復變函數(shù)14套題目和答案

PAGEPAGE1復變函數(shù)14套題目和答案《復變函數(shù)論》試題庫《復變函數(shù)》考試試題（一）一、判斷題（20分）：1.若f(z)在z0的某個鄰域內可導，則函數(shù)f(z)在z0解析.()2.有界整函數(shù)必在整個復平面為常數(shù).()3.若收斂，則與都收斂.()4.若f(z)在區(qū)域D內解析，且，則（常數(shù)）.()5.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內可以展開為冪級數(shù).()6.若z0是的m階零點，則z0是1/的m階極點.()7.若存在且有限，則z0是函數(shù)f(z)的可去奇點.()8.若函數(shù)f(z)在是區(qū)域D內的單葉函數(shù)，則.()9.若f(z)在區(qū)域D內解析,則對D內任一簡單閉曲線C.()10.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內的某個圓內恒等于常數(shù)，則f(z)在區(qū)域D內恒等于常數(shù).（）二.填空題（20分）1.__________.（為自然數(shù)）2._________.3.函數(shù)的周期為___________.4.設，則的孤立奇點有__________.5.冪級數(shù)的收斂半徑為__________.6.若函數(shù)f(z)在整個平面上處處解析，則稱它是__________.7.若，則______________.8.________，其中n為自然數(shù).9.的孤立奇點為________.10.若是的極點，則.三.計算題（40分）：1.設，求在內的羅朗展式.2.3.設，其中，試求4.求復數(shù)的實部與虛部.四.證明題.(20分)1.函數(shù)在區(qū)域內解析.證明：如果在內為常數(shù)，那么它在內為常數(shù).2.試證:在割去線段的平面內能分出兩個單值解析分支,并求出支割線上岸取正值的那支在的值.《復變函數(shù)》考試試題（二）1、判斷題.（20分）1.若函數(shù)在D內連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都在D內連續(xù).()2.cosz與sinz在復平面內有界.()3.若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0連續(xù).()4.有界整函數(shù)必為常數(shù).()5.如z0是函數(shù)f(z)的本性奇點，則一定不存在.()6.若函數(shù)f(z)在z0可導，則f(z)在z0解析.()7.若f(z)在區(qū)域D內解析,則對D內任一簡單閉曲線C.()8.若數(shù)列收斂，則與都收斂.()9.若f(z)在區(qū)域D內解析，則|f(z)|也在D內解析.()10.存在一個在零點解析的函數(shù)f(z)使且.()二.填空題.(20分)1.設，則2.設，則________.3._________.（為自然數(shù)）4.冪級數(shù)的收斂半徑為__________.5.若z0是f(z)的m階零點且m0，則z0是的_____零點.6.函數(shù)ez的周期為__________.7.方程在單位圓內的零點個數(shù)為________.8.設，則的孤立奇點有_________.9.函數(shù)的不解析點之集為________.10..三.計算題.(40分)1.求函數(shù)的冪級數(shù)展開式.2.在復平面上取上半虛軸作割線.試在所得的區(qū)域內取定函數(shù)在正實軸取正實值的一個解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點及右沿的點處的值.3.計算積分：，積分路徑為（1）單位圓（）的右半圓.4.求.四.證明題.(20分)1.設函數(shù)f(z)在區(qū)域D內解析，試證：f(z)在D內為常數(shù)的充要條件是在D內解析.2.試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.《復變函數(shù)》考試試題（三）一.判斷題.(20分).1.cosz與sinz的周期均為.()2.若f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件,則f(z)在z0解析.()3.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則f(z)在z0連續(xù).()4.若數(shù)列收斂，則與都收斂.()5.若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內解析且在D內的某個圓內恒為常數(shù)，則數(shù)f(z)在區(qū)域D內為常數(shù).()6.若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個鄰域內可導.