專(zhuān)題4.5 全等三角形的九大經(jīng)典模型（舉一反三）（北師大版）（解析版）

第=1+1頁(yè)共sectionpages66頁(yè)專(zhuān)題4.5全等三角形的九大經(jīng)典模型【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平移模型】 1【題型2軸對(duì)稱(chēng)模型】 6【題型3旋轉(zhuǎn)模型】 11【題型4一線(xiàn)三等角模型】 19【題型5倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型】 26【題型6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】 34【題型7手拉手模型】 43【題型8角平分線(xiàn)模型】 51【題型9半角全等模型】 57【知識(shí)點(diǎn)1平移模型】【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線(xiàn)l平行移動(dòng)，所得到△DEF與△ABC稱(chēng)為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見(jiàn)的平移型全等三角線(xiàn).【常見(jiàn)模型】【題型1平移模型】【例1】（2023春·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊BC的中點(diǎn)上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接AD，AC、DE交于點(diǎn)O．下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠B=∠F B．AC⊥DE C．BC=DF D．AC、DE互相平分【答案】D【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，由于只有當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，AC⊥DE；只有當(dāng)BC=2AC時(shí)，DF=AC=BE，則可對(duì)A、B、C選項(xiàng)的進(jìn)行判斷；AC交DE于O點(diǎn)，如圖，證明△AOD≌△COE得到OD=OE，OA=OC，則可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊BC的中點(diǎn)上，∴∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，只有當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，AC⊥DE；只有當(dāng)BC=2AC時(shí)，DF=AC=BE，所以A、B、C選項(xiàng)的結(jié)論不一定正確；∵AD∥BC，∴∠OAD=∠OCE，∠ODA=∠OEC，而AD=CE，∴△AOD≌△COE（ASA），∴OD=OE，OA=OC即AC、DE互相平分，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線(xiàn)方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段平行（或共線(xiàn)）且相等．【變式1-1】（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△ABC的邊AC與△CDE的邊CE在一條直線(xiàn)上，且點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)，AB=CD，BC=DE．(1)求證：△ABC≌△CDE；(2)將△ABC沿射線(xiàn)AC方向平移得到△A′B′C′，邊B′C′與邊CD的交點(diǎn)為F，連接EF，若EF【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）首先由點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)得出AC=CE，再根據(jù)SSS證明△ABC≌△CDE即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得A′B′=CD=AB=4,再由EF【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)，∴AC=CE在△ABC和△CDE中，AB=CD∴△ABC≌△CDE（2）解：將△ABC沿射線(xiàn)AC方向平移得到ΔA′B∴A∵邊B′C′與邊CD的交點(diǎn)為F，連接EF，EF∴CF=DF=故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及平移的性質(zhì)，根據(jù)SSS證明△ABC≌△CDE是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·重慶·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將△ABC沿射線(xiàn)BC方向平移得到△DCE，連接BD交AC于點(diǎn)F．(1)求證：△AFB≌△CFD；(2)若AB=9，BC=7，求BF的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)1<BF<8【分析】（1）根據(jù)∠A=∠FCD，∠AFC=∠CFD，即可證明；（2）在△BCD中，利用三邊關(guān)系求出BD的取值范圍即可解決問(wèn)題．（1）證明：∵AB∥∴∠A=∠FCD，在△AFB和△CFD中，{∠A=∠FCD∴△AFB≌△CFD．（2）解：∵△AFB≌△CFD，∴BF=FD，在△BCD中，BC=7，CD=9，∴2<BD<16，∴2<2BF<16，∴1<BF<8．【點(diǎn)睛】本題考查平移變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找三角形全等的條件解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【變式1-3】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知△ABC，AB=AC,∠ABC=∠ACB，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF．如圖，連接BD、AF，則BD__________AF（填“>”“<”或“=”），并證明．【答案】BD=AF，證明見(jiàn)解析【分析】由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得到AC=DF，∠DFB=∠ACB=∠ABF，即可證明；【詳解】解：BD=AF．證明：由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，AB=AC,得AC=DF=AB,，∠DFB=∠ACB=∠ABF．在△ABF和△DFB中，{AB=DF∴△ABF≌△DFB(SAS)，∴BD=AF．故答案是=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確分析證明是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)2軸對(duì)稱(chēng)模型】【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊后，直線(xiàn)兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱(chēng)之為軸對(duì)稱(chēng)型全等三角形，此類(lèi)圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.【常見(jiàn)模型】【題型2軸對(duì)稱(chēng)模型】【例2】（2023春·河北邯鄲·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)M為CD中點(diǎn)，將△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME=α，∠ABE=β，則α與β之間的數(shù)量關(guān)系為（

）A．α+3β=180° B．β?α=20° C．α+β=80° D．3β?2α=90°【答案】D【分析】直接利用平行線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合翻折變換的性質(zhì)得出△ADM≌△BCM(SAS)，進(jìn)而利用直角三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】∵M(jìn)為CD中點(diǎn)，∴DM=CM，在△ADM和△BCM中∵AD=BC∠D=∠C∴△ADM≌△BCM(SAS)，∴∠AMD=∠BMC，AM=BM∴∠MAB=∠MBA∵將點(diǎn)C繞著B(niǎo)M翻折到點(diǎn)E處，∴∠EBM=∠CBM,∠BME=∠BMC=∠AMD∴∠DME=∠AMB∴∠EBM=∠CBM=12∴∠MBA=12(90°-β)+β=1∴∠MAB=∠MBA=12∴∠DME=∠AMB=180°-∠MAB-∠MBA=90°-β∵長(zhǎng)方形ABCD中，∴CD∥AB∴∠DMA=∠MAB=12∴∠DME+∠AME=∠ABE+∠MBE∵∠AME=α，∠ABE=β，∴90°-β+α=β+12∴3β－2α＝90°故選D.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線(xiàn)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等即可求解.