2017年03月28日初中數(shù)學組卷

2017年03月28日阿木的初中數(shù)學組卷

一.選擇題（共9小題）

1.如圖，在AABC中，ZBAC=90°,NABC=2NC,BE平分NABC交AC于E,AD

_LBE于D,下列結論：①AC-BE=AE；②點E在線段BC的垂直平分線上；③/

DAE=NC；④BC=4AD,其中正確的有（）

A

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,DE_LAB于E,則下列結論：①

DE=CD；②AD平分NCDE；③NBAC=NBDE；④BE+AC=AB,其中正確的是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.4ABC在如圖所示的平面直角坐標系中，將aABC向右平移3個單位長度后

得△AiBiJ,再將△AiBiCi繞點。旋轉180。后得到4A2B2c2.則下列說法正確的

是（）

A.A1的坐標為⑶1)B,S四邊形.4=3

11

C.B2c=2&D.ZAC2O=45°

4.ZXABC中,ZACB=90°,NA=a,以C為中心將△ABC旋轉6角到AAiBiC(旋

轉過程中保持^ABC的形狀大小不變)B點恰落在A1B1上，如圖，則旋轉角e的

A.a+10°B.a+20°C.aD.2a

5.現(xiàn)有一列式子：(T)552-452；②5552-4452；③55552-44452...則第⑧個式子

的計算結果用科學記數(shù)法可表示為()

A.1.1111111X1O16B.1.1111111X1027

C.1.111111X1056D.1.1111111X1017

6.下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為()

A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4

C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x

7.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=J3(經(jīng)過點A,作AB_Lx軸于點B,

將aABO繞點B逆時針旋轉60。得到aCBD.若點B的坐標為(2,0),則點C的

坐標為()

A.(-1,遙)B.(-2,V3)C.(-43,1)D.(-遙，2)

8.如I圖，將邊長為3&的等邊aABC沿BC方向向右平移得到△ABC,若aABC

與△ABC重疊部分面積為2?,則此次平移的距離是()

9.如圖，兩個等邊^(qū)ABD,ACBD的邊長均為1,將4ABD沿AC方向向右平移

到△ABD，的位置，得到圖2,則陰影部分的周長為()

A.1B.2C.2.5D.3

二.填空題(共6小題)

10.已知x=2是不等式(x-5)(ax-3a+2)<0的解，且x=l不是這個不等式的

解，則實數(shù)a的取值范圍是—.

11.如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,以點A為圓心，任意長為半徑畫弧

分別交AB,AC于點M和N,再分別以點M,N為圓心，大于J_MN的長為半徑

2

畫弧，再畫弧交于點P,連接AP并延長交BC于點D,則下列結論：①AD是/

BAC的平分線；②NADC=60。；③點D在AB的垂直平分線上；@SAABD=2SAADC.其

中結論正確的序號為.

12.如圖，邊OA,0c分別在x軸、y軸的正半軸上，OA〃BC,D是BC上一點,

BD=±0A=^,AB=3,NOAB=45。，E,F分別是線段OA,AB上的兩個動點，且

始終保持NDEF=45。，若4AEF為等腰三角形，則0E的長為

13.如圖，CD是RtZVXBC斜邊AB上的高，將4BCD沿CD折疊，B點恰好落在

AB的中點E處，則ZA等于度.

中，ZA=36",AB=AC,AB的垂直平分線0D交AB于點0,

交AC于點D,連接BD,以下結論:

①NC=2NA；②BD平分NABC；（3）SABCD=SABOD；④點D到線段BC的距離等于線

段0D的長.

其中正確的是—（把所有正確結論的序號都填在橫線上）.

15.如圖，在aABC中，ZA=36°,AB=AC,AB的垂直平分線0D交AB于點0,

交AC于點D,連接BD,以下結論:

?ZC=2ZA；

②BD平分NABC；

@SABCD=SABDO：

④點D到線段BC的距離等于線段0D的長.

其中正確的是—（把所有正確結論的序號都填在橫線上）

三.解答題（共15小題）

16.在4ABC中，CA=CB,ZACB=120°,將一塊足夠大的直角三角尺PMN（Z

M=90。、NMPN=30。）按如圖所示放置，頂點P在線段AB上滑動，三角尺的直

角邊PM始終經(jīng)過點C,并且與CB的夾角/PCB=a,斜邊PN交AC于點D.

（1）當PN〃BC時，ZACP=度；

（2）當a=15。時，求NADN的度數(shù)；

（3）在點P的滑動過程中，4PCD的形狀可以是等腰三角形嗎？若不可以，請

說明理由；若可以，請求出夾角a的大小.

17.現(xiàn)有如圖①所示的兩種瓷磚.請從這兩種瓷磚中各選2塊，拼成一個新的正

方形地板圖案，使拼鋪的圖案成軸對稱圖形或中心對稱圖形（如示例圖②）.

（要求：分別在圖③、圖④中各設計一種與示例圖不同的拼法，這兩種拼法各不

相同，且在圖③拼成的圖案是軸對稱圖形，在圖④拼成的圖案既是軸對稱圖形，

18.在AABC中，AB=AC,ZBAC=a（0°<a<60"）,點D在AABC內，且BD=BC,

ZDBC=60°.