()7.如果函數(shù)f(z)在上解析,且,則.（）8.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內可以展開為冪級數(shù).()9.若z0是的m階零點,則z0是1/的m階極點.()10.若是的可去奇點，則.()二.填空題.(20分)1.設，則f(z)的定義域為___________.2.函數(shù)ez的周期為_________.3.若，則__________.4.___________.5._________.（為自然數(shù)）6.冪級數(shù)的收斂半徑為__________.7.設，則f(z)的孤立奇點有__________.8.設，則.9.若是的極點，則.10..三.計算題.(40分)1.將函數(shù)在圓環(huán)域內展為Laurent級數(shù).2.試求冪級數(shù)的收斂半徑.3.算下列積分：，其中是.4.求在|z|1內根的個數(shù).四.證明題.(20分)1.函數(shù)在區(qū)域內解析.證明：如果在內為常數(shù)，那么它在內為常數(shù).2.設是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n，以及兩個正數(shù)R及M，使得當時，證明是一個至多n次的多項式或一常數(shù)。《復變函數(shù)》考試試題（四）一.判斷題.(20分)1.若f(z)在z0解析，則f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件.（）2.若函數(shù)f(z)在z0可導，則f(z)在z0解析.（）3.函數(shù)與在整個復平面內有界.（）4.若f(z)在區(qū)域D內解析，則對D內任一簡單閉曲線C都有.（）5.若存在且有限，則z0是函數(shù)的可去奇點.（）6.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內解析且，則f(z)在D內恒為常數(shù).（）7.如果z0是f(z)的本性奇點，則一定不存在.（）8.若，則為的n階零點.（）9.若與在內解析，且在內一小弧段上相等，則.（）10.若在內解析，則.（）二.填空題.(20分)1.設，則.2.若，則______________.3.函數(shù)ez的周期為__________.4.函數(shù)的冪級數(shù)展開式為__________5.若函數(shù)f(z)在復平面上處處解析，則稱它是___________.6.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內除去有限個極點之外處處解析，則稱它是D內的_____________.7.設，則.8.的孤立奇點為________.9.若是的極點，則.10._____________.三.計算題.(40分)1.解方程.2.設，求3..4.函數(shù)有哪些奇點？各屬何類型（若是極點，指明它的階數(shù)）.四.證明題.(20分)一.證明：若函數(shù)在上半平面解析，則函數(shù)在下半平面解析.2.證明方程在內僅有3個根.《復變函數(shù)》考試試題（五）二.判斷題.（20分）1.若函數(shù)f(z)是單連通區(qū)域D內的解析函數(shù)，則它在D內有任意階導數(shù).（）2.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內的解析，且在D內某個圓內恒為常數(shù)，則在區(qū)域D內恒等于常數(shù).（）3.若f(z)在區(qū)域D內解析，則|f(z)|也在D內解析.（）4.若冪級數(shù)的收斂半徑大于零，則其和函數(shù)必在收斂圓內解析.（）5.若函數(shù)f(z)在z0處滿足Cauchy-Riemann條件，則f(z)在z0解析.（）6.若存在且有限，則z0是f(z)的可去奇點.（）7.若函數(shù)f(z)在z0可導，則它在該點解析.（）8.設函數(shù)在復平面上解析，若它有界，則必為常數(shù).（）9.若是的一級極點，則.（）10.若與在內解析，且在內一小弧段上相等，則.（）二.填空題.（20分）1.設，則.2.當時，為實數(shù).3.設，則.4.的周期為___.5.設，則.6..7.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內除去有限個極點之外處處解析，則稱它是D內的_____________。8.函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_________.9.的孤立奇點為________.10.設C是以為a心，r為半徑的圓周，則.（為自然數(shù)）三.計算題.(40分)1.求復數(shù)的實部與虛部.2.計算積分：，在這里L表示連接原點到的直線段.3.求積分：，其中0a1.4.應用儒歇定理求方程，在|z|1內根的個數(shù)，在這里在上解析，并且.四.證明題.(20分)1.證明函數(shù)除去在外，處處不可微.2.