專題5.8 簡單的軸對稱圖形-等邊三角形（專項(xiàng)練習(xí)）-2020-2021學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（湘教版）

專題5.8簡單的軸對稱圖形-等邊三角形（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．（2020·全國七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列推理中，錯(cuò)誤的是()A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形2．（）如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外等邊三角形，再把較小的兩張等邊三角形紙片按圖2的方式放置在最大等邊三角形內(nèi)，若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A．直角三角形的面積 B．最大等邊三角形與直角三角形的面積和C．最大等邊三角形的面積 D．較小兩個(gè)等邊三角形重疊部分的面積3．（初中數(shù)學(xué)707）下列推理錯(cuò)誤的是（）A．在中，∵，∴為等邊三角形B．在中，∵，且，∴為等邊三角形C．在中，∵，，∴為等邊三角形D．在中，∵，，∴為等邊三角形4．（2021·北京市十一學(xué)校龍樾實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接BE并延長交AC于點(diǎn)F．若∠AFB＝90°，EF＝2，則BF長為（）A．4 B．6 C．8 D．105．（2021·湖北八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，以為邊在右側(cè)作等邊三角形，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作等邊三角形，再過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作等邊三角形……按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得到等邊三角形，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A． B． C． D．二、填空題6．（2021·全國八年級(jí)期中）將一副三角尺按如圖所示的方式疊放在一起，若，則陰影部分的面積是________．7．（2019·江蘇蘇州市·八年級(jí)月考）如圖，在中，，是高，，若，則______．8．（2021·湖南八年級(jí)期末）如圖，∠MON=30°，點(diǎn)在射線ON上，點(diǎn)在射線OM上，△、△、△…均為等邊三角形，從左起第1個(gè)等邊三角形的邊長記為，第2個(gè)等邊三角形的邊長記為，以此類推．若，則=____．9．（2020·遼寧八年級(jí)期末）如圖，現(xiàn)有一個(gè)邊長為a的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形，取其各邊的中點(diǎn)，順次連接得到一個(gè)新的等邊三角形，記為第2個(gè)等邊三角形，取第2個(gè)等邊三角形各邊中點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)新的等邊三角形，記為第3個(gè)等邊三角形，…，按此方式依次操作，則第n個(gè)等邊三角形的邊長為_____．10．（2021·湖北武漢市·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C=90°，∠A=∠B=60°，若AD=a，BC=b，則AB的長為_____(用含a，b的式子表示)．11．（2020·浙江八年級(jí)期末）如圖，在等邊中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，與交于點(diǎn)，作，垂足為，下列結(jié)論正確的有________．①；②；③；④；⑤．12．（2019·山東八年級(jí)期中）如圖，為線段上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，在同側(cè)分別作等邊三角形和等邊三角形與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連結(jié)．以下結(jié)論：①；②；③；④是等邊三角形，恒成立的是______．三、解答題13．（2019·甘肅八年級(jí)期中）如圖，為等邊三角形，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過作，且，連接（1）求證：為等邊三角形；（2）若，求的周長．14．（2020·四川九年級(jí)）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)在的延長線上，以為邊在射線的右側(cè)作等邊三角形，連接，，求證：．15．（2020·天津南開中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，是等邊三角形，是高，并且恰好是的垂直平分線．求證：是等邊三角形．16．（2019·福建八年級(jí)期中）如圖是等邊三角形（1）如圖①，，分別交、于點(diǎn)、．求證：是等邊三角形；（2）如圖②，仍是等邊三角形，點(diǎn)在的延長線上，連接，判斷線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．17．（2020·全國八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，為等邊三角形，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：是等邊三角形．（2）求證：．18．（2019·遼寧八年級(jí)期中）如圖，是等邊三角形，，分別交于點(diǎn).求證：是等邊三角形.19．（2021·北京門頭溝區(qū)·九年級(jí)一模）已知，如圖，是等邊三角形，于D，E是BC延長線上的一點(diǎn)，．求的度數(shù)．

20．（2017·北京八年級(jí)期中）如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，連接CD、BE，作AF⊥CD于點(diǎn)F，AG⊥BE于點(diǎn)G，求證：△AFG為等邊三角形．21．（2018·全國八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（11分）已知△ABC，分別以AB、BC、CA為邊向形外作等邊三角形ABD、等邊三角形BCE、等邊三角形ACF．（1）如圖1，當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，請你寫出滿足圖中條件，四個(gè)成立的結(jié)論；（2）如圖2，當(dāng)△ABC中只有∠ACB＝60°時(shí)，請你證明S△ABC與S△ABD的和等于S△BCE與S△ACF的和．22．（2018·遼寧八年級(jí)期中）如圖，在等邊三角形ABC的三邊上，分別取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使得AD=BE=CF求證：△DEF為等邊三角形，．23．