（1）如圖1,連接AD,直接寫出NABD的度數(shù)（用含a的式子表示）；

（2）如圖2,ZBCE=150°,ZABE=60°,判斷^ABE的形狀并加以證明;

（3）在（2）的條件下，連接DE,若NDEC=45。，求a的值.

DD

B-----------CaC

圖1圖2

19.如圖，在等邊^(qū)ABC中，點D為^ABC內的一點，ZADB=120°,ZADC=90°,

將aABD繞點A逆時針旋轉60。得aACE,連接DE.

(1)求證:AD=DE；

(2)求/DCE的度數(shù)；

(3)若BD=1,求AD,CD的長.

20.如圖，根據(jù)圖中信息解答下列問題：

(1)關于x的不等式ax+b>0的解集是一

(2)關于x的不等式mx+nVl的解集是

(3)當x為何值時，y02?

21.現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術的廣泛應用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.小明計劃給朋友

快遞一部分物品，經(jīng)了解有甲、乙兩家快遞公司比較合適.甲公司表示：快遞物

品不超過1千克的，按每千克22元收費；超過1千克，超過的部分按每千克15

元收費.乙公司表示：按每千克16元收費，另加包裝費3元.設小明快遞物品

x千克.

（1）請分別寫出甲、乙兩家快遞公司快遞該物品的費用y（元）與x（千克）之

間的函數(shù)關系式；

（2）小明選擇哪家快遞公司更省錢？

22.已知:在Z\ABC中,AC=BC,ZACB=90°,過點C作CD_LAB于點D,點E是

AB邊上一動點（不含端點A、B）,連接CE,過點B作CE的垂線交直線CE于點

F,交直線CD于點G（如圖①）.

（1）求證:AE=CG；

（2）若點E運動到線段BD上時（如圖②），試猜想AE、CG的數(shù)量關系是否發(fā)

生變化，請直接寫出你的結論；

（3）過點A作AH垂直于直線CE,垂足為點H,并交CD的延長線于點M（如

圖③），找出圖中與BE相等的線段，并證明.

23.在如圖所示的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，圖①、

圖②、圖③均為頂點都在格點上的三角形（每個小方格的頂點叫格點），

（1）在圖1中，圖①經(jīng)過一次—變換（填"平移"或"旋轉"或"軸對稱"）可以得

到圖②；

（2）在圖1中，圖③是可以由圖②經(jīng)過一次旋轉變換得到的，其旋轉中心是點

（填"A"或"B"或"C"）；

（3）在圖2中畫出圖①繞點A順時針旋轉90。后的圖④.

24.如圖，平面直角坐標系內，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，^ABC的

三個頂點的坐標分別為A(-1,3),B(-4,0),C(0,0)

(1)畫出將^ABC向上平移1個單位長度，再向右平移5個單位長度后得到的

△AiBiG；

(2)畫出將△ABC繞原點0順時針方向旋轉90。得到△A2B2O；

(3)在x軸上存在一點P,滿足點P到A1與點A2距離之和最小，請直接寫出P

25.對于實數(shù)X,我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如[L2]=l.

(1)[0.5]=；[-2.5]=,

(2)若[史1]=5,求x的取值范圍.

10

26.如圖1,在平面直角坐標系xOy中，直線MN分別與x軸正半軸、y軸正半

軸交于點M、N,且0M=6cm,ZOMN=30°,等邊△ABC的頂點B與原點。重合,

BC邊落在X軸的正半軸上，點A恰好落在線段MN上，如圖2,將等邊4ABC

從圖1的位置沿x軸正方向以lcm/s的速度平移，邊AB、AC分別與線段MN交

于點E、F,在^ABC平移的同時，點P從^ABC的頂點B出發(fā)，以2cm/s的速度

沿折線B-A-C運動，當點P達到點C時，點P停止運動，△ABC也隨之停止平

移.設aABC平移時間為t(s),4PEF的面積為S(cm2).

(1)求等邊4ABC的邊長；

(2)當點P在線段BA上運動時，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取

值范圍；

(3)點P沿折線BfAfC運動的過程中，是否在某一時刻，使4PEF為等腰三

角形？若存在，求出此時t值；若不存在，請說明理由.

右平移得到aDEF,若AE=8cm,DB=2cm.

(1)求aABC向右平移的距離AD的長；

(2)求四邊形AEFC的周長.

28.問題：如圖(1),點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，NEAF=45。,

試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關系.

【發(fā)現(xiàn)證明】

小聰把4ABE繞點A逆時針旋轉90。至^ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請你利用圖

(1)證明上述結論.

【類比引申】

如圖(2),四邊形ABCD中，NBADW90。，AB=AD,ZB+ZD=180°,點E、F分

別在邊BC、CD±,則當NEAF與NBAD滿足關系時，仍有EF=BE+FD.