設是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n，以及兩個數(shù)R及M，使得當時，證明:是一個至多n次的多項式或一常數(shù).《復變函數(shù)》考試試題（六）二、判斷題（30分）：1.若函數(shù)在解析，則在連續(xù).（）2.若函數(shù)在處滿足Caychy-Riemann條件，則在解析.（）3.若函數(shù)在解析，則在處滿足Caychy-Riemann條件.（）4.若函數(shù)在是區(qū)域內的單葉函數(shù)，則.（）5.若在單連通區(qū)域內解析，則對內任一簡單閉曲線都有.（）6.若在區(qū)域內解析，則對內任一簡單閉曲線都有.（）7.若，則函數(shù)在是內的單葉函數(shù).（）8.若是的階零點，則是的階極點.（）9.如果函數(shù)在上解析，且,則.（）10..（）三、填空題（20分）1.若，則___________.2.設，則的定義域為____________________________.3.函數(shù)的周期為_______________________.4._______________________.5.冪級數(shù)的收斂半徑為________________.6.若是的階零點且，則是的____________零點.7.若函數(shù)在整個復平面處處解析，則稱它是______________.8.函數(shù)的不解析點之集為__________.9.方程在單位圓內的零點個數(shù)為___________.10.公式稱為_____________________.四、計算題（30分）1、.2、設，其中，試求.3、設，求.4、求函數(shù)在內的羅朗展式.5、求復數(shù)的實部與虛部.6、求的值.五、證明題（20分）2、方程在單位圓內的根的個數(shù)為6.3、若函數(shù)在區(qū)域內解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).4、若是的階零點，則是的階極點.《復變函數(shù)》考試試題（七）一、判斷題（24分）2.若函數(shù)在解析，則在的某個領域內可導.（）3.若函數(shù)在處解析，則在滿足Cauchy-Riemann條件.（）4.如果是的可去奇點，則一定存在且等于零.（）5.若函數(shù)是區(qū)域內的單葉函數(shù)，則.（）6.若函數(shù)是區(qū)域內的解析函數(shù)，則它在內有任意階導數(shù).（）7.若函數(shù)在區(qū)域內的解析，且在內某個圓內恒為常數(shù)，則在區(qū)域內恒等于常數(shù).（）8.若是的階零點，則是的階極點.（）二、填空題（20分）1.若，則___________.2.設，則的定義域為____________________________.3.函數(shù)的周期為______________.4._______________.5.冪級數(shù)的收斂半徑為________________.6.若是的階零點且，則是的____________零點.7.若函數(shù)在整個復平面處處解析，則稱它是______________.8.函數(shù)的不解析點之集為__________.9.方程在單位圓內的零點個數(shù)為___________.10._________________.三、計算題（30分）1、求.2、設，其中，試求.3、設，求.4、求函數(shù)在內的羅朗展式.5、求復數(shù)的實部與虛部.6、利用留數(shù)定理計算積分：，.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內的根的個數(shù)為7.2、若函數(shù)在區(qū)域內解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).3、若是的階零點，則是的階極點.五、計算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將平面上的上半單位圓盤保形映射為平面的單位圓盤《復變函數(shù)》考試試題（八）一、判斷題（20分）1、若函數(shù)在解析，則在連續(xù).（）2、若函數(shù)在滿足Cauchy-Riemann條件，則在處解析.（）3、如果是的本性奇點，則一定不存在.（）4、若函數(shù)是區(qū)域內解析，并且，則是區(qū)域的單葉函數(shù).（）5、若函數(shù)是區(qū)域內的解析函數(shù)，則它在內有任意階導數(shù).（）6、若函數(shù)是單連通區(qū)域內的每一點均可導，則它在內有任意階導數(shù).（）7、若函數(shù)在區(qū)域內解析且，則在內恒為常數(shù).（）9.存在一個在零點解析的函數(shù)使且.（）10.如果函數(shù)在上解析，且，則.（）11.是一個有界函數(shù).