（全國1卷）2018年理科數學真題（含答案解析）

絕密★啟用前

2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

,工1-i2i,則|z|=

1.設Z—-上

—I

1+i

T

A.0B.

2

2.已知集合?

A=x*-x-20則/=

dR

uu

A.x"X2B.x"X2

C.x-12D.x\x-12

3.某地區(qū)經過一年的新農村建設,農村的經濟收入增加了一倍,實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農村的經濟

建設前經濟收入構成比例建設后經濟收入構成比例

則下面結論中不正確的是

A.新農村建設后，種植收入減少

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半

4.記為等差數列a=，則=

a的前"項和.若3S=S+12a

Q5

0'5

n324

A.-12B.-10C.10D.12

5.設函數f(x)=/+(a-1)/2+ax.若為奇函數，則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為

A.y=-2xB.y--xC.產2xD.y-x

6.在△力GC打力。為8c邊上的中線，5為2。的中點，貝修=一

A31AB-ACC.3AB+1ACD.13

AB-ACB.13

AB+AC

444A._4____________4444

某圓柱的高為2,底面周長為16,1三視圖如)」圓柱面面1:0點用在正視圖上的對應點為面,圓柱

7.

表面上的點/V在左視圖上的對應點為匕圓柱側面上，從例到/V的路徑中，最短路徑的長度為

A.217B.25C.3D.2

2

8.設拋物線C：w=4x的焦點為尸，過點(-2,0)且斜率門的直線與C交于"/V兩點，則成FN

為3=

A.5B.6C.7D.8

9.已知函數f⑻e、X0

9

gx=fx+x+a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍

是

()()

Inx,x0,

A.[-1,0)B.2,+■+oo)D,n,+oo)

10.下圖來自古希臘數學家希波克拉底所碎麟洸詢慟時般圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為

直角三角形/8C的斜邊8c直地484c.A/IGC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II,

其余部分記為川.在整個圖形中隨機取一點，此點取自I,ii,山的概率分別記為0,◎，pi,則

A.py=pzB.p\=2

C.p2=psD.pi=a+必

口AznW也如〃X-2=1,。為坐標原點，尸為C的右焦點，過廠的直線與C的兩條漸近線的交點

\In大UAX.InjCz：―2y

3

分別為儀,若AO/VW為直角三角形，則I例2=

力?

A.B.3C.23D.4

2

12.已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，則a截此正方體所得截面面積的最

D.3

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-2y-2,則z=3x+2y的最大值為

13.若x,y滿足約束條件0---------------------

-+

xy10

yo

14.記s為數列

a的前〃項和.若S-2a+1,則S=

nnnn6

15從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_____________

種.(用數字填寫答案)

16.已知函數/'(x)=2sinx+sin2x,貝Uf(x)的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生

都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。

(-)必考題：60分。

17.(12分)

在平面四邊形中，A0C=9O,>4=45,AB=2,BD=5.

(1)求cosADB；

(2)若DC=22,求GC

18.(12分)

如圖，四邊形/SCO為正方形，￡,尸分別為42GC的中點，以。尸為折痕把△，尸C折起，使點。

到達點尸的位置，且尸尸，8尸.

(1)證明：平面尸E尸上平面廠。；

(2)求。尸與平面/夕尸。所成角的正弦值.

19.（12分）

X

C+y=的右焦點為尸，過尸的直線/與C交于4G兩點，點例的坐標為(2,0).

:1

2

設橢圓

2

(1)當/與x軸垂直時，求直線/例的方程；

(2)設。為坐標原點，證明：OMA=OMB.

20.(12分)

某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不

合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余

下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為P(0p1)，且各件產品是否為不合格品相

互獨立.學科&網

(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f［p)，求f{p}的最大值p.

點0

(2)現(xiàn)對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(1)中確定的夕作為「的值.已知每

o

件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費

用.

(i)若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求EX;

(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

21.(12分)

1

已知函數〃、

/■(x)=-x+aln

x.

x

(1)討論f(x)的單調性；

()-()a-2

(2)若尸(X)存在兩個極值點R,A2,證

明：12

X-X

12

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。

22.［選修4—4：坐標系與參數方程］(10分)

C的方程為y=用M+2.以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極

坐在直角坐標系X。/中，曲線

標系，曲線

。的極坐標方程為2+2cos-3=0.

2

(1)求C的直角坐標方程；

2

(2)若。與C有且僅有三個公共點，求C的方程.

121

23.［選修4—5：不等式選講］(10分)

已知/(A)=|x+11-1ax-\|.

(1)當a=1時，求不等式f(x)1的解集；

(2)若x(0,1)時不等式，(*)x成立，求a的取值范圍.

參考答案:

123456789101112

CBABDABDCABA

_X3

13.614.-6315.16

2

16.

17.（12分）

BDAB

解：(1)在△/8D中,由正弦定理得

sinAsin

ADBj

5-2,所以-2

由題設知，:ADB

sin45sin

ADB

由題設知，ADB90,J聽以cos

255

2

(2)由題設及(1)知,

cos8DC=sinADB

5

?—

在ABC。中，由余弦定理得

BO=B&+DO-2BDDCcosBDC

2

=25+8-252

25

=25.