【探究應用】

如圖(3),在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80

米，ZB=60°,ZADC=120°,ZBAD=150°,道路BC、CD上分別有景點E、F,且

AE±AD,DF=40(5/3-1)米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路

EF的長(結果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：&=1.41,后1.73)

29.為培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的"愛讀書，讀好書，好讀書”的習慣，我市某中學舉辦

了"漢字聽寫大賽"，準備為獲獎同學頒獎.在購買獎品時發(fā)現(xiàn)，一個書包和一本

詞典會花去48元，用124元恰好可以購買3個書包和2本詞典.

（1）每個書包和每本詞典的價格各是多少元？

（2）學校計劃用總費用不超過900元的錢數(shù)，為獲勝的40名同學頒發(fā)獎品（每

人一個書包或一本詞典），求最多可以購買多少個書包？

30.如圖，在aABC中，AB=BC,CD_LAB于點D,CD=BD,BE平分NABC,點H

是BC邊的中點，連接DH,交BE于點G,連接CG.

（1）求證：AADC^AFDB；

（2）求證：CE=1BF；

2

（3）判斷aECG的形狀，并證明你的結論；

（4）猜想BG與CE的數(shù)量關系，并證明你的結論.

DB

2017年03月28日阿木的初中數(shù)學組卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共9小題）

1.（2016春?永新縣期末）如圖,在△ABC中，ZBAC=90°,ZABC=2ZC,BE平

分NABC交AC于E,ADLBE于D,下列結論：①AC-BE=AE；②點E在線段BC

的垂直平分線上；③NDAE=NC；④BC=4AD,其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得N1=N2,然后求出N2=NC,再根據(jù)等角對等

邊可得BE=CE,結合圖形AC-CE=AE,即可得到①正確；根據(jù)等腰三角形三線合

一的性質即可得到點E在線段BC的垂直平分線上，從而得到②正確；根據(jù)直角

三角形的性質分別得到NDAE和NC的度數(shù)，從而得到③正確；根據(jù)含30。的直

角三角形的性質可得AB和BC,AD的關系，進一步得到BC和AD的關系，從而

得到④正確.

【解答】解:如圖，IBE平分NABC,

/.Z1=Z2,

VZABC=2ZC,

.*.Z2=ZC,

/.BE=CE,

VAC-CE=AE,

.'.AC-BE=AE,故①正確；

VBE=CE,

...點E在線段BC的垂直平分線上，故②正確;

VZ1=Z2=ZC,

.ZC=Zl=30",

.*.ZAEB=90o-30°=60°,

AZDAE=90°-60°=30°,

.,.ZDAE=ZC,故③正確;

在RtZ\BAC中，ZC=30°,

JBC=2AB,

在Rtz^BDA中,Zl=30°,

；.AB=2AD,

/.BC=4AD,故④正確；

綜上所述，正確的結論有①②③④.

故選D.

【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的判定與性質，直角三

角形的性質，利用含30。的直角三角形的性質是解題的關鍵.

2.（2016春?市南區(qū)期末）如圖，在^ABC中，ZC=90°,AD平分NBAC,DE±

AB于E,則下列結論：①DE=CD；②AD平分NCDE；③NBAC=NBDE；④BE+AC=AB,

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】①根據(jù)角平分線的性質得出結論：DE=CD；

②證明^ACD絲z^AED,得AD平分NCDE；

③由四邊形的內角和為360。得NCDE+NBAC=180。，再由平角的定義可得結論是

正確的；

④由△ACD^^AED得AC=AE,再由AB=AE+BE,得出結論是正確的.

【解答】解：①?.?/C=90°,AD平分NBAC,DELAB,

，DE=CD；

所以此選項結論正確；

②；DE=CD,AD=AD,ZACD=ZAED=90°,

.'.△ACD^AAED,

，ZADC=ZADE,

AAD平分NCDE,

所以此選項結論正確；

③；ZACD=ZAED=90°,

Z.ZCDE+ZBAC=360°-90°-90°=180°,

VZBDE+ZCDE=180",

/.ZBAC=ZBDE,

所以此選項結論正確；

?,/△ACD^AAED,

，AC=AE,

VAB=AE+BE,

，BE+AC=AB,

所以此選項結論正確；

本題正確的結論有4個，故選D.

【點評】本題考查了全等三角形性質和判定，同時運用角平分線的性質得出兩條

垂線段相等；本題難度不大，關鍵是根據(jù)HL證明兩直角三角形全等，根據(jù)等量

代換得出線段的和，并結合四邊形的內角和與平角的定義得出角的關系.

3.（2009?牡丹江）^ABC在如圖所示的平面直角坐標系中，將^ABC向右平移3

個單位長度后得△AiBiCi，再將△AiBiCi繞點。旋轉180。后得到AAzB2c2.則下

列說法正確的是（）

B.Qn=3

咕邊出ABB*1

C.B2c=2\后D.ZAC2O=45°

【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，對選項進行一一分析，排除錯誤答案.

【解答】解：如圖，A、Ai的坐標為（1,3）,故錯誤

B、S四邊彩ABBIAI=3X2=6,故錯誤；

c、B2C=^32+12=7TO,故錯誤；

D、變化后，C2的坐標為（-2,-2）,而A（-2,3）,由圖可知，ZAC2O=45",

故正確.

