水下航行器導(dǎo)航系統(tǒng)原理 課件 第3、4講 慣性器件、導(dǎo)航基礎(chǔ)(一)

慣性器件HARBINENGINEERING

UNIVERSITY目錄/Contents0102陀螺儀加速度計(jì)01陀螺儀背景意義及分類陀螺儀作為慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的核心器件，其技術(shù)發(fā)展直接影響著慣性導(dǎo)航系統(tǒng)技術(shù)水平，是各國國防軍事的核心技術(shù)之一，深受世界各科研院校和研究機(jī)構(gòu)的密切關(guān)注，成為目前各國的熱點(diǎn)研究領(lǐng)域。在國家載人航天、深空探測、深海探測、彈藥制導(dǎo)等重大工程需求下，要求慣性器件在確保高精度測量需求的同時，還需滿足微體積、低功耗、高可靠性、低成本和抗振動沖擊等特性。陀螺應(yīng)用領(lǐng)域嫦娥衛(wèi)星東風(fēng)導(dǎo)彈大疆無人機(jī)蛟龍?zhí)柋尘耙饬x及分類陀螺儀分類第一類機(jī)械陀螺儀（經(jīng)典力學(xué)）第二類光學(xué)陀螺儀（波動光學(xué)）液浮、氣浮陀螺儀半球陀螺儀MEMS陀螺儀半球諧振陀螺MEMS陀螺激光陀螺儀干涉式光纖陀螺諧振式光學(xué)陀螺干涉式光纖陀螺諧振式光學(xué)陀螺原子干涉陀螺儀原子自旋陀螺儀原子自旋陀螺原子干涉陀螺第三類原子陀螺儀（量子光學(xué)）液浮陀螺激光陀螺背景意義及分類背景意義及分類H

J

z

ΩH

J

z

Ω22z

i i im

(x

y

)J

陀螺起源：機(jī)械式陀螺儀背景意義及分類dtdH

MvH

M機(jī)械式陀螺儀特性：定軸性，進(jìn)動性動量矩定理萊查定理FHLMVHM

L

F其中四個里程碑1913年，法國物理學(xué)家Sagnac在物理實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)角速率對光的干涉現(xiàn)象的影響，這就啟發(fā)人們，利用光的干涉現(xiàn)象來測量旋轉(zhuǎn)角速率。1960年，美國科學(xué)家梅曼發(fā)明了激光器，產(chǎn)生了單色相干光，解決了光源的問題。1966年，華人科學(xué)家高錕提出了只要解決玻璃純度和成分，就能獲得光傳輸損耗極低的玻璃光纖的學(xué)說。1976年，美國猶他大學(xué)兩位教授利用Sagnac效應(yīng)研制出世界上第一個干涉式光纖陀螺（IFOG）原理樣機(jī)。特點(diǎn)與傳統(tǒng)機(jī)械陀螺儀相比與激光陀螺儀相比全固態(tài)，沒有旋轉(zhuǎn)部件和摩擦部件，壽命長，動態(tài)范圍大，瞬時啟動，結(jié)構(gòu)簡單，尺寸小，重量輕。干涉式光纖陀螺儀沒有閉鎖問題，也不用在石英塊精密加工出光路，成本低。干涉式光纖陀螺世界各發(fā)達(dá)國家的許多科研機(jī)構(gòu)和著名大學(xué)都投入了很多的經(jīng)費(fèi)來研究光纖陀螺。隨著干涉式光纖陀螺主要光器件（保偏光纖，Y型電-光調(diào)制波導(dǎo)，光源等）技術(shù)及半導(dǎo)體工業(yè)的飛速發(fā)展，干涉式光纖陀螺的發(fā)展已經(jīng)有了突破性進(jìn)展，已達(dá)到低于0.0001°/h的精度。目前，光纖陀螺已經(jīng)發(fā)展成為慣性技術(shù)領(lǐng)域具有劃時代特征的新型主流儀表，其原理、工藝及其關(guān)鍵技術(shù)與傳統(tǒng)的機(jī)電式儀表有很大的差別，我國已經(jīng)將光纖陀螺列為慣性技術(shù)領(lǐng)域重點(diǎn)發(fā)展的關(guān)鍵技術(shù)之一。干涉式光纖陀螺問世不久，國外專家就曾預(yù)言：“干涉式光纖陀螺出現(xiàn)，機(jī)械陀螺停止旋轉(zhuǎn)！”。預(yù)言發(fā)展現(xiàn)在干涉式光纖陀螺薩格奈克（Sagnac）論證了運(yùn)用無運(yùn)動部件的光學(xué)系統(tǒng)同樣能夠檢測相對慣性空間的旋轉(zhuǎn)。他采用一個環(huán)形干涉儀證實(shí)了在兩個反向傳播光路中，旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生一個相位差。M

