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文檔簡介
江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)公道中學(xué)2023-2024學(xué)年高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,正三棱柱各條棱的長度均相等,為的中點(diǎn),分別是線段和線段的動點(diǎn)(含端點(diǎn)),且滿足,當(dāng)運(yùn)動時(shí),下列結(jié)論中不正確的是A.在內(nèi)總存在與平面平行的線段B.平面平面C.三棱錐的體積為定值D.可能為直角三角形2.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則()A. B. C.2 D.3.若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知正方體的棱長為,,,分別是棱,,的中點(diǎn),給出下列四個(gè)命題:①;②直線與直線所成角為;③過,,三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為六邊形;④三棱錐的體積為.其中,正確命題的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.5.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),則f(x)的最小值為()A. B. C. D.6.已知向量,則()A.∥ B.⊥ C.∥() D.⊥()7.已知曲線,動點(diǎn)在直線上,過點(diǎn)作曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則直線截圓所得弦長為()A. B.2 C.4 D.8.已知函數(shù),關(guān)于的方程R)有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.9.已知向量,若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.10.設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),前項(xiàng)和為,,且,則()A.128 B.65 C.64 D.6311.單位正方體ABCD-,黑、白兩螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行,每走完一條棱稱為“走完一段”.白螞蟻爬地的路線是AA1→A1D1→‥,黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→‥,它們都遵循如下規(guī)則:所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線(iN*).設(shè)白、黑螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處,這時(shí)黑、白兩螞蟻的距離是()A.1 B. C. D.012.已知數(shù)列為等比數(shù)列,若,且,則()A. B.或 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7,則a2=____.14.若一組樣本數(shù)據(jù)7,9,,8,10的平均數(shù)為9,則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為______.15.若,則的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為_______.16.關(guān)于函數(shù)有下列四個(gè)命題:①函數(shù)在上是增函數(shù);②函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱;③不存在斜率小于且與函數(shù)的圖象相切的直線;④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不存在極小值.其中正確的命題有______.(寫出所有正確命題的序號)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)過點(diǎn)作傾斜角為的直線與曲線(為參數(shù))相交于M、N兩點(diǎn).(1)寫出曲線C的一般方程;(2)求的最小值.18.(12分)已知.(1)求不等式的解集;(2)記的最小值為,且正實(shí)數(shù)滿足.證明:.19.(12分)如圖,在棱長為的正方形中,,分別為,邊上的中點(diǎn),現(xiàn)以為折痕將點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)的位置,使得為直二面角.(1)證明:;(2)求與面所成角的正弦值.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,為橢圓上兩點(diǎn),圓.(1)若軸,且滿足直線與圓相切,求圓的方程;(2)若圓的半徑為,點(diǎn)滿足,求直線被圓截得弦長的最大值.21.(12分)為提供市民的健身素質(zhì),某市把四個(gè)籃球館全部轉(zhuǎn)為免費(fèi)民用(1)在一次全民健身活動中,四個(gè)籃球館的使用場數(shù)如圖,用分層抽樣的方法從四場館的使用場數(shù)中依次抽取共25場,在中隨機(jī)取兩數(shù),求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)四個(gè)籃球館一個(gè)月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為,其相應(yīng)維修費(fèi)用為元,根據(jù)統(tǒng)計(jì),得到如下表的數(shù)據(jù):x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程;②叫做籃球館月惠值,根據(jù)①的結(jié)論,試估計(jì)這四個(gè)籃球館月惠值最大時(shí)的值參考數(shù)據(jù)和公式:,22.(10分)的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,其面積記為,滿足.(1)求;(2)若,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
A項(xiàng)用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交,則交線與平面ABC平行;B項(xiàng)利用線面垂直的判定定理;C項(xiàng)三棱錐與三棱錐體積相等,三棱錐的底面積是定值,高也是定值,則體積是定值;D項(xiàng)用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.【詳解】A項(xiàng),用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線平行于平面ABC,故正確;B項(xiàng),如圖:當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動時(shí),若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面,故正確;C項(xiàng),當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動時(shí),△A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故正確;D項(xiàng),若△DMN為直角三角形,則必是以∠MDN為直角的直角三角形,但MN的最大值為BC1,而此時(shí)DM,DN的長大于BB1,所以△DMN不可能為直角三角形,故錯(cuò)誤.故選D【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力,意在考查對線面、面面平行、垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用,是中檔題.2、D【解析】
