2021屆高考數(shù)學(xué)新人教版一輪復(fù)習(xí)學(xué)案講義：第10章 第9講　離散型隨機變量的均值 （含解析）

第9講離散型隨機變量的均值、方差和正態(tài)分布

［考綱解讀］1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念，并能根

據(jù)分布列正確求出期望與方差，并能解決一些實際問題.(重點、難點)

2.借助直方圖認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，掌握正態(tài)曲線的

相關(guān)性質(zhì)，并能進(jìn)行正確求解.

［考向預(yù)測］從近三年高考情況來看，本講是高考中的熱點題型.預(yù)計2021年將

會考查：①與分布列相結(jié)合求期望與方差，通過設(shè)置密切貼近現(xiàn)實生活的情景，

考查概率思想的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識；②正態(tài)分布的考查，尤其是正態(tài)總體在某

一區(qū)間內(nèi)的概率.題型為解答題中的一問，試題難度不會太大，屬中檔題型.

基礎(chǔ)知識過關(guān)

1.離散型隨機變量的均值與方差

若離散型隨機變量X的分布列為

??????

XX1%2為

??????

PPiP2PiPn

(1)均值：稱E(X)=----^龍必----^龍“三為隨機變量X的均值或數(shù)

學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的02平均水平.

n

(2)D(X)-Zyp,為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均

i=l

值E(陽的03平均偏離程度,其算術(shù)平方根而可為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

2.均值與方差的性質(zhì)

(1)E(aX+b)=fflr/E(X)+Z?；

(2)D(oX+b)=^2a2D(X)(a,6為常數(shù)).

3.兩點分布與二項分布的均值、方差

XX服從兩點分布X?B(H,p)

E(X)02np

D(X)03.(1-u)04np(1—p)

4.正態(tài)曲線

(1)正態(tài)曲線的定義

函數(shù)9〃,(“2夕,》?(—8,+°°),其中實數(shù)〃和cr(cr>0)為參數(shù),

稱外“(X)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線儀是正態(tài)分布的期望，。是正

態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差).

(2)正態(tài)曲線的特點

①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

②曲線是單峰的，關(guān)于直線Clx=〃對稱:

④曲線與x軸之間的面積為1；

⑤當(dāng)。一定時，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移；

⑥當(dāng)〃一定時，曲線的形狀由。確定，03a越小,曲線越“高瘦”，表示總體

的分布越集中；。。越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.

5.正態(tài)分布

(1)正態(tài)分布的定義及表示

如果對于任何實數(shù)a,b(a<b),隨機變量X滿足P(tz<X<Z?)=J*(pg,/x)dx(即x

=a,x=b,正態(tài)曲線及x軸圍成的曲邊梯形的面積)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分

布，記作X~N〃，/).

(2)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)

①尸(〃一v<XWa+Q=(g0.6826；

②PS—2a<XW“+2R=020.9544；

③尸3-3?<XW〃+3(7)=030.9974.

口診斷自測

1.概念辨析

(1)隨機變量不可以是負(fù)數(shù)，隨機變量所對應(yīng)的概率可以是負(fù)數(shù)，隨機變量的

均值不可以是負(fù)數(shù).()

(2)正態(tài)分布中的參數(shù)〃和a完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)〃是正態(tài)分布的期望，

。是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.()

(3)隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方

差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小.()

(4)一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果

之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.()

答案⑴X(2)V(3)V(4)V

2.小題熱身

(1)已知隨機變量X的分布列如下，

X-202

111

P

333

則E(X)與D(X)的值分別為()

A.0,2B.0,1

C.2,0D.1,0

答案B

解析E(X)=(-2)X|+0X|+2X|=0,D(X)=(-2-0)2X|+(0-0)2X|+(2

⑵設(shè)］?5(小p),若E?=15,￡>?=11.25,則"=(

A.45

C.55

答案D

E(^)=np=15,2=0.25,

解析由

刀?=/我(1—p)=U.25,n=60.

(3)(2019?涼山州模擬)已知隨機變量.且。?N"一),若P(-3<e<-l)=

P(3<f<5),則〃=()

答案C

解析依題意，P(-3<e<-l)=P(3<f<5),

又區(qū)間(-3,—1)和(3,5)關(guān)于x=l對稱，

結(jié)合正態(tài)分布的知識，關(guān)于x=〃對稱的區(qū)域所對應(yīng)的概率相等，所以〃=1.

r7

(4)已知X的分布列為,且Y=aX-\-3,E(Y)=y

則a為(

答案B

解析先求出E(&=(-1)XT+0X；+1X^=T再由y=aX+3,得E(K)=

aE(X)+3.

