專題4.4 全等三角形的判定【八大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

第=1+1頁共sectionpages44頁專題4.4全等三角形的判定【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1全等三角形的判定條件】 1【題型2靈活選擇判定方法證明兩個三角形全等】 5【題型3運(yùn)用全等三角形證明線段相等或角相等】 9【題型4運(yùn)用全等三角形證明線段間的位置關(guān)系】 13【題型5運(yùn)用全等三角形解決實(shí)際測量問題】 17【題型6作輔助線構(gòu)造全等三角形證明線段間的和差倍分關(guān)系】 21【題型7與三角形全等有關(guān)的動點(diǎn)探究題】 25【題型8與三角形全等有關(guān)的線段或角之間的規(guī)律的探究題】 31【知識點(diǎn)全等三角形的判定】判定方法解釋圖形邊邊邊(SSS)三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等邊角邊(SAS)兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等角邊角(ASA)兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等角角邊(AAS)兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等【題型1全等三角形的判定條件】【例1】（2023春·廣東深圳·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知∠CAE=∠BAD，AC=AD，增加下列條件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的條件有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】此題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．先根據(jù)∠EAC=∠BAD得到∠BAC=∠EAD，根據(jù)“SAS”對①進(jìn)行判斷；根據(jù)“ASA”對③進(jìn)行判斷；根據(jù)“AAS”對④進(jìn)行判斷；根據(jù)全等三角形的判定方法對②進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵∠EAC=∠BAD，∴∠EAC+∠BAE=∠BAD+∠BAE，即∠BAC=∠EAD，當(dāng)AB=AE時，在△ABC和△AED中，AC=AD∠BAC=∠EAD∴△ABC≌當(dāng)BC=ED時，不能判斷△ABC≌當(dāng)∠C=∠D時，在△ABC和△AED中，∠BAC=∠EADAC=AD∴△ABC≌當(dāng)∠B=∠E時，在△ABC和△AED中，∠BAC=∠EAD∠B=∠E∴△ABC≌綜上分析可知，能使△ABC≌△AED的條件有3個．故選：C．【變式1-1】（2023春·廣東佛山·七年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且∠B=∠C．請結(jié)合圖形，補(bǔ)充1個條件，使△ABE≌△ACD，則可以添加的條件是__________．

【答案】AB=AC（答案不唯一，合理即可）【分析】根據(jù)已知條件推出兩組相等的角，再根據(jù)判定方法添加條件即可．【詳解】解：由題意，∠B=∠C，∠A=∠A，若添加條件AB=AC，可根據(jù)“ASA”證明全等，故答案為：AB=AC（答案不唯一，合理即可）．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形判定條件的確定，掌握判斷全等三角形的方法是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·湖南長沙·七年級校聯(lián)考期末）在△ABE與△DBC中，BC=BE，AB=DB，要使這兩個三角形全等，還需具備的條件是（

）A．∠E=∠C B．∠ABD=∠CBE C．∠ABE=∠DBE D．∠A=∠D【答案】B【分析】本題要判定△ABE≌△DBC，已知BC=BE，AB=DB，具備了兩組邊對應(yīng)相等，故添加∠ABD=∠CBE后可根據(jù)SAS判定兩三角形全等．【詳解】解：A.添加∠E=∠C，結(jié)合BC=BE，AB=DB，根據(jù)SSA不能證明△ABE≌△DBC，故選項(xiàng)A不符合題意；B.添加∠ABD=∠CBE．∵∠ABD=∠CBE∴∠ABD+∠DCE=∠CBE+∠DCE，即∠ABE=∠CBD∵BC=BE，AB=DB，∴△ABE≌△DBC故選項(xiàng)B符合題意；C.添加∠ABE=∠DBE不能得出∠ABD=∠CBE，故不能根據(jù)SAS判定△ABE≌△DBC，故選項(xiàng)C不符合題意；D.∠A=∠D，結(jié)合BC=BE，AB=DB，根據(jù)SSA不能證明△ABE≌△DBC，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．【變式1-3】（2023春·福建莆田·七年級統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)社團(tuán)活動課上，甲乙兩位同學(xué)玩數(shù)學(xué)游戲．游戲規(guī)則是：兩人輪流對△ABC及△A′B′C′的對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角添加一組等量條件（點(diǎn)A′，B′，C′分別是點(diǎn)A輪次行動者添加條件1甲AB=2乙∠A=∠3甲…上表記錄了兩人游戲的部分過程，則下列說法正確的是___________．