【變式2-1】（2023·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=12【答案】DE+BF=EF，見(jiàn)解析【詳解】試題分析：通過(guò)延長(zhǎng)CF，將DE和BF放在一起，便于尋找等量關(guān)系，通過(guò)兩次三角形全等證明，得出結(jié)論．猜想：DE+BF=EF．證明：延長(zhǎng)CF，作∠4=∠1，如圖：∵將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=∠DAB，∴∠1+∠2=∠3+∠5，∠2+∠3=∠1+∠5，∵∠4=∠1，∴∠2+∠3=∠4+∠5，∴∠GAF=∠FAE，在△AGB和△AED中，，∴△AGB≌△AED（ASA），∴AG=AE，BG=DE，在△AGF和△AEF中，，∴△AGF≌△AEF（SAS），∴GF=EF，∴DE+BF=EF．【變式2-2】（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，將ΔABC沿AB向下翻折后，再繞點(diǎn)A按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（α＜∠ABC）．得到RtΔADE，其中斜邊AE交BC于點(diǎn)F，直角邊DE分別AB、BC于點(diǎn)1請(qǐng)根據(jù)題意用實(shí)線(xiàn)補(bǔ)全圖形；（不得用鉛筆作圖）．2求證：ΔAFB?ΔAGE【答案】（1）作圖見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)詳解.【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，注意折疊與旋轉(zhuǎn)中的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）由題意易得△ABC≌△AED，即可得AB=AE，∠ABC=∠E，然后利用ASA的判定方法，即可證得△AFB≌△AGE．【詳解】解：（1）畫(huà)圖，如下圖；證明：由題意得：△ABC≌△AED．∴AB=AE，∠ABC=∠E．在△AFB和△AGE中，∠ABC＝∠E∴△AFB≌△AGE（ASA）．【點(diǎn)睛】本題考查折疊與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及注意折疊與旋轉(zhuǎn)中的對(duì)應(yīng)關(guān)系．【變式2-3】（2023春·山西臨汾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，并回答下列問(wèn)題如圖1，以AB為軸，把△ABC翻折180°，可以變換到△ABD的位置；如圖2，把△ABC沿射線(xiàn)AC平移，可以變換到△DEF的位置．像這樣，其中的一個(gè)三角形是另一個(gè)三角形經(jīng)翻折、平移等方法變換成的，這種只改變位置，不改變形狀大小的圖形變換，叫三角形的全等變換．班里學(xué)習(xí)小組針對(duì)三角形的全等變換進(jìn)行了探究和討論（1）請(qǐng)你寫(xiě)出一種全等變換的方法（除翻折、平移外），．（2）如圖2，前進(jìn)小組把△ABC沿射線(xiàn)AC平移到△DEF，若平移的距離為2，且AC＝5，則DC＝．（3）如圖3，圓夢(mèng)小組展開(kāi)了探索活動(dòng)，把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部點(diǎn)A′的位置，且得出一個(gè)結(jié)論：2∠A′＝∠1+∠2．請(qǐng)你對(duì)這個(gè)結(jié)論給出證明．（4）如圖4，奮進(jìn)小組則提出，如果把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE外部點(diǎn)A′的位置，此時(shí)∠A′與∠1、∠2之間結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，寫(xiě)出正確結(jié)論并證明．【答案】（1）旋轉(zhuǎn)；（2）3；（3）見(jiàn)解析；（4）不成立，正確結(jié)論：∠2﹣∠1＝2∠A'，見(jiàn)解析【分析】（1）由題意根據(jù)三種全等變換翻折、平移、旋轉(zhuǎn)的定義進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)平移的距離的定義可知AD＝2，則DC＝AC﹣AD進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行分析即可得出結(jié)論；（4）由題意根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)及三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行分析即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）除翻折、平移外全等變換的方法還有旋轉(zhuǎn)；故答案為：旋轉(zhuǎn).（2）∵AD＝2，AC＝5，∴DC＝AC﹣AD＝5﹣2＝3；故答案為：3.（3）∵把△ADE沿DE翻折，得到△A'DE，∴△ADE≌△A'DE，∴∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED，在△DEA'中，∠A'＝180°﹣（∠A'DE+∠A'ED）；由平角定義知，∠2＝180°﹣∠A'DA＝180°﹣2∠A'DE，∠1＝180°﹣∠A'EA＝180°﹣2∠A'ED，∴∠1+∠2＝180°﹣2∠A'DE+180°﹣2∠A'ED＝2（180°﹣∠A'ED﹣∠A'DE），∴2∠A′＝∠1+∠2．（4）∠2﹣∠1＝2∠A'，理由如下：∵把△ADE沿DE翻折，得到△A'DE，∴△ADE≌△A'DE，∴∠ADE＝∠A'DE，∠AED＝∠A'ED，在△DEA'中，∠A'＝180°﹣（∠A'DE+∠A'ED），由平角定義知，∠2＝180°﹣∠A'DA＝180°﹣2∠A'DE，∠1＝2∠A'ED﹣180°，∴∠2﹣∠1＝（180°﹣2∠A'DE）﹣（2∠A'ED﹣180°）＝180°-（∠A'DE+∠A'ED），∴∠2﹣∠1＝2∠A'．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，綜合考查平移的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解答本題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)模型】【模型解讀】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱(chēng)這兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，涉及對(duì)頂角相等、等角加（減）公共角的條件.【常見(jiàn)模型】【題型3旋轉(zhuǎn)模型】【例3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期末）（1）問(wèn)題引入：如圖1，點(diǎn)F是正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AF，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與△ABG重合（D與B重合，F(xiàn)與G重合，此時(shí)點(diǎn)G，B，C在一條直線(xiàn)上），∠GAF的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，連接EF，判斷線(xiàn)段EF與GE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）知識(shí)遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，連接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，試寫(xiě)出線(xiàn)段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）實(shí)踐創(chuàng)新：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，點(diǎn)E在AB上，連接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的長(zhǎng)．（用含a，b，c的式子表示）【答案】（1）EF＝GE，理由見(jiàn)詳解；（2）BE?DF＝EF，理由見(jiàn)詳解；（3）BE＝a+b?c2【分析】（1）根據(jù)SAS直接可證△GAE≌△FAE即得GE＝EF；（2）在BE上取BG＝DF，連接AG，由∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，得∠B＝∠ADF，從而SAS證△ABG≌△ADF，再通過(guò)SAS證△GAE≌△FAE，得GE＝EF，從而解決問(wèn)題；（3）作CF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，取FG＝BE，連接CG，由（2）同理可兩次全等證明出DE＝GD即可．