2023-2024學年滬科版初中數(shù)學八年級下冊 18.2 勾股定理的逆定理同步分層訓練培優(yōu)題

2023-2024學年滬科版初中數(shù)學八年級下冊18.2勾股定理的逆定理同步分層訓練培優(yōu)題一、選擇題1．以下列各組三個數(shù)據(jù)作為三角形的邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．32，42，52 C．1，1，22．如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大的正方形內(nèi)，若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A．直角三角形的面積B．最大正方形的面積C．較小兩個正方形重疊部分的面積D．最大正方形與直角三角形的面積和3．如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，AC上，連接DE，DF，已知△ABC，△ADF，△BDE都是等邊三角形，點A．23 B．4 C．32 4．如圖，一個長方體形盒子的長、寬、高分別為5厘米、3厘米、10厘米，在長方體一底面的頂點A有一只螞蟻，它想吃點B處的食物，沿長方體側(cè)面爬行的最短路程是（）A．13厘米 B．241厘米 C．326厘米 D．5．明朝數(shù)學家程大位在數(shù)學著作《直指算法統(tǒng)宗》中，以《西江月》詞牌敘述了一道“蕩秋千”問題：平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地．意思是：如圖，秋千OA靜止的時候，踏板離地高一尺（AB=1尺），將它往前推進兩步，一步合5尺（CA'=10尺），此時踏板離地五尺（AA．10.5尺 B．14.5尺6．如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U型池的示意圖，該U型池可以看作是長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為8m的半圓，其邊緣AB=CD=20m，點E在CD上，CE=5m，一名滑板愛好者從A點滑到E點，則他滑行的最短距離為（）m（邊緣部分的厚度可以忽略不計，π取3）A．17 B．341 C．434 7．如圖，圓柱形玻璃杯高為11cm，底面周長為30cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處爬行到內(nèi)壁B處的最短路線長為（）(杯壁厚度不計)A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm8．如圖，Rt△ABO中，∠A=90°，AO=2，AB=1．以BC=1，OB為直角邊，構(gòu)造Rt△OBC；再以CD=1，OC為直角邊，構(gòu)造Rt△OCD；……，按照這個規(guī)律，在Rt△OHI中，點H到OI的距離是（）A．223 B．336 C．3二、填空題9．如圖，已知∠BAC=90°，BC=3，AB=1，AD=CD=1，則∠BAD=10．如圖，有一臺救火飛機沿東西方向AB，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，已知AB=500m，AC=300m，BC=400m，飛機中心周圍260m以內(nèi)可以受到灑水影響，若該飛機的速度為14m/s，則著火點C受到灑水影響秒．11．如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S312．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AB=10，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是．13．已知一個等腰三角形紙板的頂角為120°，腰長為20cm．采用先把它剪開成兩個部分，再利用所得的兩個部分重新拼接出三角形紙板的方法，將其改造成一個新的三角形紙板（不重不折）．在利用這個方法所得到的新的三角形紙板中，周長的最大值為cm．三、解答題14．已知如下數(shù)表：n2345……a22-132-142-152-1……b46810……c22+132+142+152+1……（1）觀察a，b，c與n之間的關(guān)系，用含自然數(shù)n（n>1）的代數(shù)式表示：a=，b=，c=．（2）試猜想：以a，b，c為邊的三角形是直角三角形嗎？請說明理由．15．森林火災(zāi)是一種常見的自然災(zāi)害，危害很大，隨著中國科技、經(jīng)濟的不斷發(fā)展，開始應(yīng)用飛機灑水的方式撲滅火源.如圖，有一臺救火飛機沿東西方向AB，由點A飛向點B，已知點C為其中一個著火點，已知AB=1000m，AC=600m，BC=800m，飛機中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響。（1）請通過計算說明著火點C是否受灑水影響？（2）若該飛機的速度為14m/s，要想撲滅著火點C估計需要15秒，請你通過計算判斷著火點四、綜合題16．如圖1和圖2所示，△ABC是等腰三角形，AC=BC，點P是底邊AB上的一個動點（不與A，B重合），連接PC．

