
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文檔簡(jiǎn)介
2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題(本大題共10小題,共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中,選出符合題目的一項(xiàng))
1.已知集合人={x|-1<x<2},B={處久W1},貝IjaUB=()
A.(—8,2)B.(—l/+oo)C.(—1,1]D.[1,2)
2.在下列函數(shù)中,為偶函數(shù)的是()
A./(%)=x—cosxB./(%)=xcosxC.f(%)=ln|x|D./(%)=y[x
3.在Q的展開(kāi)式中,若第3項(xiàng)的系數(shù)為10,貝5=()
A.4B.5C.6D.7
4.在等比數(shù)列中,a1-l,a2a3=8,則a7=()
A.8B.16C.32D.64
5.北京中軸線是世界城市建設(shè)歷史上最杰出的城市設(shè)計(jì)范例之一.其中鐘鼓樓、萬(wàn)寧橋、
景山、故宮、端門(mén)、天安門(mén)、外金水橋、天安門(mén)廣場(chǎng)及建筑群、正陽(yáng)門(mén)、中軸線南段道路遺
存、永定門(mén),依次是自北向南位列軸線中央相鄰的11個(gè)重要建筑及遺存.某同學(xué)欲從這11個(gè)
重要建筑及遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)游覽,則選取的3個(gè)中一定有故宮的概率為()
111
-CD
A.nB.9-3-
6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角a以。x為始邊,終邊位于第一象限,且與單位圓。交于點(diǎn)P,
PM1%軸,垂足為M.若AOMP的面積為去則s譏2a=()
A—B—C—D—
25252525
7.已知雙曲線C:捻一,=l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為&,尸2,其漸近線方程為y=
±2x,P是C上一點(diǎn),且P&1PB.若APFiB的面積為4,貝UC的焦距為()
A.V3B.2A/3C.2V5D.4V5
8.在△ABC中,”對(duì)于任意t力1,[瓦[一t配|>|而是“△48C為直角三角形”的()
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若點(diǎn)P(a,b)在直線ax+by+4a+3=0±,則當(dāng)a,b變化時(shí),
直線OP的斜率的取值范圍是()
A.(―8,—爭(zhēng)u哼,+8)B,[-f,f]
C.(-00,-y]u[y,+°°)D-[-y-y]
10.如圖,在正方體4BCD中,點(diǎn)Q是棱DDi上的動(dòng)點(diǎn),下列說(shuō)法中正確的是()
①存在點(diǎn)Q,使得GQ〃4C;
②存在點(diǎn)Q,使得C&l&C;
③對(duì)于任意點(diǎn)Q,Q到aC的距離為定值;
④對(duì)于任意點(diǎn)Q,△&CQ都不是銳角二角形.
A.①③B.②③C.②④D.①④
二、填空題(本大題共5小題,共25.0分)
11.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(z+i)i=-3,則|z|=
12.已知函數(shù)/'(久)=—cosx,則/(,)=;若將/'(久)的圖象向左平行移動(dòng)個(gè)單
位長(zhǎng)度得到g(x)的圖象,則g(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為.
13.經(jīng)過(guò)拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)4,B,經(jīng)過(guò)點(diǎn)力和拋
物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D,則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)打與點(diǎn)。的縱坐標(biāo)功的大小關(guān)系為
yB加(填“〉”“<”或“=”)
14.設(shè)函數(shù)a當(dāng)a=0時(shí),f(x)的值域?yàn)?;若f(x)的最小值為
1,則a的取值范圍是.
n+1
15.對(duì)于數(shù)列{%j},令說(shuō)=Gt1一a2+。3-+,,?+l)Gn>給出下列四個(gè)結(jié)論:
①右的(=71,則72023=1012;
(1)右=n,則。2022=—1;
③存在各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列{5},使得|加1>|*+1|對(duì)任意的九eN*都成立;
④若對(duì)任意的neN*,都有則有|廝+1—即|<2M.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.