M

lCCWCCCWM

(a) (b)圖1

Sagnac效應(yīng)(a)系統(tǒng)靜止(b)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)機(jī)理：理想條件下，環(huán)形光路系統(tǒng)中的Sagnac效應(yīng)如圖1所示。一束光經(jīng)分束器M進(jìn)入同一光學(xué)回路中，分成完全相同的兩束光，分別沿順時針方向(CW)和逆時針方向(CCW)相向傳播，當(dāng)回路繞垂直于自身的軸轉(zhuǎn)動時，將使兩束光產(chǎn)生相位差，該相位差的大小與光回路的旋轉(zhuǎn)速率成比例。ctCCW如(a)所示，無旋轉(zhuǎn)條件下兩束光傳輸時間相等：L

2

R

tCW

c

如(b)所示，旋轉(zhuǎn)條件下，傳輸時間分別為：tCCWc

R

2

R tCWc

R

2

R 得到傳輸時間差：c2

t

tCCW

tCW

4

R2得到傳輸光程差：c

L

t

c

4

R

2

得到傳輸相位差：0

c4

RL

S

增大R

或者L

可以提高測量靈敏度。干涉式光纖陀螺—Sagnac效應(yīng)干涉式光纖陀螺—Sagnac效應(yīng)M

M

lCCWCCCWM

(a) (b)圖1

Sagnac效應(yīng)(a)系統(tǒng)靜止(b)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)如何檢測相位差？利用光的干涉：振動頻率相同、方向相同、相位差恒定

。I

I0

(1

cos

s

)最終，通過檢測光強(qiáng)來檢測相位差，進(jìn)而檢測轉(zhuǎn)動角速率。干涉式光纖陀螺是基于Sagnac效應(yīng)的角速率測量裝置，即沿著閉合光纖光路相向傳播的兩束光波返回到起始點(diǎn)發(fā)生干涉后，干涉信號的相位差正比于閉合光路敏感軸的輸入角速度。光纖基本結(jié)構(gòu)光纖的結(jié)構(gòu)n2n1n2n2n1纖芯包層涂覆層護(hù)套光纖基本結(jié)構(gòu)n1>

n2入射角>θ光纖傳光原理

——

全反射法線n1n2θ光纖基本結(jié)構(gòu)互易性互易性是光纖陀螺在光路部分的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中必須遵循的原則，所謂的互易性就是要保證在Sagnac

光纖干涉儀中，沿相反方向傳播的兩束光，不產(chǎn)生非轉(zhuǎn)動因素引起的相移

。光纖環(huán)耦合器

2光電探測器光源耦合器

1干涉式光纖陀螺—基本原理圖3

光纖陀螺基本結(jié)構(gòu)組成如圖3所示，從光源發(fā)出的光波經(jīng)過耦合器和Y波導(dǎo)分為兩束相干的線偏振光，其中一束沿著光纖環(huán)的順時針傳播，另外一束沿逆時針傳播，最終兩束載有光纖環(huán)軸向轉(zhuǎn)動角速度信息的光波在Y波導(dǎo)中匯合發(fā)生干涉，干涉信號的強(qiáng)度隨輸入角速度變化而變化，通過探測器檢測干涉信號的強(qiáng)度變化，可以獲得輸入的角速度變化。工作流程干涉型光纖陀螺由寬帶光源、耦合器、Y

