2020-2021學年北京市一零一實驗學校高二（下）期末數(shù)學試卷（解析版）

2020-2021學年北京市一零一實驗學校高二（下）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（共io小題）.

1.若全集U=R,A={x|x<l},8^{x\x>-1(,則()

A.AQBB.BQAC.BcCuAD.QVAQB

2.下列數(shù)列中，156是其中一項的是（）

A.{"2+1}B.{n2-1}C.{/+”}D.{n2+n-1}

3.已矢口x=k)g5*,y=(4)01-z=2；,則()

23

A.x<y<zB.x<z<yC.y<x<zD.z<x<y

4.已知a,h,c滿足c<%Va,且acVO,那么下列選項中不一定成立的是（）

A.ab>acB.c（/?-a）<0C.cb2<ah2D.ac（a-c）<0

5.已知x>0,y>0,且x+y=8,則（1+x）（1+y）的最大值為（）

A.16B.25C.9D.36

6.設〃ER,若關于x的不等式1-分+120在區(qū)間［1,2］上有解，則（）

A.〃W2B.C.a^—D.

22

7.已知函數(shù)/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間［0,+8）上單調(diào)遞增，若實數(shù)。滿

足f(log2〃)+f(-L)<2于（1）,則。的取值范圍是（）

2

A.虎，2]B.[1,2]C.（0,y）D.（0,2］

8.設S”是等差數(shù)列{斯}的前〃項和且S6>S7>S5,則下列結(jié)論正確的是（）

A.Sii>0B.Si2VoC.Si3>0D.Ss>S6

,X41

9.已知函數(shù)/(x)="2,若關于X的額方程a=/（x）恰有兩個不同實

-X2+4X-2,X>1

根，則實數(shù)a的取值范圍是(）

A.(-co,1)UE1,2)B.（0,1）UE1,2）

c.(1,2)4儕，2）

10.關于函數(shù)/(元)=sinx-xcosx,下列說法錯誤的是（）

A.f（x）是奇函數(shù)

B.0不是/（幻的極值點

IT兀

c.于（x）在（一了，?。┥嫌星覂H有3個零點

D./（X）的值域是R

二、填空題共5小題

11.若集合A=｛R-1W2X+1W3｝,B=｛x|三2wO｝,則ACB=

X

12.寫出“xd4-2”成立的一個充分不必要條件.

X

13.已知函數(shù)/（x）,g（x）分別由下表給出

x123

f（x）131

x123

g（x）321

則滿足力g（X）］＞然（外］的尢為.

14.已知f（x）=ln（N+l）,g（x）=（，）x-in,若對Vx?0,3］,3x2G［l＞2］,使得了

（xi）2g（X2）,則實數(shù)，W的取值范圍是.

15.數(shù)列｛?。校绻嬖诩词沟谩耙裕鞠迀且公〉伙+1”成立（其中42,依N*）,則

稱飆為｛3｝的一個峰值.

（1）若an=-3n2+lln，則｛飆｝的峰值為:

（2）若an=-3n2+tn，且｛"”｝不存在峰值，則實數(shù)f的取值范圍是.

三、解答題共4小題。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程

16.已知函數(shù)/（%）=/+〃，（xGR）.

⑴對VM,X26R比較4與f（衛(wèi)要"）的大??；

4142

（2）若在［-1,1］時，有|/（龍）區(qū)1,試求實數(shù)a的取值范圍.

17.已知等比數(shù)列｛〃“｝的首項為2,等差數(shù)列｛瓦｝的前"項和為S”且0+G=6,2歷+〃3=

04,S3=3〃2?

（I）求｛%｝,｛兒｝的通項公式;

（II）設Cn=ba.,求數(shù)列｛c"的前”項和.

219

is.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且f(2)=^.

x+n2

(1)求實數(shù)m,n的值；

(2)設函數(shù)g(x)=f(%)+1,函數(shù)y=g(x)在點P(t,g(t))(t)*)處的切線與

坐標軸圍成的三角形的面積為SC),求S(r)的單調(diào)區(qū)間及最值.