（2019·重慶八年級(jí)期中）如圖,△ABC是等邊三角形,CD⊥AB于點(diǎn)D,∠AEB=90°,CD=AE.求證:(1)△BCD≌△BAE;(2)△EBD是等邊三角形.24．（2017·北京九年級(jí)期中）如圖，等邊三角形的邊長為3，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，，以為邊作等邊三角形，連接，求的長.25．（2020·興仁市真武山街道辦事處黔龍學(xué)校八年級(jí)月考）如圖，△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，DE∥BC．（1）求證：△ADE是等邊三角形；（2）求證：AE=AB26．（2018年11月江西南昌心遠(yuǎn)加試初二第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷）如圖，，都是等邊三角形，AD，BE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是線段AD，BE的中點(diǎn).求證：是等邊三角形.27．（2017·福建七年級(jí)期末）已知，如圖，延長的各邊，使得，，順次連接，得到為等邊三角形．求證：（1）；（2）為等邊三角形．28．（2019·柘城中學(xué)八年級(jí)月考）已知，如圖，延長的各邊，使得，，順次連接，得到為等邊三角形．求證：（1）；（2）為等邊三角形．29．（2019·廣東八年級(jí)期中）如圖，等邊三角形中，點(diǎn)在的延長線上，平分，且.求證：是等邊三角形.30．（2019·呼和浩特市啟秀中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，、均是等邊三角形，、分別與、交于點(diǎn)、，求證：（1）；（2）；（3）為等邊三角形；（4）．31．（2020·湖南長郡中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求證：△DEF是等邊三角形．32．（2020·吉林九年級(jí)）（閱讀發(fā)現(xiàn)）如圖1，在正方形的外側(cè)，作等邊三角形和等邊三角形，連接，交于點(diǎn)，則圖中，可知，求得________．（拓展應(yīng)用）如圖2，在矩形的外側(cè)，作等邊三角形和等邊三角形，連接，，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的度教．33．（2018·甘肅八年級(jí)期中）如圖，為等邊三角形，，求證：是等邊三角形.34．（2017·揚(yáng)州市竹西中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足為E，CF⊥AB，垂足為F，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BE，CF交于點(diǎn)M．（1）如果AB=AC，求證：△DEF是等邊三角形；（2）如果AB≠AC，試猜想△DEF是不是等邊三角形？如果△DEF是等邊三角形，請加以證明；如果△DEF不是等邊三角形，請說明理由.35．（2021·湖北武漢市·八年級(jí)期末）如圖，已知CD是線段AB的垂直平分線，垂足為D，C在D點(diǎn)上方，∠BAC=30°，P是直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，E是射線AC上除A點(diǎn)外的一點(diǎn)，PB=PE，連BE．（1）如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖2，若P在C點(diǎn)上方，求證：PD+AC=CE；（3）若AC=6，CE=2，則PD的值為（直接寫出結(jié)果）．參考答案1．B【解析】A∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形，故正確；B條件重復(fù)且條件不足，故不正確；C∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等邊三角形60°，故正確；D根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可以得到，故正確.故選B.2．D【分析】設(shè)向外作的等邊三角形的面積分別為S1、S2、S3，根據(jù)勾股定理得S1+S2=S3，再利用三角形面積的和與差可得結(jié)論．解：如圖，設(shè)向外作的等邊三角形的面積分別為S1、S2、S3，則有：S1+S2=S3，∵S1+S2+S陰影=S3+S△EFG，∴S陰影=S△EFG，即可知若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出較小兩個(gè)等邊三角形重疊部分的面積，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的證明與三角形的面積，直觀識(shí)圖是解答的關(guān)鍵．3．B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)：三條邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都是60°，利用等邊三角形的性質(zhì)即可求解．解：，所以為等邊三角形，故A選項(xiàng)正確；且，不一定是等邊三角形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，三個(gè)內(nèi)角都是60°，所以為等邊三角形，故C選項(xiàng)正確；，，三個(gè)內(nèi)角都是60°，所以為等邊三角形，故D選項(xiàng)正確．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是等邊三角形的性質(zhì)，三邊相等，三個(gè)內(nèi)角相等，正確掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DAC＝30°和∠EBD＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AE＝2EF，BE＝2DE，代入求出即可．∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC邊上的高，∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE＋EF＝8＋2＝10，故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、含30?角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)是，以為邊在右側(cè)作等邊三角形，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是；根據(jù)以為邊在右側(cè)作等邊三角形，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是；以此類推，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，從而得到答案．