把已知等式變形,然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡,再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算得答案.【詳解】解:,則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)模的求法,是基礎(chǔ)題.3、B【解析】
求得的導(dǎo)函數(shù),由此構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題意可知在上有變號零點(diǎn).由此令,利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法,求得的取值范圍.【詳解】,設(shè),要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),即在上有變號零點(diǎn),令,則,令,則問題即在上有零點(diǎn),由于在上遞增,所以的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查方程零點(diǎn)問題的求解策略,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.4、C【解析】
畫出幾何體的圖形,然后轉(zhuǎn)化判斷四個(gè)命題的真假即可.【詳解】如圖;連接相關(guān)點(diǎn)的線段,為的中點(diǎn),連接,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),可知,,可知平面,即可證明,所以①正確;直線與直線所成角就是直線與直線所成角為;正確;過,,三點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為五邊形;如圖:是五邊形.所以③不正確;如圖:三棱錐的體積為:由條件易知F是GM中點(diǎn),所以,而,.所以三棱錐的體積為,④正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用,涉及空間幾何體的體積,直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用,平面的基本性質(zhì),是中檔題.5、A【解析】
先通過降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,再求最值.【詳解】已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因?yàn)?,所以f(x)的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.6、D【解析】
由題意利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則,兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì),得出結(jié)論.【詳解】∵向量(1,﹣2),(3,﹣1),∴和的坐標(biāo)對應(yīng)不成比例,故、不平行,故排除A;顯然,?3+2≠0,故、不垂直,故排除B;∴(﹣2,﹣1),顯然,和的坐標(biāo)對應(yīng)不成比例,故和不平行,故排除C;∴?()=﹣2+2=0,故⊥(),故D正確,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算,兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
設(shè),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出切線斜率,進(jìn)而得到切線方程,將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程,抽象出直線方程,且過定點(diǎn)為已知圓的圓心,即可求解.【詳解】圓可化為.設(shè),則的斜率分別為,所以的方程為,即,,即,由于都過點(diǎn),所以,即都在直線上,所以直線的方程為,恒過定點(diǎn),即直線過圓心,則直線截圓所得弦長為4.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系,拋物線兩切點(diǎn)所在直線求解是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.8、A【解析】=,當(dāng)時(shí)時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),單調(diào)遞增,且當(dāng),當(dāng),
當(dāng)時(shí),恒成立,時(shí),單調(diào)遞增且,方程R)有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.令=則,,即.9、D【解析】
由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算.對于向量問題,若已知垂直,通??傻玫絻蓚€(gè)向量的數(shù)量積為0,繼而結(jié)合條件進(jìn)行化簡、整理.10、D【解析】
根據(jù),得到,即,由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列,然后再利用前n項(xiàng)和公式求.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所以?shù)列是等比數(shù)列,又因?yàn)?,所以?故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.11、B【解析】
根據(jù)規(guī)則,觀察黑螞蟻與白螞蟻經(jīng)過幾段后又回到起點(diǎn),得到每爬1步回到起點(diǎn),周期為1.計(jì)算黑螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn)以及計(jì)算白螞蟻爬完2020段后實(shí)質(zhì)是到達(dá)哪個(gè)點(diǎn),即可計(jì)算出它們的距離.【詳解】由題意,白螞蟻爬行路線為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即過1段后又回到起點(diǎn),可以看作以1為周期,由,白螞蟻爬完2020段后到回到C點(diǎn);同理,黑螞蟻爬行路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑螞蟻爬完2020段后回到D1點(diǎn),所以它們此時(shí)的距離為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題,考查空間想象與推理能力,屬于中等題.12、A【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得,通分化簡即可.【詳解】由題意,數(shù)列為等比數(shù)列,則,又,即,所以,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了推理能力與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可得結(jié)果.【詳解】解:(2x-1)7的展開式通式為:當(dāng)時(shí),,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù),是基礎(chǔ)題.14、1【解析】