（填寫所有正確結(jié)論的序號）①若第3輪甲添加∠C=∠C②若第3輪甲添加BC=B③若第2輪乙添加條件修改為∠A=∠A④若第2輪乙添加條件修改為BC=B【答案】②③④【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：①若第3輪甲添加∠C=∠C′=45°，可根據(jù)角角邊判定△ABC②若第3輪甲添加BC=B如圖，當(dāng)∠A=35°，AB=2時，以B為圓心，3為半徑畫弧，與射線AD相交于點(diǎn)C，，此時交點(diǎn)C是唯一的，故甲添加BC=B′C′=3故甲獲勝，故本說法正確；③若第2輪乙添加條件修改為∠A=∠A若第3輪甲添加一邊相等，可根據(jù)邊角邊或斜邊直角邊判定△ABC與△A若第3輪甲添加一角相等，可根據(jù)角角邊或角邊角判定△ABC與△A故乙必勝，故本說法正確；④若第2輪乙添加條件修改為BC=B第3輪甲若添加一組邊相等，滿足邊邊邊，能判定△ABC與△A甲若添加一組角相等，滿足邊邊角，不能判定△ABC與△A第4輪乙若添加一組邊相等，滿足邊邊邊，能判定△ABC與△A′B′C此時此游戲4輪能分勝負(fù)，故本說法正確．故答案為：②③④【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【題型2靈活選擇判定方法證明兩個三角形全等】【例2】（2023春·廣東清遠(yuǎn)·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．下面四個條件：①AB=DE；②AB∥DE；③BE=CF；④(1)請選擇其中的三個作為條件，另一個作為結(jié)論，組成一個真命題（寫出兩種情況即可，填序號）．①已知：_____________；求證：__________；②已知：_____________；求證：_____________；(2)在（1）的條件下，選擇一種情況進(jìn)行證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)證明見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩三角形全等的判定條件，選擇合適的條件即可；（2）根據(jù)（1）中所選的條件，進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）解：①根據(jù)題意可得已知：AB=DE，AB∥DE，BE=CF，求證②根據(jù)題意可得已知：AB=DE，AB∥DE，∠A=∠D，求證（2）解：選擇①②③，證明④∵AB∥∴∠B=∠E，∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，又∵AB=DE，∴△ABC≌△DEFSAS∴∠A=∠D；選擇①②④，證明③∵AB∥∴∠B=∠E，又∵AB=DE，∠A=∠D，∴△ABC≌△DEFASA∴BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF【變式2-1】（2023·云南·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求證：△ACE≌△BED．【答案】見解析【分析】通過余角的性質(zhì)可得∠C＝∠DEB，再用AAS證明三角形全等即可．【詳解】證明：∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，∴∠C+∠CEA＝90°，∠CEA+∠DEB＝90°，∴∠C＝∠DEB，在△ACE和△BED中，∵∠A=∠B∠C=∠DEB∴△ACE≌△BED（AAS）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用AAS或ASA證明三角形全等，通過余角的性質(zhì)得到∠C＝∠DEB是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·福建泉州·七年級期中）如圖，在△ABE中，C，D是邊BE上的兩點(diǎn)，有下面四個關(guān)系式：（1）AB=AE，（2）BC=DE，（3）AC=AD，（4）∠BAC=∠EAD請用其中兩個作為已知條件，余下兩個作為求證的結(jié)論，寫出你的已知和求證（請寫具體內(nèi)容，不要寫序號）并證明．已知：求證：證明：【答案】見解析【分析】已知：AB=AE，BC=DE，求證：AC=AD，∠BAC=∠EAD；由“SAS”可證△ABC≌△AED，即可證明結(jié)論成立．也可以（1）（3）?（2）（4）或（2）（3）?（1）（4）或（1）（4）【詳解】①已知：AB=AE，求證：AC=AD，證明：∵AB=AE，∴∠B=∠E，∵AB=AE，∴△ABC≌△AEDSAS∴AC=AD，②已知：AB=AE，AC=AD，求證：BC=DE，∠BAC=∠EAD，∵AB=AE，AC=AD，∴∠B=∠E，∠ACD=∠ADC，∴∠ACB=∠ADE，∴△ABC≌△AEDAAS∴BC=DE，∠BAC=∠EAD；③已知：BC=DE，AC=AD，求證：AB=AE，∠BAC=∠EAD，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ACB=∠ADE，∵BC=DE，∠ACB=∠ADE，AC=AD，∴△ABC≌△AEDSAS∴AB=AE，∠BAC=∠EAD；④已知：AB=AE，∠BAC=∠EAD，求證：BC=DE，AC=AD，∵AB=AE，∴∠B=∠E，∵∠BAC=∠EAD，AB=AE，∠B=∠E，∴△ABC≌△AEDASA∴BC=DE，AC=AD；⑤已知：AC=AD，∠BAC=∠EAD，求證：AB=AE，BC=DE，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ACB=∠ADE，∵∠ACB=∠ADE，AC=AD，∠BAC=∠EAD，∴△ABC≌△AEDASA∴AB=AE，BC=DE．【點(diǎn)睛】本題考查證明的概念，根據(jù)題意寫出已知、求證、證明過程，在證明時需要用到全等三角形的性質(zhì)與判定，答案不唯一．【變式2-3】（2023春·全國·七年級期中）如圖，AB//CD，∠B＝∠D，O是CD的中點(diǎn)，連接AO并延長，交BC的延長線于點(diǎn)E．（1）試判斷AD與BE有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；（2）試說明△AOD≌△EOC．【答案】（1）AD//BE，理由見解析；（2）見解析．【分析】（1）由AB//CD可得∠B＝∠DCE，進(jìn)而可得∠DCE＝∠D，問題得證；（2）由O是CD的中點(diǎn)，可得DO＝CO，結(jié)合（1）中∠DCE＝∠D，再結(jié)合對頂角，可根據(jù)ASA判定全等．