（）二、填空題（20分）1、若，則___________.2、設，則的定義域為____________________________.3、函數(shù)的周期為______________.4、若，則_______________.5、冪級數(shù)的收斂半徑為________________.6、函數(shù)的冪級數(shù)展開式為______________________________.7、若是單位圓周，是自然數(shù)，則______________.8、函數(shù)的不解析點之集為__________.9、方程在單位圓內的零點個數(shù)為___________.10、若，則的孤立奇點有_________________.三、計算題（30分）1、求2、設，其中，試求.3、設，求.4、求函數(shù)在內的羅朗展式.5、求復數(shù)的實部與虛部.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內的根的個數(shù)為7.2、若函數(shù)在區(qū)域內連續(xù)，則二元函數(shù)與都在內連續(xù).4、若是的階零點，則是的階極點.六、計算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將平面上的區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤.《復變函數(shù)》考試試題（九）一、判斷題（20分）1、若函數(shù)在可導，則在解析.（）2、若函數(shù)在滿足Cauchy-Riemann條件，則在處解析.（）3、如果是的極點，則一定存在且等于無窮大.（）4、若函數(shù)在單連通區(qū)域內解析，則對內任一簡單閉曲線都有.（）5、若函數(shù)在處解析，則它在該點的某個領域內可以展開為冪級數(shù).（）6、若函數(shù)在區(qū)域內的解析，且在內某一條曲線上恒為常數(shù)，則在區(qū)域內恒為常數(shù).（）7、若是的階零點，則是的階極點.（）8、如果函數(shù)在上解析，且，則.（）9、.（）10、如果函數(shù)在內解析，則（）二、填空題（20分）1、若，則___________.2、設，則的定義域為____________________________.3、函數(shù)的周期為______________.4、_______________.5、冪級數(shù)的收斂半徑為________________.6、若是的階零點且，則是的____________零點.7、若函數(shù)在整個復平面除去有限個極點外，處處解析，則稱它是______________.8、函數(shù)的不解析點之集為__________.9、方程在單位圓內的零點個數(shù)為___________.10、_________________.三、計算題（30分）1、2、設，其中，試求.3、設，求.4、求函數(shù)在內的羅朗展式.5、求復數(shù)的實部與虛部.6、利用留數(shù)定理計算積分.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內的根的個數(shù)為6.2、若函數(shù)在區(qū)域內解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).7、若是的階零點，則是的階極點.五、計算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將平面上的帶開區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤.《復變函數(shù)》考試試題（十）一、判斷題（40分）：1、若函數(shù)在解析，則在的某個鄰域內可導.（）2、如果是的本性奇點，則一定不存在.（）3、若函數(shù)在內連續(xù)，則與都在內連續(xù).（）4、與在復平面內有界.（）5、若是的階零點，則是的階極點.（）6、若在處滿足柯西-黎曼條件，則在解析.（）7、若存在且有限，則是函數(shù)的可去奇點.（）8、若在單連通區(qū)域內解析，則對內任一簡單閉曲線都有.（）9、若函數(shù)是單連通區(qū)域內的解析函數(shù)，則它在內有任意階導數(shù).（）10、若函數(shù)在區(qū)域內解析，且在內某個圓內恒為常數(shù)，則在區(qū)域內恒等于常數(shù).（）二、填空題（20分）：1、函數(shù)的周期為_________________.2、冪級數(shù)的和函數(shù)為_________________.3、設，則的定義域為_________________.4、的收斂半徑為_________________.5、=_________________.三、計算題（40分）：1、2、求3、4、設求，使得為解析函數(shù)，且滿足。其中（為復平面內的區(qū)域）.5、求，在內根的個數(shù)《復變函數(shù)》考試試題（十一）一、判斷題.（正確者在括號內打√，錯誤者在括號內打×，每題2分）1．當復數(shù)時，其模為零，輻角也為零.