（1）如圖2所示，當PC平分∠ACB時，求證：AC（2）如圖1所示，當PA>PB時，結(jié)論AC17．如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與y軸交于點A(0，4)，與x軸交于點B，與正比例函數(shù)（1）求一次函數(shù)y=kx+b的表達式；（2）如圖1，點M為線段OA上一點，若S△BCM（3）如圖2，點N為線段OB上一點，連接CN，將△BCN沿直線CN翻折得到△DCN（點B的對應(yīng)點為點D），CD交x軸于點E．①當點D落在y軸上時，請直接寫出點D的坐標；②若△DNE為直角三角形，請直接寫出點N的坐標．

答案解析部分1．答案:D解析：A、∵32+42≠52，∴這三個數(shù)據(jù)不能圍成直角三角形，∴A不符合題意；

B、∵322+422≠522，∴這三個數(shù)據(jù)不能圍成直角三角形，∴B不符合題意；

C、∵122．答案:C解析：解：設(shè)直角三角形的各邊長為a，b，c，滿足a2+c2=c2，

可以得到：陰影部分面積+小正方形面積+大正方形面積－重疊部分面積=最大正方形面積，

即：陰影部分面積+a2+b2－重疊部分面積=c2.

所以有陰影部分面積＝重疊部分面積.

故答案為：C.

分析：結(jié)合勾股定理的幾何意義，將三個正方形的面積聯(lián)系起來，再用兩種方法表示出最大正方形的面積，問題得到解決.3．答案:A解析：解：如圖，連接DM，

∵△ADF為等邊三角形，

∴∠A=60°，AD=AF=DF.

又∵M為AF的中點，AD=2，

∴AM=MF=1，DM⊥AF，

∴Rt△ADM中，DM=AD2?AM2=3.

∵△BDE是等邊三角形，N為DE中點，

∴∠BDE=60°，BD=DE=2DN.

∴∠A=∠BDE，

∴AC//DE，

∴DM⊥DE.

∴△DMN是直角三角形.

又∵∠DNM=45°，

∴∠DNM=∠DMN=45°，

∴DN=DM=3.

∴BD=2DN=23.4．答案:B解析：解：第一種：將正面右面展開，如圖①所示：

∵AD=5+3=8cm，BD=10cm，

∴AB=82+102=164=241cm；

第二種，如圖②所示：

∵AC=3cm，BC=10+5=15cm，

∴AB=32+152=234cm；

第三種，如圖③所示：

∵AC=5cm，BC=10+3=13cm，5．答案:B解析：解：根據(jù)題意得，OC=OA-CA，CA=CB-AB=A'D-AB，

∴OC=OA-(A'D-AB)=OA-A'D+AB=OA-5+1=OA-4，由勾股定理得，OA'2=OC2+CA'2，即OA2=(OA-4)2+102，

解得，OA=14.5(尺).

故答案為：B.

分析：根據(jù)勾股定理列出方程求解即可.6．答案:B解析：解：將半圓面展開可得：AD=πd2=在Rt△ADE中，由勾股定理得AE=A即滑行的最短距離為341故答案為：B.分析：將半圓面展開可得，A、D、E三點構(gòu)成直角三角形，AE為斜邊，AD為半圓的長，DE=DC?CE=15，根據(jù)勾股定理計算求解即可．7．答案:B解析：解：將被子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A'，則AF+BF為螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離，即A'B的長度，A'B=A'D2+BD2=(302)故答案為：B.

分析：將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．8．答案:B解析：解：∵∠A=90°，AO=2，AB=1，

由勾股定理得BO=1+5=6，

∵CB=1，∠CBO=90°，

由勾股定理得CO=5+1=6，

同理可得DO=7，EO=8，F(xiàn)O=9，GO=10，HO=11，OI=129．答案:45解析：解：∵∠BAC=90°，BC=3，AB=1由勾股定理可得AC=B又∵AD=CD=1，∴AD∴∠ADC=90°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴∠DAC=45°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD=45°，故答案為：45．分析：先根據(jù)勾股定理求得AC，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠ADC=90°，進而可得△ADC是等腰直角三角形，再根據(jù)角的關(guān)系直接計算即可．10．答案:100解析：解：如圖所示：過點C作CH⊥AB，令CM=CN=260m，

∵AB=500m，AC=300m，BC=400m，

∴AC2+BC2=AB2，

∴∠ACB=90°，

∵S△ABC=AC·BC2=AB·CH2，

∴CH=AC·BCAB=300×400500=240m，

∵CM=CN=260m，

11．答案:6解析：設(shè)每個直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，

∵S1+S2+S3=18，

∴（a+b）2+（a2+b2）+（a-b）2=18，

∴a2+2ab+b2+a2+b2+a2-2ab+b2=18，

∴3（a2+b2）=18，

解得：a2+b2=6，

∴S2=6，

故答案為：6.