【詳解】（1）AD//BE，理由：∵AB//CD，∴∠B＝∠DCE，∵∠B＝∠D，∴∠DCE＝∠D，∴AD//BE；（2）∵O是CD的中點(diǎn)，∴DO＝CO，在△ADO和△ECO中，∠D=∠DCE∴△AOD≌△EOC（ASA）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【題型3運(yùn)用全等三角形證明線段相等或角相等】【例3】（2023春·湖南株洲·七年級?？计谥校┤鐖D，AD=CB，AB=CD，BE⊥AC，垂足為(1)△ABC≌△CDA；(2)BE=DF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）直接用SSS即可證明△ABC≌△CDA；（2）由△ABC≌△CDA，可得出∠ACB=∠DAC，由BE⊥AC，可得出∠BEC=∠DFA=90°，由AAS即可得出△AFD≌△CEB，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在△ABC和△CDA中AD=CB∴△ABC≌△CDA（2）∵△ABC≌△CDA，∴∠ACB=∠DAC，∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠DFA=90°，在△AFD和△CEB中，∠DEA=∠BEC∠DAF=BCE∴△AFD≌△CEBAAS∴BE=DF．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用各種方法進(jìn)行判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·四川南充·七年級統(tǒng)考期中）已知△ABN和△ACM的位置如圖所示，AB=AC，AD=AE，BD=CE．（1）求證：∠1=∠2；（2）求證：∠AME=∠AND．【答案】(1)見詳解；(2)見詳解．【分析】(1)利用SSS證明△ABD≌△ACE即可得出結(jié)論;(2)利用ASA證明△AEM≌△ADN即可得出結(jié)論．【詳解】證明(1)∵AB=AC，AD=AE，BD=CE∴△ABD≌△ACE(SSS)∴∠1=∠2(2)∵△ABD≌△ACE∴∠ADB=∠AEC∴180°-∠ADB=180°-∠AEC即∠ADN=∠AEM又∠DAE=∠DAE,AD=AE∴△ADN≌△AEM(ASA)∴∠AME=∠AND【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期中）如圖，AD=AC，(1)寫出△ADE與△ACB全等的理由；(2)判斷線段DF與CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)DF=CF，理由見解析【分析】（1）由∠DAB＝∠CAE得出∠DAE＝∠CAB，再根據(jù)SAS判斷（2）由△ADB與△ACE全等得出DB＝EC，∠FDB＝【詳解】（1）全等，理由如下：∵∠DAB＝∴∠DAE＝在△ADE與△ACB中AD=AC∠DAE=∠CAB∴△ADE≌△ACB（2）DF＝在△ADB與△ACE中AD=AC∠DAB=∠CAE∴△ADB≌△ACE（∴∠DBA＝∵△ADE≌△ACB，∴∠ABC＝∴∠DBF＝在△DBF與△ECF中∠DFB=∠CFE∠DBF=∠CEF∴△DBF≌△CEF（∴DF＝【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件，此題比較典型．【變式3-3】（2023·陜西西安·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，連接AD、DE，若AD=DE，AC=CD．（1）求證：△ABD≌△DCE．（2）若BD=3，CD=5，求AE的長．【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）根據(jù)AD=DE，AC=CD可知：∠DAE=∠DEA，∠DAC=∠ADC，繼而推出∠AED=∠ADC，領(lǐng)補(bǔ)角相等，則∠ADB=∠DEC，結(jié)合已知條件，利用“角角邊”證明三角形全等即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可知：EC=BD,則AE=AC?EC即可求得【詳解】（1）∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA∵AC=CD∴∠DAC=∠ADC∴∠AED=∠ADC∴180°?∠AED=180°?∠ADC即：∠ADB=∠DEC∵AB=AC,AC=CD∴∠B=∠C,AB=CD在△ABD和△DCE中∠ADB=∠DEC∴△ABD≌△DCE（AAS）（2）∵△ABD≌△DCE，BD=3，CD=5，∴CE=BD=3,∵AC=AB∴AC=5∴AE=AC?CE=5?3=2【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，證明∠ADB=∠DEC是解題的關(guān)鍵．【題型4運(yùn)用全等三角形證明線段間的位置關(guān)系】【例4】（2023春·云南紅河·七年級?？计谥校┤鐖D，D為△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，E為AD上一點(diǎn)，已知∠1=∠2，∠3=∠4．求證：AD⊥BC．【答案】證明見解析．【分析】在△ABE和△ACE中，由AAS判定△ABE?△ACE，再根據(jù)全等三角對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，得到AB=AC，繼而可以證明△ABD?△ACD(SAS)，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)得到∠ADB=∠ADC，最后由平角的定義解題即可．【詳解】證明：證明：在△ABE和△ACE中，∠1=∠2∴△ABE?△ACE(AAS)，∴AB=AC，∵在△ABD和△ACD中，AB=AC∴△ABD?