2020-2021學年涼山州高二年級上冊期末數學試卷(文科)(含解析)

2020-2021學年涼山州高二上學期期末數學試卷(文科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

i-tan2￡

已知直線2x-y-l=°的傾斜角為防貝"號=()

A.-4B.-1

2.下面說法正確的是()

A.命題“若a=0,則cosa=1”的逆否命題為真命題

B.實數x>y是/>外成立的充要條件

C.設p,q為簡單命題，若“pVq”為假命題，則“飛人飛”也為假命題

D.命題^3%0eR,使得以+a+1N0”的否定是“VxeR,使得/+x+1>0”

22

3.已知點A,B是雙曲線拶一三=l(a>0,b>0)的左、右頂點，&,尸2是雙曲線的左、右焦點，

若|&尸21=2萌，P是雙曲線上異于4B的動點，且直線PA,PB的斜率之積為定值4,則|4B|=

()

A.2B.2&C.2V3D.4

4.直線2x+2y+1=0,x+y+2=0之間的距離是()

A.逑B.2C.V5D.如

442

5.如圖，過圓內接四邊形48CD的頂點C引圓的切線MN,4B為圓直徑，

若乙BCM=38°,貝UNABC=()2/二?飛Z

A.38°Q---------——N4M

C.68°

D.42°

若動點P(x,y)滿足一1尸+⑶一2尸=||x-1|,貝！|P點的軌跡應為(

A.橢圓B.拋物線C.雙曲線D.圓

己知a,bER,"|a|+\b\<1"是

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.拋物線％=-2x-2與y,=x'一6x+12的兩條公切線（同時與兩條曲線相切的直線叫

做兩曲線的公切線）的交點坐標為（）

A.（2,1）B.⑵-。C.（LDD.（L2）

9.圓叵|：叵|和圓區(qū)：區(qū)|的位置關系（）

A.相交B.相切C.外離D.內含

7

10.某程序框圖如圖所示，若該程序運行后輸出S的值是一，則

4

A.a=3B,a=4C.￡>=5D.a=6

11.統(tǒng)計某校n名學生的某次數學同步練習成績（滿分150分），根據戒績分數依次分成六組：[90,100）,

[100,110）,[110,120）,[120,130）,[130,140）,[140,150]得到頻率分布直方圖如圖所示，若不

低于140分的人數為110,則以下說法正確的是（）

①m=0.031;②九=800③100以下的人數為60；④分數在區(qū)間[120,140）的人數占大半

A.①②B.①③C.②③D.②④

12.方程/一產+2久+1=o所對應的圖象是（）

A.雙曲線B.圓C.兩條平行直線D.兩條相交直線

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.一個四面體的頂點在空間直角坐標系。一盯z中的坐標分別是(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1),

則該四面體的體積為.

14.直線/過點(-4,0)且與圓(x+1產+(y—2產=9相切，那么直線/的方程為

15.如圖，過拋物線y2=2p%(p>0)的焦點F的直線，交拋物線于點力，B,交其

準線于點C,若［8C|=2\BF\,且=3,則直線48的方程為.

16.給出命題p：3x>3,使得2萬-1<爪，已知p是假命題，則實數小的取值范圍是

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知△力BC的三個頂點是4(4,0),B(6,7),C(0,8)

(1)求BC邊上的高所在直線的方程；

(2)求BC邊上的中線所在直線的方程.

18.隨著中美貿易戰(zhàn)的不斷升級，越來越多的國內科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度.中華技術有

限公司擬對“麒麟”手機芯片進行科技升級，根據市場調研與模擬，得到科技升級投入久(億元

與科技升級直接收益y(億元)的數據統(tǒng)計如表：

序號123456789101112

X2346810132122232425

y1322314250565868.56867.56666

當0〈比W17時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：y=4.1x+11.8：模型②：；=21.3?-

14.4；當x>17時，確定y與x滿足的線性回歸方程為;=_07x+a.

