2019-2020學(xué)年人教A版寧夏銀川九中高一第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 含解析

2019-2020學(xué)年高一第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.如圖（1）、（2）、（3）、（4）為四個幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這四個

幾何體依次分別為（

IXI⑵

俯視圖

A.三棱臺、三棱柱、圓錐、圓臺

B.三棱臺、三棱錐、圓錐、圓臺

C.三棱柱、正四棱錐、圓錐、圓臺

D.三棱柱、三棱臺、圓錐、圓臺

2.下列命題為真命題的是（）

A.平行于同一平面的兩條直線平行

B.與某一平面成等角的兩條直線平行

C.垂直于同一平面的兩條直線平行

D.垂直于同一直線的兩條直線平行

3.下列命題中錯誤的是（：）

A.如果aJL#,那么戊內(nèi)一定存在直線平行于平面產(chǎn)

B.如果那么a內(nèi)所有直線都垂直于平面尸

C.如果平面a不垂直平面尸，那么a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面廣

D.如果a_Ly,ly,a0|￡=?,那么？_Ly

4.正方體膽中，異面直線必與反7所成角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A.(272+4>B.(2^/2+6>C.6萬D.(3+4加

6.梯形44G4（如圖）是一水平放置的平面圖形地如的直觀圖（斜二測），若44/。'

=1,則平面圖形月BCD的面積是（）

C.5&D.1072

7.已知一直線斜率為3,且過北3,4）,兩點(diǎn)，則x的值為()

A.4B.12C.-6D.3

8.一個斜三棱柱的一個側(cè)面的面積為S,另一條側(cè)棱到這個側(cè)面的距離為a,則這個三棱

柱的體積是（）

A.-SaB.L網(wǎng)

C.-SaD.-Sa

3423

9.一個球的體積和表面積在數(shù)值上相等,則該球半徑的數(shù)值為（)

A.1B.2C.3D.4

10.若直線過點(diǎn)（1,2）,（4,2+73）,則此直線的傾斜角是（）

A.30°B,45°C.60°D.90°

11.有一種圓柱體形狀的筆筒，底面半徑為4cm,高為12cM.現(xiàn)要為100個這種相同規(guī)格

的筆筒涂色（筆筒內(nèi)外均要涂色，筆筒厚度忽略不計(jì)）.如果每0.5館涂料可以涂

那么為這批筆筒涂色約需涂料（）

A.1.23kgB.1.76kgC.2.46AgD.3.52kg

12.已知函數(shù)<>)=卜：+4"減，若f(2a+l)>/(a),則實(shí)數(shù)白的取值范圍是()

K-4r,r<0

A.(-co,-1)|J(-1,+co)B.(-8,-3)<J(-1,+oo)

C.(-L-g)D.(-3,-1)

二、填空題(共4道小題，每題5分，共20分)

13.函數(shù)了=：+1咤式丫+3)的定義域.

14.若三點(diǎn)收3,1),頤-2力)，式8,11)在同一直線上，則實(shí)數(shù)匕等于.

15.已知正六棱錐底面邊長為a,體積為41",則側(cè)棱與底面所成的角為.

2

16.將一副斜邊長相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形，其中心=助=0,

NR4c=30°,若它們的斜邊?15重合，讓三角板曲)以壁為軸轉(zhuǎn)動，則下列說法正確

的是.

①當(dāng)平面平面火B(yǎng)C時，C、D兩點(diǎn)間的距離為

②在三角板用D轉(zhuǎn)動過程中，總有JWICD；

③在三角板月ED轉(zhuǎn)動過程中，三棱錐體積的最大值為9.

三、本題共六道題，17題10分，其余各題每題12分，共70分)

17.如圖，圓柱的底面半徑為2,球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)

為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面.

(I)計(jì)算圓柱的表面積；

(II)計(jì)算圖中圓錐、球、圓柱的體積比.

18.設(shè)集合J4={X|-14<3),B=(x|2x-4>x-2],C={x|x2a-1}.

(1)求以1B;

(2)若B(JC=。，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

19.三棱柱壁。-4片G中，平面月FC,A4B。是邊長為4的等邊三角形，D為邊壁

的中點(diǎn)，且％=2度.

(1)求證：平面&CDJ.平面RDG；

(2)求證：力6〃平面。陽；

(3)求三棱錐D-C44的體積.

20.如圖，在三棱錐P-HB。中，汽7，底面媽7,ABLBC,D,E分別是四，PB的

中點(diǎn).

(1)求證：DE”平面PAC;

(2)求證：AB1PB;

(3)若PC=BC,求二面角P-RB-。的大小.