故選：D.

【點評】本題考查平移、旋轉的性質.

（1）平移的基本性質是：①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過平移，對應

點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等.

（2）旋轉的性質是：旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、

形狀都不改變，兩組對應點連線的交點是旋轉中心.

4.（2017?岱岳區(qū)模擬）^ABC中，ZACB=90°,NA=a,以C為中心將aABC旋

轉0角到^AiBiC（旋轉過程中保持4ABC的形狀大小不變）B點恰落在AiBi上,

如圖，則旋轉角0的大小為（)

A.a+10°B.a+20°C.aD.2a

【分析】由旋轉的性質可知，BC=BiC,ZAi=ZA=a,可知NCBBi=NBi=90°-a,

在等腰4CBBi中，根據(jù)三角形內角和定理可得2（90。-a）+6=180。，由此可得

旋轉角0的大小.

【解答】解：由旋轉得BC=BCZAi=ZA=a,ZABC=ZBi=90°-a,

，等腰^CBBi中，ZCBBi=ZBi=90°-a,ZBCBi=0,

?.'△CBBi中，ZCBB1+ZBi+ZBCBi=180°,

：.2（90°-a）+0=180",

【點評】本題主要考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質以及三角形內角和定理

的綜合應用，解題時注意：對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，旋轉

前、后的圖形全等.

5.（2015?河北模擬）現(xiàn)有一列式子:①55?-45?；@5552-4452；③55552-44452...

則第⑧個式子的計算結果用科學記數(shù)法可表示為（）

A.1.1111111X1O16B.1.1111111X1027

C.1.111111X1056D.1.1111111X1017

【分析】根據(jù)題意得出一般性規(guī)律，寫出第8個等式，利用平方差公式計算，將

結果用科學記數(shù)法表示即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：第⑧個式子為5555555552-444444445?=

(555555555+444444445)X(555555555-444444445)=1.1111111X1017.

故選D.

【點評】此題考查了因式分解-運用公式法，以及科學記數(shù)法-表示較大的數(shù)，

熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵.

6.(2017春?藁城區(qū)校級月考)下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的

為()

A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4

C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x

【分析】直接利用分解因式的意義分別分析得出答案.

【解答】解：A、a(x+y)=ax+ay,是整式的乘法運算，故此選項不合題意；

B、x2-4x+4=(x-2)2,故此選項不合題意；

C、10x2-5x=5x(2x-1),正確，符合題意;

D、x2-16+3X,無法分解因式，故此選項不合題意；

故選：C.

【點評】此題主要考查了因式分解的意義，正確分解因式是解題關鍵.

7.(2015?荷澤)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=y5(經(jīng)過點A,作AB

±x軸于點B,將△ABO繞點B逆時針旋轉60。得到ACBD.若點B的坐標為(2,

0),則點C的坐標為()

A.（-1,V3）B.（-2,V3）C.（-我，1）D.（-我，2）

【分析】作CH，x軸于H,如圖，先根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征確定A（2,

2在），再利用旋轉的性質得BC=BA=2b，ZABC=60",則NCBH=30。，然后在Rt

△CBH中，利用含30度的直角三角形三邊的關系可計算出CH=LBC=?,

2

BH=V3CH=3,所以OH=BH-OB=3-2=1,于是可寫出C點坐標.

【解答】解：作CH，x軸于H,如圖，

,點B的坐標為（2,0）,AB_Lx軸于點B,

...A點橫坐標為2,

當x=2時，y=\^x=2近，

AA(2,2y)，

VAABO繞點B逆時針旋轉60。得到ACBD,

.?.BC=BA=2?,NABC=60°,

/.ZCBH=30°,

在RtACBH中，CH=1BC=V3，

BH=V^CH=3,

OH=BH-OB=3-2=1,

AC(-1,V3).

故選：A.

X

HO

D

【點評】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角

度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標.常見的是旋轉特殊角度如：30。,

45°,60°,90°,180。.也考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征和含30度的直角

三角形三邊的關系.

8.（2016春?市北區(qū)期中）如圖，將邊長為3a的等邊AABC沿BC方向向右平

移得到△ABU,若aABC與AABC重疊部分面積為2舊，則此次平移的距離是

【分析】重疊部分為等邊三角形，設B1C=x,則BE邊上的高為返X，根據(jù)重疊

2

部分的面積列方程求X,再求BBi.

【解答】解：設B1C=x,

根據(jù)等邊三角形的性質可知，重疊部分為等邊三角形，

則BiC邊上的高為返<,

2

/.-1-XXX2^X=2>/3?解得x=2我（舍去負值），

BiC=2^/2，

，BBi=BC-BiC=3&-2心

故選B

【點評】本題考查了等邊三角形的性質，平移的性質.關鍵是判斷重疊部分圖形

為等邊三角形，利用等邊三角形的性質求邊長.

