2020年中考數(shù)學(xué)人教版復(fù)習(xí)：三角形 教學(xué)案設(shè)計

2020年中考數(shù)學(xué)人教版專題復(fù)習(xí)：三角形

【本課簡介】

我們將所學(xué)習(xí)的幾何圖形按照由簡到繁的順序，對各部分知識進行整合，進行模塊式

復(fù)習(xí)，今天我們復(fù)習(xí)線，角和三角形。

考試內(nèi)容和考試要求細目表

考試要求

考試內(nèi)容

ABC

會用尺規(guī)作圖；作一個角等于已知會識別角并會表

角，作已知角的平分線；會用角平示：認識度、分、

角

分線的性質(zhì)解決簡單問題；結(jié)合圖秒，并會進行簡單

與形認識角與角之間的數(shù)量關(guān)系換算；會度量角的

大小及進行簡單

角

的計算；會比較角

平的大小，能估計一

個角的大??；了解

分角平分線的概念

并會表示

線

圖

圖

形

與

的

圖了解補角、余角、對頂角，知道等會用三角尺和直

認

形角（同角）的余角相等、等角（同尺過已知直線外

識相交

角）的補角相等、對頂角相等；了一點畫這條直線

線與解垂線、垂線段等概念，了解垂線的平行線；會用三

段最短的性質(zhì)，理解點到直線的距角尺或量角器過，

平行

離的意義；了解線段垂直平分線及一點畫一條直線

線其性質(zhì)；知道過直線外一點有且僅的垂線；會用線段

有一條直線平行于已知直線；知道垂直平分線的性

過一點有且僅有一條直線垂直于己質(zhì)解決簡單問題；

知直線；理解兩條平行線之間距離掌握平行線的性

的意義，會度量兩條平行線之間的質(zhì)與判定

距離

三角形了解三角形的有關(guān)概念；了解三角會用尺規(guī)作給定

形的穩(wěn)定性；會按邊或角對三角形條件的三角形；掌

進行分類；理解三角形的內(nèi)角和、握三角形內(nèi)角和

外角和及三邊關(guān)系；會畫三角形的定理及推論；會按

主要線段，知道三角形的內(nèi)心、外要求解決三角形

心和重心的邊、角的計算問

題；能用三角形的

內(nèi)心、外心的知識

解決簡單問題；掌

握會證明證明三

角形的中位線定

理，并會用三角形

中位線性質(zhì)解決

有關(guān)問題

等腰了解等腰三角形、等邊三角形、直能用等腰三角形、會運用等腰

角三角形的概念，會識別這三種圖等邊三角形、直角三角形、等邊

三角

形；理解等腰三角形、等邊三角形、三角形的性質(zhì)和三角形、直角

形與直直角三角形的性質(zhì)和判定判定解決簡單問三角形的知

角三角題識解決有關(guān)

形問題

全等三了解全等三角形的概念，了解相似掌握兩個三角形會運用全等

角形三角形與全等三角形之間的關(guān)系全等的條件和全三角形的知

等三角形的性質(zhì)；識和方法解

會應(yīng)用全等三角決有關(guān)問題

形的性質(zhì)與判定

解決有關(guān)問題

【知識精講】

知識點一、三角形的概念及其性質(zhì)

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2.三角形的分類

(1)按邊分類:

「不等邊三角形

三角形.底與腰不等的等腰三角形

等腰三角形

.等邊三角形

(2)按角分類:

'銳角三角形

斜三角形

三角形鈍角三角形

〔直角三角形

3.三角形的內(nèi)角和外角

(1)三角形的內(nèi)角和等于180°.

(2)三角形的任一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和；三角形的一個外角大于任何一個

和它不相鄰的內(nèi)角.

4.三角形三邊之間的關(guān)系：

三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

5.三角形內(nèi)角與對邊對應(yīng)關(guān)系：

在同一個三角形內(nèi)，(大邊對大角，大角對大邊)；在同一三角形中，等邊對等角，等角對

等邊.

6.三角形具有穩(wěn)定性.

知識點二、三角形的“四心”和中位線

三角形中的四條特殊的線段是：高線、角平分線、中線、中位線.

1.內(nèi)心：三角形角平分線的交點，是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等.

2.外心：三角形三邊垂直平分線的交點，是三角形外接圓的圓心，它到三個頂點的距離

相等.

3.重心：三角形三條中線的交點，它到每個頂點的距離等于它到對邊中點距離的2倍.

4.垂心：三角形三條高線的交點.

5.三角形的中位線：連結(jié)三角形兩邊中點的線段是三角形的中位線.