△ACD(SAS)，∴∠ADB=∠ADC∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·江蘇南京·七年級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上兩點(diǎn)，且AF=CE，連接BE，DF，求證：BE∥DF．【答案】見解析【分析】證明：根據(jù)平行四邊形ABCD，可以證明△ADF≌△CBE，從而得∠AFD=∠CEB，所以∠DFC=∠BEA，由平行線的性質(zhì)，即可得到DF∥BE．【詳解】證明：∵平行四邊形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠BCE在△ADF和△BCE中，{AD=CB∴△ADF≌△CBE，∴∠AFD=∠CEB∴∠DFC=∠BEA，∴DF∥BE．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是熟悉并靈活應(yīng)用以上性質(zhì)解題．【變式4-2】（2023春·江西宜春·七年級?？计谥校┤鐖D，已知AD平分∠BAC，且∠1=∠2．

(1)求證：BD=CD；(2)判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明過程見詳解(2)AD⊥BC，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)“角角邊”證明△ABD≌△ACD(AAS（2）由（1）可知△ABC是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”即可求解．【詳解】（1）解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD,△ACD中，∠BAD=∠CAD∠1=∠2∴△ABD≌△ACD(AAS∴BD=CD．（2）解：AD⊥BC，理由如下，如圖所示，延長AD交BC于點(diǎn)E，

由（1）可知，△ABD≌△ACD(AAS∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定，性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，連接CD，C、D、E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，(1)求證：BD=CE；(2)判斷BD與CE的位置關(guān)系并說明理由．【答案】(1)見解析(2)BD⊥CE，見解析【分析】（1）由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ACE=∠ABD，由三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE；（2）解：BD⊥CE，理由如下：如圖，設(shè)AC與BD于G，∵△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠ABD，∵∠AGB=∠CGD，∠BAC=90°，∴∠CDG=90°，∴BD⊥CE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．【題型5運(yùn)用全等三角形解決實(shí)際測量問題】【例5】（2023春·七年級單元測試）如圖，某市新開發(fā)了一個旅游區(qū)，有一湖心島C，需測算景點(diǎn)A，B與C處的距離，請你設(shè)計(jì)一個方法，測量AC，BC的長度，并說明理由．

【答案】見解析【分析】過點(diǎn)A作∠BAM=∠BAC，過點(diǎn)B作∠ABN=∠ABC，AM,BN交于點(diǎn)D，測量AD,BD的長度即可．【詳解】解：過點(diǎn)A作∠BAM=∠BAC，過點(diǎn)B作∠ABN=∠ABC，AM,BN交于點(diǎn)D，測量AD,BD的長度即可，理由：∵∠BAM=∠BAC，∠ABN=∠ABC，AB=AB，∴△ABD≌△ABCASA∴AD=AC,BD=BC．

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的應(yīng)用，正確理解題意作出全等的三角形是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·河南信陽·七年級統(tǒng)考期中）某建筑測量隊(duì)為了測量一棟居民樓ED的高度，在大樹AB與居民樓ED之間的地面上選了一點(diǎn)C，使B，C，D在一直線上，測得大樹頂端A的視線AC與居民樓頂端E的視線EC的夾角為90°，若AB=CD=12米，BD=64米，請計(jì)算出該居民樓ED的高度．【答案】52米【分析】先根據(jù)大樹頂端A的視線AC與居民樓頂端E的視線EC的夾角為90°以及AB=CD可以推出ΔABC≌ΔCDE，從而得到ED=BC，進(jìn)而計(jì)算出BC即可．【詳解】解：由題意可知：∠B=∠CDE=∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=180°?90°=90°，∠ACB+∠BAC=90°，∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC，∴∠DCE=∠BAC，在ΔABC和ΔCDE中，∠BAC=∠DCE∠B=∠CDE∴ΔABC≌ΔCDE，∴ED=BC，又∵CD=12米，BD=64米，∴BC=BD?CD=64?12=52米，∴ED=52米，答：該居民樓ED的高度為52米．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，利用AAS證明ΔABC≌ΔCDE是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·七年級單元測試）如圖，某校學(xué)生為測量點(diǎn)B到河對面的目標(biāo)A之間的距離，他們在點(diǎn)B同側(cè)選擇了一點(diǎn)C，測得∠ABC=70°，∠ACB=40°，然后在M處立了標(biāo)桿，使∠CBM=70°，為了測量A，B之間的距離，他們應(yīng)該（

）