9.（2012秋?高新區(qū)校級期中）如圖，兩個等邊aABD,ACBD的邊長均為1,

將aABD沿AC方向向右平移到△ABD的位置，得到圖2,則陰影部分的周長為

)

圖1圖2

A.1B.2C.2.5D.3

【分析】先標注字母，然后根據(jù)平移的性質判定aDEG,ABFH,△D，EM,△B'NF

是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的每一條邊都相等可得陰影部分的周長等于

BD+BD,代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解.

【解答】解：如圖，?.?兩個等邊AABD,ACBD的邊長均為1,將4ABD沿AC

方向向右平移到△ABD，的位置，

.'.△DEG,△BFH,△D'EM,△B'NF是等邊三角形，

.*.GE=DG,HF=BH,FN=B'N,EM=D'M,

...陰影部分的周長

=GE+GH+HF+FN+MN+EM=DG+MN+BH+B'N+MN+D'M=BD+B'D'=1+1=2.

故選B.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質，平移的性質，根據(jù)平移的性質用等邊三

角形的邊長表示出陰影部分的周長是解題的關鍵.

二.填空題(共6小題)

10.(2016春?廣水市期末)已知x=2是不等式(x-5)(ax-3a+2)W0的解，

且x=l不是這個不等式的解，則實數(shù)a的取值范圍是l<aW2.

【分析】根據(jù)x=2是不等式(x-5)(ax-3a+2)W0的解，且x=l不是這個不等

式的解，列出不等式，求出解集，即可解答.

【解答】解：；x=2是不等式(x-5)(ax-3a+2)近0的解,

(2-5)(2a-3a+2)WO,

解得：aW2,

Vx=l不是這個不等式的解，

(1-5)(a-3a+2)>0,

解得：a>l,

故答案為：l〈aW2.

【點評】本題考查了不等式的解集.注意解決本題的關鍵是求不等式的解集.

11.(2014秋?臨沐縣期中)如圖，在^ABC中，ZC=90°,ZB=30°,以點A為圓

心，任意長為半徑畫弧分別交AB,AC于點M和N,再分別以點M,N為圓心，

大于LMN的長為半徑畫弧，再畫弧交于點P,連接AP并延長交BC于點D,則

2

下列結論：①AD是NBAC的平分線；②NADC=60。；③點D在AB的垂直平分線

上；@SAABD=2SAADC.其中結論正確的序號為①②③④.

A

【分析】①根據(jù)作圖的過程可以判定AD是NBAC的角平分線；

②利用角平分線的定義可以推知NCAD=30。，則由直角三角形的性質來求NADC

的度數(shù)；

③利用等角對等邊可以證得4ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一"的性

質可以證明點D在AB的中垂線上；

④利用30度角所對的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計算公式來求兩個三

角形的面積之比.

【解答】解：①根據(jù)作圖的過程可知，AD是/BAC的平分線.

故①正確；

②如圖，?.?在^ABC中，ZC=90°,ZB=30°,

AZCAB=60".

又YAD是NBAC的平分線,

，N1=/2=LNCAB=3O°,

2

；.N3=90°-N2=60°,即NADC=60°.

故②正確；

(3)VZ1=ZB=3O°,

；.AD=BD,

.?.點D在AB的中垂線上.

故③正確；

④?.,如圖，在直角4ACD中,Z2=30",

.*.CD=XAD,

2

，BC=CD+BD=XAD+AD=XAD,SADAC=XAC*CD=1AC?AD.

2224

...SAABD=^AC?BD=XAC?AD=XAC*AD,

222

SADAC：SAABD=—AC*AD：-i-AC*AD=1：2.

42

故④正確.

綜上所述，正確的結論是：①②③④.

故答案為：①②③④.

【點評】本題考查了角平分線的性質、線段垂直平分線的性質以及作圖-基本作

圖.解題時，需要熟悉等腰三角形的判定與性質.

12.（2016?新縣校級模擬）如圖，邊OA,OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA

//BC,D是BC上一點，BD=-LOA=V21AB=3,ZOAB=45°,E,F分別是線段OA,

AB上的兩個動點，且始終保持NDEF=45。，若^AEF為等腰三角形，則0E的長

為耳舐3出或3.

力i

OEAx

【分析】因為4AEF為等腰三角形，所以要分三種情況進行討論：①當EF=AF時,

如圖1,根據(jù)4AGB是直角三角形及斜邊AB=3可求AG的長，即BG的長，從而

求出AE的長，相減即可得出0E；

②當EF=AE時，如圖2,AE=BD=&,則OE=OA-AE即可；

③當AE=AF時，如圖3,證明AODE是等腰三角形，再求0D的長，就是0E的

長.

