山東淄博·六年級統(tǒng)考期中）若52×5m=5【答案】9【分析】根據(jù)冪的運算即可得出：2+m=10n=1，求出m、n【詳解】解：∵52×5∴52+m=5∴2+m=10n=1∴m=8n=1∴m+n=9．故答案為：9．【點睛】此題考查了同底數(shù)冪相乘和同底數(shù)冪相除的運算，利用冪的運算得出方程組解出字母的值是解題的關(guān)鍵．【題型6利用冪的運算法則表示代數(shù)式】【例6】（2023春·江蘇泰州·七年級校考期中）若x=2m+1(1)當(dāng)m=2時，分別求x，y的值．(2)用只含x的代數(shù)式表示y．【答案】(1)x=5；y=15(2)y=【分析】（1）將m=2代入x=2m+1（2）由x=2m+1【詳解】（1）解：將m=2分別代入x=2m+1∴x=22+1=5（2）解：∵x=2∴2∴y=4【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值以及冪的乘方的逆運算，解題的關(guān)鍵是熟練利用冪的乘方的逆運算對式子進行變形．【變式6-1】（2023春·福建漳州·七年級漳州三中?？计谥校┮阎?x?4=m，用含m的代數(shù)式表示2xA．16m B．8m C．m+4 D．m【答案】A【分析】利用冪的除法的逆運算即可求解．【詳解】解：∵2∴2∴2故選：A．【點睛】本題考查了冪的除法的逆運算，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的運算法則．【變式6-2】（2023春·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期中）若43x=2021,47y=2021，則代數(shù)式xy【答案】xy=x+y【分析】由條件可得(43x)y=【詳解】解：∵43x∴(∴43而43xy∴2021xy∴xy=x+y.故答案為：xy=x+y.【點睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法運算，積的乘方的逆運算，掌握“利用冪的運算與逆運算進行變形”是解本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·江西南昌·七年級南昌市第十九中學(xué)校考期末）若am=an(a>0且a≠l，m(1)如果8x=2(2)如果2x+2+2(3)若x=5m?3，y=4?25m【答案】(1)x=(2)x=2(3)y=?【分析】（1）根據(jù)冪的乘方運算法則把8x（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則把2x+2+2（3）由x=5m?3【詳解】（1）解：8x∴3x=5，解得x=5（2）解：∵2∴∴6×2∴2∴x=2；（3）解：∵x=5∴5∵y=4?=4?=4?(x+3)∴y=?x【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方，掌握利用同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方及其逆運算對式子進行變形是關(guān)鍵．【題型7冪的混合運算】【例7】（2023春·山東棗莊·七年級統(tǒng)考期中）計算：(1)a4(2)2a【答案】(1)?8(2)7【分析】（1）運用積的乘方、同底數(shù)冪相除及合并同類項進行求解；（2）運用積的乘方、單項式乘以單項式進行運算．【詳解】（1）解：a4=a=?8a（2）解：2=10a=10a=7a【點睛】此題考查了積的乘方、同底數(shù)冪相除、單項式乘以單項式及合并同類項的運算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運用以上知識進行計算．【變式7-1】（2023春·浙江金華·七年級校考期中）計算：(1)2x(2)(?2x【答案】(1)8x(2)?16x【分析】（1）直接利用積的乘方運算法則化簡，再利用單項式乘單項式運算法則計算得出答案；（2）直接利用積的乘方運算法則化簡，再利用單項式乘單項式運算法則、合并同類項法則計算得出答案．【詳解】（1）解：2=2=8x（2）解：(?2=?8=?16x【點睛】此題主要考查了單項式乘單項式以及積的乘方運算法則，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·上海青浦·七年級?？计谥校┯嬎悖?1【答案】?6【分析】分別按照冪的乘方，積的乘方，單項式乘單項式的運算法則進行計算，最后合并同類項即可．【詳解】解：?==2=?6【點睛】本題考查了整式的乘法運算．用到的知識點有冪的乘方，積的乘方，單項式乘單項式．冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的因式相乘；單項式乘單項式，把他們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母和字母指數(shù)不變，作為積的因式．【變式7-3】（2023春·湖南邵陽·七年級統(tǒng)考期中）計算：an?5【答案】0【分析】根據(jù)積的乘方，單項式乘以單項式的計算法則求解即可．【詳解】解：原式====0．【點睛】本題主要考查了單項式乘以單項式，積的乘方，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.【題型8新定義下的冪的運算】【例8】（2023春·上海徐匯·七年級上海市第四中學(xué)?？计谥校╅喿x下列材料：一般地，n個相同的因數(shù)a相乘a?a…，記為an．如2×2×2=23=8，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a>0且a≠1，b>0），則n叫做以a(1)計算以下各對數(shù)的值：log24＝_____，lo(2)寫出（1）log24、lo(3)由（2）的結(jié)果，請你能歸納出一個一般性的結(jié)論：logaM+logaN=_____（a>0且a≠1(4)設(shè)an＝N【答案】(1)2，4，6(2)log(3)log(4)證明見解析【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的定義求解；（2）認(rèn)真觀察，即可找到規(guī)律：4×16＝64，（3）由特殊到一般，得出結(jié)論：log（4）設(shè)logaM＝b1【詳解】（1）∵22=4，2∴l(xiāng)og故答案為：2，4，6；（2）∵4×16＝64，log24=2∴l(xiāng)og故答案為：log（3）由（2）的結(jié)果可得log故答案為：log（4）設(shè)logaM＝則ab1∴MN==a∴b1∴l(xiāng)og【點睛】本題是開放性的題目，難度較大．借考查同底數(shù)冪的乘法，對數(shù)，實際考查學(xué)生對指數(shù)的理解、掌握的程度；解題的關(guān)鍵是要求學(xué)生不但能靈活、準(zhǔn)確的應(yīng)用其運算法則，還要會類比、歸納，推測出對數(shù)應(yīng)有的性質(zhì)．【變式8-1】（2023春·廣東揭陽·七年級校考期中）若定義表示3xyz