J

+3.解得a=2.

經(jīng)典題型沖關(guān)

題型一離散型隨機變量的均值、方差多角探究

【舉例說明】

。角度1離散型隨機變量均值與方差的計算

問題

1.不透明袋子中裝有大小、材質(zhì)完全相同的2個紅球和5個黑球，現(xiàn)從中逐

個不放回地摸出小球，直到取出所有紅球為止，則摸取次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是()

189

AA?5B2

「36「16

C.萬D.§

答案D

解析當(dāng)》=左時，第左次取出的必然是紅球，而前左一1次中，有且只有1次

K一1

取出的是紅球，其余次數(shù)取出的皆為黑球，故P(X=k)=/=3-,于是得到X

的分布列如下.

X234567

121452

p

2121721217

故￡，(X)=2Xyr+3X^j-+4X^+5Xy^+6Xyj-+7X'|=^Y.

乙JL乙JL/乙乙JL/J

2.(2019?濟(jì)南模擬)已知離散型隨機變量X的分布列如表所示，若E(X)=0,

D(X)=1,則尸(X<1)=.

X-1012

1

Pabc

12

2

答案3

解析,：E(X)=0,D(X)=1,

〃+6+°+適=1,

/.<—lXo+OXb+lXc+24=0,

J-l)2Xa+02X/;+l2Xc+22X^=l,

1

又

乩

C引-4-c=1,P(X<1)=P(X=—l)+P(X=0)=卷

12

+--

4-

3-

。角度2二項分布的均值、方差問題

3.(2019?南陽模擬)設(shè)隨機變量X?5(2,2)，隨機變量￥?3(3,p),若尸(XN1)

=|,則。(3丫+1)=()

A.2B.3

C.6D.7

答案C

解析..?隨機變量X?3(2,p),P(X^1)=1,

P(X=0)=C2(l—/?)2=1-:-P=y

.,.D(y)=n/7(l—/?)=3x|x^l—|j=|,

：.D(3Y+1)=9D(Y)=6.

4.(2019?泉州模擬)2018年，依托用戶碎片化時間的娛樂需求、分享需求以及

視頻態(tài)的信息負(fù)載力，短視頻快速崛起.與此同時，移動閱讀方興未艾，從側(cè)面

反映了人們對精神富足的一種追求，在習(xí)慣了大眾娛樂所帶來的短暫愉悅后，部

分用戶依舊對有著傳統(tǒng)文學(xué)底蘊的嚴(yán)肅閱讀青睞有加.某讀書App抽樣調(diào)查了非

一線城市M和一線城市N各100名用戶的日使用時長(單位：分)，繪制成頻率分

布直方圖如下，其中日使用時長不低于60分鐘的用戶記為“活躍用戶”.

(1)請?zhí)顚懸韵?X2列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為用戶活躍與否與

所在城市有關(guān)？

活躍用戶不活躍用戶總計

城市M

城市N

總計

(2)以頻率估計概率，從城市M中任選2名用戶，從城市N中任選1名用戶，

設(shè)這3名用戶中活躍用戶的人數(shù)為蜃求《的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑶該讀書App還統(tǒng)計了2019年4個季度的用戶使用時長y(單位：百萬小時),

發(fā)現(xiàn)y與季度(x)線性相關(guān)，得到回歸直線方程為y=4x+a.已知這4個季度的用戶

平均使用時長為12.3百萬小時，試以此回歸方程估計2020年第一季度(x=5)該讀

書App用戶使用時長約為多少百萬小時.

n(ad—be?

附：爛=其中〃=a+)+c+d.

(a+Z?)(c+J)(6z+c)(Z?+J)?

「(片三島)0.0250.0100.0050.001

品5.0246.6357.87910.828

解（1）由已知條件可得以下2X2列聯(lián)表:

活躍用戶不活躍用戶總計

城市M6040100

城市N8020100

總計14060200

L、，2200X(60X20—80X40)2200

因為100X100X140X60-21^9-524>7-879>

所以有99.5%的把握認(rèn)為用戶是否活躍與所在城市有關(guān).

⑵由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，城市M中活躍用戶占最3城市N中活躍用戶占4

設(shè)從城市M中任選的2名用戶中活躍用戶數(shù)為X,則X?3（2,I）.