【解答】解：當4AEF為等腰三角形，存在3種情況：

①當EF=AF時，如圖1,過點B作BG_Lx軸于G,則4AGB是直角三角形，

BD=yOA=V2,

0A=4&,

VZOAB=45°,

/.△AEF是等腰直角三角形，

VZDEF=45°,

AZDEA=90",

則四邊形DEGB是平行四邊形，

VAB=3,

.,.AG=BG=22/1,

2__

AE=AG+EG=^Z1+BD=^1+V^=^X

222

/.OE=OA-AE=4&-/=避；

22

②當EF=AE時，如圖2,

VZOAB=45",

/.ZEFA=ZOAB=45°,

/.ZFEA=90°,

VZDEF=45°,

/.ZDEO=180o-90°-45°=45°,

/.ZDEO=ZOAB,

；.DE〃AB,

?.?BC〃OA,

二四邊形DEAB是平行四邊形，

，AE=BD=&,

OE=4&-A/2=3V2；

③當AE=AF時,如圖3,

VZOAB=45°,

.,.ZFEA=67.5°,

VZDEF=45°,

ZOED=180°-45°-67.5°=67.5°,

由(1)得：AG=BG=_^Z1,

2_

CD=OA-AG-BD=4&-3*-心-羊,

CD=OC=^/1,

2

/.△COD是等腰直角三角形，則OD=&CD=3,

AZCOD=45°,

/.ZDOE=45°,

ZODE=180°-45°-67.5°=67.5°,

/.ZODE=ZOED,

Z.0D=0E=3

綜上所述：OE=&叵或3&或3.

2

【點評】本題是等腰三角形的動點問題，考查了等腰三角形及等腰直角三角形的

性質及判定，當三點構成等腰三角形時，要分三種情況討論，與坐標、圖形相結

合，利用線段的和與差求線段的長.

13.（2016?徐聞縣三模）如圖，CD是RtAABC斜邊AB上的高，將4BCD沿CD

折疊，B點恰好落在AB的中點E處，則NA等于30度.

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得到EC=AE,從而得到

ZA=ZACE,再由折疊的性質及三角形的外角性質得到NB=2NA,從而不難求得

NA的度數(shù).

【解答】解：?在Rtz^ABC中，CE是斜邊AB的中線，

；.AE=CE,

/.ZA=ZACE,

VACED是由ACBD折疊而成，

NB=/CED,

,/NCEB=NA+NACE=2NA,

/.ZB=2ZA,

VZA+ZB=90°,

AZA=30°.

故答案為：30.

【點評】此題主要考查：（1）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半;

（2）三角形的外角性質：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.

14.（2014春?吉州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，ZA=36°,AB=AC,AB的垂直平

分線OD交AB于點0,交AC于點D,連接BD,以下結論：

①NC=2NA；②BD平分NABC；③SABCD=SABOD；④點D到線段BC的距離等于線

段OD的長.

其中正確的是①②④（把所有正確結論的序號都填在橫線上）.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和定理可計算出NABC=NC=72。,

則由NC=2NA；再根據(jù)線段的垂直平分線的性質得DA=DB,則NDBA=NA=36。，

所以NDBA=NDBC=36。；作DHJ_BC于H,根據(jù)角平分線的性質得DH=OD；禾U用

二角形面積公式得到SABOD=SABDH-

【解答】解:VZA=36°,AB=AC,

，NABC=/C」（180°-36°）=72°,

2

.".ZC=2ZA,所以①正確;

VAB的垂直平分線OD交AB于點。，

/.DA=DB,

，NDBA=NA=36°,

/.ZDBA=ZDBC=36°,即BD平分NABC,所以②正確;

作DHJ_BC于H,則DH=OD,OB=OH,所以④正確.

SABOD=S/\BDH>所以③錯誤；

故答案為①②④.

4

D

-------HC

【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質：垂直平分線垂直且平分其所在線段;

垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等.也考查了等腰三角形的性質

和角平分線性質.

15.(2016春?鄴城縣期末)如圖，在^ABC中，ZA=36°,AB=AC,AB的垂直平

分線OD交AB于點0,交AC于點D,連接BD,以下結論：

①/C=2NA；

②BD平分NABC；

③SZ\BCD=SZ\BDO；

④點D到線段BC的距離等于線段OD的長.

其中正確的是①②④(把所有正確結論的序號都填在橫線上)

【分析】①根據(jù)等腰三角形的性質再通過角的計算可得出NC=72o=2/A；②根據(jù)

垂直平分線的性質可得出DA=DB,再根據(jù)角的計算即可得出NABD=NDBC,從而

得出BD平分NABC；③過點D作DE±BC于點E,根據(jù)角平分線的性質可得出

DO=DE,再結合公共邊BD=BD,即可證出RtZ\BOD之RtZSBED(HL),由此即可得

出SABDO=SABDEWSABCD;④由③中的DO=DE,即可得出點D到線段BC的距離等于

線段OD的長.綜上即可得出結論.

【解答】解：①,在aABC中，ZA=36°,AB=AC,

.,.ZC=ZABC=1(180°-ZA)=72°=2NA,

2

...①成立;

②；DO為AB的垂直平分線,

，DA=DB,

/.ZA=ZABD,

,/ZABC=2ZA,

，ZABD=ZDBC,

，BD平分NABC,即②成立；

③過點D作DE±BC于點E,如圖所示.

?..DO為AB的垂直平分線，

Z.DO=DE,

在RtABOD和RtABED中，

IDO=DE

/.RtABOD^RtABED（HL）,

SABDO=SABDEWS/XBCD，

，③不成立；

@VDO=DE,

.?.點D到線段BC的距離等于線段OD的長,

...④正確.