三、解答題(本大題共6小題,共85.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)
16.(本小題13.0分)
如圖,在銳角△ABC中,B=1,AB=3屆AC=6,點(diǎn)。在BC邊的延長(zhǎng)線上,且CD=10.
(I)求42。3;
(H)求△4CD的周長(zhǎng).
17.(本小題15.0分)
如圖,在四棱錐P-ABC。中,底面4BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,PA=2,PA1AB,E為BC的
中點(diǎn),F(xiàn)為PD上一點(diǎn),EF〃平面P4B.
(I)求證:F為PD的中點(diǎn);
(E)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求直線4。與平面4EF所成角的正
弦值.
條件①:ADLPB-.
條件②:PC=2V3.
注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
p
18.(本小題13.0分)
“雙減”政策執(zhí)行以來(lái),中學(xué)生有更多的時(shí)間參加志愿服務(wù)和體育鍛煉等課后活動(dòng).某校為
了解學(xué)生課后活動(dòng)的情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)選取100人,統(tǒng)計(jì)了他們一周參加課后活動(dòng)的
時(shí)間(單位:小時(shí)),分別位于區(qū)間[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19],用頻
率分布直方圖表示如下:
假設(shè)用頻率估計(jì)概率,且每個(gè)學(xué)生參加課后活動(dòng)的時(shí)間相互獨(dú)立.
(I)估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間[13,17)的概率;
(口)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取3人,記f表示這3人一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間[15,17)的人
數(shù),求f的分布列和數(shù)學(xué)期望Ef;
(HI)設(shè)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的估計(jì)值分別為a,b,c,
請(qǐng)直接寫(xiě)出這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.(樣本中同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代)
19.(本小題14.0分)
已知橢圓C:捻+?=1(a>6>0)的離心率為爭(zhēng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為6,尸2分別為
橢圓C的左、右焦點(diǎn).
(1)求橢圓。的方程;
(H)設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn),若|PFi|,RPM|,|PF21成等差數(shù)列,求實(shí)數(shù)4的取值范圍.
20.(本小題15.0分)
已知函數(shù)/(x)=xex.
(I)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程;
(兀)求/(久)的極值;
(皿)證明:當(dāng)mW1時(shí),曲線Ci:y=y(久)與曲線C2:y="尤+久+TH至多存在一個(gè)交點(diǎn).
21.(本小題15.0分)
已知數(shù)列4:?i,a2,與滿(mǎn)足:a;G{0,l}(i=1,2,n,n>2),從力中選取第“項(xiàng)、
第工2項(xiàng)、…、第ijn項(xiàng)(F<<…<im,m22),稱(chēng)數(shù)列a1,%右皿為4的長(zhǎng)度為m的子
列.記7(4)為力所有子列的個(gè)數(shù).例如力:0,0,1,其7(4)=3.
(I)設(shè)數(shù)列4:1,1,0,0,寫(xiě)出4的長(zhǎng)度為3的全部子列,并求TQ4);
(口)設(shè)數(shù)列力:a「a2>?11,an,A':an,an_r,???,A”:1—a1,1-a2,?-?,1-an,
判斷7(4),T(A),T(A')的大小,并說(shuō)明理由;
(DI)對(duì)于給定的正整數(shù)n,fc(l<fc<n-1),若數(shù)列4:a1,a2,即滿(mǎn)足:ar+a2-\---1-an=
k,求T(&)的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:已知集合a={x|-1<%<2},B={x\x<1],
則力UB=(-8,2),
故選:A.
由并集求其運(yùn)算求解即可.
本題考查了并集求其運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.
2.【答案】C
【解析】解:對(duì)于選項(xiàng)A,f(%)=X-COSX的定義域?yàn)镽,f(-%)=-x-COSX豐f(x),即函數(shù)f(x)
不為偶函數(shù);
對(duì)于選項(xiàng)B,/(x)=xcos*的定義域?yàn)镽,/(-x)=-xcosx*/(x),即函數(shù)/(K)不為偶函數(shù);
對(duì)于選項(xiàng)C,/(x)=ln|x|的定義域?yàn)?一8,0)u(0,+8),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),/(-%)=ln|-
=/(X),即函數(shù)f(x)為偶函數(shù);
對(duì)于選項(xiàng),/(*)=日的定義域?yàn)閇0,+8),其定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),即函數(shù)f(x)不為偶函數(shù),
故選:C.