設(shè)從城市N中任選的1名用戶中活躍用戶數(shù)為y,

4

則y服從兩點分布，其中尸（y=i）=亍

由題意可得，的所有可能的取值為0,123.

PC=o）=p（x=o>p（y=o）=c[m=善

（2、432128

PC=D=p（x=o）.p（y=i）+p（x=i）.p（y=o）=c9.|j『.5+c后芯=后;

234,3、157

p（片2）=P（X=1）-p（y=I）+P（X=2）-p（y=o）=c舊蘇+&.g『行=正;

pe=3）=p（x=2）.p（y=i）=c]|）《=含.

所以^的分布列為

e0123

4285736

P

125125125125

4,28,57,36

￡(0=0*京+1*京+2*京+3*京=2

JL乙JJL乙JJL乙Jl4J

,一]+2+3+4

(3)由已知條件得x=------4-------=25

又y=12.3,

AAAAA

代入y=4x+a,得12.3=4X2.5+a,解得a=2.3,所以y=4x+2.3.

將龍=5代入上式，得y=4X5+2.3=22.3（百萬小時），

所以2020年第一季度該讀書App用戶使用時長約為22.3百萬小時.

角度3超幾何分布的均值、方差問題

5.（2019?青島二中模擬）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和個人收入的提高，自2018年10月

1日起，個人所得稅起征點和稅率依法進(jìn)行調(diào)整.其中，納稅人的工資、薪金所得,

先行以每月收入額減除費用五千元以及專項扣除和依法確定的其他扣除后的余額

為應(yīng)納稅所得額，依照個人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計算方法如下表：

個人所得稅稅率表（調(diào)整前）

免征額3500元

級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率（％）

1不超過1500元的部分3

2超過1500元至4500元的部分10

3超過4500元至9000元的部分20

?????????

個人所得稅稅率表（調(diào)整后）

免征額5000元

級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率（％）

1不超過3000元的部分3

2超過3000元至12000元的部分10

3超過12000元至25000元的部分20

?????????

（1）假如小李某月的工資、薪金等所得稅前收入為7500元（無專項扣除和依法

確定的其他扣除），請你幫小李算一下調(diào)整后小李的實際收入比調(diào)整前增加了多

少？

（2）某稅務(wù)部門在小李所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同級別員

工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表:

[3000,[5000,[7000,[9000,[11000,[13000,

收入/元

5000)7000)9000)11000)13000)15000]

人數(shù)304010875

先從收入在［3000,5000）及［5000,7000）的員工中按分層抽樣抽取7人，再從中選

4人作為新納稅法知識宣講員.用。表示抽到作為宣講員的收入在［3000,5000）元的

人數(shù)，人表示抽到作為宣講員的收入在［5000,7000）元的人數(shù).設(shè)隨機變量Z=|a—

b\,求Z的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差.

解（1）由于小李的工資、薪金等所得稅前收入為7500元，按調(diào)整前起征點應(yīng)

納個稅為1500X3%+2500X10%=295（元）.

按調(diào)整后起征點應(yīng)納個稅為2500X3%=75（元）.

比較兩個納稅方案可知，按調(diào)整后起征點應(yīng)納個稅比調(diào)整前少交220元.

所以調(diào)整后小李的實際收入比調(diào)整前增加了220元.

（2）①由頻數(shù)分布表可知從收入在［3000,5000）及［5000,7000）的員工中抽取7個,

其中收入在［3000,5000）內(nèi)的有3人，收入在［5000,7000）內(nèi)的有4人，再從這7人中

選4人，所以Z的所有可能的取值為0,2,4.

cic?18

P(Z=0)=P(a=2,b=2)=

"cT35,

P(Z=2)=P(a=l,0=3)+P(a=3,b=l)

c|ci+dc116

==35)

C3C41

P(Z=4)=P(a=0,人=4)="^=4.

所以Z的分布列如下，

Z024

18161

P

353535

數(shù)學(xué)期望E1(Z)=0x1|+2x||+4X^=||.

萬、差學(xué)”）=若18X（g■36司%I+,莞16X1（2一3司6Y+,若1X（4—祈36_1504

-1225-

【據(jù)例說法】

⑴求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟

①理解X的意義，寫出X的全部可能取值.

②求X取每個值的概率.

③寫出X的分布列.

④由均值的定義求E(X).

⑤由方差的定義求。(&.

(2)注意性質(zhì)的應(yīng)用：若隨機變量X的均值為E(X),則對應(yīng)隨機變量aX十人的

均值是aE(X)+O,方差為/D(X).