（）2．若是多項式的根，則也是的根.（）3．如果函數(shù)為整函數(shù)，且存在實數(shù)，使得，則為一常數(shù).（）4．設函數(shù)與在區(qū)域內解析，且在內的一小段弧上相等，則對任意的，有.（）5．若是函數(shù)的可去奇點，則.（）二、填空題.（每題2分）1．_____________________.2．設，且，當時，________________.3．函數(shù)將平面上的曲線變成平面上的曲線______________.4．方程的不同的根為________________.5．___________________.6．級數(shù)的收斂半徑為____________________.7．在（為正整數(shù)）內零點的個數(shù)為_____________________.8．函數(shù)的零點的階數(shù)為_____________________.9．設為函數(shù)的一階極點，且，則_____________________.10．設為函數(shù)的階極點，則_____________________.三、計算題（50分）1．設。求，使得為解析函數(shù)，且滿足.其中（為復平面內的區(qū)域）.（15分）2．求下列函數(shù)的奇點，并確定其類型（對于極點要指出它們的階）.（10分）（1）；（5分）（2）.（5分）3．計算下列積分.（15分）（1）（8分），（2）（7分）.4．敘述儒歇定理并討論方程在內根的個數(shù).（10分）四、證明題（20分）1．設是上半復平面內的解析函數(shù)，證明是下半復平面內的解析函數(shù).（10分）2．設函數(shù)在內解析，令。證明：在區(qū)間上是一個上升函數(shù)，且若存在及（），使，則常數(shù).（10分）《復變函數(shù)》考試試題（十二）二、判斷題。（正確者在括號內打√，錯誤者在括號內打×，每題2分）1．設復數(shù)及，若或，則稱與是相等的復數(shù)。（）2．函數(shù)在復平面上處處可微。（）3．且。（）4．設函數(shù)是有界區(qū)域內的非常數(shù)的解析函數(shù)，且在閉域上連續(xù)，則存在，使得對任意的，有。（）5．若函數(shù)是非常的整函數(shù)，則必是有界函數(shù)。（）二、填空題。（每題2分）1．_____________________。2．設，且，當時，________________。3．若已知，則其關于變量的表達式為__________。4．以________________為支點。5．若，則_______________。6．________________。7．級數(shù)的收斂半徑為________________。8．在（為正整數(shù)）內零點的個數(shù)為_______________。9．若為函數(shù)的一個本質奇點，且在點的充分小的鄰域內不為零，則是的________________奇點。10．設為函數(shù)的階極點，則_____________________。三、計算題（50分）1．設區(qū)域是沿正實軸割開的平面，求函數(shù)在內滿足條件的單值連續(xù)解析分支在處之值。（10分）2．求下列函數(shù)的奇點，并確定其類型（對于極點要指出它們的階），并求它們留數(shù)。（15分）（1）的各解析分支在各有怎樣的孤立奇點，并求這些點的留數(shù)（10分）（2）求。（5分）3．計算下列積分。（15分）（1）（8分），（2）（7分）。4．敘述儒歇定理并討論方程在內根的個數(shù)。（10分）四、證明題（20分）1．討論函數(shù)在復平面上的解析性。（10分）2．證明：。此處是圍繞原點的一條簡單曲線。（10分）《復變函數(shù)》考試試題（十三）一、填空題．（每題２分）１．設，則_____________________．２．設函數(shù)，，，則的充要條件是_______________________．３．設函數(shù)在單連通區(qū)域內解析，則在內沿任意一條簡單閉曲線的積分_________________________．４．設為的極點，則____________________．５．設，則是的________階零點．６．設，則在的鄰域內的泰勒展式為_________________．７．設，其中為正常數(shù)，則點的軌跡曲線是_________________．８．設，則的三角表示為_________________________．９．___________________________．１０．設，則在處的留數(shù)為________________________．二、計算題．１．計算下列各題．（９分）(1)；(2);(3)2．求解方程．（７分）３．設，驗證是調和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之．（８分）４．計算積分．（10分）(1)，其中是沿由原點到點的曲線．(2)，積分路徑為自原點沿虛線軸到，再由沿水平方向向右到．５．試將函數(shù)分別在圓環(huán)域和內展開為洛朗級數(shù)．