波導(dǎo)、光纖環(huán)、光電檢測器、信號處理電路六個部件組裝而成。干涉式光纖陀螺—結(jié)構(gòu)組成干涉式光纖陀螺—結(jié)構(gòu)組成光源提供產(chǎn)生干涉信號的光載波，為寬帶光纖光源，且對平均波長穩(wěn)定性要求較高；探測器用于探測干涉光信息并將其轉(zhuǎn)換為電信號，并對該微弱電流信號進(jìn)行跨阻抗放大成電壓信號；耦合器是一種對光信號進(jìn)行分束、合束的器件，用于將光信號引入光纖環(huán)，將有

Y

波導(dǎo)返回的干涉信號引入探測器；Y

波導(dǎo)（多功能集成光路）集成了單模濾波器、起偏器、分束器和相位調(diào)制器的功能，實(shí)現(xiàn)對輸入光纖環(huán)和光纖環(huán)輸出干涉光信號的起偏和單模濾波、光信號的分束和合束，以及對干涉信號的偏置調(diào)制和輸入角速度信號的反饋調(diào)制；圖3

光纖陀螺基本結(jié)構(gòu)組成光纖環(huán)為角速度的核心敏感元件用于產(chǎn)生 效應(yīng)中的光相位差；信號處理電路用于提取干涉后光強(qiáng)信號，為

Y

波導(dǎo)提供電壓調(diào)制信號，并對外輸出角速率信號。干涉式光纖陀螺—信號處理技術(shù)1偏置調(diào)制：為了提升陀螺檢測靈敏度和解決旋轉(zhuǎn)方向的問題，在光纖線圈的一端放置一個相位調(diào)制器，使兩束光波在不同時間受到一個完全相同的相位調(diào)制，則可以產(chǎn)生一個時變相位差。圖4

施加偏置相位0 sI

I

[1

cos(

])2

I0[1

sin

s

]

I

2I sin

0 s

2I0

s相鄰時間內(nèi)光強(qiáng)差偏頻相位調(diào)制技術(shù)優(yōu)勢：使光纖陀螺工作在旋轉(zhuǎn)速率最靈敏的工作點(diǎn)上干涉式光纖陀螺—信號處理技術(shù)2閉環(huán)控制：在陀螺的敏感環(huán)中加入一個電光控制元件，使兩束反向傳播光波之間引入一個非互易性相移響應(yīng)旋轉(zhuǎn)輸入，并補(bǔ)償旋轉(zhuǎn)引起的Sagnac相移。閉環(huán)光纖陀螺的探測器輸入作為反饋伺服回路的誤差，由于測量的輸出信號是與旋轉(zhuǎn)速率成線性比例的Sagnac相移，而閉環(huán)陀螺對旋轉(zhuǎn)速率的響應(yīng)基本是線性的。圖5

閉環(huán)陀螺輸出信號閉環(huán)陀螺的優(yōu)勢：當(dāng)誤差信號保持在零位時，旋轉(zhuǎn)信號的輸出與光強(qiáng)和探測電路的增益倍數(shù)無關(guān)020 s f

II

I

[1

cos(

)]干涉式光纖陀螺—光纖環(huán)繞制技術(shù)光纖環(huán)繞制方法：柱形繞法、二極繞法、四級繞法干涉式光纖陀螺—光纖環(huán)繞制技術(shù)四極對稱的繞制方法及其典型溫度場分布干涉式光纖陀螺—應(yīng)用級別劃分速率級光纖陀螺已經(jīng)產(chǎn)業(yè)化，主要應(yīng)用于機(jī)器人、地下建造隧道、管道路徑勘測裝置和汽車導(dǎo)航等對精度要求不高的場合。戰(zhàn)術(shù)級光纖陀螺具有壽命長、可靠性高和成本低等優(yōu)點(diǎn)，主要用于戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈、近程/中程導(dǎo)彈和商用飛機(jī)的姿態(tài)對準(zhǔn)參考系統(tǒng)中。慣性級、戰(zhàn)略級光纖陀螺主要是用于空間定位和潛艇導(dǎo)航。表1