(3)如果勿?p),則用公式E(?=〃p,D(—=〃p(l—p)求解,可大大減少計

算量.見舉例說明3.

【鞏固遷移】

1.(2020.南充市高三摸底)設(shè)離散型隨機變量X可能的取值為1,2,3,4,P(X=

k)=ak+b,又X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3,則a—6=()

A.七B,0

一11

C.一記D5

答案A

解析設(shè)離散型隨機變量q可能取的值為l,2,3,4.P(^=k)=ak+b(k=1,2,3,4),

.?.(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=l,即10a+4b=l,又"的數(shù)學(xué)期望

=3,則(a+0)+2(2a+0)+3(3a+6)+4(4a+0)=3,即30a+106=3,b=Q,

..a-

2.(2019?沈陽模擬)隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機軟件層出

不窮.為調(diào)查某款訂餐軟件上商家的服務(wù)情況，統(tǒng)計了10次訂餐“送達(dá)時間”(單

位：分)，得到莖葉圖如下：

289

3244568

4I3

⑴請計算“送達(dá)時間”的平均數(shù)與方差;

⑵根據(jù)莖葉圖填寫下表：

送達(dá)時間35分鐘以內(nèi)(包括35分鐘)超過35分鐘

頻數(shù)AB

頻率CD

(3)在(2)的情況下，以頻率代替概率.現(xiàn)有3個客戶用此軟件訂餐，求出在35

分鐘以內(nèi)(包括35分鐘)收到餐品的人數(shù)X的分布列，并求出數(shù)學(xué)期望.

解(1)“送達(dá)時間”的平均數(shù)為

28+29+32+34+34+35+36+38+41+43八

---------------------------------------------------------=35(分),

方差為七X[(28—35)2+Q9—35)2+(32—35)2+(34-35)2+(34—35心+(35—

35)2+(36—35)2+(38—35)2+(41—35y+(43—35月=20.6.

(2)A=6,8=4,C=0.6,￡)=0.4.

(3)由題意知，在35分鐘以內(nèi)(包括35分鐘)收到餐品的人數(shù)X的所有可能的

取值為0,1,2,3.

P(X=0)=C?X0.6°X0.43=0.064；

P(X=l)=C3X0.6X0.42=0.288；

P(X=2)=C3X0.62X0.4=0.432；

P(X=3)=CiX0.63X0.4°=0.216.

所以X的分布列如下，

X0123

P0.0640.2880.4320.216

所以E(X)=0X0.064+lX0.288+2X0.432+3X0.216=1.8(或X服從二項分

布3(3,0.6),E(X)=3X0.6=1.8).

3.(2019?漳州二模)某市電視臺舉辦紀(jì)念紅軍長征勝利知識回答活動，宣傳長

征精神，首先在甲、乙、丙、丁四個不同的公園進(jìn)行支持簽名活動.

公園甲乙丙T

獲得簽名人數(shù)45603015

然后在各公園簽名的人中按分層抽樣的方式抽取10名幸運之星回答問題，從

10個關(guān)于長征的問題中隨機抽取4個問題讓幸運之星回答，全部答對的幸運之星

獲得一份紀(jì)念品.

(1)求此活動中各公園幸運之星的人數(shù)；

(2)若乙公園中每位幸運之星對每個問題答對的概率均為學(xué)，求乙公園中恰好

2位幸運之星獲得紀(jì)念品的概率；

(3)若幸運之星小李對其中8個問題能答對，而另外2個問題答不對，記小李

答對的問題數(shù)為X,求X的分布列、期望及方差.

解(1)甲、乙、丙、丁四個公園幸運之星的人數(shù)分別為高X10=3,哥X10

3015

=4,助*10=2,7^X10=l.

1

⑵根據(jù)題意，乙公園中每位幸運之星獲得紀(jì)念品的概率為

4'

所以乙公園中恰好2位幸運之星獲得紀(jì)念品的概率為C

128-

22

⑶由題意，知X的所有可能取值2,3,4,服從超幾何分布，P(X=2)=警2=W

JoID

c|ci8,"=4)=等q

P(X=3)=cfT=15

題型二均值與方差在決策中的應(yīng)用

【舉例說明】

(2019.南昌模擬)市面上有某品牌A型和B型兩種節(jié)能燈，假定A型節(jié)能燈使

用壽命都超過5000小時.經(jīng)銷商對B型節(jié)能燈使用壽命進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計，得到如