19.若函數(shù)f(X)滿足：對于s,/eio,+8),都有/(6)20,f(t)20,且/(6)+fCt)

Wf(s+r),則稱函數(shù)/(x)為“T函數(shù)”.

(1)試判斷函數(shù)￡[6)=*2與及(x)=ln(x+1)是否為“T函數(shù)”，并說明理由；

(2)設函數(shù)/(x)為“T函數(shù)”，且存在xo00,+8),使/(/(&))=xo,求證：f

(Xo)—J?；

(3)試寫出一個“7函數(shù)”，滿足/(2)=4,且使集合｛)，b，=/(x),0WxW2｝中元素

最少(只需寫出你的結(jié)論).

參考答案

一、選擇題共1()小題。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1.若全集U=R,A={x|x<l},B={x\x>-1),則()

A.AUBB.BUAC.BuCuAD.CuAUB

解：；CRA={X|X21},CRB={X|XW-1},...CRAUB,

故選：D.

2.下列數(shù)列中，156是其中一項的是()

A.{n2+1}B.{n2-1}C.{n2+n}D.{n2+n-1}

【解答】解；根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,若數(shù)列為{*+1},則有〃2+1=156,無正整數(shù)解，不符合題意；

對于8,若數(shù)列為{層-1},則有“2-1=156,無正整數(shù)解，不符合題意；

對于C,若數(shù)列為{〃2+〃},則有〃2+〃=156,解可得〃=12或-13(舍)，有正整數(shù)解〃

=12,符合題意，

對于。，若數(shù)列為{/+〃-1},則有”2+〃-1=匕6,無正整數(shù)解，不符合題意；

故選：C.

3.3知x=log54,y=(,)01,z=2；,則()

223

A.x<y<zB.x<z<yC.y<x<zD.z<x<y

解：Vx=log5—<logsl=0,

0<產(chǎn)(1)0><(1)°=1

Z=2y>20=l,

.\x<y<z.

故選：A.

4.已知b,c滿足cVbVa,且acVO,那么下列選項中不一定成立的是()

A.ab>acB.c(/?-?)<0C.cb2<ab2D.ac(a-c)<0

解：因為cV〃Vm且acVO,所以。>0,c<0,

對于A,〃>0,b-c>0,所以ab-ac=a(b-c)>0,所以故A正確；

對于8,c(b-a)>0,故3錯誤；

對于C,當b=0時，仍2=〃/落故C錯誤；

對于￡),ac<0,a-c>0,所以〃c(a-c)<0,故。正確.

故選：BC.

5.已知x>0,y>0,且x+y=8,則(1+x)(1+y)的最大值為()

A.16B.25C.9D.36

解：Vx>0,y>0,且x+y=8,

(l+x)(1+y)=1+(x+y)+xy=9+xyW9+(，刊)_=9+16=25,

4

當且僅當x=y=5時，取等號，

A(1+x)(1+y)的最大值為25.

故選：B.

6.設〃ER,若關于x的不等式/-以+120在區(qū)間[1,2]上有解，則()

RR

A.B.C.cO—D.a^—

22

解：???關于x的不等式/-公+120在區(qū)間[1,2]上有解，

在xW[l,2]上有解=a<(x^^)邊寫，xE[\f2].

函數(shù)/(x)=XA在口,2]上單調(diào)遞增,

X

f()=f(2)=->

八x,111ax22

故選：D.

1.已知函數(shù)/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞增，若實數(shù)“滿

足/(log2。)^2/(1),則〃的取值范圍是()

2

A.[y,2]B.[1,2]C.(0,y)D.(0,2]

解：因為函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以/(=f(-log26f)=/(logaa),

2

則/(log2〃)4/(^2/(1)為：f(log267)W/(l),

2

因為函數(shù)/(x)在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞增，

所以|log2〃|〈l,解得

則a的取值范圍是[￡，2],

故選：A.