應(yīng)用級別劃分級別零偏穩(wěn)定性(度/小時)標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性速率級10~10000.1~1%戰(zhàn)術(shù)級0.1~1010~1000

ppm慣性級0.01<5ppm戰(zhàn)略級0.001<1ppm干涉式光纖陀螺—應(yīng)用領(lǐng)域l

戰(zhàn)略導(dǎo)彈系統(tǒng)和潛艇導(dǎo)航應(yīng)用；l

衛(wèi)星定向和跟蹤；l

天體觀測望遠(yuǎn)鏡的穩(wěn)定和調(diào)向；l

各種運(yùn)載火箭應(yīng)用；l

艦船、巡航導(dǎo)彈和軍、民用飛機(jī)的慣性導(dǎo)航；l

光學(xué)羅盤及高精度尋北系統(tǒng)；l

戰(zhàn)術(shù)武器制導(dǎo)與控制系統(tǒng)；l

陸地導(dǎo)航系統(tǒng)(+GPS)；l

姿態(tài)／航向基準(zhǔn)系統(tǒng)；l

汽車導(dǎo)航儀、天線／攝像機(jī)的穩(wěn)定、石油鉆井定向、機(jī)器人控制、各種極限作業(yè)的控制裝置等工業(yè)和民用領(lǐng)域。諧振式光纖陀螺—基本原理圖11

諧振式陀螺基本結(jié)構(gòu)組成當(dāng)某一頻率的光波在諧振腔中循環(huán)傳輸時會產(chǎn)生多光束的干涉，只有滿足某個特定頻率的光波才會發(fā)生諧振現(xiàn)象，因此稱為諧振式光學(xué)陀螺。與干涉式陀螺不同，這里用諧振頻差來解讀Sagnac效應(yīng)。當(dāng)諧振腔發(fā)生轉(zhuǎn)動時，CW和CCW傳播方向上的路程會發(fā)生變化，其光程差為：4S

L

Lcw

Lccw

c

c此時，CW和CCW光束方向上的諧振頻率之間將產(chǎn)生一個頻差：cw

ccw0c cnLnL2L

L

f

f

f

m

mc

L

f

nL

cwccw

結(jié)合上面兩個公式，得到：

f

4S

D

0

L

0（只與諧振腔直徑有關(guān)，與光纖長度無關(guān)）諧振式光纖陀螺—工作流程圖11

諧振式陀螺基本結(jié)構(gòu)組成如圖11所示，激光器經(jīng)3dB耦合器C1分成兩束功率相等的光束，分別經(jīng)過隔離器后進(jìn)入各自的相位調(diào)制器，然后分別從CW和CCW方向耦合進(jìn)入到諧振腔內(nèi)，并在諧振腔內(nèi)形成兩個方向的諧振光波，最后分別經(jīng)C2和C3耦合后輸出到各自的探測器中。當(dāng)陀螺靜止時，CW和CCW方向傳輸光的諧振頻率和相同；當(dāng)陀螺沿CCW方向以角速度為轉(zhuǎn)動時，兩束光會產(chǎn)生正比于角速度的諧振頻率差。工作流程優(yōu)點(diǎn)：是采用很短的光纖或者集成式波導(dǎo)諧振腔，因此在微型化方面具有很大的優(yōu)勢，同時，還可以避免干涉式陀螺中的Shupe誤差問題。02加速度計(jì)加速度計(jì)是測量運(yùn)載體線加速度的儀表。在飛行控制系統(tǒng)中，加速度計(jì)是重要的動態(tài)特性校正元件。在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中，高精度的加速度計(jì)是最基本的敏感元件之一。主流產(chǎn)品有液浮擺式加速度計(jì)、石英撓性加速度計(jì)、MEMS（微機(jī)電系統(tǒng)）加速度計(jì)、原子（量子）加速度計(jì)等幾大類，下面以石英撓性加速度計(jì)和MEMS加速度計(jì)為例詳細(xì)介紹其基本原理。加速度計(jì)概述石英撓性加速度計(jì)圖