由函數(shù)奇偶性的性質(zhì),結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷求解即可.
本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷,屬基礎(chǔ)題.
3.【答案】B
【解析】解:在0+3”的展開(kāi)式中,第3項(xiàng)的系數(shù)為鬃=10,
解得九=5.
故選:B.
寫(xiě)出。+;尸的展開(kāi)式中第3項(xiàng)的系數(shù),再由已知列式求解.
本題考查二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用,考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題.
4.【答案】D
【解析】解:設(shè)等比數(shù)列{廝}的公比為q,
2
at=1,a2a3=8,q-q=8,解得q=2,
66
則a7=arq=1-2=64.
故選:D.
根據(jù)條件求出公比q,再求出的即可.
本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了方程思想,是基礎(chǔ)題.
5.【答案】C
【解析】解:設(shè)這11個(gè)重要建筑依次為a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,I,m,其中故宮為
d,
某同學(xué)欲從這11個(gè)重要建筑及遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)游覽,基本事件有11個(gè),分別為:
(a,b,c),(b,c,d),(c,d,e),(e/g),(J,g,h),(i,j,k),(j,k,1),(k,l,m),
其中選取的3個(gè)中一定有故宮的基本事件有3個(gè),分別為:
(b,c,d),(c,d,e),(d,e,/),
???選取的3個(gè)中一定有故宮的概率P=
故選:C.
分別求出這11個(gè)重要建筑及遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)的種數(shù)和選取的3個(gè)中一定有故宮的種數(shù),
再由古典概型代入即求出結(jié)果.
本題考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.
6.【答案】D
【解析】解:平面直角坐標(biāo)系xOy中,角a以。x為始邊,終邊位于第一象限,
且與單位圓。交于點(diǎn)P,PM1無(wú)軸,垂足為
若△OMP的面積為蔡,則sina?cosa=£,
24
sin2a=2sina?cosa=—,
故選:D.
由題意,利用任意角的三角函數(shù)的定義,二倍角的正弦公式,求得sin2a=?cosa的值.
本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義,二倍角的正弦公式,屬于基礎(chǔ)題.
7.【答案】C
【解析】解:???雙曲線漸近線方程為'=±2K,
???一=2,?*-b=2a,
a
c=V5a,根據(jù)雙曲線的定義可得IIP6I-IPF2II=2a,
?;PF11PF2,APF/2的面積為%
SLPF1F2=^\PFr\-\PF2\=4,即|P6|?|P&|=8,
222
?-?F]P1F2P,/.IPFJ+\PF2\=(2c),
22
???(IPFil-|PF2D+2|PFi|?\PF2\=4c2,即a2-5a+4=0,解得a=1,
???2c=2V5.
故選:C.
根據(jù)雙曲線的定義,三角形面積公式,勾股定理,結(jié)合離心率公式,即可得出答案.
本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用,涉及了勾股定理,三角形面積公式的應(yīng)用,屬于
中檔題.
8.【答案】A
【解析】解:中,對(duì)于任意tHl,\BA-tBC\>\AC\^所以(瓦?一t萬(wàn)?/2|前『,即
a2t2—2actcosB+c2-62>0,
所以4=(2accosB)2—4a2(c2—Z)2)<0,
化簡(jiǎn)得cos?^<1—%即si/B>q,解得sinB>
c4~~czc
設(shè)△ABC外接圓的半徑為R,由正弦定理可得s譏即C22R,所以s譏C21,
2Rc
又因?yàn)閟譏C<1,所以s譏C=1,所以C=芻充分性成立;
若△ABC為直角三角形,則不一定C=1,所以|a-t前|>|而|不一定成立,即必要性不成立;
是充分不必要條件.
