2022-2023學年甘肅省白銀市靖遠四中高一（下）期末數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年甘肅省白銀市靖遠四中高一(下)期末數(shù)學試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知全集U={XeN*|x<6},集合4={1,3},B={2,3,4},則4n(QB)=()

A.{1}B.{3}C.0D.{1,3}

2.若(2—yi)i=6+xi,x,yGR,則(=()

A.-3B.3C.-gD.g

3.下列命題正確的是()

A.任意四邊形都可以確定唯一一個平面

B.若直線m上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，則?n〃a

C.若m〃a,則直線tn與平面a內(nèi)的任意一條直線都平行

D.若將一個西瓜切3刀，則這個西瓜最多可以被切成8塊

4.已知函數(shù)/(x)={k若f(a)=l,則a=()

A.2B.2或1C.\D.2或;

5.公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金

分割約為0.618,這一數(shù)值也可以表示為m=2s譏18。，若正數(shù)九滿足Tn?+小=%則m九=()

A.sin36°B,2s譏36°C.3sin36°D.4s譏36°

6.中國是瓷器的故鄉(xiāng)，“瓷器”一詞最早見之于許慎的微文解字》中,某瓷器如圖1所示，

該瓶器可以近似看作由上半部分圓柱和下半部分兩個等高(高為6cm)的圓臺組合面成，其直

觀圖如圖2所示，已知圓柱的高為20cm,底面直徑48=10cm,底面直徑CO=20cm,EF=

16cm,若忽略該瓷器的厚度，則該瓷器的容積為()

圖1圖2

A.669zrcm3B.13387rcm3C.6507rcm3D.13007icm3

7.2013?2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資及名義增速如圖所示，貝4（）

2013—2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資及名義增速

年平均工資/元增速/%

70000

60000

50000

400(H)

30000

20000

1()000

0

A.2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資未突破60000元

B.2013?2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資名義增速逐年遞減

C.2013?2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資名義增速的40%分位數(shù)為8.1%

D.2013?2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資名義增速的65%分位數(shù)為8.8%

8.《九章算術少中有一個“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生

其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭長各幾何？”

其意思為“今有水池1丈見方（即CE=1丈=10尺），蘆葦生長在水池的

中央，長出水面的部分為1尺，將蘆葦向池岸牽引，恰巧與水岸齊接（如

圖所示）.試問水深、蘆葦?shù)拈L度各是多少？”將蘆葦AB,AC均視為線

段，在蘆葦?shù)囊苿舆^程中，其長度不變，記4B47=a,則tan（"》—tanG+/=（）

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.已知。為坐標原點，點力（一1,1）,8（1,3）,AB的中點為C,則（）

A.布=（-2,-2）B.C的坐標為（0,2）

C.OA1.ABD.a，灰的夾角為*

10.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝上的點數(shù)，設事件4="點數(shù)為4”，事

件B"點數(shù)為奇數(shù)”,事件C="點數(shù)小于4"，事件。="點數(shù)大于3"，則（）

A.4與B互斥B.A與C互斥C.B與。對立D.C與。對立

11.已知函數(shù)f(x)=Asin(cox+w)(4>0,0<3<3,|。<]的部分圖

象如圖所示，則()

A.4=2

n71

B.0=彳

C.3=1

D.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為仁+kn,^-+kn](k&Z)

oo

12.甲工程師計劃將一塊邊長為6/n的正方形4BCD鐵片加工成一個無蓋正四棱臺，其工程平

面設計圖如圖1所示，正方形EFGH和正方形4BCD的中心重合，/,],K,L,M,N,0,P分

別是邊AB,BC,CD,DA上的三等分點，且EF〃/IB,〃<EF<4B,將圖中的四塊陰影部

分裁下來，用余下的四個全等的等腰梯形和正方形EFGH加工成一個無蓋正四棱臺，如圖2所

示,則()

圖1圖2

A.甲工程師可以加工出一個底面周長為87n的正四棱臺

B.甲工程師可以加工出一個底面面積為87n2的正四棱臺

C.甲工程師可以加工出一個高為1.5m的正四棱臺

D.甲工程師可以加工出一個側(cè)棱長為1.5僧的正四棱臺

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.將函數(shù)y=cos。+g)的圖象向左平移1個單位長度后，得到y(tǒng)=f(x)的圖象，則/(x)=

；將f(x)圖象上每個點的橫坐標縮短到原來的縱坐標不變，得到y(tǒng)=g(x)的圖象，

則g(X)=?

