2024屆江西省宜春市豐城九中、高安二中、宜春一中、萬(wàn)載中學(xué)高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析

2024屆江西省宜春市豐城九中、高安二中、宜春一中、萬(wàn)載中學(xué)高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．函數(shù)的最小正周期為πB．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到2．設(shè)平面與平面相交于直線(xiàn)，直線(xiàn)在平面內(nèi)，直線(xiàn)在平面內(nèi)，且則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分不必要條件3．一個(gè)頻率分布表（樣本容量為）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為，則估計(jì)樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)共有（）A． B． C． D．4．在關(guān)于的不等式中，“”是“恒成立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知非零向量，滿(mǎn)足，，則與的夾角為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，對(duì)任意的，，當(dāng)時(shí)，，則下列判斷正確的是（）A． B．函數(shù)在上遞增C．函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸是 D．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是7．年某省將實(shí)行“”的新高考模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、政治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒(méi)有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A． B． C． D．8．已知函數(shù)，其圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（）A．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變B．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變C．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變D．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變9．下圖中的圖案是我國(guó)古代建筑中的一種裝飾圖案，形若銅錢(qián)，寓意富貴吉祥．在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影區(qū)域內(nèi)（陰影部分由四條四分之一圓弧圍成）的概率是（）A． B． C． D．10．如圖所示，三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一個(gè)內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米粒（大小忽略不計(jì)，?。?，則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）A．20 B．27 C．54 D．6411．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．512．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件，則的最小值是A． B． C．1 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是，則_________，該幾何體的表面積為_(kāi)________．14．如圖，在矩形中，，是的中點(diǎn)，將，分別沿折起，使得平面平面，平面平面，則所得幾何體的外接球的體積為_(kāi)_________.15．設(shè)，滿(mǎn)足條件，則的最大值為_(kāi)_________.16．設(shè)，則“”是“”的__________條件.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱錐中，底面正方形的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)且（1）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（2）求銳二面角的大小．18．（12分）設(shè)拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn).（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）F是拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，若，求的值.19．（12分）在中，、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、，已知，，.（1）求；（2）設(shè)為中點(diǎn)，求的長(zhǎng).20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）記的最大值為，若實(shí)數(shù)、、滿(mǎn)足，求證：.21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）已知是的一個(gè)極值點(diǎn)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程（Ⅱ）討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù).22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，過(guò)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于，兩點(diǎn).（1）若的斜率為2，求的極坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)的普通方程；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，可判斷選項(xiàng)B；利用整體換元法可判斷選項(xiàng)C；可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題知，最小正周期，所以A正確；當(dāng)時(shí)，，所以B正確；當(dāng)時(shí)，，所以C正確；由的圖象向左平移個(gè)單位，得，所以D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到周期性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識(shí)，是一道中檔題.2、A【解析】

試題分析：α⊥β，b⊥m又直線(xiàn)a在平面α內(nèi)，所以a⊥b，但直線(xiàn)不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故選A.考點(diǎn)：充分條件、必要條件.3、B【解析】

計(jì)算出樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，再減去樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為，樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為，因此，樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻數(shù)，要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

討論當(dāng)時(shí)，是否恒成立；討論當(dāng)恒成立時(shí)，是否成立，即可選出正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，由開(kāi)口向上，則恒成立；當(dāng)恒成立時(shí)，若，則不恒成立，不符合題意，若時(shí)，要使得恒成立，則，即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的關(guān)系，考查了不等式恒成立問(wèn)題.對(duì)于探究?jī)蓚€(gè)命題的關(guān)系時(shí)，一般分成兩步，若，則推出是的充分條件；若，則推出是的必要條件.5、B【解析】

由平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系化簡(jiǎn)，即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關(guān)系可得，，所以，即，由平面向量數(shù)量積定義可得，所以，而，即與的夾角為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，平面向量夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡(jiǎn)，然后通過(guò)題目已知條件求出函數(shù)的周期，從而得到，即可求出解析式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】，又，即，有且僅有滿(mǎn)足條件；又，則，，函數(shù)，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有種，甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率，故選B．8、D【解析】

由函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，得，進(jìn)而得再利用圖像變換求解即可【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，得，即，解得，所以，，故只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)“先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得再將橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變,得”即可.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查圖像變換，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題9、C【解析】令圓的半徑為1，則，故選C．10、B【解析】

設(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為，從而求得小正方體的邊長(zhǎng)為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，利用概率模擬列方程即可求解?！驹斀狻吭O(shè)大正方體的邊長(zhǎng)為，則小正方體的邊長(zhǎng)為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，則，解得：故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。11、D【解析】試題分析：拋物線(xiàn)焦點(diǎn)在軸上，開(kāi)口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，所以點(diǎn)A到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，所以點(diǎn)A與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn)：本小題主要考查應(yīng)用拋物線(xiàn)定義和拋物線(xiàn)上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng)：拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.12、B【解析】