A．直接測量BM的長 B．測量BC的長C．測量∠A的度數(shù) D．先作∠BCN=40°，交BM于點(diǎn)N，再測量BN的長【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定及性質(zhì)解答即可【詳解】解：為了測量A，B之間的距離，他們應(yīng)該先作∠BCN=40°，交BM于點(diǎn)N，再測量BN的長，理由：∵∠BCN=40°，∠ACB=40°，∴∠BCN=∠ACB，∵∠CBM=∠ABC=70°，BC=BC，∴△BCN≌△BCAASA∴BN=AB，故選：D

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、【變式5-3】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）某同學(xué)根據(jù)數(shù)學(xué)知識原理制作了如圖所示的一個測量工具拐尺,其中O為AB的中點(diǎn),CA⊥AB,BD⊥AB,CA=BD,現(xiàn)要測量一透明隔離房間的深度,如何使用此測量工具,說明理由.【答案】理由見解析.【分析】使AC與房間內(nèi)壁在一條直線上，且C與一端點(diǎn)接觸，然后人在BD的延長線上移動至F，使F、O、E三點(diǎn)正好在一條直線上，記下F點(diǎn)，這時量出DF長，即為房間深度CE．通過證△EAO≌△FBO，可得BF＝AE，則BF－BD＝AE－AC，即DF＝CE．【詳解】解：如圖,使AC與房間內(nèi)壁在一條直線上,且C與一端點(diǎn)接觸,然后人在BD的延長線上移動至F,使F,O,E三點(diǎn)正好在一條直線上,記下F點(diǎn),這時量出DF長,即為房間深度CE.理由如下:由∠A=∠B=90°,OA=OB,∠EOA=∠FOB,∴△EAO≌△FBO,得BF=AE,則BF-BD=AE-AC,即DF=CE.【點(diǎn)睛】本題考核知識點(diǎn)：全等三角形判定的應(yīng)用.解題關(guān)鍵點(diǎn)：構(gòu)造全等三角形.【題型6作輔助線構(gòu)造全等三角形證明線段間的和差倍分關(guān)系】【例6】（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD、CE相交于點(diǎn)O，求證：AE+CD=AC．

【答案】證明見解析【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，得到∠AOC=120°，∠AOE=∠COD=60°，在AC上截取AF=AE，連接OF，分別證明△AOE≌△AOFSAS，△COD【詳解】證明：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°?∠B=120°，∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠OAC=∠OAB=12∠BAC∴∠OAC+∠OCA=1∴∠AOC=120°，∴∠AOE=∠COD=180°?∠AOC=60°，如圖，在AC上截取AF=AE，連接OF，

在△AOE和△AOF中，AE=AF∠OAE=∠OAF∴△AOE≌∴∠AOE=∠AOF=60°，∴∠COF=∠AOC?∠AOF=120°?60°=60°，∵∠COD=60°，∴∠COD=∠COF，在△COD和△COF中，∠OCD=∠OCFCO=CO∴△COD≌∴CD=CF，∵AF=AE，∴AF+CF=AE+CD=AC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，做輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于點(diǎn)E．試說明AD＝AB﹣BC的理由．【答案】見解析【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易證△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根據(jù)平行線性質(zhì)可證∠C＝∠BFE，即可證明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解題．【詳解】證明：在AB上找到F使得AF＝AD，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD＝∠EAF，∵在△AEF和△AED中，AD=AF∠EAD=∠EAF∴△AEF≌△AED，（SAS）∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∵∠AFE＋∠BFE＝180°∴∠C＝∠BFE，∵BE平分∠BAD，∴∠FBE＝∠C，∵在△BEC和△BEF中，∠BFE=∠C∠FBE=∠CBE∴△BEC≌△BEF，（AAS）∴BF＝BC，∵AB＝AF＋BF，∴AB＝AD＋BC，即AD＝AB﹣BC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△AEF≌△AED和△BEC≌△BEF是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·七年級單元測試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，小明發(fā)現(xiàn)，用已學(xué)過的“倍長中線”加倍構(gòu)造全等，就可以測量CD與AB數(shù)量關(guān)系．請根據(jù)小明的思路，寫出CD與AB的數(shù)景關(guān)系，并證明這個結(jié)論．【答案】CD=12AB【分析】延長CD到點(diǎn)E，使ED=CD，連接BE，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：CD=12AB，證明：如圖，延長CD到點(diǎn)E，使ED=CD，連接BE在△BDE和△ADC中，BD=AD∴△BDE≌△ADC(SAS)，∴EB=AC，∠DBE=∠A，∴BE∥AC，∵∠ACB=90°，∴∠EBC=180°-∠ACB=90°，∴∠EBC=∠ACB，在△ECB和△ABC中，EB=AC∴△ECB≌△ABC(SAS)，∴EC=AB，∴CD=12EC=12【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．