分析：設(shè)每個直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，結(jié)合S112．答案:245或4.8或解析：解：如圖，作CQ'⊥AB于Q'交AD于點P，作PQ⊥AC于點P，此時PC+PQ最短.∵PQ⊥AC，PQ'⊥AB，AD平分∠CAB，∴PQ=PQ'，∴PQ+CP=PC+PQ'=CQ'，∴此時PC+PQ最短(垂線段最短)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=AC∵S△ABC∴CQ'=AC?BCAB∴PC+PQ的最小值為4.8.故答案為：4.8.分析：如圖作CQ'⊥AB于Q'交AD于點P，作PQ⊥AC于點Q，此時PC+PQ最短，利用面積法求出CQ'即可解決問題.13．答案:20(1+解析：解：取AC的中點R，連接BR．過點A作AT∥BC交BR的延長線于T，過點T作TH⊥BA交BA的延長線于H．則△ART≌△CRB，此時△ABT的周長最大．∵AB=AC=20cm，∠BAC=120°∴∠ABC=∠C=30°∴AT=BC=2×AB×cos30°=20∵AT∴∠HAT=∠ABC=30°∴HT=∴BH=AB+AH=50（cm）∴BT=∴△ABT的周長為（20+203故答案為：20(1+3

分析：取AC的中點R，連接BR．過點A作AT∥BC交BR的延長線于T，過點T作TH⊥BA交BA的延長線于H．則△ART≌△CRB，此時△ABT的周長最大，先求出BT的長，再利用三角形的周長公式求解即可.14．答案:（1）n2-1；2n；n2+1（2）解：∵a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=n4+2n2+1，

c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，

∴a2+b2=c2，

∴以a，b，c為邊的三角形是直角三角形.解析：解：（1）由表格知：n=2時，a=22-1，b=4=2×2，c=22+1，

n=3時，a=32-1，b=6=2×3，c=32+1，

n=4時，a=42-1，b=8=2×4，c=42+1，

·······

∴用含自然數(shù)n（n>1）的代數(shù)式表示：a=n2-1，b=2n，c=n2+1．

分析：（1）利用表格中的數(shù)據(jù)找出規(guī)律；

（2）利用勾股定理的逆定理進行解答即可.15．答案:（1）解：如圖，過點C作CD⊥AB于點D，因為AB=1000m，AC=600m，BC=800m，所以AC2+B即AC所以△ABC是直角三角形所以S△ABC即600×800=1000CD，解得CD=480(m)因為飛機中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響.480<500，所以著火點C受灑水影響；（2）解：如圖，當EC=FC=500m時，飛機正好噴到著火點C，

在Rt△CDE中，ED=500所以EF=280m因為飛機的速度為14m/所以280÷14=20(s)20秒>15秒，答：著火點C能被撲滅。解析：（1）過點C作CD⊥AB，垂足為D，勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，進而等面積法求得CD長度，與500進行比較即可求得答案；（2）以點C為圓心，500m為半徑作圓，交AB于點E,F，勾股定理求得ED，進而求得16．答案:（1）證明：∵AC=BC，PC平分∠ACB，∴PA=PB，PC⊥AB．在Rt△APC中，AC（2）解：成立，證明如下：如圖所示，過點C作CH⊥AB，垂足為點H．

∵AC=BC，∴AH=BH．在Rt△AHC和Rt△PHC中，有AC2=C∴A=A===PA?PB．解析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)（三線合一）及其勾股定理即可得出結(jié)論：

（2）過點C作CH⊥AB，垂足為點H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)（三線合一）及其勾股定理即可得出結(jié)論。17．答案:（1）解：∵點C的橫坐標為2，∴把x=2代入y=32x∴C(2，把A(0，4)，C(2，b=42k+b=3解得：k=?1∴一次函數(shù)表達式為y=?1（2）解：設(shè)點M的坐標(0，把y=0代入y=?12x+4解得：x=8，∴B(8，∴S△BOC=∴S△BCM∵S△BCM∴1解得；m=2∴點M的坐標(0，（3）①(0②(35解析：（3）解：①過點C作