（８分）６．計算下列積分．（８分）(1)；(2)．７．計算積分．（８分）８．求下列冪級數(shù)的收斂半徑．（６分）(1)；(2)．９．討論的可導性和解析性．（６分）三、證明題．１．設函數(shù)在區(qū)域內解析，為常數(shù)，證明必為常數(shù)．（５分）２．試證明的軌跡是一直線，其中為復常數(shù)，為實常數(shù)．（５分《復變函數(shù)》考試試題（十四）一、填空題．（每題２分）１．設，則___________________．２．設函數(shù)，，，則的充要條件______________________．３．設函數(shù)在單連通區(qū)域內解析，則在內沿任意一條簡單閉曲線的積分_________________________．４．設為的可去奇點，____________________．５．設，則是的________階零點．６．設，則在的鄰域內的泰勒展式為_________________．７．設，其中為正常數(shù)，則點的軌跡曲線是_________________．８．設，則的三角表示為_________________________．９．___________________________．１０．設，則在處的留數(shù)為________________________．二、計算題．１．計算下列各題．（９分）(1)；(2);(3)2．求解方程．（７分）３．設，驗證是調和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之．（８分）４．計算積分，其中路徑為（１）自原點到點的直線段；(2)自原點沿虛軸到，再由沿水平方向向右到．（10分）５．試將函數(shù)在的鄰域內的泰勒展開式．（８分）６．計算下列積分．（８分）(1)；(2)．７．計算積分．（６分）８．求下列冪級數(shù)的收斂半徑．（６分）(1)；(2)．９．設為復平面上的解析函數(shù)，試確定，，的值．（６分）三、證明題．１．設函數(shù)在區(qū)域內解析，在區(qū)域內也解析，證明必為常數(shù)．（５分）２．試證明的軌跡是一直線，其中為復常數(shù)，為實常數(shù)．（５分）試卷一至十四參考答案《復變函數(shù)》考試試題（一）參考答案8、判斷題1．×2．√３．√４．√５．√6．√７．×８．×９．×10．×二．填空題1.；2.1；3.，；4.；5.16.整函數(shù)；7.；8.；9.0；10..三．計算題.1.解因為所以.2.解因為,.所以.3.解令,則它在平面解析,由柯西公式有在內,.所以.4.解令,則.故,.四.證明題.1.證明設在內.令.兩邊分別對求偏導數(shù),得因為函數(shù)在內解析,所以.代入(2)則上述方程組變?yōu)?消去得,.1)若,則為常數(shù).2)若,由方程(1)(2)及方程有,.所以.(為常數(shù)).所以為常數(shù).2.證明的支點為.于是割去線段的平面內變點就不可能單繞0或1轉一周,故能分出兩個單值解析分支.由于當從支割線上岸一點出發(fā),連續(xù)變動到時,只有的幅角增加.所以的幅角共增加.由已知所取分支在支割線上岸取正值,于是可認為該分支在上岸之幅角為0,因而此分支在的幅角為,故.《復變函數(shù)》考試試題（二）參考答案一.判斷題.1．√２．×３．√４．√５．×6．×７．×８．√９．×10．×.二.填空題1.1，，；2.；3.；4.1；5..6.，.7.0；8.；9.；10.0.三.計算題1.解.2.解令.則.又因為在正實軸去正實值，所以.所以.3.單位圓的右半圓周為,.所以.4.解=0.四.證明題.1.證明(必要性)令,則.(為實常數(shù)).令.則.即滿足,且連續(xù),故在內解析.(充分性)令,則,因為與在內解析,所以,且.比較等式兩邊得.從而在內均為常數(shù),故在內為常數(shù).2.即要證“任一次方程有且只有個根”.證明令,取,當在上時,有..由儒歇定理知在圓內,方程與有相同個數(shù)的根.而在內有一個重根.因此次方程在內有個根.《復變函數(shù)》考試試題（三）參考答案一.判斷題1．×２．×３．√４．√５．√6．√７．√８．√９．√10．√.二.填空題.1.;2.;3.;4.1;5.;6.1;7.;8.;9.;10..三.計算題.1.解.2.解.所以收斂半徑為.3.解令,則.故原式.4.解令,.則在上均解析,且,故由儒歇定理有.即在內,方程只有一個根.四.證明題.1.證明證明設在內.令.兩邊分別對求偏導數(shù),得因為函數(shù)在內解析,所以.代入(2)則上述方程組變?yōu)?消去得,.1),則為常數(shù).5.若,由方程(1)(2)及方程有,.所以.(為常數(shù)).所以為常數(shù).2.證明取,則對一切正整數(shù)時,.于是由的任意性知對一切均有.故,即是一個至多次多項式或常數(shù).《復變函數(shù)》考試試題（四）參考答案一.判斷題.1．√２．×３．×４．×５．×6．√７．×８．×９．√10．√.二.填空題.1.,;2.;3.;4.;5.整函數(shù);6.