根據(jù)題意,由平均數(shù)公式可得,解得的值,進(jìn)而由方差公式計(jì)算,可得答案.【詳解】根據(jù)題意,數(shù)據(jù)7,9,,8,10的平均數(shù)為9,則,解得:,則其方差.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考平均數(shù)、方差的計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意求出的值,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
首先根據(jù)定積分的應(yīng)用求出的值,進(jìn)一步利用二項(xiàng)式的展開式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】,根據(jù)二項(xiàng)式展開式通項(xiàng):,令,解得,所以含的項(xiàng)的系數(shù).故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查定積分,二項(xiàng)式的展開式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、①②③【解析】
由單調(diào)性、對稱性概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】函數(shù)的定義域是,由于,在上遞增,∴函數(shù)在上是遞增,①正確;,∴函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱,②正確;,時(shí)取等號,∴③正確;,設(shè),則,顯然是即的極小值點(diǎn),④錯(cuò)誤.故答案為:①②③.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、對稱性,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值,解題時(shí)按照相關(guān)概念判斷即可,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)將曲線的參數(shù)方程消參得到普通方程;(2)寫出直線MN的參數(shù)方程,將參數(shù)方程代入曲線方程,并將其化為一個(gè)關(guān)于的一元二次方程,根據(jù),結(jié)合韋達(dá)定理和余弦函數(shù)的性質(zhì),即可求出的最小值.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(是參數(shù)),可得,即曲線C的一般方程為.(2)直線MN的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將直線MN的參數(shù)方程代入曲線,得,整理得,設(shè)M,N對應(yīng)的對數(shù)分別為,,則,當(dāng)時(shí),取得最小值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)參數(shù)方程的問題,涉及到的知識點(diǎn)有參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化,直線的參數(shù)方程的應(yīng)用,屬于簡單題目.18、(1)或;(2)見解析【解析】
(1)根據(jù),利用零點(diǎn)分段法解不等式,或作出函數(shù)的圖像,利用函數(shù)的圖像解不等式;(2)由(1)作出的函數(shù)圖像求出的最小值為,可知,代入中,然后給等式兩邊同乘以,再將寫成后,化簡變形,再用均值不等式可證明.【詳解】(1)解法一:1°時(shí),,即,解得;2°時(shí),,即,解得;3°時(shí),,即,解得.綜上可得,不等式的解集為或.解法二:由作出圖象如下:由圖象可得不等式的解集為或.(2)由所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,正實(shí)數(shù)滿足,則,即,(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號)故,得證.【點(diǎn)睛】此題考查了絕對值不等式的解法,絕對值不等式的性質(zhì)和均值不等式的運(yùn)用,考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19、(1)證明見詳解;(2)【解析】
(1)在折疊前的正方形ABCD中,作出對角線AC,BD,由正方形性質(zhì)知,又//,則于點(diǎn)H,則由直二面角可知面,故.又,則面,故命題得證;(2)作出線面角,在直角三角形中求解該角的正弦值.【詳解】解:(1)證明:在正方形中,連結(jié)交于.因?yàn)?/,故可得,即又旋轉(zhuǎn)不改變上述垂直關(guān)系,且平面,面,又面,所以(2)因?yàn)闉橹倍娼牵势矫嫫矫?又其交線為,且平面,故可得底面,連結(jié),則即為與面所成角,連結(jié)交于,在中,,在中,.所以與面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的證明與性質(zhì),利用定義求線面角,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】試題分析:(1)確定圓的方程,就是確定半徑的值,因?yàn)橹本€與圓相切,所以先確定直線方程,即確定點(diǎn)坐標(biāo):因?yàn)檩S,所以,根據(jù)對稱性,可取,則直線的方程為,根據(jù)圓心到切線距離等于半徑得(2)根據(jù)垂徑定理,求直線被圓截得弦長的最大值,就是求圓心到直線的距離的最小值.設(shè)直線的方程為,則圓心到直線的距離,利用得,化簡得,利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結(jié)合韋達(dá)定理得,因此,當(dāng)時(shí),取最小值,取最大值為.試題解析:解:(1)因?yàn)闄E圓的方程為,所以,.因?yàn)檩S,所以,而直線與圓相切,根據(jù)對稱性,可取,則直線的方程為,即.由圓與直線相切,得,所以圓的方程為.(2)易知,圓的方程為.①當(dāng)軸時(shí),,所以,此時(shí)得直線被圓截得的弦長為.②當(dāng)與軸不垂直時(shí),設(shè)直線的方程為,,首先由,得,即,所以(*).聯(lián)立,消去,得,將代入(*)式,得.由于圓心到直線的
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