∵點(diǎn)的坐標(biāo)是，以為邊在右側(cè)作等邊三角形，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，∴，∴，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)是∵以為邊在右側(cè)作等邊三角形，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，∴，∴，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，即∵以為邊在右側(cè)作等邊三角形同理，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)是按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得：點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，即故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了圖形和數(shù)字規(guī)律的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角坐標(biāo)系、等邊三角形、垂線、圖形和數(shù)字規(guī)律、含角的直角三角形的性質(zhì)，從而完成求解．6．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出CF，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB=5，∵∠D=45°，由題意可知BC∥ED，∴∠AFC=∠D=45°，∴CF=AC=5，∴陰影部分的面積=×5×5=（cm2）故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了含30°角的直角三角形及等腰直角三角形的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)△ACF是等腰直角三角形，并能根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出直角邊AC的長，是解答此題的關(guān)鍵．7．8【分析】先求出∠DCB＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AB＝2BC，BC＝2BD＝4，求出AB即可．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，AB＝2BC，∵CD是高，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝90°?∠B＝30°，∵BD＝2，∴BC＝2BD＝4，∴AB＝8．故答案是：8．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，能根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AB＝2BC和BC＝2BD是解此題的關(guān)鍵．8．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2，即：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，，進(jìn)而得出答案．∵△A1B1A2是等邊三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2=2，A3B3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，即：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，，以此類推：an=2n-1．∴=，故答案是：．．【點(diǎn)撥】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，根據(jù)已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．9．【分析】已知第1個(gè)等邊三角形的邊長是a，根據(jù)中位線定理依次可得：第二個(gè)等邊三角形的邊長是，第三個(gè)等邊三角形的邊長是，第四個(gè)等邊三角形的邊長是，…，從而得結(jié)論．解：如圖，∵D，E分別是AB和AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC＝a，即第1個(gè)等邊三角形的邊長是a，第二個(gè)等邊三角形的邊長是，同理得第三個(gè)等邊三角形的邊長是，第四個(gè)等邊三角形的邊長是，…∴第n個(gè)等邊三角形的邊長是；故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是關(guān)鍵，能總結(jié)出規(guī)律是解此題的難點(diǎn)．10．2b-a【分析】延長AD交BC的延長線于E，證明△DEC是等邊三角形，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求得AB的長．解：延長AD交BC的延長線于E，∵∠A=∠B=60°，∴△DEC是等邊三角形．設(shè)AB=AE=BE=x，則DE=x-a，EC=x-b，∵∠E=60°，∠DCE=90°，∴∠EDC=30°，∴DE=2EC，∴x-a=2(x-b)，∴x=2b-a，∴AB=2b-a．故答案為：2b-a．【點(diǎn)撥】本題考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造等邊三角形．11．①②③④【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和已知條件證出△AEC≌△BDA，可判斷①；由等邊三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可判斷②；根據(jù)∠AFE=60°可判斷③；由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAD=∠ACE，求出∠CFM=∠AFE=60°，得出∠FCM=30°，可判斷④；根據(jù)∠DAC的度數(shù)的范圍可得∠DAC≠45°，可判斷⑤．解：①∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC，又∵AE=BD，在△AEC與△BDA中，，∴△AEC≌△BDA（SAS），∴AD=CE，故正確；②∵∠BEC=∠BAD+∠AFE，△AEC≌△BDA，∠AFE=∴∠BEC=∠BAD+∠AFE=∠BAD+60°，∵∠CDA=∠BAD+∠CBA=∠BAD+60°，∴∠BEC=∠CDA，故正確；③∵∠AFE=60°，∴∠AFC=120°，故正確；④∵∠AFE=60°，∴∠CFM=∠AFE=60°，∵CM⊥AD，∴在Rt△CFM中，∠FCM=30°，∴MF=CF，故正確；⑤要使AM=CM，則必須使∠DAC=45°，由已知條件知∠DAC的度數(shù)為大于0°小于60°均可，∴AM=CM不成立，故錯(cuò)誤；故答案為：①②③④．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．12．