【詳解】解：（1）EF＝GE，理由如下：∵△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與△ABG重合，∴AG＝AF，∵AE平分∠GAF，∴∠GAE＝∠FAE，在△GAE和△FAE中，AG=AF∠GAE=∠FAE∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF；（2）BE?DF＝EF，理由如下：如圖2，在BE上取BG＝DF，連接AG，∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ABG和△ADF中，BG=DF∠B=∠ADF∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠FAD，AG＝AF，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠GAF＝2∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中AG=AF∠GAE=∠FAE∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF，∴BE?DF＝EF；（3）如圖，作CF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，取FG＝BE，連接CG，∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB，∴CF＝CB，∠EBC＝∠GFC，∵BE＝GF，∴△CBE≌△CFG（SAS），∴∠BCE＝∠FCG，CG＝CE，∵∠DAB＝60°，∴∠FCB＝120°，∵∠DCE＝60°，∴∠DCF＋∠BCE＝60°，∴∠DCG＝60°，又∵CG＝CE，∴△ECD≌△GCD（SAS），∴GD＝DE，∵Rt△ACF≌Rt△ACB（HL），∴AF＝AB，∴b＋a?BE＝c＋BE，∴BE＝a+b?c2【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等的判定與性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題引入，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，等邊△ABC中，∠AOB=115°,∠BOC=125°，則以線(xiàn)段OA,OB,OC為邊構(gòu)成的三角形的各角的度數(shù)分別為．【答案】55°，60°，65°．【分析】通過(guò)旋轉(zhuǎn)△AOB至△CDB，可得△BOD是等邊三角形，將OA,OB,OC放在一個(gè)三角形中，進(jìn)而求出各角大小。【詳解】解：將△AOB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CDB，∵△AOB≌△CDB，△ABC是等邊三角形，且旋轉(zhuǎn)角相等，則OB=DB,∠OBD=∴△BOD是等邊三角形.則OB=DB=OD又∵△AOB≌△CDB∴∠AOB=∠CDB=115°OA=DC故以線(xiàn)段OA,OB,OC三邊構(gòu)成的三角形為△OCD所以∠ODC=∠CDB?∠ODB=115°?60°=55°∠COD=∠BOC?∠BOD=125°?60°=65°∠OCD=180°?∠ODC?COD=180°?65°?55°=60°故答案為：55°,60°,65°.【點(diǎn)睛】此題旨在考查圖形旋轉(zhuǎn)的特性和實(shí)際應(yīng)用，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.【變式3-2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，如圖1，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°．(1)在圖1中，連接EF，為了證明結(jié)論“EF=BE+DF”，小亮將ΔADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°(2)如圖2，當(dāng)∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試探究EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)EF=DF?BE．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明ΔAGE?（2）把ΔABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AB與CD重合，點(diǎn)E與點(diǎn)G對(duì)應(yīng)到AD，證明ΔAEF?Δ【詳解】（1）證明：如圖1，由旋轉(zhuǎn)可得GB=DF,AF=AG,∠BAG=∠DAF∵四邊形ABCD為正方形∴∠BAD=∠ADF=∠ABC=90°∴∠ABC+∠ABG=180°∴G、B、C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上∵∠EAF=45°∴∠BAE+∠DAF=45°∴∠BAG+∠BAE=45°=∠EAF在ΔAGE和ΔAG=AF∠GAE=∠EAF∴ΔAGE?∴GE=EF∵GE=GB+BE=BE+DF∴EF=BE+DF（2）結(jié)論：EF=DF?BE．理由：如圖2，把ΔABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AB與AD重合，點(diǎn)E與點(diǎn)G對(duì)應(yīng)，同（1）可證得Δ∴EF=GF,且DG=BE∴EF=DF?DG=DF?BE【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形．【變式3-3】（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在銳角ΔABC中，∠A=60°，點(diǎn)D，E分別是邊AB,AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE(1)如圖1，若AB>AC，且BD=(2)如圖2，若AB=AC，且BD=AE，在平面內(nèi)將線(xiàn)段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段CM，連接MF，點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN．在點(diǎn)D，【答案】(1)60°(2)BF+【分析】（1）如圖1中，在射線(xiàn)CD上取一點(diǎn)K，使得CK=BE，證明ΔBCE?ΔCBK（2）結(jié)論：BF+CF=2CN．首先證明∠BFC=120°．如圖2中，延長(zhǎng)CN到Q，使得NQ=CN，連接FQ，證明ΔCNM?ΔQNF(SAS)，推出FQ=CM=BC，延長(zhǎng)【詳解】（1）解：如圖1中，在射線(xiàn)CD上取一點(diǎn)K，使得CK=在ΔBCE和ΔBC=∴ΔBCE∴BK=∵CE=∴BD=∴∠BKD∵∠BEC∴∠ADF∴∠A∵∠A∴∠EFD∴∠CFE（2）結(jié)論：BF+理由：如圖2中，∵AB=∴ΔABC∴AB=∵AE=∴ΔABE∴∠BCF∴∠FBC∴∠BFC如圖2中，延長(zhǎng)CN到Q，使得NQ=CN，連接∵NM=∴ΔCNM∴FQ=CM=∴FQ∥CM∴∠PFQ延長(zhǎng)CF到P，使得PF＝∵∠BFP∴ΔPBF∴∠PBC∴∠PFQ∵PB=∴ΔPFQ∴PQ=∴ΔPCQ∴BF+【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．【知識(shí)點(diǎn)4一線(xiàn)三等角模型】【模型解讀】基本圖形如下：此類(lèi)圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【題型4一線(xiàn)三等角模型】【例4】（2023春·山東菏澤·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線(xiàn)m，CE⊥直線(xiàn)m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：△ABD≌△CAE；（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線(xiàn)m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）成立，理由見(jiàn)詳解；（3）見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線(xiàn)m，CE⊥直線(xiàn)m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷ΔADB≌（2）利用∠BDA=∠BAC=α，則∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?α，得出∠CAE=∠ABD，然后問(wèn)題可求證；（3）由題意易得BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°，由（1）（2）易證ΔADB≌ΔCEA，則有AE=BD，然后可得∠FBD=∠FAE【詳解】（1）證明：∵BD⊥直線(xiàn)m，CE⊥直線(xiàn)m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，∵在ΔADB和Δ∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA∴Δ解：（2）成立，理由如下：∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?α，∴∠CAE=∠ABD，∵在ΔADB和Δ∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA∴Δ（3）證明：∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴BF=AF=AB=AC,∠ABF=∠BAF=∠FAC=60°，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°?120°，∴∠CAE=∠ABD，∴ΔADB≌∴AE=BD，∵∠FBD=∠FBA+∠ABD,∠FAE=∠FAC+∠CAE，∴∠FBD=∠FAE，∴ΔDBF≌∴FD=FE,∠BFD=∠AFE，∴∠BFA=∠BFD+∠DFA=∠AFE+∠DFA=∠DFE=60°，∴△DFE是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C．