專題07 解題技巧專題：與絕對(duì)值化簡(jiǎn)的有關(guān)問題壓軸題五種模型全攻略(解析版)

專題07解題技巧專題：與絕對(duì)值化簡(jiǎn)的有關(guān)問題壓軸題五種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用】 1【考點(diǎn)二利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值】 3【考點(diǎn)三分類討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值】 6【考點(diǎn)三利用幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值】 10【考點(diǎn)四解含絕對(duì)值的方程】 20【典型例題】【考點(diǎn)一絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用】例題：（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）若，則．【答案】3【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性得到x與y的值，代入代數(shù)式求解即可得到結(jié)論．【詳解】解∶，當(dāng)成立時(shí)，必須，解得，故答案為∶3【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，掌握絕對(duì)值非負(fù)性是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）若，則，．【答案】3【分析】根據(jù)偶次方和絕對(duì)值的非負(fù)性求解即可．【詳解】解：∵(a+1)2+|a?b+4|=0，∴a+1=0，a-b+4=0，解得a=-1，b=3，故答案為：-1，3．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，①非負(fù)數(shù)有最小值是零；②有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍然是非負(fù)數(shù)；③有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)加數(shù)也必為零．2．（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若（，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：由題意得：，，解得：，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．3．（2023·河北秦皇島·校考一模）已知a，b都是實(shí)數(shù)．若，則．【答案】【分析】根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0，因而兩個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)是0，可得，據(jù)此可得a、b的值，再代入所求式子計(jì)算即可．【詳解】解：∵∴，解得∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù)：（1）絕對(duì)值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術(shù)平方根）．當(dāng)它們相加和為0時(shí)，必須滿足其中的每一項(xiàng)都等于0．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求解這類題目．4．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）若有理數(shù)，滿足，則.【答案】【分析】由絕對(duì)值的非負(fù)性，求出，，然后代入計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴；故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的非負(fù)性，正確的求出，．【考點(diǎn)二利用數(shù)軸化簡(jiǎn)絕對(duì)值】例題：（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，試化簡(jiǎn)下式：．【答案】0【分析】由數(shù)軸可知，因此，由此可以求出結(jié)果．【詳解】解：由數(shù)軸可知，因此，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸和化簡(jiǎn)絕對(duì)值，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）已知a、b、c的大致位置如圖所示：化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)a，b到原點(diǎn)的距離，判斷的符號(hào)，再進(jìn)行化簡(jiǎn)．【詳解】因?yàn)樗怨蔬x：B【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值化簡(jiǎn)的方法．2．（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有理數(shù)在數(shù)軸上位置如圖，則化簡(jiǎn)的值為（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出絕對(duì)值里邊式子的正負(fù)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，去括號(hào)并即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸以及絕對(duì)值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸的表示判斷絕對(duì)值中各項(xiàng)的符號(hào)．3．（2023春·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）有理數(shù)x在數(shù)軸上的位置如圖聽示，化簡(jiǎn)：．

