2018全國(guó)卷Ⅱ高考理科數(shù)學(xué)真題(含答案)

2018全國(guó)卷II高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

,l+2i

-l—2i一

A.----iB.--+-iC,----iD.--+-i

55555555

2.已知集合人={(》，y)/+/W3,xeZ,yeZ},則A中元素的個(gè)數(shù)為

A.9B.8C.5D.4

3.函數(shù)/(x)=U二的圖像大致為

4.已知向量。，方滿足1。1=1,ab=-l,則a?(2a-》)=

A.4B.3C.2D.0

22

5.雙曲線斗-與=1(“>0,6>0)的離心率為百,則其漸近線方程為

A.y=土壺xB.y=+43x

6.在△ABC中，

A.4近B.730

7.為計(jì)算s=i—+][…+>擊，設(shè)計(jì)了右側(cè)的程序框圖，

N=N+

則在空白框中應(yīng)填入

A.i=i+1

B.z=/+2

C.Z=Z+3

D.i=i+4

8我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每

個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨

機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是

A.—B.—C.—D.—

12141518

9.在長(zhǎng)方體ABCD-AgCQi中,AB=BC=1,AA1,則異面直線與。片所成角

的余弦值為

A.-B.@C.好D.—

5652

10.若/0)=8$工-$也*在［-。,《)是減函數(shù)，貝！ja的最大值是

“兀C兀c3兀n

A.-B.-C.—D.兀

424

ii.已知〃無)是定義域?yàn)?-?，+8)的奇函數(shù)，滿足/a-x)=/(i+x).若/⑴=2,則

/(1)+/(2)+/(3)+-+/(50)=

A.-50B.0C.2D.50

22

12.已知瓦，尸2是橢圓c3+與=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)尸在

ab

過A且斜率為四的直線上，△尸和為等腰三角形，/單y=120。，則C的離心率為

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線>=21n（x+l）在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為.

x+2y-5>0,

14.若羽V滿足約束條件<%_2>+320,貝|2=%+'的最大值為.

x-5<0,

15.已知sina+cos4=1,cosa+sin4=0，貝[]sin（a+夕）=.

7

16.已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA,58所成角的余弦值為石，SA與圓錐底面所成角為45°,

O

若的面積為5岳,則該圓錐的側(cè)面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分。

17.（12分）

記S,為等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，已知4=-7,S3=-15.

（1）求｛。/的通項(xiàng)公式；

（2）求S”，并求S”的最小值.

18.（12分）

下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額丫（單位：億元）的折線圖.

為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了）'與時(shí)間變量，的兩個(gè)線性回

歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量/的值依次為1，2,…，17）建立模型

①：9=-30.4+13?。桓鶕?jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量f的值依次為1,2,…，7）

建立模型②：5=99+173.

（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；

（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由.

19.（12分）

設(shè)拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為F，過/且斜率為以左>0）的直線/與C交于A,3兩點(diǎn)，

|AB|=8.

(1)求/的方程

(2)求過點(diǎn)A,3且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

20.(12分)

如圖,在三棱錐P—ABC中，AB=BC=2也,PA^PB=PC^AC^4,。為AC的中

點(diǎn).

(1)證明：PO_L平面ABC;

(2)若點(diǎn)M在棱3c上,且二面角知-如-。為30°,求PC與平面所成角的正

弦值.

21.(12分)

已知函數(shù)/(無).

(1)若。=1,證明：當(dāng)X'。時(shí)，/(%)>1；

(2)若/(%)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)，求。.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分.

22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)

[x=2cos。，

在直角坐標(biāo)系xOv中，曲線C的參數(shù)方程為4?A(。為參數(shù))，直線/的參數(shù)

[y=4sm”

方程為

x=1+tcosa

(，為參數(shù)).

y=2+￡sina

(1)求C和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線C截直線/所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求/的斜率.

23.［選修4-5:不等式選講］(10分)

設(shè)函數(shù)/(尤)=5-1尤+a|Tx-2|.

(1)當(dāng)時(shí)，求不等式/(xRO的解集;

(2)若/⑺41,求。的取值范圍.

絕密★啟用前

2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)試題參考答案

一、選擇題

1.D2,A3.B4.B5.A6.A

7.B8.C9.C10.A11.C12.D

二、填空題

13.y^2x14.915,--16.40缶

2

三、解答題

17.解：

(1)設(shè)｛4｝的公差為d,由題意得3%+3d=-15.