1

石英撓性加速度計(jì)的組成當(dāng)沿石英撓性加速度計(jì)的輸入軸方向有加速度作用時，由于檢測質(zhì)量的位置發(fā)生變化，從而使得差動電容傳感器的電容值發(fā)生變化。這時伺服放大器檢測到這一變化并向電磁力矩器產(chǎn)生一個再平衡電流，它產(chǎn)生的電磁力矩使檢測質(zhì)量回到原來的位置。通過測量流過采樣電阻的電流，便可以間接得到石英撓性加速度計(jì)所測量的加速度石英撓性加速度計(jì)圖

2

石英撓性加速度計(jì)工作原理示意圖l 當(dāng)運(yùn)載體相對慣性空間發(fā)生加速度時，石英撓性加速度計(jì)檢測質(zhì)量擺將產(chǎn)生慣性力矩：M

g

mLail

慣性力矩使檢測質(zhì)量擺繞撓性樞軸產(chǎn)生角位移，差動電容傳感器產(chǎn)生電容差值，電容差值經(jīng)伺服電路變成電流信號，該電流輸出向力矩器產(chǎn)生一電磁反饋力矩：Mt

Kt

Il 當(dāng)力矩器反饋力矩和慣性力矩相等時，力矩器線圈中所需要的電流與輸入加速度成正比I

（mL/Kt）

aim-檢測質(zhì)量擺質(zhì)量；L-質(zhì)量擺的質(zhì)量中心至撓性樞軸的距離Kt-力矩器力矩系數(shù)；ai-石英加計(jì)輸入軸方向的加速度MEMS加速度計(jì)-結(jié)構(gòu)原理圖

3

硅微擺式電容加速度計(jì)結(jié)構(gòu)簡圖22 1(ds 0 0 01 1 2s

b)dx

lb

d

x

d

x

C

C

C

l

l 將敏感質(zhì)量塊一側(cè)進(jìn)行鏤空使其質(zhì)心偏移，施加圖中所示方向加速度，敏感質(zhì)量塊產(chǎn)生慣性力矩：M

maLl 發(fā)生的偏移角

M

Kl 兩極板間的電容變化量為s

bl 差分電容變化量

C

與輸入加速度a之間的關(guān)系：Δ??

=??????????2/(2??+

??)2???????02??3??其中

K

2G

3hlMEMS加速度計(jì)-結(jié)構(gòu)原理圖

3

硅微擺式電容加速度計(jì)結(jié)構(gòu)簡圖ε-介電常數(shù)m-質(zhì)量塊質(zhì)量b-敏感電極的長L-質(zhì)量塊質(zhì)心到支撐梁的距離s-敏感電極離支撐梁近的一端到支撐梁之間的距離G-剪切彈性模量β-取決于支撐梁的高寬比l、ω、h-支撐梁的長寬高d0-質(zhì)量塊靜止?fàn)顟B(tài)時，電容極板到質(zhì)量塊的距離可以通過觀測電容的變化來觀測器件加速度的變化。Δ??