(I)根據下列表格中的數據，比較當0<xW17時模型①、②的相關指數產的大小，并選擇擬

合精度更高、更可靠的模型，預測對“麒麟”手機芯片科技升級的投入為17億元時的直接收益.

回歸模型模型①模型②

回歸方程y=4.1x+11.8y=21.3V%-14.4

7_

182.479.2

1=1

（附：刻畫回歸效果的相關指數R2=警嗎，717?4.1.）

（U）為鼓勵科技創(chuàng)新，當科技升級的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼5億元，以回歸方

程

為預測依據，比較科技升級投入17億元與20億元時公司實際收益的大小.

（附：用最小二乘法求線性回歸方程:一:『上:的系數：b=暮一（符必一.m=漂巡者（斗與）,@_

y—bx.）

19.給定兩個命題，中：對任意實數您都有魏1#幽:帶La麗恒成立；Q：關于舅的方程

嘉產-冢甘薇=尊有實數根.如果渺硝疑為真命題，解養(yǎng)感為假命題，求實數堿的取值范圍?

20.求直線｛；二;｝；（t為參數）被圓｛［黑:'（"為參數）截得的弦長.

21.已知橢圓C：《+《=1（（1>6>0）的離心率6=a且經過點4（2,3）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線4。（0是坐標原點）與橢圓C相交于點B,試證明在橢圓C上存在不同于4、B的點P,使4P2=

AB2+BP2（不需要求出點p的坐標）.

22.在平面直角坐標系xOy中，已知6,&分別是雙曲線-箕=l（a>0,b>0）的左、右焦點，

雙曲線G與拋物線f=一人有一個公共的焦點，且過點（-手,1）

（1）求雙曲線6的方程；

（II）設直線/與雙曲線G相切于第一象限上的一點P,連接PF1，PF2,設I的斜率為鼠直線P0,P4的

斜率分別為七，k2,試證明++今為定值，并求出這個定值；

（HI）在第（n）間的條件下，作F2QIF2P，設尸2（?交I于點Q，證明：當點P在雙曲線右支上移動時，點

Q在一條定直線上.

參考答案及解析

1.答案：D

解析：解：直線，：2%-y—1=0的方程可化為y=2%—1,

??.直線珀勺斜率為2,傾斜角為a,可得汝荏仇=2,

.l-taM?_2

??tana--八tana--L?

2

故選：D.

化直線的方程為斜截式，可得直線的斜率，由斜率和傾斜角的關系可得tcma,進而根據二倍角的正

切公式即可求解.

本題考查直線的一般式方程，涉及直線的斜率和傾斜角，考查了二倍角的正切公式在三角函數化簡

求值中的應用，屬于基礎題.

2.答案：A

解析：解：對于人命題“若a=0,貝Ucosa=1”為真命題，

故該命題的逆否命題也為真命題，故A正確；

對于B：實數無＞丫是/＞必成立的既不充分也不必要條件，故B錯誤；

對于C：設p,q為簡單命題，若“pvq”為假命題，貝跖假q假，則“「q”為真命題，故C錯

誤；

對于D：命題'勺曲eR,使得詔+而+120”的否定是“\/%6凡使得乂2+%+1＜0”故。錯誤.

故選：A.

利用三角函數的值和原命題和逆否命題的等價關系，判斷4的結論；利用充分條件和必要條件和不等

式的性質，判斷B的結論；利用“或是”命題與“且是”命題的真假關系，判斷C的結論；根據特稱

命題的否定為全稱命題，判斷。的結論.

本題考查的知識要點：命題的否定和否命題的關系，命題真假的判定，充分條件和必要條件，三角

函數的值，考查運算能力，屬于基礎題.

3.答案：A

解析：解:設4(-a,0),B(a,0),P(x,y),

則而4—y

kpBx-a

y2_廢-1）匕?_b2

所以岫A.y___y

x+ax-ax2-a2x2-a2a2

又因為I6F2I=2底

所以2c=2V5,c=

又因為C2=。2+爐,

所以a=1,b=2,

所以|AB|=2a=2,

故選：A.