下頻率分布直方圖，

頻率/組距

某商家因原店面需重新裝修，需租賃一家新店面進(jìn)行周轉(zhuǎn)，合約期一年.新

店面需安裝該品牌節(jié)能燈5只(同種型號)即可正常營業(yè).經(jīng)了解，A型20瓦和B

型55瓦的兩種節(jié)能燈照明效果相當(dāng)，都適合安裝.已知A型和B型節(jié)能燈每只的

價格分別為120元、25元，當(dāng)?shù)厣虡I(yè)電價為0.75元/千瓦時.假定該店面正常營業(yè)

一年的照明時間為3600小時，若正常營業(yè)期間燈壞了立即購買同型燈更換.(用頻

率估計概率)

(1)若該商家新店面全部安裝了B型節(jié)能燈，求一年內(nèi)恰好更換了2只燈的概

率；

(2)若只考慮燈的成本和消耗電費，你認(rèn)為該商家應(yīng)選擇哪種型號的節(jié)能燈，

請說明理由.

解(1)由頻率分布直方圖可知，B型節(jié)能燈使用壽命超過3600小時的頻率為

0.0010X(3800—3600)=02用頻率估計概率，得B型節(jié)能燈使用壽命超過3600小

時的概率為千

4

所以一年內(nèi)一只B型節(jié)能燈在使用期間需要更換的概率為，

所以一年內(nèi)5只節(jié)能燈恰好更換了2只的概率為

(2)該商家應(yīng)選擇A型節(jié)能燈.理由如下：

一共需要安裝5只同種節(jié)能燈.

若選擇A型節(jié)能燈，一年共需花費5X120+3600X5X20X0.75X10-3=

870(TG).

若選擇B型節(jié)能燈，由于B型節(jié)能燈一年內(nèi)需更換的只數(shù)服從二項分布

3(5,D，所以一年需更換燈的只數(shù)的數(shù)學(xué)期望為5X,=4(只).

所以一年共需花費(5+4)X25+3600X5X55X0.75X10-3=967.5(元).

因為967.3>870,所以該商家應(yīng)選擇A型節(jié)能燈.

【據(jù)例說法】

解離散型隨機變量的期望和方差應(yīng)用問題的方法

(1)求離散型隨機變量的期望與方差關(guān)鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出

隨機變量的分布列，正確運用期望、方差公式進(jìn)行計算.

(2)要注意觀察隨機變量的概率分布特征，若屬于二項分布，可用二項分布的

期望與方差公式計算，則更為簡單.

(3)在實際問題中，若兩個隨機變量卻，6.有EC)=E《2)或E4i)與E(&)較為

接近時，就需要用。(&)與。(&)來比較兩個隨機變量的穩(wěn)定程度.即一般地將期望

最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案，若各方案的期望相同，則選擇方差最小(或最

大)的方案作為最優(yōu)方案，鞏固遷移】

(2019?湖北四地七校聯(lián)考)有甲、乙兩家公司都需要招聘求職者，這兩家公司

的聘用信息如下：

甲公司乙公司

職位ABCD職位ABCD

月薪/元6000700080009000月薪/元50007000900011000

獲得相應(yīng)獲得相應(yīng)

0.40.30.20.10.40.30.20.1

職位概率職位概率

⑴根據(jù)以上信息，如果你是該求職者，你會選擇哪一家公司？說明理由；

⑵某課外實習(xí)作業(yè)小組調(diào)查了1000名職場人士，就選擇這兩家公司的意愿做

了統(tǒng)計，得到以下數(shù)據(jù)分布:

選擇意愿40歲以上(含40歲以上(含40歲以40歲以

人員結(jié)構(gòu)40歲)男性40歲)女性下男性下女性

選擇甲公司11012014080

選擇乙公/p>

若分析選擇意愿與年齡這兩個分類變量，計算得到的片的觀測值為后=

5.5513,則得出“選擇意愿與年齡有關(guān)系”的結(jié)論犯錯誤的概率的上限是多少？并

用統(tǒng)計學(xué)知識分析，選擇意愿與年齡變量和性別變量哪一個關(guān)聯(lián)性更大？

n(ad—bcf

附：片=72=a+Z>+c+d.