8.設5〃是等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和，且S6>S7>S5,則下列結(jié)論正確的是()

A.Sn>0B.5I2<0C.5i3>0D.S8>S6

解：由｛?。堑炔顢?shù)列且S6>S7,得〃7V0,又S7>S5,得〃6+〃7>0，所以〃6>0，

即當九16時,an>0；當〃N7時，an<09則Sii=lla6>0,所以選項A正確；

10

Si2=g(m+02)=6(燃+s)>0,所以選項B錯誤；S13=13〃7〈O,所以選項。錯誤,

S8-S6=m+〃8V0,所以S8Vs6,選項。錯誤.

故選：A.

心嚴吟,X<1

9.已知函數(shù)/(x)=｛22，若關于x的額方程a=/(x)恰有兩個不同實

-X2+4X-2,X>1

根，則實數(shù)”的取值范圍是()

A.(-8,2)B.(0,2)

C.(y,1)U(y?2)D.(y,2)

又f(1)=1,

又因為無>1時，/'(x)=-(X-2)2=2,

此時/(x)最大值為2,

所以當或時，方程a=/(x)恰有兩個不同的實數(shù)根，

故選：C.

10.關于函數(shù)/(x)=sinx-xcosx,下列說法錯誤的是()

A./(x)是奇函數(shù)

B.0不是/(x)的極值點

兀兀

c./(X)在(號，丁)上有且僅有3個零點

D./(x)的值域是R

解：對于A：由/(-x)=sin(-x)+xcos(-x)=-/(x),.*./(%)是奇函數(shù)，A對;

對于B,f(x)=siru'-xcosx,f(x)=cosx-cosx-xsinx=-%sinx,當x=0時，f(x)

=0,f(x)=0,0不是/(x)的極值點.B對.

對于C：f(x)=sirtv-xcosx,f(x)=cosx-cosx+xsinx=xsinx,可得在(■——,0)

TTJT

上單調(diào)遞減.(0,-y)上單調(diào)遞增./(0)可得最小值，/(0)=0,所以，f(x)在(號,

JT

色)上不是3個零點.C不對；

對于。當x無限大或無線小時，可得/(x)的值域為R,。對.

故選：C.

二、填空題共5小題

11.若集合A={x|-lW2x+l<3},8={x|^^W0},則4nB={ROVxWl].

X

解：???A={x|-1W2X+1W3},由不等式-1W2X+1W3解得，xG[-1,1],

：.A={x\-

VB={x|—^0),不等式等價為：卜丁)<0,

xIx#0

解得xe(0,2],：.B={x\0<x^：2},

所以，AnB=W-l《xWl}C{x[0<xW2}={x[0<xWl},

即,AnB={x[0<xWl},

故答案為：HOVxWl}.

12.寫出“x」"4-2”成立的一個充分不必要條件x<-1(答案不唯一).

解：由xd4-2,得陽”

40，可得xVO,

；?“xd《-2”成立的一個充分不必要條件是x<-1(答案不唯一)?

故答案為：x<-1(答案不唯一).

13.已知函數(shù)/(x),g(x)分別由下表給出

x123

f(x)131

x123

g(x)321

則滿足yig(X)]>g[/(x)1的x為2.

解：?..當x=l時，憊⑴]=1,g[f⑴]=g⑴=3不滿足慮(x)]>g[f(x)],

當x=2時，f[g(2)]=/(2)=3,gif(2)]=g(3)=1滿足Hg(x)]>^(x)J,

當x=3時，f[g(3)]=/(1)=1,g,⑶]=g(1)=3不滿足/Ig(x)]>g[f(x)],

故滿足,Ag(x)]>g[f(x)]的x的值是2,

故答案為：2.

14.已知f(x)=ln(/+1),g(x)=(1)若對VxiRO,3],3x2e[l,2],使得了

(xi)2g(X2),則實數(shù)1的取值范圍是+8).

解:因為xiRO,3]時,/(xi)G[0,/nlO]；

44

故答案為：-KX>).

15.數(shù)列｛?。?，如果存在詼,使得“以>以一|且以成立(其中*22,依N*),則

稱以為｛〃〃｝的一個峰值.