14.若sin(a+5=±則cos(2a+今=.

15.一個袋子中有2個紅球，2個白球，若從中隨機一次性取出2個球，則取出的2個球都是白

球的概率為.

16.若長方體的3條面對角線的長度分別為2、，有、V-5,則該長方體外接球的表面積為

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知向量五=(l,m)5=(3,-2).

(1)若五〃a求m；

(2)若為在方上的投影向量為浜，求m.

18.(本小題12.0分)

已知復數(shù)Zi=1+mi(meR)滿足z[(2-i)為純虛數(shù).

⑴求閡；

(2)若復數(shù)Z2=zi(n+i3)(neR)在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限，求n的取值范圍.

19.(本小題12.0分)

如圖，在三棱錐。一力BC中，E,尸分別為AC,BC的中點.

(1)證明：EF〃平面4BD.

(2)若MBC,△4CD均為正三角形，AB=2y/~l,BD=求直線BD與平面4BC所成角

的大小.

20.（本小題12.0分）

△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且2ccos4=a+26.

⑴求C；

(2)若CD為乙4cB的角平分線，且CD=2,求△ABC面積的最小值.

21.(本小題12.0分)

如圖，在正四棱柱4BCD-41B1G5中，E是441的中點.

(1)證明：平面ACC14，平面

(2)若=2AB=4,求點B到平面CEDi的距離.

22.(本小題12.0分)

甲、乙兩位同學切磋棋藝，已知甲先手時，甲獲勝的概率為|,平局的概率為乙先手時，

3o

乙獲勝的概率為上平局的概率為第一局甲先手，后面比賽的先手順序約定如下：若上一

局有勝敗，則本局由上一局的敗者先手，若上一局平局，則本局由乙先手，且每局比賽之間

的結(jié)果相互獨立.若某選手先勝三局，則該選手勝利，比賽結(jié)束.

(1)求三局內(nèi)結(jié)束比賽，且甲連勝三局的概率；

(2)求五局內(nèi)結(jié)束比賽，且乙勝利的概率.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：U={x&N*\x<6}=",2,3,4,5},B={2,3,4},

.-.ZuB={1,5},又4={1,3},

?sngB)={i}.

故選：A.

根據(jù)題意求全集U,再結(jié)合集合間的運算求解.

本題考查交集與補集的混合運算，是基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：由(2-yi)i=y+2i=6+直，得x=2,y=6,

則(=3.

故選:B.

根據(jù)復數(shù)相等，實部相等，虛部相等.

本題主要考查復數(shù)的運算，屬于基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：對于4中，由空間四邊形的四個點不共面，所以A錯誤；

對于8中，由直線m上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，則巾〃a或m與a相交，所以B錯誤；

對于C中，若m〃訪則平面a內(nèi)存在直線與直線m不平行(異面直線)，所以C錯誤；

對于。中，根據(jù)平面的基本性質(zhì)，若將一個西瓜切3刀，則這個西瓜最多可以被切成8塊，所以￡>

正確.

故選：D.

根據(jù)平面的基本性質(zhì)，空間直線與直線，直線與平面的位置關系，逐項判定，即可求解.

本題考查了平面的基本性質(zhì)，空間線面關系，是基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：由題意，當a>l時，令/(a)=log2a=1,

解得a=2,

當a<1時,令/(a)=3a-2=1,

解得a=1.

故選:B.

結(jié)合函數(shù)的解析式，列出方程，根據(jù)對數(shù)與指數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，即可求解.

本題考查考查分段函數(shù)，函數(shù)值，解題中注意分類討論思想的應用，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：由題意得m2+"=4§5218。+/=%由于n>0=n=2cosl8°,

則mn=4sinl80cosl8°=2stn36°.

故選：B.

根據(jù)同角關系以及正弦式即可求解.

本題主要考查了同角基本關系的應用，屬于基礎題.

6.【答案】B

【解析】解：因為圓柱的高為20cm,底面直徑48=10cm,底面直徑CD=20cm,EF=16cm,

且兩圓臺的高都為6cm,

所以該瓷器的容積為：

V=TTX25X20+|X(25TT+100兀+V257rxIOOTT)X6+|X(64兀+IOOTT+

V64TTxIOOTT)x6

iio

=500TT+-X175TTx6+-x2447rX6=13387rcm3.