【答案】/【分析】由數(shù)軸上表示x的點(diǎn)的位置，得到，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義：負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的加減運(yùn)算，涉及的知識(shí)有：絕對(duì)值的代數(shù)意義，數(shù)軸，去括號(hào)法則，以及合并同類項(xiàng)法則，熟練掌握法則是解本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·四川巴中·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果為．【答案】1【分析】根據(jù)圖形可判斷，，，，再根據(jù)絕對(duì)值的應(yīng)用把絕對(duì)值符號(hào)去掉，最后合并同類項(xiàng)即可求解．【詳解】解：由圖像可知：，，，則，故答案為：1【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸、絕對(duì)值和整式的加減，解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形判斷絕對(duì)值里面的符號(hào)．5．（2023春·黑龍江大慶·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出絕對(duì)值里邊式子的正負(fù)，再利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)、去括號(hào)、合并同類項(xiàng)即可解答．【詳解】解：由數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：，且，，，，則原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸、絕對(duì)值、去括號(hào)、合并同類項(xiàng)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知a、b、c在數(shù)軸上的位置．（1）a+b0，abc0，0．填（“＞”或“＜”）（2）如果a、c互為相反數(shù)，求＝．（3）化簡(jiǎn)：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．【答案】（1）＜，＜，＜；（2）﹣1；（3）2a．【分析】（1）根據(jù)、、在數(shù)軸上的位置即可求解；（2）根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解；（3）結(jié)合數(shù)軸，根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)去絕對(duì)值符號(hào)，再合并即可求解．【詳解】解：由數(shù)軸可知，，，則（1），，．故答案為：，，；（2）、互為相反數(shù)，．故答案為：；（3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸、絕對(duì)值的性質(zhì)、整式的加減，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸和題目條件判斷出、、的大小關(guān)系．【考點(diǎn)三分類討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值】例題：（2023春·黑龍江綏化·六年級(jí)綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┮阎?、、均為不等式0的有理數(shù)，則的值為．【答案】3，-3，1，?1．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，將絕對(duì)值符號(hào)去掉，然后計(jì)算．由于不知道a、b、c的符號(hào)，故需分類討論．【詳解】解：(1)當(dāng)a>0，b>0，c>0時(shí)，=1+1+1=3；(2)當(dāng)a<0，b<0，c<0時(shí)，==?1?1?1=?3；(3)當(dāng)a>0，b>0，c<0時(shí)，==1+1?1=1；同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0時(shí)原式的值均為1．(4)當(dāng)a<0，b<0，c>0時(shí)，==?1?1+1=?1；同理，當(dāng)a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0時(shí)原式的值均為?1．故答案為：3，-3，1，?1．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值規(guī)律的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0，解答時(shí)要注意分類討論．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）若有理數(shù)a，b滿足，則的值為．【答案】0或2或【分析】分情況討論a與b的正負(fù)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則的值為0或2或-2．故答案為∶0或2或．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的除法，乘法，以及絕對(duì)值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東河源·七年級(jí)校考開學(xué)考試）若，，則n的值為．【答案】或/3或-1【分析】根據(jù)可得中有兩個(gè)負(fù)數(shù)或沒有負(fù)數(shù)，然后分情況討論即可．【詳解】解：∵，∴中有兩個(gè)負(fù)數(shù)或沒有負(fù)數(shù)，當(dāng)中有兩個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)：；當(dāng)中沒有負(fù)數(shù)時(shí)，；∴n的值為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘除法以及絕對(duì)值的意義，讀懂題意，運(yùn)用分類討論的思想解題是關(guān)鍵．3．（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）請(qǐng)利用絕對(duì)值的性質(zhì)，解決下面問題：(1)已知，是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，則_______；當(dāng)時(shí)，則_______．(2)已知，，是有理數(shù)，，，求的值．(3)已知，，是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】（1）根據(jù)正負(fù)數(shù)去絕對(duì)值的方法即可求解．（2）由可得，由根據(jù)進(jìn)而可求解．（3）分四種情況討論：①當(dāng)都是正數(shù)，即時(shí)；②當(dāng)有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)；③當(dāng)有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)；④當(dāng)三個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)時(shí)，分別去絕對(duì)值即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)，則，故答案為：，．（2）已知是有理數(shù)，，所以，且中兩正一負(fù)，所以．