=??????????2/(2??+

??)2???????02??3??MEMS加速度計(jì)-信號檢測與轉(zhuǎn)換圖

4

開環(huán)檢測原理圖l 環(huán)境變化產(chǎn)生加速度時，質(zhì)量塊產(chǎn)生位移，極板間距微弱變化，導(dǎo)致差動電容也隨之變化。l 在電路一端產(chǎn)生高頻激勵電壓，在此激勵下，微弱的差動電容變化通過信號檢測電路轉(zhuǎn)換成電壓信號。l 經(jīng)過解調(diào)、濾波與放大電路，便可獲得此結(jié)構(gòu)下加速度實(shí)際感應(yīng)值對應(yīng)的電壓輸出值。感謝您的聆聽導(dǎo)航基礎(chǔ)（一）HARBINENGINEERING

UNIVERSITY目錄/Contents010203坐標(biāo)系03方向余弦歐拉角慣性器件標(biāo)定01坐標(biāo)系導(dǎo)航的任務(wù)就是確定載體的運(yùn)動參數(shù)，即確定載體在某個坐標(biāo)系的位置、速度以及姿態(tài)等。什么是運(yùn)動物體的姿態(tài)？詞典:

指物體呈現(xiàn)的樣子。慣性技術(shù):

指載體坐標(biāo)系與參考坐標(biāo)系相對角位移關(guān)系。1.

坐標(biāo)系5常用坐標(biāo)系如下：慣性坐標(biāo)系i地球坐標(biāo)系e地理坐標(biāo)系t載體坐標(biāo)系b平臺坐標(biāo)系p1.

坐標(biāo)系慣性坐標(biāo)系（i）：相對恒星所確定的參考系稱為慣性空間，相對慣性空間靜止或作勻速直線運(yùn)動的參考坐標(biāo)系。日心慣性坐標(biāo)系：原點(diǎn)取在日心。地心慣性坐標(biāo)系：原點(diǎn)取在地心，Z 軸與地球自轉(zhuǎn)軸一致，X、Y 軸在赤道平面內(nèi)，指向某個恒星,與Z構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。地心慣性坐標(biāo)系不參與地球的自轉(zhuǎn)運(yùn)動，即其三根坐標(biāo)軸在慣性空間的方向保持不變。1.

坐標(biāo)系地球坐標(biāo)系（e）：原點(diǎn)取在地心，Z 軸沿極軸（地軸）e方向，Xe

軸在赤道平面與本初子午面的交線上，Ye

軸也在赤道平面內(nèi)并與Xe

、Ze

軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。地球坐標(biāo)系隨地球自轉(zhuǎn)而變化。RR

o

hxeyeez

極軸

ie本初子午面赤道平面1.

坐標(biāo)系地理坐標(biāo)系（t）原點(diǎn)位于運(yùn)載體所在的點(diǎn)，Xtt軸沿當(dāng)?shù)鼐暰€指東，Y

軸沿當(dāng)?shù)刈游缇€指北；

Z

軸垂直于tXt,Yt 軸構(gòu)成的平面，構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。其中Xt

、Yt

軸構(gòu)成的平面即為當(dāng)?shù)厮矫?。地理坐?biāo)系隨地球自轉(zhuǎn)、載體運(yùn)動而變化。R

o

h極軸NExtytzt1.

坐標(biāo)系載體坐標(biāo)系（b）：載體坐標(biāo)系zb軸垂直于甲板，

yb軸沿載體縱軸，xb軸沿載體橫軸。載體姿態(tài)即為載體坐標(biāo)系相對于地理坐標(biāo)系角位移關(guān)系，對于船舶，可由橫搖角、縱搖角和航向角三個角度描述。1.

坐標(biāo)系平臺坐標(biāo)系（p）：在平臺式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)里，慣性元件陀螺儀和加速度計(jì)安裝在與運(yùn)載體姿態(tài)運(yùn)動相隔離的平臺上，原點(diǎn)在平臺質(zhì)心，zp軸垂直于平臺臺面，yp軸指向平臺北，

xp軸指向東。構(gòu)成右手坐標(biāo)系。平臺坐標(biāo)系和地理坐標(biāo)系一致么？1.

坐標(biāo)系02方向余弦問題：已知一個矢量在某個坐標(biāo)系下的表示，如何求其在其他坐標(biāo)系下的表示？方向余弦法（九參數(shù)法）歐拉角法（三參數(shù)法）四元數(shù)法（四參數(shù)法）2.