(1)若an=-3n2+lln，則｛斯｝的峰值為10；

(2)若an=-3n2+tn，且S，｝不存在峰值，則實數(shù)/的取值范圍是(-8,6].

解：(1)因為二次函數(shù)y=-3/+1以在>=^~=早時有最大值,又"€N+,

-2X(-3)6

所以當”=2時，有及=-3X4+11X2=10為數(shù)列｛斯｝的峰值;

(2)由｛斯｝不存在峰值，得斯=-3序+〃7是遞減數(shù)列，所以對稱軸〃=

~2X(-3)

解得，W6,所以實數(shù)/的取值范圍是(-8,6].

故答案為：(1)10：(2)(-8,6］.

三、解答題共4小題。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程

16.已知函數(shù)/(x)=N+a,(xeR).

(1)對X26R比較之［f(X1)+f(X2)］與f(X詈)的大?。?/p>

(2)若在［-1,1］時，有1/(%)|WL試求實數(shù)。的取值范圍.

解：(1)對Vxi,X2GR,由之［f(x,+f(乂2)］-f(_:2)(勺-、2)2>0，

1X2

得之［f(x1)+f(x2)］>f(--)-

(2)由于|/(x)區(qū)1,等價于-lW/(x)W1,等價于-IWN+aWl,等價于-N-iw”

W-N+i在［-1,1］上恒成立,

a>(-*2-1)回,xE[-1,1]

所以，只須V，求得-IWaWO,所以所求實數(shù)。的取

a《(M+D疝n，x€[-1?1]

值范圍是[-1,0].

17.己知等比數(shù)列｛〃“｝的首項為2,等差數(shù)列｛為｝的前“項和為且0+痣=6,27I+3=

力4,S3=3S.

(I)求｛〃〃｝，｛兒｝的通項公式;

(II)設Cn=ba，求數(shù)列｛5｝的前〃項和.

0

解:(I)設數(shù)列｛如｝的公比為q,數(shù)列｛仇｝的公差為d.

由。]+〃2=6,得a\+a\q=6.因為m=2,所以q=2.

n-1n-1n

^Wan=aiq=2-2=2.

’2bi+aq=匕，f2bi+8=bi+3d,bi=1

由得1解得《1

=

S3=3a2?3b1+3d=12,d3.

所以bn=bi+(n-1)d=3n-2.

n

(II)由(I)知an=2，h,t=3n-2.

n

mcn=ba/3X2-2.

從而數(shù)列｛。｝的前〃項和Tn=3x(21+22+2?+…+2"A2n=3x2^dZ3-2n=

1-2

6X2Z/-2H-6..

21Q

18.已知函數(shù)￡&)=延工T.是奇函數(shù),且f(2)=\.

x-hm2

(1)求實數(shù)m,n的值；

(2)設函數(shù)g(x)=f(x)+1,函數(shù)y=g(x)在點P(t,處的切線與

坐標軸圍成的三角形的面積為S(f),求S(f)的單調(diào)區(qū)間及最值.

解：(1)函數(shù)f(x)=mx-1是奇函數(shù),可得/(-x)=-/(x),

x+n

22

即mx1.=mx-1,

-x+n-x-n

可得-x+n=-x-n,即〃=0,

又f⑵可得寫=會

解得機=1,

所以力=1,n—0；

“2_111

(2)f(x)=2_L,g(x)=x-^+\的導數(shù)為g'(x)=\+—^,

XxX’

函數(shù)y=g(x)在點P(t,g(t))&￥)處的切線斜率為1+/,

且g(r)=t--+1,

t

則切線的方程為y-(LL1)=(1+A-)(x-0,

tt"

o9+-1

令x=0,可得y=l；令y=0,可得x=----.

t"

所以s⑺=［i-2卜|@二百=春?正當(彥春)，

2ti+y2i+d2

(t-2)(l+2t)

S"-(Q2’

可得上Wf<2時，S'(/)<0,S(r)遞減；當時，S'(t)>0,5(