由q=—7得流2.

所以｛4｝的通項(xiàng)公式為=2〃-9.

(2)由(1)得S”=“2-8”=(〃-4)--16.

所以當(dāng)77=4時(shí)，取得最小值，最小值為-16.

18.解：

(1)利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為

$=—30.4+13.5x19=226.1(億元).

利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為

3=99+17.5x9=256.5(億元).

(2)利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.

理由如下：

(i)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線

y=-30.4+135上下這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很

好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額

有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010

年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)

建立的線性模型$=99+17.5/可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的

變化趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.

(ii)從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到

的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理.說

明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.

以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.

19.解：

(1)由題意得尸(1,0),/的方程為y=k(x—1)(左>0).

設(shè)A&,%),BO2,必)，

由尸一"(X—1),得左—Q42+4)x+左2=0.

[y2=4x

2k2+4

A=16人之+16>0，故%1+%2---J--

k

4k2+4

所以|A5|=|A廠|+|3/|=(再+1)+(%+1)=[^.

k

+4

由題設(shè)知「^=8，解得左=—1(舍去)，k=l.

K

因此/的方程為y=x—1.

(2)由(1)得相的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),

即y=-尤+5.

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(%,%)，則

%=—Xo+5,ro11

X?！?,XQ—11,

(y-x+1)2解得°?；颉恪?/p>

9yp0

(.Y0+l)-=^—--+16.1%=2Vo=-6-

、乙

因此所求圓的方程為(x—3)2+(y-2)2=16或(x—11)2+(y+6)2=144.

20.解：

(1)因?yàn)锳P=CP=AC=4,。為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PLAC,且OP=2下.

連結(jié)08.因?yàn)锳B=3C=二一AC,所以△ABC為等腰直角三角形，

2

且OBLAC,OB=-AC=2.

2

由Op2+O§2=pg2知

由知POL平面ABC.

uim

(2)如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。8的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-孫z.

UL1U

由已知得取平面PAC的法向量OB=(2,0,0).

ULILI

設(shè)〃(。,2-。,0)(0<a?2)，則AM=(〃,4一〃,0).

設(shè)平面B4A/的法向量為〃=(x,y,z).

UUUUUL1：2V+2、C7=0r-r-

由AP.刁:打二0得177,可取〃=(6(。_4),石。,_0,

〃%+(4-〃)y=0

/黑\2瓜a-4)

所以cos(OB,n)=一［.

'/243(a-4)2+3/+a?

/uun、J3

由已知可得1。05(05,〃)|=2-

所以/2百|(zhì)"41=且解得a=T(舍去),4

a=-

243("4)2+3/+/23

所以〃=(一手，手,—g

UUUA/Umn=顯

又PC=。2,-26)，所以cos(PC,〃

~4

所以PC與平面由所成角的正弦值為多

21.解:

(1)當(dāng)0=1時(shí)，/(%)21等價(jià)于(％2+1)b-1(0.

設(shè)函數(shù)g(x)=(y+l)ef-1,則g，(x)=-(f-2》+1)b=-(x-1)2「.

當(dāng)x。1時(shí)，g'(%)<0,所以g(x)在(0,+co)單調(diào)遞減.

而g(0)=0,故當(dāng)*0時(shí)，g(x)<0,gp/(x)>l.

(2)設(shè)函數(shù)/i(x)=l—奴.

/(x)在(0,+co)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h{x}在(0,+co)只有一個(gè)零點(diǎn).

(i)當(dāng)a?0時(shí),h(x)>0,h(x)沒有零點(diǎn);

(五)當(dāng)。>0時(shí)，h\x)=ax(x-2)e~x.

當(dāng)xe(0,2)時(shí)，h'(x)<0;當(dāng)％^(2,+00)時(shí)，h\x)>Q.

所以丸(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+s)單調(diào)遞增.

故h(2)=1-丁是h(x)在［0,+co)的最小值.

e

2

①若〃(2)＞。，即。(土e，h(x)在(0,+◎沒有零點(diǎn);

4

2

②若力(2)=0,即。=上e,丸(%)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)；

4

2

③若丸(2)＜0，即4＞一e，由于/。)=1,所以入(x)在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn)，

4

由(1)知當(dāng)x>