綜上可知：正確的結論是①②④.

故答案為：①②④.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質、線段垂直平分線的性質以及全等三角形

的判定與性質，解題的關鍵是逐條分析4條選項.本題屬于中檔題，難度不大，

解決該題型題目時，熟記垂直平分線和角平分線的性質是關鍵.

三.解答題（共15小題）

16.（2012春?石獅市期末）在aABC中，CA=CB,ZACB=120°,將一塊足夠大的

直角三角尺PMN（ZM=90\ZMPN=30°）按如圖所示放置，頂點P在線段AB

上滑動，三角尺的直角邊PM始終經(jīng)過點C,并且與CB的夾角NPCB=a,斜邊

PN交AC于點D.

（1）當PN〃BC時，NACP=90度;

（2）當a=15。時,求NADN的度數(shù)；

（3）在點P的滑動過程中，4PCD的形狀可以是等腰三角形嗎？若不可以，請

說明理由；若可以，請求出夾角a的大小.

【分析】（1）根據(jù)平行線性質求出NBCP,即可得出答案.

（2）求出NACP,根據(jù)三角形內角和定理求出NPDC,即可得出答案；

（3）分為三種情況：當PC=PD時，當PD=CD時，當PC=CD時，根據(jù)等腰三角

形性質和三角形內角和定理得出關于a的方程，求出即可.

【解答】解：（1）VPN/7BC,NMPN=30。，

/.ZBCP=ZMPN=30°,

,/ZACB=120",

/.ZACP=ZACB-ZBCP=90°,

故答案為：90.

(2)VZACB=120°,ZPCB=15°,

/.ZPCD=ZACB-ZPCB=105°,

.?.ZPDC=180°-ZPCD-ZMPN=180°-105°-30°=45°,

/.ZADN=ZPDC=45°.

（3）aPCD的形狀可以是等腰三角形,

ZPCA=120°-a,ZCPD=30°,

①當PC=PD時，APCD是等腰三角形，

NPCD=L（180°-ZMPN）=L（180°-30°）=75°,

22

即120°-a=75°,

解得：a=45。；

②當PD=CD時，APCD是等腰三角形，

ZPCD=ZCPD=30°,

即120°-a=30°,

解得：a=90。；

③當PC=CD時，△PCD是等腰三角形，

ZPCD=180°-2X30°=120°,

即120°-a=120°,

解得:a=0°,

此時點P與點B重合，點D和A重合.

綜合上述：當a=45?；?0?；?。時，4PCD是等腰三角形，

即a的大小是45。或90。或0°.

【點評】本題考查了等腰三角形性質和判定平行線性質的應用，注意要進行分類

討論.

17.（2016春?晉江市期末）現(xiàn)有如圖①所示的兩種瓷磚.請從這兩種瓷磚中各

選2塊，拼成一個新的正方形地板圖案，使拼鋪的圖案成軸對稱圖形或中心對稱

圖形（如示例圖②）.

（要求：分別在圖③、圖④中各設計一種與示例圖不同的拼法，這兩種拼法各不

相同，且在圖③拼成的圖案是軸對稱圖形，在圖④拼成的圖案既是軸對稱圖形，

【分析】直接利用軸對稱圖形的定義以及中心對稱圖形的定義得出符合題意的圖

案.

【解答】解：如圖③所示，此圖案是軸對稱圖形，如圖④所示，此圖案既是軸對

稱圖形，又是中心對稱圖形.

【點評】此題主要考查了利用旋轉設計圖案以及利用軸對稱設計圖案，正確把握

中心對稱圖形的定義是解題關鍵.

18.（2016秋?鼓樓區(qū)期中）在△ABC中，AB=AC,NBAC=a（0°Va<60°）,點D

在AABC內，且BD=BC,ZDBC=60°.

（1）如圖1,連接AD,直接寫出NABD的度數(shù)（用含a的式子表示）；

（2）如圖2,ZBCE=150°,ZABE=60°,判斷4ABE的形狀并加以證明；

（3）在（2）的條件下，連接DE,若NDEC=45。，求a的值.

【分析】（1）根據(jù)等邊對等角得出NABC=NACB,再根據(jù)三角形的內角和定理得

出NABC=90。-Lx,最后根據(jù)NDBC=60。，即可得出答案；

2

（2）連接AD,CD,先證出4ABD絲AACD,得出NADB=NADC,再根據(jù)NBDC=60°,

求出NADB=150°,得出NADB=NBCE,再證出NABD=/EBC,在^ABD和AEBC

中，根據(jù)ASA得出△ABD^^EBC,從而得出AB=BE,即可證出4ABE是等邊三

角形；

（3）根據(jù)已知條件先求出NDCE=90。，再根據(jù)NDEC=45。，得出aDEC為等腰直

角三角形，再根據(jù)NBAD=/ABD=15。，ZBAC=30°,從而求出a的值.