21.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)工是奇函數(shù)，

2+a

(1)求a,2?的值；

(2)若對任意的teR,不等式/(產(chǎn)-2t)+/(2F-h)<0恒成立，求k的取值范圍.

22.如圖所示，正四棱錐P-J1BCD中，。為底面正方形的中心，側(cè)棱風(fēng)與底面月BCD所

成的角的正切值為理.

2

(1)求側(cè)面R4D與底面壁如所成的二面角的大小；

(2)若E是而的中點(diǎn)，求異面直線PD與松所成角的正切值；

(3)問在棱加上是否存在一點(diǎn)產(chǎn)，使即1側(cè)面陽C,若存在，試確定點(diǎn)9的住置；若

不存在，說明理由.

D

參考答案

一、選擇題（本題12道小題，每題5分，共60分，每小題只有一個正確答案）

1.如圖（1）、（2）、（3）、（4）為四個幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這四個

幾何體依次分別為（）

正視圖側(cè)視圖

CO）

俯視圖（4）

A.三棱臺、三棱柱、圓錐、圓臺

B.三棱臺、三棱錐、圓錐、圓臺

C.三棱柱、正四棱錐、圓錐、圓臺

D,三棱柱、三棱臺、圓錐、圓臺

【分析】三視圖復(fù)原，判斷4個幾何體的形狀特征，然后確定選項(xiàng).

解：如圖（1）三視圖復(fù)原的幾何體是放倒的三棱柱；

（2）三視圖復(fù)原的幾何體是四棱錐；（

3）三視圖復(fù)原的幾何體是圓錐；

（4）三視圖復(fù)原的幾何體是圓臺.

所以（1）（2）（3）（4）的順序?yàn)椋喝庵?、正四棱錐、圓錐、圓臺.

故選：C.

2.下列命題為真命題的是（）

A.平行于同一平面的兩條直線平行

B.與某一平面成等角的兩條直線平行

C.垂直于同一平面的兩條直線平行

D.垂直于同一直線的兩條直線平行

【分析】選項(xiàng)力、8、D均可以從正方體模型中找到反例，故都不正確.選項(xiàng)?？梢杂梅?/p>

證法進(jìn)行證明，故。正確.

解：如圖1,4G〃平面壁⑵，用4〃平面壁⑵，但是4?！竱弓。=。，所以力錯；

4。、&。與平面壁⑵所成角度大小相同，但是4?！竱5。=。，所以B錯；

44,4力，44,4月，但是耳外「|耳4=月，所以。錯；

如圖2,假設(shè)a_La,bla,且4「|》=力，

則過一點(diǎn)有兩條直線均垂直于平面,

故假設(shè)不成立，

即垂直于同一平面的兩條直線平行,

所以。正確.

故選：C.

圖1圖2

3.下列命題中錯誤的是（）

A.如果aJ?尸，那么a內(nèi)一定存在直線平行于平面?

B.如果aJ?產(chǎn)，那么a內(nèi)所有直線都垂直于平面產(chǎn)

C.如果平面a不垂直平面力,那么a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面足

D.如果a_Ly,/?!/,=那么？_Ly

【分析】如果a，#,則a內(nèi)與兩平面的交線平行的直線都平行于面尸，進(jìn)而可推斷出力命

題正確；儀內(nèi)與兩平面的交線平行的直線都平行于面故可判斷出8命題錯誤；根據(jù)

平面與平面垂直的判定定理可知。命題正確；根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)推斷出D命題正

確.

解：如果a_L#,則a內(nèi)與兩平面的交線平行的直線都平行于面產(chǎn)，故可推斷出力命題正

確.

B選項(xiàng)中a內(nèi)與兩平面的交線平行的直線都平行于面尸，故8命題錯誤.

。根據(jù)平面與平面垂直的判定定理可知。命題正確.

。根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)推斷出D命題正確.

故選：B.

4.正方體期"中，異面直線必與所成角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】由題意即正方體圖形，利用正方形的特點(diǎn).由于利用異面直線的定義

即可得求.

解：根據(jù)題意，的正方體兒紀(jì)。-4494中，易得幺40=90°.

ADHBC

二異面直線必與BC垂直，即所成的角為90°,

故選：D.

5.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A.（20+4泗B.（25/2+6>C.6萬D.（淄+4）方

【分析】直接利用組合體的表面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果.

解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為兩端為圓錐體，中間為圓柱體的組合體.

所以：S=2x；x2萬*淄+2x2萬=2也萬+4萬.