(a+b)(c+J)(a+c)3+J)'

尸（心三島）0.0500.0250.0100.005

ko3.8415.0246.6357.879

解(i)設(shè)甲公司與乙公司的月薪分別為隨機變量x,y,

則E(X)=6000X0.4+7000X0.3+8000X0.2+9000X0.1=7000,

￡(7)=5000X0.4+7000X0.3+9000X0.2+11000X0.1=7000,

D(X)=(6000-7000)2X0.4+(7000—7000)2X0.3+(8000—7000)2X0.2+(9000

-7000)2X0.1=10002,

D(Y)=(5000-7000)2X0.4+(7000—7000)2X0.3+(9000—7000)2X0.2+

(11000-7000)2X0.1=20002,

則E(X)=E(D，D(X)<D(Y),

我希望不同職位的月薪差距小一些，故選擇甲公司；

或我希望不同職位的月薪差距大一些，故選擇乙公司.

(2)因為舟=5.5513>5.024,根據(jù)表中對應(yīng)值,

得出“選擇意愿與年齡有關(guān)系”的結(jié)論犯錯誤的概率的上限是0.025,

由數(shù)據(jù)分布可得選擇意愿與性別兩個分類變量的2X2列聯(lián)表如下:

選擇甲公司選擇乙公司總計

男250350600

女200200400

總計4505501000

21000X(250X200—350X200)22000

心

計算K~=600X400X450X5502976.734,

且片=6.734>6.635,

對照臨界值表得出結(jié)論“選擇意愿與性別有關(guān)”的犯錯誤的概率上限為0.01,

由0.01V0.025,所以與年齡相比，選擇意愿與性別關(guān)聯(lián)性更大.

題型三正態(tài)分布的應(yīng)用多維探究

【舉例說明】

1.設(shè)X?其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形A3CD中隨

機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是()

(注：若X?N@,/),則Pa—a<XW〃+<7)=68.26%,Pa—2a<XW〃+2Q=

95.44%)

y

012工

A.7539B.6038

C.7028D.6587

答案D

解析YX?，〃=1,c=l,〃+。=2,

“(//一?XW〃+a)=68.26%,.??則P(0<XW2)=68.26%,

則P(1<XW2)=34.13%,

,陰影部分的面積為0.6587,

點落入題圖中陰影部分的概率尸="胃=0.6587.

二正方形ABCD中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計

值是6587.故選D.

條件探究若將本例中“正方形”改為“矩形”，"X?N(1,D”變?yōu)椤癤?N(—1,1),

陰影部分如圖所示”，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是.

答案9547

解析對于正態(tài)分布N(—1,1),可知〃=-1,cr=l,正態(tài)曲線關(guān)于直線x=一

1對稱，故P(0<XWl)=3x[P(—3<XWl)—P(—2<XW0)]=Tx[Pa—2(r<XW〃+2Q

一P〃一(7<XW〃+。)]=；X(0.9544—0.6826)=0.1359,

所以點落入題圖中陰影部分的概率尸=1*3姿1359=().9547,

1AJ

投入10000個點，落入陰影部分的個數(shù)約為10000X0.9547=9547.

2.(2019?蚌埠三模)我市高三年級第二次質(zhì)量檢測的數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)

分布N(82,/),且P(74<X<82)=0.42.已知我市某校有800人參加此次考試，據(jù)此

估計該校數(shù)學(xué)成績不低于90分的人數(shù)為.

答案64

解析因為數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布N(82,/),所以數(shù)學(xué)成績X關(guān)于X

=82對稱，因為P(74<X<82)=0.42.所以P(82<X<90)=0.42.P(X》90)=P(XW74)=

1-O：2X2=Q08,所以我市某校有800人參加此次考試，據(jù)此估計該校數(shù)學(xué)成績

不低于90分的人數(shù)為0.08X800=64.

【據(jù)例說法】

正態(tài)分布下兩類常見的概率計算

(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正

態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，曲線與x軸之間的面積為1.

(2)利用3。原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的〃，。

進(jìn)行對比聯(lián)系，確定它們屬于%〃+(7),(JJ.—2U,〃+2(7),(//-3(7,〃+3(7)中

的哪一個.【鞏固遷移】

1.設(shè)兩個正態(tài)分布N51，決)(01>0)和N(〃2，向。2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所

示，則有()

A.

C.

答案A

解析〃反映正態(tài)分布的平均水平，是正態(tài)曲線的對稱軸，由圖知〃1<〃2,

。反映正態(tài)分布的離散程度，。越大，曲線越“矮胖”，表明越分散，。越小，曲

線越''高瘦"，表明越集中，由圖知內(nèi)<。2.