設2(-a,0),B(a,0),P(x,y)求出斜率，利用斜率乘積推出a、b關系,結合焦距，轉化求解a,即可

推出|4B|.

本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題.

4.答案:A

解析：

由條件利用兩條平行直線間的距離公式技術，注意兩條直線的方程中注意未知數的系數必需相同.

本題主要考查兩條平行直線間的距離公式的應用，注意未知數的系數必需相同，屬于基礎題.

解：直線2x+2y+l=0,x+y+2=0之間的距離，即直線2久+2y+1=0,2x+2y+4=0之

間的距離等=越

<4+44

故選：A

5.答案：B

解析：解：連結。C,

???過圓內接四邊形ABCD的頂點C引圓的切線MN,AB為圓直徑，片二^K

乙BCM=38°,Al----------L_X

???/.OCB=90°-38°=52°,X.7

：.AABC=乙OCB=52°.

故選：B.

連結OC,由切線性質得NOCB=90。-38。=52。，所以N4BC=NOCB=52。.

本題考查與圓有關的角大小的求法，是基礎題，解題時要注意切線性質的靈活運用.

6.答案：B

解析：

利用拋物線的定義即可得出.

本題考查了拋物線的定義，屬于基礎題.

解：動點P(x,y)滿足JO-1尸+(y-2尸=||x-1|,

可知：動點P(*,y)到定點(1,2)與到定直線［y-1=0的距離相等，其中定點不在定直線上.

因此P點的軌跡應為拋物線.

故選：B.

7.答案：C

解析:解:a,beR,由|a|+\b\<1,得|a+b|<|a|+\b\<1且|a-b|<\a\+\b\<1，即［口+T::

(I。一D|1

反之，由|a+b|<1且|a_b|<1,得即|a|+網<1.

???a\a\+\b\<r是喘］兼;”的充要條件.

故選：C.

由不等式的基本性質結合充分必要條件的判定方法得答案.

本題考查不等式的基本性質，考查充分必要條件的判定方法，是中檔題.

8.答案：C

解析：解：

設切線方程的切點為@0，歹0)，

■y1=-2x-2,y2,=2x-6，

—

-2x()-2=2XQ6,..而=1,1yo=l，

故答案選C.

9答案:A

解析:試題分析：圓s的標準方程為□，所以圓心回，半徑回；圓回的標準方程為s，

所以圓心叵I，半徑S?S>兇，所以S。所以兩圓相交。故A正確。

考點：兩圓位置關系。

10.答案：A

解析：本題主要考查了程序框圖和算法，依次寫出每次循環(huán)得到的S,k的值是解題的關鍵，模擬執(zhí)

7

行程序，依次寫出每次循環(huán)得到的S,k的值，當5=—，k=4時，由題意此時滿足條件4>a,退

4

出循環(huán)，輸出s的值為N,結合選項即可得解.

4

解：模擬執(zhí)行程序，可得S=l,k=l,

3

不滿足條件k>a,S=Q，k=2

不滿足條件k>a,S=—,k=3

3

7

不滿足條件k>a,S=—,k=4

4

7

由題意，此時滿足條件4>a,退出循環(huán)，輸出S的值為一，

4

故選：A.

11.答案：B

解析：

本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，是基礎題.

根據題意，對題目中的命題進行分析、判斷正誤即可.

解：對于①，由頻率分布直方圖的性質得，

10(m+0.020+0.016+0.016+0.011+0.006)=1,

解得m=0.031,所以①正確；

對于②，由不低于140分的頻率為0.011x10=0.11,

所以幾=券=1000,所以②錯誤；

對于③，100分以下的頻率為0.006X10=0.06,

所以100分以下的人數為1000X0.06=60,所以③正確；

對于④，分數在［120,140）的人數占0.031x10+0.016x10=0.47,

占小半，所以④錯誤；

綜上，正確的說法是①③.

故選:B.