故選：A.

6.梯形44G4（如圖）是一水平放置的平面圖形須如的直觀圖（斜二測）,若4〃/。'

軸，44〃/軸，A4=：qa=2,44=1,則平面圖形必如的面積是（）

A.5B,10C.5收D.10播

【分析】根據(jù)直觀圖畫法的規(guī)則，確定原平面圖形四邊形壁⑵的形狀，求出底邊邊長,

上底邊邊長，以及高，然后求出面積.

解：如圖，根據(jù)直觀圖畫法的規(guī)則，

直觀圖中44〃。，'，44=1,=原圖中加〃5，

從而得出且40=244=2,

直觀圖中44〃G4，A4=|q4=2,=原圖中＞IB"CD,AB=1CD=2,

即四邊形壁⑵上底和下底邊長分別為2,3,高為2,如圖.

故其面積S=；（2+3）x2=5；

故選：A.

7.已知一直線斜率為3,且過收3,4）,與X,7）兩點(diǎn)，則x的值為（）

A.4B.12C.-6D.3

【分析】由一直線斜率為3,且過北3,4）,用x,7）兩點(diǎn)，代入斜率公式，可構(gòu)造關(guān)于x的方

程，解方程求出了值.

解：若過壁的直線斜率為3,

解得x=4

故選：A.

8.一個斜三棱柱的一個側(cè)面的面積為S,另一條側(cè)棱到這個側(cè)面的距離為a,則這個三棱

柱的體積是（）

1112

A.-SaB.-SaC.D.-Sa

3423

【分析】將該斜三棱柱補(bǔ)成一個四棱柱，將其放倒使側(cè)面與它所對的棱的距離為d,成為

四棱柱的高，然后求體積.

解：將該斜三棱柱補(bǔ)成一個四棱柱，該四棱柱的底面積為S,高為。，故四棱柱的體積為黝，

二%三財(cái)

故選：C.

9.一個球的體積和表面積在數(shù)值上相等，則該球半徑的數(shù)值為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】設(shè)該球的半徑為R,球的體積公式為，=表面積公式為S=4萬K,根據(jù)球

的體積和表面積在數(shù)值上相等列方程，即可解得球的半徑

解：設(shè)該球的半徑為R,

依題意，-n

3

解得R=3

故選：C.

10.若直線過點(diǎn)。,2）,（4,2+73）,則此直線的傾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90。

【分析】根據(jù)斜率公式求得直線的斜率，再根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，求得傾斜角的值.

解：???直線過點(diǎn)（1,2）,（4,2+73）,

■，直線的斜率為卜=三變二=蟲.

4-13

設(shè)直線的傾斜角為a,則0?！?<180°,

由tan&=蟲，可得a=30°,

3

故選：A.

11.有一種圓柱體形狀的筆筒，底面半徑為4CM,高為12cm.現(xiàn)要為100個這種相同規(guī)格

的筆筒涂色（筆筒內(nèi)外均要涂色，筆筒厚度忽略不計(jì)）.如果每0.5炮涂料可以涂配2,

那么為這批筆筒涂色約需涂料()

A.1.23kgB.1.76姐C.2.46炮D.3.52kg

【分析】先求出一個筆筒的里外面積，再求出100個筆筒的總面積，又每05炮涂料可以涂

1m1,所需涂料易求.

解：由題設(shè)知，這種規(guī)格的筆筒表面積是萬x42+0x4x2xl2=112萬，

里外的全面積為224萬，

100個這種相同規(guī)格的筆筒的全面積為100X224>7=22400萬cm?=2.24萬疝，

又每0.5炮涂料可以涂配2,

故所需涂料數(shù)為2.24萬x0.5=1.12萬炮m3.52炮，

故選：D.

12.已知函數(shù)F(X)=[￡+4X，XX),若/(2a+l)>/(a),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

[r2-4r,x<0

A.(-8,-l)U(-；,+8)B.(-oo,-3)kJ(-l,+8)

c.D.(-3,-1)

【分析】先判斷函數(shù)人x)的奇偶性和單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍.

解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=F：+4，'X20,所以作出函數(shù)/&)的圖象，則函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，且

\x2-4x,x<0

在(0,+8)上單調(diào)遞增.

則了(加+1)>/(a),等價為/(|2a+l|)>/(|aD,

所以|2a+平方得4〃+4a+1>d,即3a?+4a+l>0,

解得a>-：或a<—1.

故選：A.

二、填空題(共4道小題，每題5分，共20分)

13.函數(shù)y=」+log式X+3)的定義域_(-3x_0)<J(0J[_+oo)_.