（3）由題意得：三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)或兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)或三個(gè)都為負(fù)數(shù)．①當(dāng)都是正數(shù)，即時(shí)，則：，②當(dāng)有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)，則：，③當(dāng)有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)，則：，④當(dāng)三個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)時(shí)，則：，綜上所述：的值為或或或【點(diǎn)睛】本題考查了化簡(jiǎn)絕對(duì)值，有理數(shù)的乘除法，熟練掌握正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）分類討論是重要的數(shù)學(xué)方法，如化簡(jiǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．求解下列問題：(1)當(dāng)時(shí)，值為______，當(dāng)時(shí)，的值為______，當(dāng)x為不等于0的有理數(shù)時(shí)，的值為______；(2)已知，，求的值；(3)已知：，這2023個(gè)數(shù)都是不等于0的有理數(shù)，若這2023個(gè)數(shù)中有n個(gè)正數(shù)，，則m的值為______（請(qǐng)用含n的式子表示）【答案】(1)，1，(2)或3(3)【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的定義求解即可；（2）已知，，所以，，一正兩負(fù)，根據(jù)（1）的結(jié)論解即可；（3）個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)有個(gè)，式子中有個(gè)正1，個(gè)，相加得答案．【詳解】（1）解：，，，故答案為：，1，．（2），，，，，的正負(fù)性可能為：①當(dāng)為正數(shù)，，為負(fù)數(shù)時(shí)：原式；②當(dāng)為正數(shù)，，為負(fù)數(shù)時(shí)，原式；③當(dāng)為正數(shù)，，為負(fù)數(shù)時(shí)，原式，原式或3．（3）∵有個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是一個(gè)不等于0的數(shù)除以它的絕對(duì)值等于1或，將題目轉(zhuǎn)化為由幾個(gè)正1和幾個(gè)的問題．【考點(diǎn)四利用幾何意義化簡(jiǎn)絕對(duì)值】例題：（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示3和2的兩點(diǎn)之間的距離是_____；表示和1兩點(diǎn)之間的距離是_____；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于．(2)如果，那么______；(3)若，，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是______，最小距離是_____．(4)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于與之間，則_____．(5)當(dāng)_____時(shí)，的值最小，最小值是_____．【答案】(1)；(2)或(3)；(4)(5)，【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸，觀察兩點(diǎn)之間的距離即可解決；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，分兩種情況即可解答；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離分別求出a，b的值，再分別討論，即可解答；（4）根據(jù)表示數(shù)a的點(diǎn)到與5兩點(diǎn)的距離的和即可求解；（5）分類討論，即可解答．【詳解】（1）解：由數(shù)軸得數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是：；表示和兩點(diǎn)之間的距離是：；故答案：；．（2）解：由得，，所以表示與距離為，因?yàn)榕c距離為的是或，所以或．故答案：或．（3）解：由，得，，，所以表示與的距離為，與的距離為，，所以或，或，當(dāng)，時(shí)，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是，當(dāng)，時(shí)，則A、B兩點(diǎn)間的最小距離是，故答案：，．（4）解：所以表示與的距離加上與的距離的和，因?yàn)楸硎緮?shù)a的點(diǎn)位于與之間，所以，故答案：．（5）解：，所以表示與、、的距離之和，①如圖，當(dāng)表示的點(diǎn)在的右側(cè)時(shí)，即，

由數(shù)軸得：，所以，所以；②如圖，當(dāng)表示的點(diǎn)在和的之間時(shí)，即，

由數(shù)軸得：因?yàn)椋?，所以；③如圖，當(dāng)表示的點(diǎn)在和的之間時(shí)，即，

由數(shù)軸得：因?yàn)?，所以，所以；④?dāng)表示的點(diǎn)在或或的點(diǎn)上時(shí)，即或或，如圖，當(dāng)時(shí)，

；如圖，當(dāng)時(shí)，

；如圖，當(dāng)時(shí)，

；因?yàn)椋援?dāng)表示的點(diǎn)在或或的點(diǎn)上時(shí)，僅當(dāng)時(shí)，的最小值為；綜上所述：當(dāng)，的最小值為．故答案：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的應(yīng)用，數(shù)軸上用絕對(duì)值表示兩點(diǎn)之間的距離，理解絕對(duì)值表示距離的意義，掌握距離的求法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面材料：如圖，點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，則兩點(diǎn)之間的距離可以表示為．根據(jù)閱讀材料與你的理解回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示8與的兩點(diǎn)之間的距離是______；(2)若，則______；若，則______；(3)表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對(duì)的點(diǎn)到1和-3所對(duì)的兩點(diǎn)距離之和．請(qǐng)你利用數(shù)軸，寫出所有符合條件的整數(shù)x，使得．(4)若x表示一個(gè)有理數(shù)，則有最小值嗎？若有，請(qǐng)直接寫出最小值．