亞純函數(shù);7.0;8.;9.;10..三.計算題.1.2.解,.故原式.3.解原式.4.解=，令，得，而為可去奇點當時，而為一階極點.四.證明題.1.證明設,在下半平面內任取一點,是下半平面內異于的點,考慮.而,在上半平面內,已知在上半平面解析,因此,從而在下半平面內解析.2.證明令,,則與在全平面解析,且在上,,故在內.在上,,故在內.所以在內僅有三個零點,即原方程在內僅有三個根.《復變函數(shù)》考試試題（五）參考答案一.判斷題.1．√２．√３．×４．√５．×6．×７．×８．√９．√10．√.二.填空題.1.2,,;2.;3.,;4.;5.0;6.0;7.亞純函數(shù);8.;9.0;10..三.計算題.1.解令,則.故,.2.解連接原點及的直線段的參數(shù)方程為,故.3.令,則.當時,故,且在圓內只以為一級極點,在上無奇點,故,由殘數(shù)定理有.4.解令則在內解析,且在上,,所以在內,,即原方程在內只有一個根.四.證明題.1.證明因為,故.這四個偏導數(shù)在平面上處處連續(xù),但只在處滿足條件,故只在除了外處處不可微.2.證明取,則對一切正整數(shù)時,.于是由的任意性知對一切均有.故,即是一個至多次多項式或常數(shù).《復變函數(shù)》考試試題（六）參考答案一、判斷題：1.√2.×3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.×二、填空題：1.2.3.4.15.16.階7.整函數(shù)8.9.010.歐拉公式三、計算題：1.解：因為故.2.解：因此故.3.解：4.解：5．解：設,則.6．解：四、1.證明：設則在上，即有.根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內有相同個數(shù)的零點，而的零點個數(shù)為6，故在單位圓內的根的個數(shù)為6.2.證明：設，則,由于在內解析，因此有,.于是故，即在內恒為常數(shù).3.證明：由于是的階零點，從而可設，其中在的某鄰域內解析且，于是由可知存在的某鄰域，在內恒有，因此在內解析，故為的階極點.《復變函數(shù)》考試試題（七）參考答案一、判斷題：1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.×二、填空題：1.2.3.4.15.16.階7.整函數(shù)8.9.010.三、計算題：1.解：2.解：因此故.3.解：因此4.解：由于，從而.因此在內有5．解：設,則.6.解：設，則，，故奇點為.四、證明題：1.證明：設則在上，即有.根據(jù)儒歇定理知在內與在單位圓內有相同個數(shù)的零點，而在內的零點個數(shù)為7，故在單位圓內的根的個數(shù)為7.2.證明：設，則已知在區(qū)域內解析，從而有將此代入上上述兩式得因此有于是有.即有故在區(qū)域恒為常數(shù).3.證明：由于是的階零點，從而可設，其中在的某鄰域內解析且，于是由可知存在的某鄰域，在內恒有，因此在內解析，故為的階極點.五、計算題解：根據(jù)線性變換的保對稱點性知關于實軸的對稱點應該變到關于圓周的對稱點，故可設《復變函數(shù)》考試試題（八）參考答案一、判斷題：1.√2.×3.√4.×5.√6.√7.√8.×9.√10.×二、填空題：1.2.3.4.5.16.7.8.9.510.三、計算題：1.解：由于在解析，所以而因此.2.解：因此故.3.解：因此4.解：由于，從而因此在內有5．解：設,則.6．解：設,則在內只有一個一級極點因此.四、證明：1.證明：設則在上，即有.根據(jù)儒歇定理知在內與在單位圓內有相同個數(shù)的零點，而在內的零點個數(shù)為7，故在單位圓內的根的個數(shù)為72.證明：因為，在內連續(xù),所以,當時有從而有即與在連續(xù)，由的任意性知與都在內連續(xù)3.證明：由于是的階零點，從而可設，其中在的某鄰域內解析且，于是由可知存在的某鄰域，在內恒有，因此在內解析，故為的階極點.五、解：1.設，則將區(qū)域保形映射為區(qū)域2.設,則將上半平面保形變換為單位圓.因此所求的單葉函數(shù)為.《復變函數(shù)》考試試題（九）參考答案一、判斷題（20分）1、×2、×3、√4、√5、√6、√7、√8、√9、×10、√二、填空題（20分）1、2、3、4、15、16、7、整函數(shù)8、9、810、三、計算題（30）1、解：2、解：因此故.3、解：4、解：由于，從而.因此在內有5、解：設,則.6、解：設則在內有兩個一級極點，因此，根據(jù)留數(shù)定理有四、證明題（20分）1、證明：設則在上，即有.根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內有相同個數(shù)的零點，而的零點個數(shù)為6，故在單位圓內的根的個數(shù)為6.2、證明：設，則,由于在內解析，因此有,.于是故，即在內恒為常數(shù).3、證明：由于是的階零點，從而可設，其中在的某鄰域內解析且，于是由可知存在的某鄰域，在內恒有，因此在內解析，故為的