【解答】解：（1）如圖1,VAB=AC,

ZABC=ZACB,

VZBAC=a,

NABC=180=90。-J_a,

22

???△DBC為等邊三角形，

/.ZDBC=60°,

ZABD=ZABC-ZDBC=90°-la-60°=30°-la；

22

(2)如圖2,連接AD,CD,

ZABE=60°,ZABD=30°-la,

2

/.ZDBE=30°+la,

2

XVZDBC=60",

.?.ZCBE=300-la=ZABD,

2

VZDBC=60°,BD=BC,

.?.△BDC是等邊三角形，

/.BD=CD,

在Z\ABD和4ACD中，

'AB=AC

,BD=CD>

AD=AD

/.△ABD^AACD(SSS),

NBAD=/CAD=l_a,

2

在^BCE中，ZBCE=150",ZCBE=30°-la,

2

/.ZBEC=la=ZBAD,

2

在^ABD和ACBE中，

，ZBEC=ZBAD

-BD=BC，

ZCBE=ZABD

/.△ABD^AEBC(ASA),

，AB=BE,

.,.△ABE是等邊三角形;

(3)如圖2,連接DE,

,ZBCD=60°,ZBCE=150°,

.ZDCE=150°-60°=90°,

,ZDEC=45°,

.△DEC為等腰直角三角形，

.DC=CE=BD,

,△DBC為等邊三角形，

.BC=CE,

.ZCBE=ZBEC

?ZBCE=150°,

.ZBEC=J^(180--150°)=15°,

2

?△ABD^AEBC

.ZBAD=ZABD=ZBEC=15°,

.ZABC=ZABD+ZDBC=75°,

，AB=AC,

.ZBAC=30°,

,a=30°.

B

Si

【點評】此題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，等邊三

角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形的內角和定理的綜合應用，解決

問題的關鍵是找出全等三角形.

19.(2016秋?老河口市期中)如圖，在等邊AABC中，點D為AABC內的一點,

ZADB=120°,ZADC=90°,將aABD繞點A逆時針旋轉60。得^ACE,連接DE.

(1)求證:AD=DE；

(2)求NDCE的度數(shù)；

(3)若BD=1,求AD,CD的長.

【分析】(1)利用旋轉的性質和等邊三角形的性質先判斷出4ADE是等邊三角形

即可；

(2)利用四邊形的內角和即可求出結論；

(3)先求出CD,再用勾股定理即可求出結論.

【解答】(1)證明：?.,將4ABD繞點A逆時針旋轉60。得aACE

.,.△ABD^AACE,ZBAC=ZDAE,

，AD=AE,BD=CE,ZAEC=ZADB=120°,

:△ABC為等邊三角形

/.ZBAC=60o

.*.ZDAE=60o

.,.△ADE為等邊三角形，

，AD=DE,

(2)NADC=90°,ZAEC=120°,ZDAE=60°

Z.ZDCE=360°-ZADC-ZAEC-ZDAE=90",

(3).:△ADE為等邊三角形

ZADE=60°

/.ZCDE=ZADC-ZADE=30°

XVZDCE=90"

，DE=2CE=2BD=2,

，AD=DE=2

在Rt/WCE中，DC=7DE2-CEM22-12=V3-

【點評】此題是旋轉的性質，主要考查了等邊三角形的性質和判定，勾股定理,

解本題的關鍵是判斷出aADE是等邊三角形.

20.（2016春?瑞昌市期中）如圖，根據(jù)圖中信息解答下列問題:

（1）關于x的不等式ax+b>0的解集是x<4.

（2）關于x的不等式mx+nVl的解集是x<0.

（3）當x為何值時，yWyz?

（4）當x為何值時，0Vy2〈yi?

【分析】（1）利用直線丫=2*+13與x軸的交點為（4,0）,然后利用函數(shù)圖象可得

到不等式kx+b>0的解集.

（2）利用直線y=mx+n與x軸的交點為（0,1）,然后利用函數(shù)圖象可得到不等

式mx+n<l的解集.

（3）結合兩條直線的交點坐標為（2,18）來求得yiWy2解集.

（4）結合函數(shù)圖象直接寫出答案.

【解答】解：⑴???直線y2=ax+b與x軸的交點是（4,0）,

.,.當xV4時，y2>0,即不等式ax+b>0的解集是x<4；

故答案是：x<4；

（2）?直線yi=mx+n與y軸的交點是（0,1）,

.,.當xVO時，yi<l,即不等式mx+nV1的解集是xVO；.

故答案是：x<0；

（3）由一次函數(shù)的圖象知，兩條直線的交點坐標是（2,18）,當函數(shù)yi的圖象

在丫2的下面時，有xW2,

所以當xW2時,yi^y2；

（4）如圖所示，當2<x<4時，0<丫2<丫1.

【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，解答該類題目時，需要學生具

備一定的讀圖能力，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法，準確的確定出x的值，是解答

本題的關鍵.

21.（2016?臨沂）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術的廣泛應用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.小

明計劃給朋友快遞一部分物品，經(jīng)了解有甲、乙兩家快遞公司比較合適.甲公司

表示：快遞物品不超過1千克的，按每千克22元收費；超過1千克，超過的部

分按每千克15元收費.乙公司表示：按每千克16元收費，另加包裝費3