作出該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示，設(shè)，則，易知當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，z取得最小值，由，解得，所以，所以，故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解析】試題分析：如圖：此幾何體是四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，平面平面，并且，，所以體積是，解得，四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，所以計(jì)算出邊長(zhǎng)，表面積是考點(diǎn)：1．三視圖；2．幾何體的表面積．14、【解析】

根據(jù)題意，畫(huà)出空間幾何體，設(shè)的中點(diǎn)分別為，并連接，利用面面垂直的性質(zhì)及所給線(xiàn)段關(guān)系，可知幾何體的外接球的球心為，即可求得其外接球的體積.【詳解】由題可得，，均為等腰直角三角形，如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，則，.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，平面，易得，則幾何體的外接球的球心為，半徑，所以幾何體的外接球的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的綜合應(yīng)用，折疊后空間幾何體的線(xiàn)面位置關(guān)系應(yīng)用，空間幾何體外接球的性質(zhì)及體積求法，屬于中檔題.15、【解析】

作出可行域，由得，平移直線(xiàn)，數(shù)形結(jié)合可求的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示由得，則是直線(xiàn)在軸上的截距.平移直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)最大.解方程組，得，..故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.16、充分必要【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，故“”是“”的充分條件.當(dāng)時(shí)，有，故“”是“”的必要條件.故“”是“”的充分必要條件，故答案為：充分必要.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，可利用定義來(lái)判斷，也可以根據(jù)兩個(gè)條件構(gòu)成命題及逆命題的真假來(lái)判斷，還可以利用兩個(gè)條件對(duì)應(yīng)的集合的包含關(guān)系來(lái)判斷，本題屬于容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

(1)以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為再求解與平面的法向量,繼而求得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值即可.(2)分別求解平面與平面的法向量,再求二面角的余弦值判斷二面角大小即可.【詳解】解：在正四棱錐中,底面正方形的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)所以平面取的中點(diǎn)的中點(diǎn)所以?xún)蓛纱怪?故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為因?yàn)樗运?所以,設(shè)平面的法向量是,因?yàn)?,所以,,取則,所以所以,所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．設(shè)平面的法向量是,因?yàn)?,所以,取則所以,由知平面的法向量是,所以所以,所以銳二面角的大小為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立平面直角坐標(biāo)系求解線(xiàn)面夾角以及二面角的問(wèn)題,屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】

(1)代入計(jì)算即可.(2)設(shè)直線(xiàn)AB的方程為,再聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程,消去可得的一元二次方程,再根據(jù)韋達(dá)定理與求解,進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】解：（1）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)過(guò)點(diǎn),所以,所以,拋物線(xiàn)的方程為（2）由題意知直線(xiàn)AB的斜率存在,可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為,,.因?yàn)?所以,聯(lián)立,化簡(jiǎn)得,所以,,所以,,解得,所以.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的方程以及聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)求弦長(zhǎng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出，結(jié)合正弦定理求出；（2）結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論以及余弦定理即可求解．【詳解】解：（1）∵，且，∴，由正弦定理，∴，∵∴銳角，∴（2）∵，∴∴∴在中，由余弦定理得∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）采用零點(diǎn)分段法：、、，由此求解出不等式的解集；（2）先根據(jù)絕對(duì)值不等式的幾何意義求解出的值，然后利用基本不等式及其變形完成證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式為，解得當(dāng)時(shí)，不等式為，解得當(dāng)時(shí)，不等式為，解得∴原不等式的解集為（2）當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，∴，∴∵，∴，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）同理可得，∴∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法以及利用基本不等式證明不等式，難度一般.（1）常見(jiàn)的絕對(duì)值不等式解法：零點(diǎn)分段法、圖象法、幾何意義法；（2）利用基本不等式完成證明時(shí)，注意說(shuō)明取等號(hào)的條件.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析【解析】

（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用x=2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，得f'(2)=0建立方程求出a的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（Ⅱ）利用參數(shù)法分離法得到，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，則，因?yàn)槭堑囊粋€(gè)極值點(diǎn)，所以，即，所以，因?yàn)椋?，則直線(xiàn)方程為，即；（Ⅱ）因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故，所以，所以，設(shè)，則，所以在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在是增函數(shù)，因?yàn)闀r(shí)，，，，所以當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，當(dāng)或時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)根.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)中由極值點(diǎn)求參，導(dǎo)數(shù)