【分析】由函數(shù)的解析式可得x#。，且了+3>0,由此求得函數(shù)『=：+log式x+3)的定義

域.

解：?.?函數(shù)j=1+log式x+3),

x

r*0,J.X+3>0.

解得-3<x<0,或0<x<+8,

故答案為(-3,0)U(0,+8).

14.若三點(diǎn)收3,1),頤-2,b),式8,11)在同一直線上，則實(shí)數(shù)匕等于_-9一

【分析】三點(diǎn)題3,1),5(-2,b),0(8,11)在同一直線上，可得小加=勾「利用斜率計(jì)算公式

即可得出.

解：?.?三點(diǎn)式3,1),夙-2曾,C(8,11)在同一直線上，

,,凡IfHE一=I兒fTU，

.d-111-1

三F'

即紅?=普，化為5-1=-10.

—55

解得b=-9.

故答案為-9.

15.已知正六棱錐底面邊長為。，體積為立厘，則側(cè)棱與底面所成的角為45°.

2一一

【分析】由已知條件推導(dǎo)出棱錐的高A=a,側(cè)棱長為6a,由此能求出側(cè)棱與底面所成的

角的大小.

解：?.?正六棱錐的底面邊長為a,

?.?體積為正"，

2

/.棱錐的高h(yuǎn)=a,

側(cè)棱長為0a

-，側(cè)棱與底面所成的角為45。，

故答案為：45°.

16.將一副斜邊長相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形，其中加=BD=M，

ZB4C=30°,若它們的斜邊重合，讓三角板45D以壁為軸轉(zhuǎn)動，則下列說法正確

的是①③.

①當(dāng)平面R5D1平面為BC時，C、D兩點(diǎn)間的距離為尤；

②在三角板月ED轉(zhuǎn)動過程中，總有西1CD；

③在三角板曲）轉(zhuǎn)動過程中，三棱錐D-RBC體積的最大值為由.

【分析】①結(jié)合圖象，利用面面垂直的性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一

半求解；

②用反證法，假設(shè)垂直，根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)推到是否可能，從而得出結(jié)論；

③根據(jù)棱錐的體積公式，在底面積不變的情況下，體積的大小取決于高，當(dāng)平面血）1平

面RBC時，高最大，求出即可.

解：①取抽中點(diǎn)。，連接D。、CO,

AD=BD=V5，;DO=1,AB=2,OC=1

???平面平面月BC,二DO_L平面火B(yǎng)C,DO^OC,O

DC=42,①正確；

②若則超1平面8。，ABLOC,:。為中點(diǎn)，二47=BC,4&4。=45°與

NR4C=30°矛盾，二②錯誤；

③當(dāng)DO_L平面ABC時，棱錐的高最大，此時

=Lxlx>lCxBCxDO=lx^xlxl=^.③正確.

故答案是①③

三、本題共六道題，17題10分，其余各題每題12分，共70分)

17.如圖，圓柱的底面半徑為2,球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)

為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面.

(I)計(jì)算圓柱的表面積；

(II)計(jì)算圖中圓錐、球、圓柱的體積比.

【分析】(I)根據(jù)圓柱的幾何特征求出底面積和側(cè)面積，即可求出表面積.

(II)根據(jù)圓柱、圓錐、球的體積公式，表示相應(yīng)的體積，即可求出體積之比.

解：(I)1?圓柱的底面半徑為y=2,球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等,

圓柱和圓錐的高為h=2r=4,圓柱和圓錐的底面半徑y(tǒng)=2,

圓柱的表面積為：

區(qū)住體=2X^X22+4XJTX22=24萬.

(II)由(I)知/邂=；x萬x2/x4=與方，

2

VBfi=>7X2X2X2=16>7,

"4?32

心=—x>7x23=—0,

月33

圓錐、球、圓柱的體積比為：

——>r:l6>r=1:2:3.

33

18.設(shè)集合力={n-14<3),B={x|2r-4>r-2),C=(r|x><7-1).

(1)求R0|B;

(2)若B(JC=。，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【分析】(1)化簡集合8,然后求集合的交集.(2)利用B|JC=C，得到&U。，然后

求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解:(1)由題意知，B={r|2r-4^r-2)={x|r^2)...

所以J4nB={燈24x<3}…

(2)因?yàn)锽|JC=C，

所以BQC…

所以a-l42,即a43…

19.三棱柱月FC-44G中，平面的,41BC是邊長為4的等邊三角形，D為逆AB

的中點(diǎn)，且鵑=2度.