【變式6-3】（2024七年級上·山東煙臺·期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直線AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），連接DC并延長到E，使得CE＝CD，過點(diǎn)E作EF⊥直線BC，交直線BC于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為線段AB上的任意一點(diǎn)時，用等式表示線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為線段BA的延長線上一點(diǎn)時，依題意補(bǔ)全圖2，猜想線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，并證明．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長線上時，直接寫出線段EF、CF、AC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)AC＝EF+FC，證明見解析(2)補(bǔ)全圖形見解析，AC＝EF-CF，證明見解析(3)AC＝CF-EF【分析】（1）過D作DH⊥CB于H，由“AAS”可證△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得結(jié)論；（2）過D作DH⊥CB于H，由“AAS”可證△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得結(jié)論．（3）過D作DH⊥CB交CB的延長線于H，由“AAS”可證△FEC≌△HDC，可得CH=FC，DH=EF，可得結(jié)論．【詳解】（1）結(jié)論：AC＝EF+FC，理由如下：過D作DH⊥CB于H，∴∠DHC＝∠DHB＝90°∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠EFC=∠DHC=90∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠ACB＝90°，AC=BC，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CB+HB∴AC＝FC+EF；（2）依題意補(bǔ)全圖形，結(jié)論：AC＝EF-CF，理由如下：過D作DH⊥CB交BC的延長線于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠FCE=∠DCH∠EFC=∠DHC=∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°∴DH＝HB＝EF，∵BC=HB-CH∴AC＝EF-CF．（3）AC=CF-EF．如圖3，過D作DH⊥CB交CB的延長線于H，同理可證△FEC≌△HDC（AAS），∴CH=FC，DH=EF，∵∠DHB=90°，∴∠B=∠HDB=45°，∴DH=HB=EF，∵BC=CH-BH，∴AC=CF-EF．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．【題型7與三角形全等有關(guān)的動點(diǎn)探究題】【例7】（2023春·山東德州·七年級?？计谥校┤鐖D，已知長方形ABCD的邊長AB=20cm，BC=16cm，點(diǎn)E在邊AB上，AE=6cm，如果點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)在線段BC上向點(diǎn)C運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段DC上從點(diǎn)D向點(diǎn)C運(yùn)動，已知點(diǎn)P的運(yùn)動速度是2cm/s，則經(jīng)過______s，△BPE【答案】1或4【分析】分兩種情況：①當(dāng)EB=PC時，△BPE?△CQP，②當(dāng)BP=CP時，△BEP?CQP，進(jìn)而求出即可．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動的為ts，分兩種情況：①當(dāng)EB=PC，BP=QC時，△BPE?△CQP，∵AB=20cm，AE=6∴EB=14cm∴PC=14cm∵BC=16cm∴BP=2cm∴QC=2cm∵點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點(diǎn)C∴t=2÷2=1（s），此時點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為2÷1=2(cm/s)；②當(dāng)BP=CP，BE=QC=14cm時，△BEP?CQP由題意得：2t=16?2t，解得：t=4（s），此時點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為14÷4=3.5(cm/s)；綜上，點(diǎn)P經(jīng)過1或4s時；△BPE與△CQP全等．故答案為：1或4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是掌握兩個三角形全等的判定和性質(zhì)．【變式7-1】（2023春·河南許昌·七年級統(tǒng)考期末）如圖，CA⊥AB，垂足為點(diǎn)A，AB=24cm，AC=12cm，射線BM⊥AB，垂足為點(diǎn)B，一動點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以3cm/s沿射線AN運(yùn)動，點(diǎn)D為射線BM上一動點(diǎn)，隨著E點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動，且始終保持ED=CB，當(dāng)點(diǎn)E經(jīng)過（）秒時，△DEB與△BCA全等．（注：點(diǎn)EA．4 B．4、12 C．4、8、12 D．