①②③④【分析】①由△ABC和△CDE都是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，所以∠ACD=∠BCE=120°，所以△ACD≌△BCE（SAS），從而AD=BE，故①正確；②④由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之AC=BC，易得∠ACB=∠BCQ=60°，可證△CQB≌△CPA（ASA），從而CP=CQ，再加之∠PCQ=60°，可推出△PCQ為等邊三角形，易得∠PQC=60°=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可知②④正確；③結(jié)合△ACD≌△BCE和三角形的外角的性質(zhì)，可得∠AOB=60°，故③正確．解：①∵等邊△ABC和等邊△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∵在△ACD與△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，故①正確；④②∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠DAC，∵由∠ACB=∠DCE=60°得∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°∴△PCQ為等邊三角形，∴∠PQC=60°，∴∠PQC=60°=∠DCE∴PQ∥AE故②④正確；③∵△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，又∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=∠ACB=60°，故③正確.故答案為：①②③④.【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，熟練應(yīng)用三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．13．（1）見解析；（2）6.【分析】（1）求出∠EDC＝60°，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形進(jìn)行判定即可；（2）由等邊三角形的性質(zhì)求出CD＝2，即可得出答案．（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠ACB＝60°，又∵DE＝DC，∴△CDE為等邊三角形；（2）解：∵△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，∴AC＝AB＝4，AD＝CD＝AC＝AB＝2，又∵△CDE為等邊三角形，∴DE＝CE＝CD＝2，∴△CDE的周長＝2＋2＋2＝6．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．見解析【分析】根據(jù)△PAD和△ABC是等邊三角形得到∠PAC=∠DAB，進(jìn)而得到△PAC≌△DAB（SAS），即可求得結(jié)果．證明：∵△PAD和△ABC是等邊三角形，∴AP=AD，AC=AB，∠PAD=∠BAC=60°．∴∠PAD+∠CAD=∠BAC+∠CAD，即∠PAC=∠DAB．∴△PAC≌△DAB（SAS）．∴CP=BD．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定，準(zhǔn)確利用等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．見解析【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明即可；∵點(diǎn)在的垂直平分線上，∴，∴是等腰三角形．∵，∴．∵，∴，∴．∵是等邊三角形，∴，∴，∴是等邊三角形．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．16．（1）見詳解；（2），理由見詳解．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)很容易得出的三個(gè)內(nèi)角都是60°，則可證明是等邊三角形；（2）先由等邊三角形的性質(zhì)得出，然后證明，得出，然后通過等量代換即可得到．（1）∵是等邊三角形，．∵，，∴是等邊三角形．（2），理由如下：∵，是等邊三角形，，，即．在和中，，．又，．【點(diǎn)撥】本題主要考查等邊三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握等邊三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（1）見解析；（2）見解析【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明即可．

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．(1)∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC=60°，∠ADE=∠C=60°．∴△ADE是等邊三角形(2)∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC．∵BD平分∠ABC，∴AD=AC∵△ADE是等邊三角形，∴AE=AD．∴AE=AB．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答．18．見解析.【解析】【分析】根據(jù)△ADE為等邊三角形，則=60°，由DE∥BC得到∠B=∠ADE,∠C=∠AED，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法得到△ABC是等邊三角形；∵是等邊三角形，.∵，.∴是等邊三角形.【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．本題也考查了平行線的性質(zhì).19．．【分析】首先證明，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．解：是等邊三角形，，，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．20．見解析【解析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AD=AE，AC=AB，∠DAE=∠CAB=60°，求出∠DAC=∠EAB，證△DAC≌△EAB，推出∠1=∠2，證△AFD≌△AGE，推出AF=AG，∠DAF=∠EAG，求出∠FAG=∠DAE=60°，根據(jù)等邊三角形的判定推出即可．試題解析：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴AD=AE，AC=AB，∠DAE=∠CAB60°，∴∠DAE+∠3=∠CAB+∠3，即∠DAC=∠EAB，在△DAC和△EAB中，∴△DAC≌EAB(SAS)，∴∠1=∠2，∵AF⊥CD，AG⊥BE，∴∠AFD=∠EGA=90°，在△ADF和△AEG中，∴△AFD≌△AGE(AAS)，∴AF=AG，∠DAF=∠EAG，∴∠DAF=∠FAE=∠EAG+∠FAE，即∠FAG=△DAE=60°，∴△AFG為等邊三角形.21．（1）答案不唯一，如：DE＝EF，DF＝EF，∠D＝∠E＝∠F，A、B、C分別為DF、DE、EF的中點(diǎn)；（2）見解析【解析】試題分析：（1）由等邊三角形的性質(zhì)可寫出結(jié)論．