2.(2019?九江三模)已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質(zhì)量X(單位：千克)服從正

態(tài)分布N(90,64).現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機抽取10000件產(chǎn)品，其中質(zhì)量在區(qū)間

(82,106)內(nèi)的產(chǎn)品估計有(若X?則尸3一t7<X<〃+a)勺0.6826,P3—2a<X<〃

+2赤0.9544)()

A.8185件B.6826件

C.4772件D.2718件

答案A

々…八日…0.9544-0.6826

解析依題意，〃=90,<7=8,，P(82<X<106)=0.9544----------5------

0.8185,質(zhì)量在區(qū)間(82,106)內(nèi)的產(chǎn)品估計有10000X0.8185=8185#.

課時作業(yè)

@組基礎(chǔ)關(guān)

1.(2019?保定二模)已知隨機變量1服從正態(tài)分布N(〃，/),若PC<2)=P(4>6)

=0.1,則尸(2忘34)為()

A.0.7B.0.5

C.0.4D.0.35

答案C

解析由Pe<2)=P(4>6)=0.1,可得〃=4,且尸(2W*4)=Tx(l—0.1X2)=

0.4.

2.已知隨機變量X+y=8,若X?3(10,0.6),則E(D，D(K)分別是()

A.6和2.4B.2和2.4

C.2和5.6D.6和5.6

答案B

解析由已知隨機變量X+Y=8,所以y=8—X.因此，求得E(y)=8—E(X)=

8-10X0.6=2,。(￥)=(—1)2。(㈤=10*0.6義0.4=2.4.故選B.

3.(2019?湖南湘西二模)已知甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同一種零件，X表示甲

車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，

y表示乙車床生產(chǎn)looo件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)考察一段時間，x,y的分布列

分別是

Y012

P0.50.30.2

據(jù)此判斷(

A.甲比乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好

B.乙比甲生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好

C.甲與乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量相同

D.無法判斷

答案A

解析E(X)=0X0.7+lX0.1+2X0.1+3X0.1=0.6,E(y)=0X0.5+lX0.3+

2乂0.2=0.7.由于￡(7)>￡(田，故甲比乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好.

4.(2020?浙江嘉興適應(yīng)性訓(xùn)練)隨機變量X的分布列如下表，且E(X)=2,則

D(2X—3)=()

X02a

11

P

6P3

A.2B.3

C.4D.5

答案C

11

角

析

力p-1--

牛1-6-3=|,￡1(X)=0X^+2X^+tzX^=2=>tz=3,.,.D(X)=(0—

2)2X焉+(2—2產(chǎn)X；+(3—2)2Xg=1.DQX—3)=22D(X)=4.

5.(2019?廣州二模)從某班6名學(xué)生(其中男生4人，女生2人)中任選3人參

加學(xué)校組織的社會實踐活動.設(shè)所選3人中女生人數(shù)為蜃則數(shù)學(xué)期望E(0=()

4

A.gB.l

7

C.7D.2

答案B

解析因為<^=0,1,2,所以P(f=0)=^=|,P(^=l)=^^=|,PU=2)=^^

1131

=亍因此后(？=0乂5+1乂5+2*5=1.

6.(2019?浙江金麗衢十二校第一次聯(lián)考)五人進(jìn)行過關(guān)游戲，每人隨機出現(xiàn)左

路和右路兩種選擇.若選擇同一條路的人數(shù)超過2人，則他們每人得1分；若選

擇同一條路的人數(shù)小于3人，則他們每人得0分，記小強游戲得分為則E(f)

=()

5c11

AA16B16

c.1D4

oZ

答案B

解析五人進(jìn)行過關(guān)游戲，每人隨機出現(xiàn)左路和右路兩種選擇.若選擇同一

條路的人數(shù)超過2人，則他們每人得1分；若選擇同一條路的人數(shù)小于3人，則

他們每人得0分,?'?P(O=1)=C嶗2.$+C嶗3&+C才鈔,P(f=O)=l-1|

=16一皿=ix"十°x若已

7.已知拋物線ynaf+foc+aaWO)的對稱軸在y軸的左側(cè)，其中a,b,Ce{-

3,—2,—1,0,1,2,3},在這些拋物線中記隨機變量<=“|a—"的取值”，貝Uq的

數(shù)學(xué)期望石(。為()

.83

A-9B5

21

C.gD.2

答案A

解析由于對稱軸在y軸左側(cè)，故一或<0，故a，匕同號，基本事件有

6義718X7

3X3X7X2=126,。的可能取值有0,1,2三種.。(片。)=而=9，P^=V>=~n6

44X721A2,S

=Q,P(f=2)=-7^T-=Q,故期望值為0X]+1XG+2X5=5，故選A.

yJ-乙UyJyyy

8.(2019?日照模擬)某市高三理科學(xué)生有15000名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學(xué)

成績《服從正態(tài)分布N(100,/)，已知P(80<G100)=0.40,若按成績分層抽樣的

方式取100份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從120分以上的試卷中抽取的份數(shù)為.