4、12、16【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)E經(jīng)過t秒時，△DEB與△BCA全等；由斜邊ED=CB，分類討論BE=AC或BE=AB時的情況，求出t的值即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)E經(jīng)過t秒時，△DEB與△BCA全等；此時AE=3tcm分情況討論：（1）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)時，△DEB≌△BCA，則∴24?3t=12，∴t=4；（2）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)時，①△DEB≌△BCA，BE=AC時，∴t=12；②△EDB≌△BCA，BE=AB時，∴t=16．綜上所述，點(diǎn)E經(jīng)過4、12、16秒時，△DEB與△BCA全等．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定方法；分類討論各種情況下的三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·甘肅定西·七年級?？计谀┤鐖D所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P為線段BD上一動點(diǎn)，Q為

邊AB上一動點(diǎn)，當(dāng)AP+PQ的值最小時，∠APB的度數(shù)是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°【答案】D【分析】先在BC上截取BE=BQ，連接PE，證明△PBQ≌△PBESAS，得出PE=PQ，說明AP+PQ=AP+PE，找出當(dāng)A、P、E在同一直線上，且AE⊥BC時，AP+PE最小，即AP+PQ最小，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)P【詳解】解：在BC上截取BE=BQ，連接PE，如圖：∵BD平分∠ABC，∠ABC=68°，∴∠ABD=∠CBD=1∵BP=BP，∴△PBQ≌△PBESAS∴PE=PQ，∴AP+PQ=AP+PE，∴當(dāng)A、P、E在同一直線上，且AE⊥BC時，AP+PE最小，即AP+PQ最小，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)P，如圖：∵∠AEB=90°，∠CBD=34°，∴∠APB=∠AEB+∠CBD=124°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理與三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使AP+PQ最小時點(diǎn)P的位置．【變式7-3】（2023春·七年級單元測試）如圖，在△ABC中，AD為高，AC=12．點(diǎn)E為AC上的一點(diǎn)，使CE=12AE，連接BE，交AD于O，若△BDO≌△ADC備用圖(1)求∠BEC的度數(shù)；(2)有一動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC以每秒8個單位長度的速度運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動時間為t秒，是否存在t的值，使得△BOQ的面積為24？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；(3)在（2）條件下，動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OB以每秒2個單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，點(diǎn)F是直線BC上一點(diǎn)，且CF=AO．當(dāng)△AOP與△FCQ全等時，求t的值．【答案】(1)90°(2)存在，t=12或t=(3)65【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OBD=∠CAD，利用三角形內(nèi)角和得到∠AEO=∠ODB=90°即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出AE=8，CE=4，分兩種情況：①當(dāng)0<t<1時，Q在線段AE上，②當(dāng)t>1時，Q在射線EC上，根據(jù)三角形的面積公式列方程求解；（3）由△BDO≌△ADC得到∠BOD＝∠ACD，①當(dāng)點(diǎn)F在線段BC延長線上時，如圖3，當(dāng)OP＝CQ時，△AOP≌△FCQ（SAS），得到2t＝12﹣8t，求解即可；②當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時，如圖4，當(dāng)OP＝CQ時，△AOP≌△FCQ（SAS），列得2t＝8t﹣12，計(jì)算即可．【詳解】（1）∵在△ABC中，AD為高，∴∠ODB=90°，又∵△BDO≌△ADC，∴∠OBD=∠CAD，在△AOE與△OBD中∵∠OBD=∠CAD，∠BOD=∠AOE，∴∠AEO=∠ODB=90°，∴∠BEC=180°-∠AEO=90°；（2）∵△BDO≌△ADC，AC＝12，∴BO=AC＝12，∵AC＝12，CE＝12AE∴AE=8，CE=4，①當(dāng)0<t<1時，Q在線段AE上，∴S△BOQ=12BO×QE=12×12×(8-8t)解得t=12；