94 D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，∠BAD=∠CDE∠B=∠C∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．【變式4-2】（2023春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線(xiàn)三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，∠BAD=90°，AB=AD，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．求證：BC=AE．[模型應(yīng)用]如圖2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線(xiàn)所圍成的圖形的面積為_(kāi)_______________．[深入探究]如圖3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線(xiàn)AF交于點(diǎn)G．若BC=21，AF=12，則△ADG的面積為_(kāi)____________．【答案】[模型呈現(xiàn)]見(jiàn)解析；[模型應(yīng)用]50；[深入探究]63【分析】[模型呈現(xiàn)]證明△ABC≌△DAE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BC=AE；[模型應(yīng)用]根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=BG=3，AG=EP=6,CG=DH=4，CG=BG=3，根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算，得到答案；[深入探究]過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AG于P，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥AG交AG的延長(zhǎng)線(xiàn)于Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF，證明△DPG≌△EQG，得到PG=GQ.，進(jìn)而求出AG，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】[模型呈現(xiàn)]證明：∵∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAE=90°，∵BC⊥AC,DE⊥AC，∴∠ACB=∠DEA=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠DAE，在△ABC和△DAE中，∠ABC=∠DAE∠ACB=∠DAE∴△ABC≌△DAE(AAS∴BC=AE；[模型應(yīng)用]解：由[模型呈現(xiàn)]可知，△AEP≌△BAG,△CBG≌△DCH，∴AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3，則S實(shí)線(xiàn)圍成的圖形故答案為：50；[深入探究]過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AG于P，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥AG交AG的延長(zhǎng)線(xiàn)于Q，由[模型呈現(xiàn)]可知，△AFB≌△DPA,△AFC≌△EQA，∴DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF，在△DPG和△EQG中，∠DPG=∠EQG∠DGP=∠EGQ∴△DPG≌△EQG(AAS∴PG=GQ，∵BC=21，∴AQ+AP=21，∴AP+AP+PG+PG=21，∴AG=AP+PG=10.5，∴S△ADQ故答案為：63．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，熟記三角形確定的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm．求BE的長(zhǎng)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出此題答案：（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)B，C在∠MAN的邊AM、AN上，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線(xiàn)AD上，且∠BED=∠CFD=∠BAC．求證：ΔABE≌（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在ΔABC中，AB=AC，AB>BC．點(diǎn)D在邊BC上，CD=2BD，點(diǎn)E、F在線(xiàn)段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC．若ΔABC的面積為15，則ΔACF【答案】（1）0.8cm；（2）見(jiàn)解析（3）5【分析】（1）利用AAS定理證明△CEB≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）由條件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根據(jù)AAS可證明△ABE≌△CAF；（3）先證明△ABE≌△CAF，得到ΔACF與ΔBDE的面積之和為△ABD的面積，再根據(jù)【詳解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，{∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．∵DC＝CE?DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5?1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案為：0.8cm；（2）證明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC．∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE．∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）．（3）∵∠BED=∠CFD=∠BAC∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF又AB=AC∴△ABE≌△CAF，∴S∴ΔACF與ΔBDE的面積之和等于ΔABE與Δ∵CD=2BD，△ABD與△ACD的高相同則S△ABD故ΔACF與Δ故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)5倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型模型】【模型解讀】中線(xiàn)是三角形中的重要線(xiàn)段之一，在利用中線(xiàn)解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”添加輔助線(xiàn)．所謂倍長(zhǎng)中線(xiàn)法，就是將三角形的中線(xiàn)延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法．【常見(jiàn)模型】【題型5倍長(zhǎng)中線(xiàn)模型】【例5】（2023春·甘肅慶陽(yáng)·七年級(jí)?？计谀┬∶饔龅竭@樣一個(gè)問(wèn)題，如圖1，△ABC中，AB=7，AC=5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過(guò)的“倍長(zhǎng)中線(xiàn)法”可以解決這個(gè)問(wèn)題，所謂倍長(zhǎng)中線(xiàn)法，就是將三角形的中線(xiàn)延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法，他的做法是：如圖2，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE，構(gòu)造△BED?△CAD，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)回答：(1)小明證明△BED?△CAD用到的判定定理是：(用字母表示)；(2)AD的取值范圍是；(3)小明還發(fā)現(xiàn)：倍長(zhǎng)中線(xiàn)法最重要的一點(diǎn)就是延長(zhǎng)中線(xiàn)一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖3，在△ABC中，AD為BC邊上的中線(xiàn)，且AD平分∠BAC，求證：AB=AC．【答案】(1)SAS(2)1<AD<6(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)SAS定理解答；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計(jì)算，得到答案；（3）仿照（1）的作法，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論．【詳解】（1）解：在△BED和△CAD中，BD=CD∴△BED?△CADSAS∴小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是SAS，故答案為：SAS；（2）解：∵△BED?