故選:B.

根據(jù)題意利用圓柱和圓臺的體積公式直接求解即可.

本題考查組合體的體積的求解，屬中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：根據(jù)圖象可知2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資突破60000元，因此選

項A不正確；

因為2018年的全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資名義增速高于2017年，所以選項3不正確;

2013?2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資名義增速從小到大排列為：

3.7>6.8>7.7,8.1,8.2,8.3,8.8?8.9,11.3,13.8?

因為40%X10=4,65%x10=6.5

所以2013?2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資名義增速的40%分位數(shù)為

8.1%+8.2%=815%,因此選項c不正確；

2013?2022年全國城鎮(zhèn)私營單位就業(yè)人員年平均工資名義增速的65%分位數(shù)為8.8%,

因此選項。正確.

故選：D.

根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，結(jié)合百分數(shù)位的定義進行逐一判斷即可.

本題主要考查了統(tǒng)計圖的應用，考查了百分位數(shù)的計算，屬于基礎題.

8.【答案】A

【解析】解：依題意，設4B=x尺，則4c=(x+l)尺，BC=2CE=5尺，

在△ABC中，由+4^2=4C2,得52+/=(x+1)2,得x=12,

所以tana=

AD1Z

Q、4.,a\iTa嗚l+tan^(l-tan^)2-(l+tan|)2

故tang—2)一叫+》=嗝―匚礴=書砌f

5

—4tan=

=—2tana6-

故選：A.

根據(jù)題意求得4B,從而求得tana,再利用正切的和差公式與倍角公式即可得解.

本題主要考查三角形中的幾何計算，屬于基礎題.

9.【答案】BCD

【解析】解：對于4，AB=(1,3)-(-1,1)=(2,2).故A錯誤:

對于B,由中點坐標公式得C(二/，亨)，即(0,2),故B正確;

對于C，■■■OA-AB=-1x2+1x2=0>OA故C正確;

而近_一lxO+l—2_￡7

COS<0A,0C>=

對于D，西畫=2/(-1)2+1=下

■.■<OA,OC>E[O,n],.■■<OA,OC>=^,故Z)正確.

故選：BCD.

由向量的坐標運算可判斷4,由中點坐標公式可判斷8,由平面向量的數(shù)量積的坐標運算可判斷C,

由平面向量的夾角可判斷D.

本題考查平面向量的數(shù)量積與夾角，屬于基礎題.

10.【答案】ABD

【解析】解：事件“點數(shù)為4”與“點數(shù)為奇數(shù)”不能同時發(fā)生，所以4與B互斥，A正確；

事件”點數(shù)為4”與“點數(shù)小于4”不能同時發(fā)生，所以4與C互斥，8正確；

事件“點數(shù)為奇數(shù)”的對立事件是“點數(shù)為偶數(shù)”，不是“點數(shù)大于3"，C錯誤；

事件“點數(shù)小于4”的對立事件是“點數(shù)不小于4”，即“點數(shù)大于3”，C與D對立，。正確.

故選：ABD.

利用互斥事件和對立事件的概念求解.

本題主要考查了互斥事件和對立事件的概念，屬于基礎題.

11.【答案】ABD

【解析】解：由函數(shù)/(尤)的圖象，可得4=2,

由/(°)=2sin<p-V-2>可得sinR=

因為3

所以3=今

又由/弓)=2初(勒+》=2,可得初+[=,+2而,即3=2+16k(k€Z),

oo4-

因為0<3<3,

所以3=2,

所以/(%)=2s)(2%+9，

由弓+2ku<2x+弓W+2kjt(k6Z),可得,+k7i舊％+警+kTi(k6Z),

L4Zoo

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為K+而用+k用(keZ).

故選：ABD.