②當(dāng)t>1時，Q在射線EC上，∴S△BOQ=12BO×QE=12×12×(8t-8)解得t=32；∴存在，t=12或t=3（3）∵△BDO≌△ADC，∴∠BOD＝∠ACD，①當(dāng)點(diǎn)F在線段BC延長線上時，如圖3，∵∠BOD＝∠ACD，∴∠AOP＝∠ACF，∵AO＝CF，∴當(dāng)OP＝CQ時，△AOP≌△FCQ（SAS），此時，2t＝12﹣8t，解得：t＝65；②當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時，如圖4，∵∠BOD＝∠ACD，∴∠AOP＝∠FCQ，∵AO＝CF，∴當(dāng)OP＝CQ時，△AOP≌△FCQ（SAS），此時，2t＝8t﹣12，解得：t＝2；綜上所述，當(dāng)△AOP與△FCQ全等時，t的值為65【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，圖形與動點(diǎn)問題，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，解題中還需注意運(yùn)用分類思想解決問題．【題型8與三角形全等有關(guān)的線段或角之間的規(guī)律的探究題】【例8】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級統(tǒng)考期末）閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進(jìn)行證明．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析；【分析】（1）①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F，AB＝CD；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，△BEF≌△CEG△BAF≌△CDG，AB＝CD；（2）如圖3，過C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)M，則∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；【詳解】（1）①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，BE=CE∠BEF=∠CED∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，∠F=∠CGF=90°∠BEF=∠CEG∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，∠BAE=∠CDE∠F=∠CGD=90°∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如圖3，過C點(diǎn)作CM∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)M，則∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，∠BAE=∠CME∠BEA=∠CEM∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，對頂角相等，平行線的性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知C為線段AB上一點(diǎn)，分別以線段AC，BC為直角邊作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，連接AE，BD，線段AE，BD之間的數(shù)量關(guān)系為______；位置關(guān)系為_______．拓展探究：如圖2，把Rt△ACD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，線段AE，BD交于點(diǎn)F，則AE與BD【答案】問題發(fā)現(xiàn)：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立，理由見解析【分析】問題發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題目條件證△ACE≌△DCB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案；拓展探究：用SAS證ΔACE?【詳解】解：問題發(fā)現(xiàn)：延長BD，交AE于點(diǎn)F，如圖所示：∵∠ACD=90∴∠ACE=∠DCB=90又∵CA=CD,CB=CE,∴ΔACE?ΔDCB∴AE=ED,∠CAE=∠CDB，∵∠CDB+∠CBD=90∴∠CAE+∠CBD=90∴∠AFD=90∴AF⊥FB，∴AE⊥BD，故答案為：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立．理由如下：設(shè)CE與BD相交于點(diǎn)G，如圖1所示：∵∠ACD=∠BCE=90∴∠ACE=∠BCD，又∵CB=CE，AC=CD，∴ΔACE?ΔDCB∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，∵∠CBD+∠CGB=90∴∠AEC+∠EGF=90∴∠AFB=90∴BD⊥AE，即AE=BD，AE⊥BD依然成立．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，手拉手模型，熟練掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解決本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）(1)閱讀理解：如圖1，在△ABC中，若AB=10，AC=6．求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，再連接BE(或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是______；(2)問題解決：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF>EF；(3)問題拓展：如圖3，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C為頂點(diǎn)作一個70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)2<AD<8；(2)見解析；(3)BE+DF=EF，證明見解析【分析】（1）延長AD至E，使DE=AD，連接BE，證明△BDE≌（2）延長FD至點(diǎn)M，使DM=DF，連接BM，EM，同（1）得，△BMD≌Δ△CFD(SAS)，證明△EDM≌△EDF(SAS)在（3）延長AB至點(diǎn)N，使BN=DF，連接CN，證明△N