若沒有，說出理由．【答案】(1)(2)或；(3)(4)有，代數(shù)式的最小值為【分析】（1）根據(jù)題目所給兩點(diǎn)距離公式代入數(shù)值計(jì)算即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義即可求解；（3）由絕對(duì)值的定義求解即可；（3）根據(jù)題意，表示到這三點(diǎn)的距離和最小值，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，即可求解．【詳解】（1）∵，∴數(shù)軸上表示8與的兩點(diǎn)之間的距離是，故答案為：；（2）∵，∴或，∴或；∵，則表示到和的距離相等，∴故答案為：或；（3）解：如圖，∵∴的整數(shù)符合題意，∴使得成立的所有符合條件的整數(shù)x為：；（4）如圖∵表示數(shù)的點(diǎn)到表示，和的點(diǎn)的距離之和，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的最小值為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離以及絕對(duì)值的幾何意義，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式和絕對(duì)值的幾何意義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河北保定·七年級(jí)校聯(lián)考期中）閱讀下列材料：我們知道，的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離：，也就是說，表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．這個(gè)結(jié)論可以推廣為：表示在數(shù)軸上數(shù)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．如：數(shù)軸上數(shù)2，5對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為；數(shù)軸上數(shù)2，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為；又如：已知，求的值．意為：數(shù)軸上數(shù)與數(shù)1對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為2，觀察數(shù)軸可知的值為或3．請(qǐng)運(yùn)用上述的幾何方法解決下列問題：(1)若，則________；(2)若，則________；(3)表示數(shù)軸上數(shù)________與________對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離；(4)若，則________；(5)若，則滿足條件的所有整數(shù)為________________；(6)若，則的取值范圍為________________________．【答案】(1)3或?3(2)5或1(3)4，(4)2或(5)，，，0，1，2(6)或【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的定義求解即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的定義可得或，分別求解即可；（3）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義直接寫出即可；（4）根據(jù)絕對(duì)值的定義可得或，分別求解即可；（5）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可得，求出此范圍內(nèi)的整數(shù)即可；（6）表示數(shù)x的點(diǎn)有兩種位置，x在表示1的點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，，x在表示4的點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，．【詳解】（1）解：∵，∴或，故答案為：3或?3；（2）解：∵，∴或，解得或，故答案為：5或1；（3）解：表示數(shù)軸上數(shù)4與對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，故答案為：4，；（4）解：∵，∴或，解得或，故答案為：2或；（5）解：∵，∴，∵x是整數(shù)，∴x的值為?3，，0，1，2，故答案為：?3，，0，1，2；（6）解：當(dāng)，∴x在表示1的點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，，x在表示4的點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查用數(shù)軸表示距離，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，絕對(duì)值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)?？计谥校締栴}提出】的最小值是多少？【閱讀理解】為了解決這個(gè)問題，我們先從最簡(jiǎn)單的情況入手．的幾何意義是這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么可以看作這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1的距離；就可以看作這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1和2兩個(gè)點(diǎn)的距離之和，下面我們結(jié)合數(shù)軸研究的最小值．我們先看表示的點(diǎn)可能的3種情況，如圖所示：如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．如圖②，在1，2之間（包括在1，2上），可以看出到1和2的距離之和等于1．如圖③，在2的右邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1.因此，我們可以得出結(jié)論：當(dāng)在1，2之間（包括在1，2上）時(shí)，有最小值1．【問題解決】(1)的幾何意義是，請(qǐng)你結(jié)合數(shù)軸研究：的最小值是；(2)請(qǐng)你結(jié)合圖④探究的最小值是，由此可以得出a為；(3)的最小值是；(4)的最小值為；(5)如圖⑤，已知a使到-1，2的距離之和小于4，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍是．【答案】(1)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到4和7兩個(gè)點(diǎn)的距離之和；3(2)2；2(3)6(4)1021110(5)【分析】（1）由的幾何意義以及有最小值1即可直接求得結(jié)果；（2）當(dāng)a取中間值即a＝2時(shí)，求得最小值；（3）由題意可得出，取中間數(shù)即a=3時(shí)，絕對(duì)值最?。