方向余弦方向余弦定義設(shè)取直角坐標(biāo)系OXYZ，沿各坐標(biāo)軸的單位矢量分別為i、j、k；設(shè)過原點(diǎn)有一矢量R，它在各坐標(biāo)軸上的投影分別為Rx，Ry，Rz。矢量R的投影表示為??=??????+

??????+????k投影Rx，Ry，Rz分別表示為??

?

?????? ???,

?? ,??

?

?????? ???,

?? ,

??

?

?????? ???,

??其中?????? ???,

?? ,

?????? ???,

?? ,

?????? ???,

?? 是矢量R與坐標(biāo)軸X,

Y,

Z正向之間夾角的余弦，稱為方向余弦。XYZORR

xR

zR

yijk2.

方向余弦坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸方向余弦直角坐標(biāo)系Oxryrzr與載體固連（簡稱r系）Ox0y0z0為參考坐標(biāo)系（簡稱0系）要確定載體在空間的角位置，只要確定載體坐標(biāo)系在參考坐標(biāo)系的角位置即可。而要做到這一點(diǎn)，只需要知道xr、yr、zr這三個軸的九個方向余弦。Z0X

00YZrX

rYrRj0k0irrjkri02.

方向余弦Cr00r或

C

來表示，即

23

21 220

C

C

C

C11 C12 C13

C

r

32

2212

C

C

CC21 C31

C11C

0r方向余弦矩陣把上述九個方向余弦組成一個3*3階矩陣，用Cr0

C31 C32 C33

則稱這種矩陣為方向余弦矩陣。其中

C13 C23 C33

為0系到r系的方向余弦矩陣，為r系到0系的方向余弦矩陣。0rC2.

方向余弦基于方向余弦的坐標(biāo)變換設(shè)過坐標(biāo)原點(diǎn)O有一矢量R，矢量端點(diǎn)為M?，F(xiàn)直接用Xr,

Yr,

Zr代表R在剛體坐標(biāo)系OXrYrZr上的投影，并直接用X0、Y0、Z0代表R在參考坐標(biāo)系OX0Y0Z0上的投影，矢

量

R

在

剛

體

坐

標(biāo)

系

和

參

考

坐

標(biāo)

系OX0Y0Z0中可分別表示為：??=??0????+??0????+

??0??????=????????+????????+

????????Z0X

00YZrX

rYrRk0irjrj0kri02.

方向余弦基于方向余弦的坐標(biāo)變換如果用方向余弦表示R在剛體坐標(biāo)系OXrYrZr上的投影，則有:????=??0

?cos ????,

??0?????=??0

?

cos ????,

??0????=??0

?

cos ????,

??0+??0

?

cos ????,

??0+??0

?

cos ????,

??0+??0

?

cos ????,

??0Z0X

00YZrX

r+??0

?

cos ????,

??0+??0

?

cos ????,

??0+??0

?

cos ????,

??0YrRj0k0rirjkri02.

方向余弦寫成矩陣形式：????????????=??11??21??31??12??22??32??13??23??33???0??0??00=????

???0??0??0按照類似的方法，R在參考坐標(biāo)系OX0Y0Z0上的投影可表示為：??0??0??0??11??21??31??12??22??32??13??23??33= ???????????????=??0

?????????????對于任意一個確定矢量，利用方向余弦矩陣就可以在兩個坐標(biāo)系之間進(jìn)行坐標(biāo)變換。因此方向余弦矩陣又稱為坐標(biāo)變換矩陣。2.

方向余弦方向余弦矩陣性質(zhì)根據(jù)方向余弦矩陣的正交性質(zhì)，方向余弦矩陣具有如下性質(zhì)：（1）兩個方向余弦矩陣互為轉(zhuǎn)置矩陣0 ??????

??