(1)求證：平面&CD_L平面加G；

(2)求證：為6”平面。叫；

(3)求三棱錐D-C44的體積.

。冰

【分析】(1)推導(dǎo)出%_1壁，CD1四，從而花，平面QCD,由此能證明平面GCD_L

平面加q.

(2)連結(jié)8G，交4。于點(diǎn)。，連結(jié)DO.則DO//RG，由此能證明力弓〃平面C%.

(3)三棱錐D-C44的體積分_「何=以產(chǎn)收，由此能求出結(jié)果.

【解答】證明：(1)?.?cq_L平面的,又花(=平面刎7,二

?.?胡&。是等邊三角形，⑵為＞15邊上的中線，

CDLAB,

CDp|CG=..AB1平面q。。，

???RBu平面為Dq,

：.平面C;CDJ_平面＞wq.

(2)連結(jié)gq,交4c于點(diǎn)。，連結(jié)DO.

則。是gq的中點(diǎn)，DO是A&4G的中位線.

DO/ZAC[.

?.?0。＜=平面。％,月qa平面。陽，

：.月q”平面。羽.

解：(3)???CqJL平面展C,B^f/CC,,

：.J?平面AFC.

:.B線為三棱錐D-CB4的高.

■.三棱錐D-C44的體積:

"171C211第〃2。16力

=XX-X

唯…=^S,-CBD=qS4se?螞324-^x8=——

二三棱錐D-C44的體積為幽.…

20.如圖，在三棱錐F-HB。中，PC工底面ABC,AB1BC,D,E分別是AB,PB的

中點(diǎn).

(1)求證：DE"平面以。；

(2)求證：AB1PB;

(3)若R7=BC,求二面角P-四一。的大小.

【分析】(1)由D,E分別是壁，的中點(diǎn)，結(jié)合三角形中位線定理和線面平行的判

定定理可得DE//平面R4C;

(2)由線面垂直的性質(zhì)，可得汽結(jié)合4F1B。和線面垂直的判定定理可得超1

平面陽C,再由線面垂直的性質(zhì)可得兒51陽；

(3)由(2)知，AB1PB,ABLBC,故NPBC即為二面角F-工3-。的平面角，解APBC

可得答案.

【解答】證明：(1)-.-D,E分別是"，的中點(diǎn)

DEHPA

又?.?以匚平面F4C,DEct平面PAC

DE”斗面PAC;

(2)YPCL底面ABC,ABu底面ABC,

:.PCIAB

又???ASJ.B。，PC[\BC=C,PC,BCU平面PBC

RBJL平面R5。

文；PBu平面PBC

:.AB1PB;

解：(3)由(2)知，AB1PB,ABIBC,

NPB。即為二面角P-JIB-C的平面角

-：PC=BC,ZR7B=90°

:.ZPBC=45°

二面角P-JlB-。的大小為45°

21.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)士是奇函數(shù)，

2+a

(1)求a,b的值；

(2)若對任意的於R,不等式了(產(chǎn)-2。+/(2產(chǎn)-儲〈。恒成立，求k的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，定義域包括0,則有K0)=0,定義域?yàn)镽,7(-1)=-/

(1)即可求得a,匕的值.

(2)將/(產(chǎn)-2t)+/(2F-%)0變形為：/(t2-2f)+-k),因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，

-/(2t2-k)=-f(k-2t2),在利用/⑶減函數(shù)解不等式即可

解：(1)因?yàn)?(X)是奇函數(shù)，所以『(0)=0,

即.二+=0=3=1；

2+a

“、-2,+l

fW=—；

2+a

又?.?定義域?yàn)镽,則有7(-1)=--(1),

_11

可得：2=_￡na=2；

4+a\+a

經(jīng)檢驗(yàn)：六目是奇函數(shù)，滿足題意.

所以a,b的值分別為2,1.

(II)由(I)知/(x)=_2：+1」+—L

'2l+1+222'+l

易知/(x)在(-8,+8)上為減函數(shù)；

又因了(X)是奇函數(shù)，

從而不等式：fit1-2t)+/(2f-k)<0等價于/(t2-2t)<-/(2t2-fc)=f(k-2t2),

因/(x)為減函數(shù)，</(Ar-2t2),

得：產(chǎn)-2O2T?

即對一切teR有：3t2-2t-*>0,開口向上，

從而判別式△=4+12k<0=>k

3

即出的取值范圍是(-8,-；)

22.如圖所示，正四棱錐P-AB如中，。為底面正方形的中心，側(cè)