中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

知識點三、全等三角形

1.定義：能完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。

2.性質(zhì)：

(1)對應(yīng)邊相等(.2)對應(yīng)角相等(3)對應(yīng)角的平分線、對應(yīng)邊的中線和高相等

(4)周長、面積相等

3.判定：(1)邊角邊(SAS)(2)角邊角(ASA)(3)角角邊(AAS)(4)邊邊邊(SSS)

(5)斜邊直角邊(HL)(適用于直角三角形)

知識點四、等腰三角形

1.定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。

2.性質(zhì)：

(1)具有三角形的一切性質(zhì)；

(2)兩底角相等(等邊對等角)；

(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)；

(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60。。

3.判定：

(1)如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)；.

(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；

(3)有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

要點詮釋：(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；

(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形.

知識點五、線段垂直平分線和角平分線

1.線段垂直平分線：經(jīng)過線段的中點并且垂直這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平

分線.

線段垂直平分線的定理：

(1)線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；

(2)與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

線段垂直平分線可以看作是與線段兩個端點距離相等的所有點的集合。

2.角平分線的性質(zhì)：

(1)角的平分線.上的點到角的兩邊的距離相等；

(2)到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上；

(3)角的平分線可以看做是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。

【典例剖析】

例1.三角形的三邊分別為3,l-2a,8,則a的取值范圍是()。

A.-6<a<-3B.-5<a<-2C.2<a<5D.a<-5或a>-2

答案：B

解析：《，選B。

1—2a<8+3

小結(jié)：本題考查的是三角形三邊關(guān)系，三角形任意一邊小于其它兩邊之和，大于其它兩邊之

差。

例2.如果三角形的一個內(nèi)角等于其他兩個內(nèi)角的和，這個三角形是()。

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定

答案：C

解析：ZA+ZB+ZC=180°,不妨設(shè)NA+NB=NC,代入可求出NC=90°。選C。

小結(jié)：本題考查三角形內(nèi)角和180。，及用方程思想的運用。

例3.如圖，已知aABC中，ZA=58°,如果：

(1)0為外心；⑵0為內(nèi)心.；分別求NB0C的度數(shù).

解：(1)0為外心時，以0為圓心，0B為半徑的圓是AABC的外接圓

ZB0C=2ZA=116°。

(2)0為內(nèi)心時，OB,0C分別為NABC和NACB的角平分線,

ZB0C=180°-(N0BC+/0CB)=180°--(ZABC+ZACB)=180°--(180°-ZA)

22

=90°+-ZA=119°。

2

小結(jié)：內(nèi)心和外心代表了三角形與圓的不同，位置關(guān)系，在解題時可以借助圓的相關(guān)概念計

算，內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，題目中涉及內(nèi)心，往往要關(guān)聯(lián)角平分線的定理。

例4.如圖所示，已知點A、D、B、F在一條直線上，AC=EF,AD=FB,要使△ABCgZ\FDE,

還需添加一個條件，這個條件可以是：o(只需填一個即可)

解：要判定△ABCgZkFDE,已知AC=FE,AD=BF,則AB=CF,具備了兩組邊對應(yīng)相等，故添

加夾角NA=/F,利用SAS可證全等；或添加AC〃EF得夾角/A=NF,禾U用SAS可證全等;

或添加BC=DE,利用SSS可證全等。

小結(jié)：在用“邊角邊''定理證明三角形全等時，必須要保證角是兩邊所夾的角。

例5.如圖，一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=4cm,BC=8cm,將AABC折疊，點B與點A

重合，折痕為DE,則DE的長為()A

7，D.5J

A.2行B.右C.

7D1

/

/

答案：B

解析：-BD-AC=-AB-DE

22

小結(jié)：折疊前后的兩個圖形是全等形。

例6.已知：如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=90°,CD1AD,AD2+CD2=2AB2.

(1)求證：AB=BC;

(2)當BELAD于E時，試證明：BE=AE+CD.

B

/、

Z

A:?--

(1)證明：連接AC。

VZABC=90°,AB2+BC2=AC20

VCD±AD,，AD2+CD2=AC2。

B

AAB2+BC2=2AB2C/

VAD2+CD2=2AB2,

AED

，AB=BC。

(2)證明：過C作CF_LBE于F。

VBE1AD,，四邊形CDEF是矩形。，,CD=EF。

VZABE+ZBAE=90",/ABE+NCBF=90°,AZBAE=ZCBFO

又：AB=BC,NBEA=NCFB,/.ABAE^ACBF(AAS)。，AE=BF。

.?.BE=BF+EF=AE+CD。

小結(jié)：四邊形問題經(jīng)常通過連接對角線轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決。

例7.如圖(1),1b12,13,U是一組平行線，相鄰兩條平行線間的距離都是1個單位長度.，

正方形ABCD的4個頂點A,B,C,D都在這些平行線上.過點A作AFJJ3于點E交

12于點H