△CAD，∴BE=AC，在△ABE中，AB?BE<AE<AB+BE，∴AB?AC<2AD<AB+AC，∴1<AD<6；（3）證明：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，在△BED和△CAD中，DE=DA∠EDB=∠ADC∴△BED?△CADSAS∴∠DAC=∠DEB，AC=BE，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB，∴∠DAB=∠DEB，∴AB=BE，∴AB=AC．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系，掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，點(diǎn)D在AC上，AD=3,AB+AC=10，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連接CE,∠ACB=∠ABC+2∠BCE，則CD=．【答案】4【分析】如圖，延長(zhǎng)CE至F，使得EF=CE，交AB于點(diǎn)G，通過(guò)“邊角邊”證明△BEF≌△DEC，則∠F=∠DCE,BF=DC，根據(jù)題意與三角形的外角性質(zhì)可得∠AGC=∠DCE，進(jìn)而可得AG=AC,BF=BG=CD，設(shè)BF=BG=CD=x，根據(jù)題意得到關(guān)于【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)CE至F，使得EF=CE，交AB于點(diǎn)G，∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，∴BE=DE，在△BEF與△DEC中，BE=DE∠BEF∴△BEF≌∴∠F=∠DCE,BF=DC，∵∠ACB=∠ABC+2∠BCE，∴∠DCE=∠ACB?∠BCE=∠ABC+∠BCE，∵∠AGC=∠ABC+∠BCE，∴∠AGC=∠DCE，∴∠F=∠DCE=∠AGC=∠BGF,AG=AC，∴BF=BG=CD，

設(shè)BF=BG=CD=x，∵AD=3,AB+AC=10，∴10?x2解得x=4即CD=4故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形的外角性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)作出適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)．【變式5-2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，AM=3，DE=．【答案】6【分析】延長(zhǎng)AM至N，使MN=AM，連接BN，證明△AMC≌△NMBSAS，推出AC=BN，∠C=∠NBM，求出∠EAD=∠ABN【詳解】證明：延長(zhǎng)AM至N，使MN=AM，連接BN，∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴CM=BM，在△AMC和△NMB中，AM=NM∠AMC=∠NMB∴△AMC≌∴AC=BN，∠C=∠NBM，∴AD=BN，∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB=∠DAC=90°，∴∠EAD+∠BAC=180°，∴∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°?∠BAC=∠EAD，在△EAD和△ABN中，AE=AB∠EAD=∠ABN∴△ABN≌∴DE=AN=2AM=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，延長(zhǎng)AM至N，使MN=AM，再證AN=DE即可，這就是“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”，實(shí)質(zhì)是“補(bǔ)短法”．【變式5-3】（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．小明的解法如下：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接CE．在△ABD與△ECD中BD=DC∴△ABD?△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索應(yīng)用】如圖②，AB∥CD，AB＝25，CD＝8，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∠DFE＝∠BAE，求DF的長(zhǎng)為．（直接寫(xiě)答案）【應(yīng)用拓展】如圖③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，連接BE，P為BE的中點(diǎn)，求證：AP⊥DP．【答案】觀察發(fā)現(xiàn)：EC，2，12，1，6；探索應(yīng)用：17；應(yīng)用拓展：見(jiàn)解析【分析】觀察發(fā)現(xiàn)：由“SAS”可證△ABD≌△ECD，可得AB=EC，由三角形的三邊關(guān)系可求解；探索應(yīng)用：由“SAS”可證△ABE≌△HCE，可得AB=CH=25，即可求解；應(yīng)用拓展：由“SAS”可證△BPA≌△EPF，可得AB=FE，∠PBA=∠PEF，由“SAS”可證△ACD≌△FED，可得AD=FD，由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】觀察發(fā)現(xiàn)解：如圖①，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接CE，在△ABD與△ECD中，BD=DC∠ADB=∠EDC∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=EC，在△AEC中，EC-AC＜AE＜EC+AC，而AB=EC=7，AC=5，∴2＜AE＜12．又∵AE=2AD，∴1＜AD＜6，故答案為：EC，2，12，1，6；探索應(yīng)用解：如圖2，延長(zhǎng)AE，CD交于H，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE=CE，∵CD∥AB，∴∠ABE=∠ECH，∠H=∠BAE，∴△ABE≌△HCE（AAS），∴AB=CH=25，∴DH=CH-CD=17，∵∠DFE=∠BAE，∴∠H=∠DFE，∴DF=DH=17，故答案為：17；應(yīng)用拓展證明：如圖2，延長(zhǎng)AP到點(diǎn)F，使PF=AP，連接DF，EF，AD，在△BPA與△EPF中，PF=AP∠EPF=∠BPA∴△BPA≌△EPF（SAS），∴AB=FE，∠PBA=∠PEF，∵AC=BC，∴AC=FE，在四邊形BADE中，∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，∵∠BAC=60°，∠CDE=120°，∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°．∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠ACD=∠DEB+∠EBA，∴∠ACD=∠FED，在△ACD與△FED中，AC=FE∠ACD=∠FED∴△ACD≌△FED（SAS），∴AD=FD，∵AP=FP，∴AP⊥DP．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，證得三角形全等是解答此題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】【模型解讀】截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適用于求證線(xiàn)段的和差倍分關(guān)系。截長(zhǎng):指在長(zhǎng)線(xiàn)段中截取一段等于已知線(xiàn)

段:補(bǔ)短:指將短線(xiàn)段延長(zhǎng),延長(zhǎng)部分等于已知線(xiàn)段。該類(lèi)題目中常出現(xiàn)等服三角形、角平分線(xiàn)等關(guān)鍵詞

句,可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來(lái)完成證明過(guò)程,截長(zhǎng)補(bǔ)短法(往往需證2次全等)。

【模型圖示】

(1)截長(zhǎng):在較長(zhǎng)線(xiàn)段上截取一段等于某一短線(xiàn)段,再證剩下的那一段等于另一短線(xiàn)段。

例:如圖,求證BE+DC=AD；方法:①在AD上取一點(diǎn)F,使得AF=BE,證DF=DC;②在AD上取一點(diǎn)F,使DF=DC,證AF=BE