由函數(shù)f(x)的圖象，得到4=2,利用/(0)=/2,求得9=：,再由居)=2,求得3=2,得出

函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題中注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：令正四棱臺的底面邊長EF=2am,高為/un,側(cè)棱長為bn,等腰梯形EF〃的高為打加,

則由題意可知，〃=gAB=2m,2a+2/ii=4B,即必=3-a(m),

對于4當正四棱臺的底面周長為8m時，EF=2m,不滿足//<EF,4錯：

對于8,當正四棱臺的底面面積為8m2時，EF=2Cm，滿足〃<EF<4B,8對；

對于C,當正四棱臺的高為1.5m時，貝岫=1.5m,

記正四棱臺的上下底面的中心分別為01，02,

取〃,，F(xiàn)G的中點Q,R,連接。1。2，OiQ,02R,QR,過點Q作QS_La/?于點S,

則QS=1.5,QR=3-a,RS=a-l,

所以I.52+(a—1)2=(3—a)2,解得a=II，則EF=等nz,

IOo

滿足〃<EF<4B,C對；

對于D,當正四棱臺的側(cè)棱長為1.5m時，則，=1.5m,過點/作/T1FG于點7,

則"=1.5,JT=3-a,FT=a-l,所以1.5?=(a-l)24-(3-a)2,

即8a2-32a+31=0,解得a=匣匚，則￡7?=型2巾，滿足〃<EF<4B,。對.

42

故選：BCD.

令正四棱臺的底面邊長EF=2am,高為歷n,側(cè)棱長為bn,等腰梯形EF〃的高為八pn,則由題意

可知，〃=g/1B=2m,2a+2/h=4B,再根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)分別計算即可判斷各選項.

本題考查了正四棱臺的特征，屬于中檔題.

13.【答案】cos(^+1)cos(x+1)

【解析】解：依題意可得/(x)=cos(牛=cosg+|),g(%)=cosgx4+》=cos(x+》.

故答案為：cos(^+1)；cos(x+1).

根據(jù)函數(shù)圖象的變換即可得出函數(shù)解析式.

本題考查三角函數(shù)的變換，解題中注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中檔題.

14.【答案】\

【解析】解：因為sin(a+/)=g,

所以由余弦的倍角公式，可得cos(2a+y)=1-2sin2(a+/)='

故答案為：，

根據(jù)余弦的倍角公式，準確運算，即可求解.

本題考查二倍角公式，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于基礎題.

15.【答案】1

【解析】解：根據(jù)題意，2個紅球記為48,2個白球記為ab,

從中隨機一次性取出2個球有4B,Aa,Ab,Ba,Bb,ab共6種取法，

則取出的2個球都是白球的有ab,1種取法，

所以取出的2個球都是白球的概率為P=

故答案為：聯(lián)

根據(jù)題意,用列舉法分析“從中隨機一次性取出2個球”和“取出的2個球都是白球”的取法數(shù)目,

由古典概型公式計算可得答案.

本題考查古典概型的計算，注意列舉法的應用，屬于基礎題.

16.【答案】67r

【解析】解：設該長方體的長、寬、高分別為％、y、z,該長方體外接球的半徑為R,

x2+y2=4

則，y24-z2=3?

/+%2=5

上述三個等式相加可得2(/+必+z?)=12,

所以R_J"+y2+z2

因此，該長方體外接球的表面積為4兀/?2=47rx(竽)2=67r.

故答案為：67r.

設該長方體的長、寬、高分別為x、y、z,該長方體外接球的半徑為R,根據(jù)已知條件可得出關于

x、y、z的等式，求出R的值，再利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.

本題主要考查球的表面積的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】M：(1)%,a//b>

:.1x(—2)—3m=0,解得m=—

故m=—|.

(2)因為五-b=3—2m,\b\=V13?

2m1K

--

T3

13

所以登=2,解得m=1.

故m=1.

【解析】(1)根據(jù)向量平行的坐標表示即可求解；

(2)根據(jù)投影向量的定義即可求解.

本題主要考查投影向量的求解，屬于基礎題.

18.【答案】解：(l)zi(2-i)=(l+mi)(2-i)=2+m+(2m-l)i,

由zi(2-i)為純虛數(shù)，得六解得血=一2.

所以區(qū)|=V1+m2=V~~5;

3

(2)Z2=Zi(7t+i)=(1—2i)(n—i)

n—2—(2n+l)t,

因為復數(shù)Z2在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限，

所以惚舒＜0,

解得一：＜n＜2,即ri的取值范圍是（一表2）.