故選:A.
兩邊平方后整理成關(guān)于t的一元二次不等式恒成立,利用判別式小于等于0,以及正弦定理可得充
分性成立;由△48C為直角三角形,不一定得出|瓦?-t而|>|旅|成立,即必要性不成立.
本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算,也考查了解三角形的應(yīng)用問(wèn)題,是中檔題.
9.【答案】B
【解析】解:根據(jù)題意,若點(diǎn)P(a,6)在直線ax+by+4a+3=0上,則有(a+2>+塊=i,則
點(diǎn)P在圓(x+2)2+y2=1,
設(shè)直線OP的斜率為匕則直線。P的方程為y-kx=O,
而點(diǎn)P在圓(久+2)2+y2=1,即直線。p與圓Q+2尸+y2=1有公共點(diǎn),
則有信W1,解可得:即k的取值范圍為[罟,爭(zhēng);
故選:B.
根據(jù)題意,分析可得(a+2)2+/)2=1,則點(diǎn)P在圓Q+2)2+y2=1,設(shè)直線OP的斜率為匕則
直線。P的方程為y-kx=O,易得直線?!概c圓。+2)2+)/2=1有公共點(diǎn),由直線與圓的位置關(guān)
系可得關(guān)于k的不等式,解可得答案.
本題直線與圓的位置關(guān)系,涉及直線的斜率計(jì)算,屬于中檔題.
10.【答案】C
【解析】解:①因?yàn)辄c(diǎn)Q是棱上的動(dòng)點(diǎn),所以GQU平面CDD1G,
又41CC平面CDD1G=C,所以GQ與&C異面或相交,即不可能存在點(diǎn)Q,使得GQ〃/1停,所以
①錯(cuò)誤;
②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)。重合時(shí),
由正方體的性質(zhì)知,GQ1CD1,久久1平面CDDiG,
因?yàn)镼Qu平面C0OG,所以A/1C&,
又CD1nAi£?1=。1,所以GQ_L平面&CD1,
因?yàn)?Cu平面&CD1,所以GQL&C,即②正確;
③設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,
當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)。重合時(shí),AACQ為直角三角形,其中4也=2舊,CQ=2,4Q=2/,
當(dāng)點(diǎn)Q為棱DDi的中點(diǎn)時(shí),AAiCQ為等腰三角形,其中&。=2b,CQ=V5,
所以點(diǎn)Q到4C的距離d=JcQ2_?4?2=J5-(1-2V3)2=或力竽,
所以對(duì)于任意點(diǎn)Q,Q到&C的距離不可能為定值,即③錯(cuò)誤;
2222
所以CQ=JCD+DQ=V4+x-ArQ=ArDl+DrQ=,4+(2—萬(wàn)產(chǎn),
在AAiCQ中,最長(zhǎng)的邊為&C=2g,所以最大的角為乙4&C,
Anr=4]+”2Tle2=4+(匕X)2+(3+X2)-12=2x(x二2)
由余弦定理知,12
—24血“—2j4+(2-x).V^―溟,
因?yàn)閤e[0,2],所以x(x—2)W0,所以COSN&QCW0,即乙4&C不可能為銳角,
所以對(duì)于任意點(diǎn)Q,A&CQ都不是銳角三角形,即④正確.
故選:C.
①由GQU平面CDDiG,&C與平面CDD1G相交,即可判斷;
②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)。重合時(shí),根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,可證GQ1&C;
③取兩個(gè)特殊點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)。重合時(shí),由等面積法可得點(diǎn)Q到&C的距離d=苧;當(dāng)點(diǎn)
Q為棱的中點(diǎn)時(shí),由勾股定理,求得點(diǎn)Q到4C的距離d=&,得解;
④設(shè)DQ=x,xG[0,2],在AAICQ中,最大的角為N&QC,再結(jié)合勾股定理與余弦定理,推出
coszXiQC<0,即乙4iQC不可能為銳角,得解.