(2)補(bǔ)短:將短線(xiàn)段延長(zhǎng),證與長(zhǎng)線(xiàn)段相等【題型6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】【例6】（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖①，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC，BD=CD，∠BAC=80°，∠BDC=100°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)50°角，角的兩邊分別交邊AB，AC于點(diǎn)E、F，連接EF．（1）探究BE、EF、FC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)E、F分別在AB、CA延長(zhǎng)線(xiàn)上，其他條件不變，如圖②所示，則BE、EF、FC之間存在什么樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由．【答案】（1）EF=BE+FC；（2）EF=FC-BE．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，解得∠ABC=∠ACB=50°，∠DBC=∠DCB=40°，延長(zhǎng)AB至G，使得BG=CF，連接DG，進(jìn)而證明△GBD?△FCD(SAS)，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)解得DG=FD，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可證明△DEF?△DGE(SAS)，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解題即可；（2）在CA上截取CG=BE,連接DG，由等腰三角形的性質(zhì)，可得∠ABC=∠ACB=50°，∠DBC=∠DCB=40°，進(jìn)而證明△BED?△CGD(SAS)得到DG=DE，據(jù)此方法再證明△EDF?△GDF(SAS)，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解題即可．【詳解】（1）∵△ABC和△BDC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB∴∠DBC=∠DCB∵∠BAC=80°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=50°∵∠BDC=100°，BD=CD∴∠DBC=∠DCB=40°∴∠ABD=∠ACD=90°=∠DCF延長(zhǎng)AB至G，使得BG=CF，連接DG∠GBD=180°?∠ABD=90°在△GBD和△FCD中，∵BG=CF，∠GBD=∠DCF，BD=FD∴△GBD?△FCD(SAS)，∴DG=FD∴∠BDG=∠CDF∴∠EDF=50°，∠BDC=100°∴∠BDE+∠CDF=50°∵∠GDE=∠BDG+∠BDE=∠CDF+∠BDE=50°在△DEF和△DGE中，∵DE=DE，∠EDF=∠GDE，DF=GD∴△DEF?△DGE(SAS)，∴EF=EG=BE+GB=BE+CF（2）在CA上截取CG=BE,連接DG∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=80°∴∠ABC=∠ACB=50°∵∠BDC=100°，BD=CD∴∠DBC=∠DCB=40°∴∠EBD=∠GCD=90°∵CG=BE，BD=CD在△BED和△CGD中，∵CG=BE，∠EBD=∠GCD，BD=CD∴△BED?△CGD(SAS)∴DG=DE在△EDF和△GDF中，∵FD=FD，∠GDF=∠EDF，ED=GD∴△EDF?△GDF(SAS)∴EF=FG=FC?CG=FC?BE【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線(xiàn)CD交AB于點(diǎn)D，已知AC=16，BC=9，則BD的長(zhǎng)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】如圖，在CA上截取CN=CB,連接DN,證明△CBD≌△CND,利用全等三角形的性質(zhì)證明BD=ND,求解CN=9,AN=7,再證明DN=AN,從而可得答案．【詳解】解：如圖，在CA上截取CN=CB,連接DN,∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠NCD,∵CD=CD,∴△CBD≌△CND(SAS),∴BD=ND,∠B=∠CND,CB=CN,∵BC=9,AC=16,∴CN=9,AN=AC?CN=7,∵∠CND=∠NDA+∠A,∴∠B=∠NDA+∠A,∵∠B=2∠A,∴∠A=∠NDA,∴ND=NA,∴BD=AN=7.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，BE，CD為△ABC的角平分線(xiàn)，BE，CD交于點(diǎn)F．（1）求證：∠BFC=90°+1（2）已知∠A=60°．①如圖1，若BD=4，BC=6.5，求CE的長(zhǎng)；②如圖2，若BF=AC，求∠AEB的大?。敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析；（2）2.5；（3）100°．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理和角平分線(xiàn)得出∠FBC+∠FCB=90°?12∠A（2）在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，構(gòu)造△BFG?△BFD（SAS），再證明△FEC?△FGC(ASA)，即可得BC=BD+CE，由此求出答案；（3）延長(zhǎng)BA到P，使AP=FC，構(gòu)造△BFC?△CAP（SAS），得PC=BC，∠P=∠BCF=12∠ACB，再由三角形內(nèi)角和可求∠ABC=40°，∠ACB=80°【詳解】解：（1）∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線(xiàn)，∴∠FBC+∠FCB=1∴∠BFC=180°?(∠FBC+∠FCB)=180°?(90°?1∴∠BFC=90°+1（2）如解（2）圖，在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，由（1）得∠BFC=90°+1∵∠BAC=60°，∴∠BFC=120°，∴∠BFD=∠EFC=180°?∠BFC=60°，在△BFG與△BFD中，BF=BF∠FBG=∠FBD∴△BFG?△BFD（SAS）∴∠BFD=∠BFG，∴∠BFD=∠BFG=60°，∴∠CFG=120°?∠BFG=60°，∴∠CFG=∠CFE=60°在△FEC與△FGC中，∠CFE=∠CFGCF=CF∴△FEC?△FGC(ASA)，∴CE=CG，∵BC=BG+CG，∴BC=BD+CE；∵BD=4，BC=6.5，∴CE=2.5（3）如解（3）圖，延長(zhǎng)BA到P，使AP=FC，∵∠BAC=60°，∴∠PAC=180°?∠BAC=120°，在△BFC與△CAP中，BF=AC∠BFC=∠CAP=120°∴△BFC?△CAP（SAS）∴∠P=∠BCF，BC=PC，∴∠P=∠ABC，又∵∠P=∠BCF=1∴∠ACB=2∠ABC，又∵∠ACB+∠ABC+∠A=180°，∴3∠ABC+60°=180°，∴∠ABC=40°，∠ACB=80°，∴∠ABE=12【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀下面材料：【原題呈現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長(zhǎng)．【思考引導(dǎo)】因?yàn)镃D平分∠ACB，所以可在BC邊上取點(diǎn)E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到△DEC≌△DAC，經(jīng)過(guò)推理能使問(wèn)題得到解決（如圖2）．【問(wèn)題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問(wèn)題；（2）拓展提升：如圖3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知條件和輔助線(xiàn)的作法，證得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代換得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的長(zhǎng)；（2）在BA邊上取點(diǎn)E，使BE＝BC＝2，連接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS），在DA邊上取點(diǎn)F，使DF＝DB，連接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖2，在BC邊上取點(diǎn)E，使EC＝AC，連接DE．在△ACD與△ECD中，AC=CE∠ACD=∠ECD∴△ACD≌△ECD（SAS），∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴△BDE是等腰三角形；∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，∴BC的長(zhǎng)為5.8；（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠B，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，在BA邊上取點(diǎn)E，使BE＝BC＝2，連接DE，在△DEB和△DBC中，BE=BC∠1=∠2∴△DEB≌△DBC（SAS），∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA邊上取點(diǎn)F，使DF＝DB，連接FE，同理可得△BDE≌△FDE，∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟悉這些定理是解決本題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)7手拉手模型】【模型解讀】如圖，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=。結(jié)論：△BAD≌△CAE?！灸Ｐ头治觥渴掷帜Ｐ统：托D(zhuǎn)結(jié)合，在考試中作為幾何綜合題目出現(xiàn)?！绢}型7手拉手模型】【例7】（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△ABC是一個(gè)銳角三角形，分別以AB、AC為邊向外作等邊三角形△ABD、△ACE，連接BE、CD交于點(diǎn)F，連接AF．