12.答案：D

解析：解:根據題意，方程/一產+2久+1=0,變形可得（久+1）2=/,

即y=x+1或y=-x-1,

對應的圖形為直線y-x+1和y--x-1,

則方程/一步+2久+1=0所對應的圖象是兩條相交的直線；

故選：D.

根據題意，將方程變形可得0+1）2=y2,即y=乂+1或丫=一久一1,分析其對應的圖形，即可得

答案.

本題考查曲線與方程的關系，關鍵是將方程化簡變形.

13.答案：：

解析：

本題考查了三棱錐的體積計算公式，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題.

畫出圖形，滿足條件的四面體為正方體的內接正四面體。-48C,利用三棱錐的體積計算公式求解

即可.

解：如圖所示，滿足條件的四面體為正方體的內接正四面體。-ABC,

.?.該四面體的體積0=：xjxlxlxl=1

326

故答案為：

o

14.答案：x=4,5%+12y+20=0

解析：解：???直線1過點(一4,0)且與圓(％+1)2+3-2)2=9相切,

?,?圓(%+I)2+(y—27=9的圓心C(一1,2),半徑r=3,

當直線的斜率k不存在時，

直線I的方程為x=-4,與圓相切，成立；

當直線的斜率k存在時，

設直線方程為y=+4),即kx-y+4k=0,

圓心C(—1,2)到直線的距離d=匕器詈=3,

解得k=——,——x—y——=0,即5x+12y+20=0.

綜上，直線/的方程為久=-4,5x+12y+20=0.

故答案為：x——4,5%+12y+20=0.

當直線的斜率k不存在時，直線/的方程為1=-4,與圓相切，成立；當直線的斜率k存在時，設直線

方程為此-y+4/c=0,圓心C(-l,2)到直線的距離d=能等=3,求出斜率鼠由此能出直線/的

方程.

本題考查圓的切線方程的求法，考查圓、直線方程、點到直線距離公式等基礎知識，考查推理論證

能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題.

15.答案：4V3x-4y-3V3=0

解析：解：如圖，設48在準線上的射影分別為N,M,

則BF=BM,AN=AF,

■：\BC\=2\BF\,\BC\=2\BM\,Z.MCB=30°,

?,?直線AB的傾斜角為60。，其斜率為百，

又|4F|=3,則a(|+g苧)，代入*=2p%(p>0)得：

(吟2=2p(|+,解得P=|,

??.F(|,0),

y—V3(x—[),即4v5x—4y—3A/3=0.

故答案為：4V3x-4y-3V3=0.

設48在準線上的射影分別為N,M,可得MCB=30。，直線4B的傾斜角為60。，又力(三+二逋),

、2227

代入V=2Px(p>0)得p即可求解.

本題考查了拋物線的定義、性質，考查了轉化思想、計算能力，屬于中檔題.

16.答案：[m\m<5}

解析：

本題考查存在量詞命題真假求參數問題，屬于基礎題.

求得假設”mx23,使得2久-1<機”為真命題，求出租的范圍，從而得命題P為假命題時，m的范

圍.

解：若”三乂23,使得左一1<小"是真命題，

可得zn大于2x-1的最小值，

又x23時，可得2久-1》5,

則m>5,

而命題p為假命題，可得mW5,即根的最大值為5.

故答案為：{m|mW5}.

17.答案：解：（1）BC邊所在直線的斜率為/CBC=1=一巳“（1分）

則BC邊上的高所在直線的斜率為題D=-六=6…（3分）

kBC

由直線的點斜式方程可知直線力。的方程為：y-0=6（久-4）

化簡得：y=6%—24...（5分）

（2）設BC的中點EQo，y。），

由中點坐標公式得%。=等=3,y°=等=當，

即點E（3,￡）...（7分）

由直線的兩點式方程可知直線2E的方程為：匕2=舁（9分）

化簡得：y=-募％+30…（10分）

解析：（1）根據B與C的坐標求出直線BC的斜率，根據兩直線垂直時斜率乘積為-1,求出BC邊上的高

所在直線的斜率，然后由4的坐標和求出的斜率寫出高所在直線的方程即可；

（2）由B和C的坐標，利用中點坐標公式求出線段BC的中點坐標，然后利用中點坐標和4的坐標寫出直

線的兩點式方程即可.