所以BC=5.

18.（12分）

解：(1)由已知可得，BFLPF,BFLEF,所以平面尸&

又BF平面45尸。，所以平面戶日工平面為罰力.二

(2)作PH'EF,垂足為〃.由(1)得，PHCA

-7C

以”為坐標原點，6尸的方向為向式T立如圖所示的空間直角坐標系H-xyz.

A

由(1)可得，DELPE.又DP=2,DE=',所以吟4.又尸e1,EF=2,敬PELPF.

可-r,得曰PH引J3，EHr3.

22

則^(0,0,0|,f\Q,Op3一3、f3-G

戶昕

DP=_L〃尸=(0,(廣)為平面/b的法向

222量.

2

J

設。尸與平面48/77所成角為，則

/HP\\DP\34

sin

=HPDP3.

4

3

所以。尸與平面Z8&7所成角咿弦值為小

19.(12分)

解：(D由已知得尸(1,①C/的碗為片工j

22

由已知可得，點力的坐標為(1,)或(1,)

2-

所以力〃的方程為廣一*+2或片x-2

(2)當/與x軸重合時，0MA=OMB-0

當/與x軸垂直時，為A8的垂直平分線，所以OMA=OMB.

當/與X軸不重合也不垂直時，設/的方程為y=4(x-D(44(x,y),G(x,

0)----------------------V)，

1122

則yy-

X直線例4例8的斜率之和為左+k=+

12,22_

12

MAMBX-X-

122

2

由y=kx-ky=kx-k

得

1，22

1

..2kxx-3k(x+x)+

k+k-A')

MAMBQK

1212

(x-2)(x-2)

12

X+1/2=1

將y=4(x-l)代入

2

(2依+1)/-4依x+242-2=0.

4k2k-2-

所以,-------z----2----

X+X=XX=

122+1+

2

2k12k

1

4依-44-12依+8依+44

人2kxx-34(x+x)+44=

0

1222+

1

2k1

從而0

k+k=,故AM,例8的傾斜角互補，所以OMA-OMB.

MAMB

綜上，OMA=OMB.

20.(12分)

解：（1）20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p）=C2b（1-0>8.因此

20

PP-PP-PP-PP-

()C[2(1)18(1)]2C(1)(110)

218217217

2020

令，（p）=0,得夕=0.1.當夕(0,0.1)時，f（夕）0；當夕（0.1,1）時，f（夕）0.

所以f（夕）的最大值點為A=0.1.

(2)由(1)知，p-0.1.

（i）令V表示余下的180件產品中的不合格品件數,依題意知匕5(180,0.1),X=202+25P,

即X=40+25匕

所以。=F(40+25>0=40+25EY=490.

（ii）如果對余下的產品作檢驗，則這一箱#麗需要的檢驗炳麗5元.

由于EX400,故應該對余下的產品作檢驗.

21.(12分)

1X-ax+1

解：（1）f（冷的定義域為2

（0.+）,/—J

/（X）1

XXX

22

⑴若，2,則f(x)0,當且僅當3=2,x=1Htf(x)=0,所以，(x)在(0,+)單調遞減.

a2-4a+*-4

(ii)若a2,令f(x)=0x_x

或r=

得，一

22

“，a-a2-4a+a2--4

0(0,)(,)

U+時，f(x)

0；

22

a-a+a2-4

(0,).()

o.所以0M在

單

2222

調遞減，在岸4ag虎,

'單調遞增.

22

(2)由(1)知，f(x)存在兩個極值點當且僅當a2.

由于的兩個極值點H，及滿足*-ax+1=0,所以A1A2=1,不XX,放1.由

_妨設則于

12

f(x)f(x)1InxInxIn%Inz—2In，

x

-+=-+=—+—

a12

22

X-X_XXX-XX-X-x

1

121212

2

X

2

“X)f(x)2----1-X+2lnx

一等價于。0.

-22

所以12a

X-X

12

1

設函數

g(x)=-x+2lnx,由(1閱,g(x)在(0,+)單調遞減，又g⑴=0,從tffix。，+)

x

時，g(Mo.

f(x)-f(x)

所以

X

2

-x+2\nx0,即12a

22

XX

12

22.［選修J4：坐標系與參數方程］(10分)

解：(1)由*=cos,y-sin得。的直角坐標方程為(x+1)2+y2=4.

2

(2)由(1)知G是圓心為4(-1,0)，半徑為2的圓.學&科網

由題設知，G是過點8(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線記y軸守的射線為

7/,y軸左邊的射線為

1

他于8在圓G的外面，故G與G有且僅有三個公共點等價于/與G只有一個公共點且分與G有

兩個公共點，或分與G只有一個公共點且?與G有兩個公共點.

Ik?\4

當/與G只有一個公共點時，力到/所在直線的距離為2,所+I2

以k14=-或4=0.

2+，故