(1)求證：△ABE≌△ADC；(2)求∠EFC的度數(shù)；(3)求證：AF平分∠DFE．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)60°(3)見(jiàn)解析【分析】（1）由△ABD、△ACE是等邊三角形，易證∠DAC=∠BAE，繼而可證△ABE≌△ADC；（2）由△ABE≌△ADC，得到∠AEB=∠ACD，進(jìn)一步得到∠CEF+∠ECF=∠AEC+∠ACE=120°，由三角形內(nèi)角和得到答案；（3）作AH⊥DC于點(diǎn)H，AN⊥BE于點(diǎn)N，證明AH=AN，由【詳解】（1）證明：∵△ABD、△ACE是等邊三角形，∴DA=AB，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，∴△ABE≌△ADCSAS（2）解：∵△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∵∠AEB+∠CAE=∠ACD+∠EFC，∴∠EFC=∠CAE=60°；（3）證明：如圖，作AH⊥DC于點(diǎn)H，AN⊥BE于點(diǎn)∵△ABE≌△ADC，∴∠ADC=∠ABE，∵∠AHD=∠ANB=90°，AD=AB，∴△AHD≌△ANB(AAS∴AH=AN，∵AH⊥DC，∴AF平分∠DFE．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、角平分性的判定知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)C處，連接AE、BD，點(diǎn)A恰好在線(xiàn)段BD上．(1)找出圖中的全等三角形，并說(shuō)明理由；(2)猜想AE與BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)ΔCBD≌(2)AE⊥BD，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)SAS證明ΔCBD?（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和垂直的定義解答即可．【詳解】（1）解：ΔCBD≌∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，在ΔCBD與Δ{BC=AC∴Δ（2）解：AE⊥BD，理由如下：設(shè)AE與CD相交于點(diǎn)O，在ΔAOD與Δ∵Δ∴∠ADO=∠CEO，∵∠AOD=∠COE，∴∠OAD=∠OCE=90°，∴AE⊥BD．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)SAS得出ΔCBD與ΔCAE全等的解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一條直線(xiàn)上，CM為△DCE中(1)求證：△ACD≌△BCE；(2)若CM＝2，BE＝【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)AE=7．【分析】（1）先證出∠ACD＝∠BCE，由SAS證明（2）由△ACD≌△BCE可得AD＝BE＝3，由△DCM和【詳解】（1）證明：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形∴CA＝CB，CD＝∴∠ACD＝在△ACD和△BCE中，CA=CB∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：∵△ACD≌△BCE,∴AD＝∵CD＝CE，∴DM=ME，∠MCD=∠MCE=45°∵∠CDE=∠CED=45°，∴DM∴DE＝∴AE＝【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)和判定，掌握旋轉(zhuǎn)全等的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知△ABC，分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，連接DC與BE，G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)．(1)如圖1，若∠DAB＝60°，則∠AFG＝；(2)如圖2，若∠DAB＝90°，則∠AFG＝；(3)如圖3，若∠DAB＝α，試探究∠AFG與α的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】(1)60°(2)45°(3)12（180°﹣α【分析】（1）連接AG．易證△ADC≌△ABE，可得DC＝BE，∠ADC＝∠ABE，AD＝AB，根據(jù)G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)，可得DG＝BF，即可證明△ADG≌△ABF，可得AG＝AF，∠DAG＝∠BAF，即可求得∠DAB＝∠GAF，即可解題．（2）根據(jù)（1）中結(jié)論即可求得∠AFG的值，即可解題；（3）根據(jù)（1）中結(jié)論即可求得∠AFG的值，即可解題．（1）連接AG．∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE．在△ADC和△ABE中，AD=AB∠DAC=∠BAE∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC＝BE，∠ADC＝∠ABE．∵G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)，∴DG=12DC，BF=∴DG＝BF．在△ADG和△ABF中，AD=AB∠ADC=∠ABE∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG＝AF，∠DAG＝∠BAF，∴∠AGF＝∠AFG，∠DAG﹣∠BAG＝∠BAF﹣∠BAG，∴∠DAB＝∠GAF．∵∠DAB＝60°，∴∠GAF＝60°．

∵∠GAF+∠AFG+∠AGF＝180°，∴∠AFG＝60°；故答案為60°，（2）連接AG，如圖2，∵∠DAB＝90°，∠DAB＝∠GAF，（已證）∴∠GAF＝90°，∵AG＝AF，∴∠AFG=1故答案為45°，（3）連接AG，如圖3，∵∠DAB＝α，∠DAB＝∠GAF，（已證）∴∠GAF＝α，∵AG＝AF，∴∠AFG=12（180°﹣【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ADC≌△ABE和△ADG≌△ABF是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)8角平分線(xiàn)模型】模型一：如圖一，角平分線(xiàn)+對(duì)稱(chēng)型利用角平分線(xiàn)圖形的對(duì)稱(chēng)性,在角的兩邊構(gòu)造對(duì)稱(chēng)全等三角形,可以得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。利用對(duì)稱(chēng)性把一些線(xiàn)段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移,這是經(jīng)常使用的種解題技巧。

【理論依據(jù)】:三邊對(duì)應(yīng)相等的三角戲是全等三角形(SSS)、全等三角形對(duì)應(yīng)角相等模型二：如圖二，角平分線(xiàn)+垂直兩邊型【幾何語(yǔ)言】:∵OC為∠AOB的角平分線(xiàn),D為OC上一點(diǎn)DE⊥OA,DF⊥OB∴△CED≌△OFD(AAS),∴DE=DF模型三：如圖三，角平分線(xiàn)+垂直平分線(xiàn)型【說(shuō)明】構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的三線(xiàn)合一,也可以得到兩個(gè)全等的直角三角形,進(jìn)而

得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這個(gè)模型巧妙地把角平分線(xiàn)和三線(xiàn)合一聯(lián)系了起來(lái)。模型四：如圖四，角平分線(xiàn)+平行線(xiàn)型【說(shuō)明】有角平分線(xiàn)時(shí),常過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)作角的有邊的平行線(xiàn),構(gòu)造等腰三角形,為證明結(jié)論提供更多的條件,體現(xiàn)了角平分線(xiàn)與等腰三角形之間的密切關(guān)系。【題型8角平分線(xiàn)模型】【例8】（2023春·浙江·七年級(jí)期中）如圖，△ABC的外角∠DAC的平分線(xiàn)交BC邊的垂直平分線(xiàn)于P點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求證：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2【分析】（1）連接BP、CP，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BP=CP，根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DP=EP，然后利用“HL”證明RtΔBDP和（2）利用“HL”證明RtΔADP和RtΔAEP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=AE，再根據(jù)AB、AC的長(zhǎng)度表示出【詳解】（1）證明：連接BP、CP，∵點(diǎn)P在BC的垂直平分線(xiàn)上，∴BP=CP，∵AP是∠DAC的平分線(xiàn)，∴DP=EP，在RtΔBDP和{BP=CP∴Rt∴BD=CE；（2）解：在RtΔADP和{AP=AP∴Rt∴AD=AE，∵AB=6cm，AC=10cm，∴6+AD=10?AE，即6+AD=10?AD，解得AD=2cm．