唬?）由題意可得出，取中間值a＝1011時(shí)，求得最小值；（5）由已知得：，解出絕對(duì)值不等式即為a的取值范圍．【詳解】（1）由題可知，的幾何意義是a這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)到4和7兩個(gè)點(diǎn)的距離之和當(dāng)a在4和7之間時(shí)（包括4，7上），a到4和7的距離之和等于3，此時(shí)取得最小值是3故答案為：a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到3和6兩個(gè)點(diǎn)的距離之和；3（2）當(dāng)a取中間數(shù)2時(shí)，絕對(duì)值最小的最小值是1＋0＋1＝2故答案為：2；2（3）當(dāng)a取最中間數(shù)時(shí)，絕對(duì)值最小的最小值是；（4）當(dāng)a取中間數(shù)1011時(shí)，絕對(duì)值最小，的最小值為：故答案為：1021110（5）a使它到－1，2的距離之和小于4①當(dāng)時(shí)，則有解得：；②當(dāng)時(shí)，則有③當(dāng)時(shí)，則有解得：綜上，a的取值范圍為：故答案為：【點(diǎn)睛】此題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，解這類問題的基本步驟是：求零點(diǎn)、分區(qū)間、定性質(zhì)、去符號(hào)，即令各絕對(duì)值代數(shù)式為0，得若干個(gè)絕對(duì)值為零的點(diǎn)，這些點(diǎn)把數(shù)軸分成幾個(gè)區(qū)間，再在各區(qū)間內(nèi)化簡(jiǎn)求值即可．【考點(diǎn)五解含絕對(duì)值的方程】例題：（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：我們把絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫做“含有絕對(duì)值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有絕對(duì)值的方程．怎樣求含有絕對(duì)值的方程的解呢？基本思路是：含有絕對(duì)值的方程→不含有絕對(duì)值的方程．我們知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我們只要把2x﹣1看成一個(gè)整體就可以根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)一步解決問題．解：根據(jù)絕對(duì)值的意義，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．解這兩個(gè)一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．根據(jù)以上材料解決下列問題：(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．【答案】(1)x=2或x=(2)x=-2或x=0【分析】先去絕對(duì)值轉(zhuǎn)化成一元一次方程求解．【詳解】（1）解：根據(jù)絕對(duì)值的意義得：3x-2=4或3x-2=-4．解得：x=2或x=；（2）由絕對(duì)值的意義得：x-2=3x+2或x-2+3x+2=0．解得：x=-2或x=0．【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值的一元一次方程的解法，理解絕對(duì)值的意義是求解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）解下列方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)或(2)或(3)或(4)或【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義，去絕對(duì)值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（2）根據(jù)絕對(duì)值的意義，去絕對(duì)值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（3）根據(jù)絕對(duì)值的意義，去絕對(duì)值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解；（4）首先對(duì)方程進(jìn)行整理，得出，再根據(jù)絕對(duì)值的意義，去絕對(duì)值，得出或，然后解出方程，即可得出原方程的解．【詳解】（1）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解為：或；（2）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解為：或；（3）解：，∴或，解得：或，∴原方程的解為：或；（4）解：，整理，可得：，∴或，解得：或，∴原方程的解為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了含絕對(duì)值的一元一次方程，解本題的關(guān)鍵在根據(jù)絕對(duì)值的意義，去絕對(duì)值．正數(shù)的絕對(duì)值為它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值則是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值還是為0．2．（2022秋·福建泉州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）同學(xué)們都知道，表示4與的差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可以理解為4與兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)之間的距離：同理也可以理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，就表示x在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)到的距離，由上面絕對(duì)值的幾何意義，解答下面問題：(1)，若，則；(2)請(qǐng)你找出所有符合條件的整數(shù)x，使得；(3)求的最小值，并寫出此時(shí)x的取值情況．【答案】(1)6；7或(2)、、0、1(3)當(dāng)，有最小值9【分析】（1）由絕對(duì)值的幾何意義可知表示的是4與兩數(shù)在數(shù)軸上的距離，表示x與2兩數(shù)在數(shù)軸上的距離為5，據(jù)此求解即可；（2）分、、三種情況討論求解即可；（3）分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)四種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：