??0

???? 0=

??0 =

????（2）兩個方向余弦矩陣互為逆矩陣???? ?1=

??0 ??0 ?1=

????0 ?? ?? 0（3）各個方向余弦矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣與逆矩陣相等=0 0????

??

????

?1=?? ????0

??

??0

?1????

????

??0 0=

????

????

?1=I0 02.

方向余弦方向余弦間關(guān)系式11??2121321??222+

??223+

??2??231

32

33+

??2 +

??2+

??2 +

??2 =

1=

1=

1??11??21+??12??22+??13??23=

0??21??31+??22??32+??23??33=

0??31??11+??32??12+??33??33=

0??11??21??31??12??22??32??13??23??33??11??12??13??21??22??23??31??32??33= 01 0 01 00 0 1九個方向余弦之間存在六個約束條件，因而實(shí)際上有三個方向余弦是獨(dú)立的。通常采用三個獨(dú)立的轉(zhuǎn)角即歐拉角來求出九個方向余弦的數(shù)值，這樣便能唯一的確定兩個坐標(biāo)系之間的相對角位置。2.

方向余弦03歐拉角剛體坐標(biāo)系相對參考坐標(biāo)系的角位置，可以用三次獨(dú)立轉(zhuǎn)動的三個轉(zhuǎn)角來表示，這就是歐拉法，三個獨(dú)立的轉(zhuǎn)角稱為歐拉角。第一次旋轉(zhuǎn)可繞任一軸進(jìn)行第二次旋轉(zhuǎn)繞其余兩軸中任一軸第三次旋轉(zhuǎn)繞除第二次外任一軸3.

歐拉角繞

????正向??繞

??0正向 繞

????正向?? ????0??0??0?????????????????

??????????????????????????????????????=??0?cos??+??0?sin

??????=

??0

? ?sin

?? +??0?cos

??????=

??00x0yxaay

ayy01.

繞Z軸z0(za

)

x0

xa

????????????0=????

???0??0??0=cos

???sin

??0sin

?? 0cos

?? 00 1???0??0??0將三維旋轉(zhuǎn)表示為二維旋轉(zhuǎn)更容易確定坐標(biāo)軸之間的方向余弦角3.

歐拉角??=????

?????????????=cos

?? 0 ?sin

??0 1 0sin

?? 0 cos

???????????????2.

繞Y軸za

bz

ax????xb

???????????? =?????cos????????sin

?????? =

???????? =?????cos??+?????sin

??3.

歐拉角??????????????=????

?????????????=cos

??sin

??0?sin

??cos

??0001?????????????xbbyrx3.

繞Z軸yr

???? =?????cos??+?????sin

??????=????

??sin

??+?????cos

??????=

??03.

歐拉角????????????=

???? ??????????

??? ?? 0??0??0??00=????

???0??0??0綜合三次旋轉(zhuǎn)：???? =

???? ??????

????0 ?? ?? 0cos??cos??cos???

sin??sin??cos??cos??sin??+

sin??cos???cos??sin??=?sin??cos??cos???

cos??sin??sin???????????sin??cos??sin??+

cos??cos??sin??sin??sin??sin??cos??3.

歐拉角歐拉角與姿態(tài)載體坐標(biāo)系oxbybzb與導(dǎo)航坐標(biāo)系oxnynzn之間的關(guān)系，可以用三個轉(zhuǎn)動歐拉角來表示，對于船舶，定義如下：oxnyn

zn

oxbyb

zbox1

y1z1繞ox1

繞oy2

ox2y2z2繞

ozn航向角縱搖角橫搖角3.

歐拉角04慣性器件標(biāo)定4.

慣性器件標(biāo)定安裝誤差示意圖陀螺儀、加速度計(jì)的輸出是什么？以陀螺儀為例：1、單位是什么？標(biāo)度因數(shù)2、是否表征載體系？安裝誤差3、測量是否準(zhǔn)確？零偏、標(biāo)度因數(shù)誤差

Gx

zx

Gz

g