答案10

解析P（f>120）=|[l-2P（80<f<100）]=0.10,

所以應(yīng)從120分以上的試卷中抽取100X0.10=10份.

9.（2019?綿陽模擬）一個盒子裝有3個紅球和2個藍(lán)球（小球除顏色外其他均相

同），從盒子中一次性隨機取出3個小球后,再將小球放回.重復(fù)50次這樣的實驗.記

“取出的3個小球中只有2個紅球，1個藍(lán)球”發(fā)生的次數(shù)為則。的方差是

答案12

CiCi633

解析由題意知/?B(n,p),其中n=50,P=_^=j^=^,所以。（。=50*5

2

X-=12.

10?一個人將編號為123,4的四個小球隨機放入編號為1,2,3,4的四個盒子中,

每個盒子放一個小球，球的編號與盒子的編號相同時叫做放對了，否則叫做放錯

T,設(shè)放對的個數(shù)為蜃則4的期望值為.

答案1

解析將四個小球放入四個盒子，每個盒子放一個小球，共有Aj種不同放法,

1

QQ「I*-

放對的個數(shù)q可取的值有0,1,2,4.其中，P（e=0）=^?=g,P（f=l）=^r3

11

1X

-

44

4丞，所以E(0=OXR+1XW+2XW+4X五=1.

—

H?'組能力關(guān)

1.已知5臺機器中有2臺存在故障，現(xiàn)需要通過逐臺檢測直至區(qū)分出2臺故

障機器為止.若檢測一臺機器的費用為1000元，則所需檢測費用的均值為（）

A.3200B.3400C.3500D.3600

答案C

解析設(shè)檢測的機器的臺數(shù)為X,則X的所有可能取值為2,3,4.P（X=2）=^=

XCyAHAi_J_ClciAlcl_3所以汽必—2*工+3*且

]0，1（大一3）一飛、一]0，1（大一4）一一5,歷以乜（X）—％X]0十3X10

3

+4X-=3.5,所以所需檢測費用的均值為1000X3.5=3500.

2.（2019?巢湖模擬）某次考試共有12個選擇題，每個選擇題的分值為5分，

每個選擇題四個選項且只有一個選項是正確的，A學(xué)生對12個選擇題中每個題的

四個選項都沒有把握，最后選擇題的得分為X,3學(xué)生對12個選擇題中每個題的

四個選項都能判斷其中有一個選項是錯誤的，對其他三個選項都沒有把握，選擇

題的得分為匕則D（r）—。（圓的值為（）

答案

解析設(shè)A學(xué)生答對題的個數(shù)為機，則得分X=5見分），機?3（12,土），D（m）

=12x1jx3j~9所以。（出=25*彳9=2岸25.同理，設(shè)3學(xué)生答對題的個數(shù)為〃，則得

/iA128X200

分Y=5〃（分），12,o,D（n）=12X-X-=~,所以。（F）=可X25=『，所以

200225125

D（Y）~D（X）=---=^-.

3.（2019?梧州一模）某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位數(shù)，A=

,其中A的各位數(shù)中，勾=1,恁（左=2,3,4,5）出現(xiàn)0的概率為今出現(xiàn)1的概率

為|,記乂=奧十—。5，當(dāng)程序運行一次時，X的數(shù)學(xué)期望E（X）=；

方差D（X）=.

88

答案

39

oQo

解析由題意得，X?34???數(shù)學(xué)期望E(X)=4X,=1,方差。(X)=4X?

4.（2019?東北三省四市教研聯(lián)合體模擬）某工廠有甲、乙兩個車間生產(chǎn)同一種

產(chǎn)品，甲車間有工人200人，乙車間有工人400人.為比較兩個車間工人的生產(chǎn)

效率，采用分層抽樣的方法抽取工人.甲車間抽取的工人記作第i組，乙車間抽

取的工人記作第二組，并對他們中每位工人生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的時間(單位：min)

進(jìn)行統(tǒng)計，按照[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]進(jìn)行分組，得到下列統(tǒng)計圖.

頻率/組距

0.025

0.020