本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用,熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,點(diǎn)到線距離的求法,
余弦定理等是解題的關(guān)鍵,考查空間立體感,推理論證能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.
11.【答案】2
【解析】解:根據(jù)題意,若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(z+i)i=—3,貝吻=r一i=3i—i=2i,
則|z|=2,
故答案為:2.
根據(jù)題意,由復(fù)數(shù)的計(jì)算公式可得z=^-3求出z,由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.
本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算,涉及復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.
12.【答案】1(0,0)答案不唯一
【解析】解:;函數(shù)/'(x)=V5s譏久—cosx=2s譏(x=2si7i,=L
將/(%)的圖象向左平行移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(x)=2s譏乂的圖象,
令x=kn,kEZ,可得則g(x)的對(duì)稱(chēng)中心為(/ot,0),kEZ,
則g(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(0,0),
故答案為:1;(0,0),答案不唯一.
由題意,利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,得出結(jié)論.
本題主要考查兩角和差的正弦公式的應(yīng)用,正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,屬于基礎(chǔ)題.
13.【答案】=
【解析】解:因?yàn)閽佄锞€產(chǎn)=2PMp>0)的焦點(diǎn)為Fg,0),
設(shè)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)尸的直線為x=my+
代入拋物線方程,得必-2pmy-p2-0,
設(shè)a(%,%),B(%2,。(一,y°),
2
"1,2=-V
,V-P2
----
?.?40,D三點(diǎn)共線,
,,,=冊(cè))0,即看——
Zl-Zo
~~
y±_2,
2P
p2
???=—,
71
則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)功與點(diǎn)。的縱坐標(biāo)功的大小關(guān)系為力?=yD-
故答案為:=
由題意設(shè)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F的直線為久=ay+1代入拋物線方程,得好一2「根)/-「2=0,設(shè)
4(%1,%),8(乂2,%),。(—亨/0),根據(jù)4,。,D二點(diǎn)共線,得到右0=岫0,即可求解.
本題考查了拋物線的性質(zhì),屬于中檔題.
14.【答案】(—1,+8)(V2-1,+00)
%2—1(%>0)
a=0時(shí),/(%)=
\x-1|(%<0)?
根據(jù)函數(shù)的解析式,畫(huà)出函數(shù)的圖象,如圖所示:
根據(jù)函數(shù)的圖象,函數(shù)的值域(-1,+8).
②:由于函數(shù)f(x)的最小值為1,根據(jù)函數(shù)/。)=的圖象,
如圖所示:
所以a+l>應(yīng),解得a>魚(yú)—L
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(a-1,+oo).
故答案為:①(-1,+8);@(V2-1,+oo).
①直接利用函數(shù)的關(guān)系式畫(huà)出函數(shù)的圖象,進(jìn)一步求出函數(shù)的值域;
②利用函數(shù)的圖象和函數(shù)的最小值求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
本題考查的知識(shí)要點(diǎn):函數(shù)的圖象和性質(zhì),不等式的解法,主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力,
屬于中檔題和易錯(cuò)題.
15.【答案】①②④
【解析】解:對(duì)于①,利用并項(xiàng)法得:Tn=(。1—0.2)+(。3—。4)+…+(口2021—。2022)+。2023=
-1011+2023=1012,故①對(duì);
對(duì)于②,Tn=n,令67t=(-1)"+1(2",則&=&+西---\-bn-n,故7\_i=n-l,所以勾=
n+1n+1
Tn-Tk-i=1=(-l)an,故a”=(-l),i^a2022=-1,故②對(duì);
對(duì)于③,假設(shè)存在各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列{an},使得|二|>|加+1|對(duì)任意的neN*都成立,則必有
ITJ>|T2|>口>…,且都是正整數(shù),令I(lǐng)AI=N,則必有四WN-2,……,|TW|<1,
|7^+1|<0,\Tn+2\<Hl,則與|&+2120矛盾,故③錯(cuò);
n+1n
對(duì)于④),由已知%=a1—a2+口3—。4+…+l)Gn>可知(―l)+2(2n+i=Tn+i—Tn)當(dāng)>2
時(shí),有(一1)"+1心=*一七-1,
n+2n+1
兩式聯(lián)立解得nN2時(shí),an+1=(-l)(Tn+1-7;),an=(-l)(7;-
故凡+i-an\=|(一1嚴(yán)1||%~Tn+1~Tn+Tn.=I*-Tn+1\<\Tn^\+\Tn+1\<M+M=
2M,(n>2),
特別的當(dāng)n=1時(shí),la2-a1\=\-T2\<M<2M,
故對(duì)任意的neN*,都有|%+i-an|<2M成立,即④成立.