此題考查學生掌握兩直線垂直時斜率所滿足的條件，靈活運用中點坐標公式化簡求值，是一道綜合

題.

1824792

18.答案：解：（I）由表格中的數據，182.4>79.2,所以嚴、—>可二正，

1R74792

所以1一察而不<1-察訪方可見模型①的相關指數睹小于模型②的相關指數形?

所以回歸模型②的擬合效果更好.

所以當x=17億兀時，科技升級直接收益的預測值為y=2113x-/17-14,4?21.3X4,1-14,4=

72.93（億元）...............................（6分）

（口）當久>17時，由已知可得I=21+22+2=+24+25=23,

—68.5+68+67.5+66+66

y=-----------------------=6r7.2o.

所以a=y-0.7x=67.2+0.7x23=83.3-

所以當x>17時，y與x滿足的線性回歸方程為y=_07x+833

當x=20時，科技升級直接收益的預測值為y=_0.7x20+83.3=69.3億兀?

當久=20億元時，實際收益的預測值為69.3+5=74.3億元〉72.93億元，

所以技術升級投入20億元時，公司的實際收益更大....................................（12分）

解析：（I）求解模型①的相關指數號，模型②的相關指數相.然后判斷回歸模型②的擬合效果更

好.當x=17億元時，求解科技升級直接收益的預測值即可.

（H）當久>17時，求解樣本中心坐標，回歸直線方程的系數，然后求解當x=20時，科技升級直接

收益的預測值，當x=20億元時，實際收益的預測值，推出公司的實際收益更大.

本題考查回歸直線方程的求法與應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題.

19.答案：解：對任意實數篙都有謝3招蝸中：1沏施恒成立

rfkl

:UP:豳=Q喊：”:=?<：a'.<4；

Vi

1

關于M的方程--富?#婢1=頒有實數根:修朝逆跳=謖區(qū)-;

4

?沙秘?鰻為真命題，善斕般為假命題，即拜真粵假，或蜉假回真，

如果盧真色假，則有酸嗟喃嘴必且:域*工.二工嘴:出嘴里；

郎4!

（：地嘿眥或:愉>I!

如果產假蝮真，則有JI愉嘴翹.

:密簟—

解析：本題考查復合命題的真假，不等式恒成立問題，屬中檔題.

先求出p,q為真時，再利用P、Q一真一假即可求a的取值范圍.

20.答案：解：由后二：1；，得x+y—2=0,

由廣=￥*'、，得/+必=16.

???圓的圓心是(0,0),半徑是4.

由圓心(0,0)到直線x+y-2=0的距離d=援=/.

得直線被圓截得的半弦長為J16-(V2)2=V14.

,直線｛；二;t；被圓｛二截得的弦長為2m.

解析：分別化直線和圓的參數方程為普通方程，求出圓心坐標和半徑，由點到直線的距離公式求出

弦心距，利用勾股定理求弦長.

21.答案：解：(1)依題意，e=亍='a=3

從而爐=：Q2,

4

點4(2,3)在橢圓上,所以上+5=1,

解得a?=16,b2=12,

橢圓C的方程為次+好=1,

1612

(2)若Ap2=AB2+Bp2成立，貝I］必有N力BP=90°,即AB1BP,

由橢圓的對稱性知，5(-2,-3),

BP=—

由4B1BP,kAB=|知々

所以直線BP的方程為y+3=—|(久+2),即2%+3y+13=0,

p2y2-1

由G+石一1,

I2x+3y+13=0

得43y2+234y+315=0,

A=2342-4x43x315>0,

所以直線BP與橢圓C有兩個不同的交點，

即在橢圓C上存在不同于4、B的點P,使”2=AB2+BP2.

解析：⑴由