【解析】（1）化簡z1（l-i）,利用純虛數(shù)的定義，求出m的值，得出復數(shù)zi的表達式，即可求出|zi|

的值；

（2）化簡復數(shù)Z2,利用點在第三象限，即可求出n的取值范圍.

本題主要考查復數(shù)的模，屬于基礎題.

19.【答案】解：（1）證明：因為E,F分別為4C,BC的中點,

所以EF〃4B,而EF仁平面AB。，ABu平面AB。，

所以EF〃平面ABD；

（2）連接DE,BE,

因為△ABC,△ACD均為正三角形，AB=26,E,F分別為AC,BC的中點.

所以DE1AC,BELAC,DE=BE=JAB2-(^C)2=V12-3=3.

而80=3<7，=BE2+DE2,

所以BE_LDE,因為4CDBE=E,AC,BEu平面ABC,

所以DE1平面ABC,因此4DBE是直線BD與平面4BC所成角,

而DE=BE,所以4DBE=*.

【解析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理進行證明即可；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、線面角的定義進行求解即可.

本題考查線面平行的證明，線面角的求解，屬中檔題.

20.【答案】解：（1）解法1：因為2ccosA=a+2b,

ADB

因為Ce（0,兀）,

所以C=竽.

解法2：因為2ccos力=a+2b,

所以由正弦定理得2sinCcos/l=sinA+2sinB,

所以si九8=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以2sinCcos4=sinA+2sinAcosC+2cosAsinC,

整理得sizM+2sinAcosC=sin/(l+2cosC)=0,

因為4e(0,71),

所以sinA工0,則cosC=—

因為CW(O,TT),

所以C=：.

(2)因為SMBC=S—CD+S〉BCD，

所以;Qbsi幾與=-CDsin^4-|h?CDsin^

所以ab=2a4-2b>47ab,

所以abN16,當且僅當Q=b=4時，等號成立，

所以△ABC的面積為"bsinC=-^cib>415，

所以△4BC面積的最小值為4「.

【解析】(1)解法1：根據(jù)題意，利用余弦定理得到。2+爐一?2=-帥，求得COSC=-g,即可求

解.

解法2：根據(jù)題意，由正弦定理得至"sin做1+2cosC)=0,求得cosC=-卷即可求解.

(2)由SMBC-S“CD+SABC。，結(jié)合基本不等式求得ab>16,進而求得△ABC面積的最小值.

本題考查余弦定理，解三角形，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題.

21.【答案】⑴證明：因為正四棱柱ABCD-4B1GD1中，可得四邊形4BCD為正方形，可得4C_LBD,

由44iJL平面4BCD,BDu平面ABCD,所以A41BD,

因為""AC=4且44i，ACu平面所以BD1平面ACG4，

又因為BDu平面BDDiBi，所以平面4CGA1J■平面

(2)解：如圖所示，分別延長5E,DA,交于點M,連接CM,交力B于點F,

因為E為441的中點，且平面〃平面CODiG，

且平面ABBiAnMCDi=EF,且平面CDDiGnMCDi=CDr,所以EF〃CDi，

可得尸的中點ZB,且4D=AM,MF=CF,

所以點B到CEDi的距離等于點B到MEF的距離，

因為正四棱柱4BC0-41B1GD1中，AA1=2AB=4,可得MF==2C,EF=仁，

取ME的中點N,連接FN,可得FN1ME,且FN=「，

所以“財EF=1x2y/~2XV-3-y/~6,且另碇尸=XBfXMA=X1X2=1,

設點B到平面MEF的距離為h,

由^B-MEF—%-MBF,可得百XV6X/l=-X1XAE=-X1X2=—,解得/l——?

即B到平面CEO1的距離芋.

【解析】(1)分別證得4C1BD,AAALBD,得到BD1平面ACCMI，結(jié)合面面垂直的判定定理,

即可證得平面4CCM1_L平面BOD/i；

(2)根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為點B到CEA的距離等于點8到MEF的距離，結(jié)合/_MEF=%-MBF，即可求解.

本題主要考查平面與平面垂直的證明，點到平面距離的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

22.【答案】解：(1)若甲連勝三局，

則第一局甲先手，乙敗；第二局乙先手，乙敗；第三局乙先手，乙敗,

1

由題意甲先手甲勝的概率轉(zhuǎn)，乙先手甲勝的概率為「卜戈4-