故答案為:①②④.
對(duì)于①,利用并項(xiàng)法判斷,對(duì)于②,利用和與項(xiàng)的關(guān)系判斷;對(duì)于③,可將結(jié)論平方轉(zhuǎn)化,再結(jié)
合已知推出矛盾;對(duì)于④結(jié)合不等式的性質(zhì)推導(dǎo).
本題考查數(shù)列的求和以及和與項(xiàng)之間的關(guān)系,側(cè)重考查了學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算能力,屬于難題.
16.【答案】解:(/)在AABC中,由正弦定理可得白=小先,
4
化為sinN2C8=:,N4CB為銳角,
."ACB=
(〃)由(/)可得乙4CD=半
2TT
???XD2=62+102-2x6x10xy=196,
???AD=14,
ACD的周長(zhǎng)=6+10+14=30.
【解析】(/)在AABC中,由正弦定理可得芻=蕓%,乙4cB為銳角,進(jìn)而解得N4CB.
Slll'TblIlZ_/lUD
4
(〃)由(/)可得乙4CD=手在△4CD中利用余弦定理可得2D,即可得出AACD的周長(zhǎng).
本題考查了正弦定理與余弦定理的應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
17.【答案】證明:(I)過(guò)點(diǎn)尸作FG〃力。交P4于點(diǎn)G,連接BG,取4。的中點(diǎn)H,連接FH和EH,
如圖所示:
----------#----------
所以四邊形BEFG為平行四邊形,
所以BE=GF=|fiC,
11
故AH=GF=^BC=^AD,
故FG為小PAD的中位線,
故點(diǎn)F為PD的中點(diǎn).
解:(E)選條件①:AD1PB,S.ABLAD,
所以1平面P4B,
所以4。1PA,5.PA1AB,
所以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系力-xyz,
如圖所示:
所以4(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),£(2,1,0),P(0,0,2),F,0,1,1),
所以荏=(2,1,0),AF=(0,1,1),而=(0,0,2),
設(shè)平面力EF的法向量為元=(x,y,z),
所以點(diǎn)e=°,故[2=+2。,
UF-n=01y+z=0
所以記=(p-1,1),
所以直線4。與平面4EF所成角8滿(mǎn)足立皿=cos<AD,n>=I溫益I=裝扁二
選條件②:PC=2舊.由于AB=PA=BC=2,
ffr^PC2^AC2+PA2,故PAIAC,由于P414B,
故R41平面ABCD,底面4BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,PA=2,
所以以點(diǎn)力為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系力-xyz,
如圖所示:
所以4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(2,l,0),P(0,0,2),F,0,1,1),
所以荏=(2,1,0),AF=(0,1,1),而=(0,0,2),
設(shè)平面4EF的法向量為元=(x,y,z),
所以匡,m=。,故,2:+工。,
所以元=臺(tái),—1,1),
.彳言―?AD-n.22
所以直線與平面4EF所成角。滿(mǎn)足sin?o=cos<AD,n>=\前而|=二號(hào)^=t
【解析】(I)直接利用線面平行的性質(zhì)和中位線定理證出結(jié)論;
(U)選條件①時(shí),主要目的是證出直線間的兩兩垂直關(guān)系,進(jìn)一步建立空間直角坐標(biāo)系,再利用
向量的夾角公式求出直線和平面的夾角的正弦值.