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線(xiàn)CP與內(nèi)角∠ABC平分線(xiàn)BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=36°，則∠CAP=．【答案】54°【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案【詳解】解：延長(zhǎng)BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD=x，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=36°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-36°），∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x-（x-36°）-（x-36°）=72°，∴∠CAF=108°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=PA，PF=PM，∴Rt△PFA∴∠FAP=∠PAC=54°．故答案為：54°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識(shí)，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出PM=PN=PF是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上．求證：BE＝12CD【答案】見(jiàn)解析【分析】分別延長(zhǎng)BE、CA交于點(diǎn)F，首先結(jié)合題意推出△CFE≌△CBE，從而得到BE＝EF＝12BF，然后證明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD【詳解】證明：分別延長(zhǎng)BE、CA交于點(diǎn)F，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠FEC＝90°．∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE．在△CFE與△CBE中，∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，∴△CFE≌△CBE，∴BE＝EF＝12BF在△CFE與△CAD中，∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝90°，∴∠F＝∠ADC．在△BFA與△CDA中，∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，∴△BFA≌△CDA，∴BF＝CD．∴BE＝12CD【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，理解角平分線(xiàn)的基本定義，熟練運(yùn)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)構(gòu)造輔助線(xiàn)，并且準(zhǔn)確判定全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1，射線(xiàn)OP平分∠MON，在射線(xiàn)OM，ON上分別截取線(xiàn)段OA，OB，使OA＝OB，在射線(xiàn)OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解；（3）AE=13【分析】（1）由題意易得∠AOD=∠BOD，然后易證△AOD≌△BOD，進(jìn)而問(wèn)題可求證；（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，由題意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，則有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，則根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，進(jìn)而問(wèn)題可求證；（3）在AE上分別截取AF=AB，EG=ED，連接CF、CG，同理（2）可證△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，則有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，進(jìn)而可得△CFG是等邊三角形，最后問(wèn)題可求解．【詳解】證明：（1）∵射線(xiàn)OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．（3）在AE上分別截取AF=AB=9，EG=ED=1，連接CF、CG，如圖所示：同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C為BD邊中點(diǎn)，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等邊三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定、角平分線(xiàn)的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線(xiàn)證明三角形全等．【知識(shí)點(diǎn)9半角模型】【模型解讀】如圖：已知∠2=12∠AOB，【說(shuō)明】連接F′B，將△FOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至△FOA的位置，連接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF【題型9半角全等模型】【例9】（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，（3）在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD所在直線(xiàn)上的點(diǎn)，且∠EAF=1【答案】（1）EF=BE+FD；（2）（1）中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立，理由見(jiàn)解析；（3）EF=BE+DF或EF=BE?DF或EF=DF?BE【分析】（1）如圖1，延長(zhǎng)EB到G，使BG=DF，連接AG，即可證明△ABG≌△ADF，可得AF=AG，再證明△AEF≌△AEG，可得EF=EG，即可解題；（2）如圖2，同理可得：EF=BE+DF；（3）如圖3，作輔助線(xiàn)，構(gòu)建△ABG，同理證明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的結(jié)論：EF=BE?DF；如圖4，作輔助線(xiàn)△ADH，同理證明△ABE≌△ADH和△FAH≌【詳解】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)EB到G，使BG=DF，連接AG．在△ABG與△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADF=90°∴△ABG≌△ADFSAS∴AG=AF，∴∠1+∠3=∠2+∠3=1∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEFSAS∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD；（2）（1）中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立．理由如下：如圖2，延長(zhǎng)EB到G，使BG=DF，連接AG．∵∠ABC+∠D=180°，∴∠ABG=∠D，在△ABG與△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADF∴△ABG≌△ADFSAS∴AG=AF，∴∠1+∠3=∠2+∠3=1∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEFSAS∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD；（3）圖2中，EF=BE+DF成立，圖3中，EF=BE?DF，理由如下：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．在△ABG與△ADF中，AB=∴△ABG≌∴∠BAG=∠DAF，∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=1∴∠GAE=∠FAE．在△AEG和△AEF中，AG=AF∠GAE=∠FAE∴△AEG≌∴EG=EF，∵EG=BE?BG，∴EF=BE?DF．圖4中，EF=DF?BE，理由如下：在DF上截取DH，使DH=BE，連接AH，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABE=∠ADH，在△ABE和△ADH中，AB=AD∠ABE=∠ADH∴△ABE≌∴∠BAE=∠DAH，∵∠BAD=2∠EAF，∴∠DAH+∠BAF=1∴∠HAF=1在△FAH和△FAE中，AH=AE∠HAF=∠EAF∴△FAH≌∴HF=EF，∴EF=HF=DF?DH=DF?BE；綜上所述，線(xiàn)段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系為：EF=BE+DF或故答案為：EF=BE+DF或EF=BE?DF或EF=DF?BE．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、