本題考查的知識(shí)要點(diǎn):直線和平面平行的判定和性質(zhì),空間直角坐標(biāo)系,線面的夾角,向量的模
和向量的數(shù)量積,主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力,屬于中檔題和易錯(cuò)題.
18.【答案】解:(I)由頻率分布直方圖可得:全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間[13,17)
的概率為(0.125+0.2)x2=0.65;
(□)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取1人,則此人一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間[15,17)的概率為0.2x
2=0.4,
又f的可能取值為0、1、2、3,
由題意可得f,B(3,0.4),
則P(f=0)=以x0.63x0.4°=0.216,P((=l)=C^xO.62x0.41=0.432,P代=2)=
ClX0.6X0.42=0.288,P(f=3)=C§xO.6°x0.43=0.064,
則f的分布列為:
0123
P0.2160.4320.2880.064
J的數(shù)學(xué)期望Ef=3X0.4=1.2;
(HI)由頻率分布直方圖可得a=誓=16,
由頻率分布直方圖可得中位數(shù)在區(qū)間[13,15)上,
則0.025x2+0.05x2+0.075x2+(/?-13)X0.125=0.5,
即6=14.6,
又c=8X0.05+10x0.1+12X0.15+14X0.25+16X0.4+18X0.05=14,
又16>14.6>14,
則a>b>c.
【解析】(I)由頻率分布直方圖求解即可;
(II)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取1人,則此人一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間[15,17)的概率為0.2X
2=0.4,又J的可能取值為0、1、2、3,由題意可得fsB(3,0.4),然后求解即可;
(皿)由頻率分布直方圖求出a,b,c,然后比較大小即可.
本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望與分布列,重點(diǎn)考查了頻率分布直方圖,屬基礎(chǔ)題.
(2a+2b=6
19.【答案】解:(/)由題設(shè):=苧,
(口2=+c2
2
解得彥=4,b=1,
2
所以橢圓C的方程為5+y2=i;
4z
(〃)設(shè)POo,%)為橢圓。上一點(diǎn),
則有IPF/+IPF2I=2a=4,
由|PFi|,|PF2|成等差數(shù)列,得241PMi=4,2K0,
即|PM|=5,
A
由M(l,0),則|PM|=一1尸+熠,
又PQoJo)在橢圓。上,有苧+羽=1,
故|PM|=J(Xo—1)2+%=J(Xo—1)2+1—?=—2比+2,
因?yàn)榕?[—2,2],所以|PM|e哼,3],
即狂停,3],
所以46[|,V6],
所以實(shí)數(shù)而勺取值范圍是冷㈣.
"2a+2b=6
【解析】(I)根據(jù)題意得t=苧,即可求解;
儀2=fa2+C2
(口)設(shè)產(chǎn)(%0,y0)為橢圓C上一點(diǎn),則有|尸&|+\PF2\=2a=4,由|P0|,|尸尸2|成等差數(shù)列,
得|PM|=(,由M(l,0),則|PM|=J(久0—1乃+話,又P?),yo)在橢圓C上,有苧+據(jù)=1,根
據(jù)Xoe[―2,2]即可求解.
本題考查了直線與橢圓的綜合運(yùn)用,屬于中檔題.
20.【答案】解:(I)由/(久)=久e久得/(久)=(x+l)ex,故f(0)=0,f(0)=1,
故切線方程為y=x;
(口)/。)定義域?yàn)??,令尸(%)=0得比=-1,
((K)<0=>x<-1,?⑺>0=>x>—1,
故X=-1時(shí)f(x)取得極小值/(—1)=沒(méi)有極大值;
(IH)證明:曲線G:y=f(x)與曲線C2:y="久+x+m至多存在一個(gè)交點(diǎn),
即xe*=Inx+x+m(m<1)至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根,
即m=g(x)=xex—Inx—x(m<1)至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根,
?y_|_11
g'(x)=(x+l)ex——=(x+l)(ex--)(m<1,%>0),
-1
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