（2）要證明以上結(jié)論，需創(chuàng)造一些條件，首先可從△ABC中分出一部分使得與△ACF的面積相等，則過A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，就可創(chuàng)造出這樣的條件，然后再證其它的面積也相等即可．試題解析：(1)DE=EF，DF=EF，∠D=∠E=∠F，A、B、C分別為DF、DE、EF的中點(diǎn)；(2)過A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，∵∠ACB=60°,∠CAF=60°，∴∠ACB=∠CAF，∴AF∥MC，∴四邊形AMCF是平行四邊形，又∵FA=FC，∴四邊形AMCF是菱形，∴AC=CM=AM,且∠MAC=60°，∵在△BAC與△EMC中，CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，∴△BAC≌△EMC，∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM，∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM，∴∠BAC=∠DAM在△ABC和△ADM中AB=AD，∠BAC=∠DAM，AC=AM，∴△ABC≌△ADM(SAS)故△ABC≌△MEC≌△ADM，在CB上截取CM，使CM=CA，再連接AM、DM、EM易證△AMC為等邊三角形，在△ABC與△MEC中，CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，∴△ABC≌△MEC(SAS)，∴AB=ME，∠ABC=∠MEC，又∵DB=AB，∴DB=ME，∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC，∠BME=∠BCE+∠MEC=60°+∠MEC，∴∠DBC=∠BME，∴DB∥ME，即DB與ME平行且相等，故四邊形DBEM是平行四邊形，∴四邊形DBEM是平行四邊形，∴S△BDM+S△DAM+S△MAC=S△BEM+S△EMC+S△ACF，即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF.點(diǎn)撥：本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及平行四邊形的判定和全等三角形的判定，難度很大，有利于培養(yǎng)學(xué)生鉆研和探索問題的精神.22．見解析【分析】由△ABC是等邊三角形，AD=BE=CF，易證得△ADF≌△BED，即可得DF=DE，同理可得DF=EF，即可證得：△DEF是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∵AD=BE=CF，∴AF=BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF=DE，同理DE=EF，∴DE=DF=EF．∴△DEF是等邊三角形．【點(diǎn)撥】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．23．(1)見解析;(2)見解析.【分析】（1）根據(jù)HL即可證明△BCD≌△BAE；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到D為AB中點(diǎn)，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DE=BD，再根據(jù)等邊三角形的判定定理即可求解.證明：（1）∵△ABC是等邊三角形∴AB=BC∵CD⊥AB,∠AEB=90°∴∠CDB=∠AEB=90°在Rt△BCD和Rt△BAE中，∴△BCD≌△BAE（2）∵△ABC是等邊三角形,CD⊥AB∴D為AB中點(diǎn)∴ED=AB=DB∵△BCD≌△BAE∴∠EBD=∠DBC=60°∴△EBD是等邊三角形【點(diǎn)撥】此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及判定，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì).24．1.【解析】根據(jù)△ADE與△ABC都是等邊三角形，得到AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°，從而得到∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，即∠CAE=∠BAD，利用SAS證得△CAE≌△BAD，由全等三角形的對應(yīng)邊相等，得到，即可求得CE.試題解析：∵是等邊三角形，∴°.∴°.∵是等邊三角形，∴°∴°.∴在與中，∴≌∴.∵，∴∴CE=1.25．見解析【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的判定證明即可；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)解答即可.證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABD＝60°，∴∠ADE=∠ACB＝60°，∴∠A=∠AED＝∠ADE∴△ADE是等邊三角形；（2）∵△ADE是等邊三角形∴AD=AE∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC∵BD平分∠ABC，∴D是AC的中點(diǎn)（三線合一）AD=AC＝AB，∴AE=AB．26．見解析【分析】由等邊三角形的性質(zhì)易得∠ACD=∠BCE，然后利用SAS判定△ACD≌△BCE，得到對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，再次利用SAS判定△ACM≌△BCN，得到CM=CN，∠ACM=∠BCN，推出∠MCN=60°，即可得證.證明∵△ABC、△CDE都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC又∵點(diǎn)M、N分別是線段AD、BE的中點(diǎn)，∴AM=AD，BN=BE，∴AM=BN，在△ACM和△BCN中，∴△ACM≌△BCN（SAS），∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°，又∵CM=CN∴△MNC是等邊三角形.【點(diǎn)撥】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，屬于全等三角形中的“手拉手”模型，由等邊三角形的性質(zhì)得到全等條件是關(guān)鍵.27．（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）關(guān)鍵是證出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，兩兩相加可得．再結(jié)合已知條件可證出△AEF≌△CDE．（2）有（1）中的全等關(guān)系，可得出∠AFE=∠CED，再結(jié)合△DEF是等邊三角形，可知∠DEF=60°，從而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等邊三角形．證明：(1)∵BF=AC,AB=AE(已知)∴FA=EC(等量加等量和相等).∵△DEF是等邊三角形(已知)，∴EF=DE(等邊三角形的性質(zhì)).又∵AE=CD(已知)，∴△AEF≌△CDE(SSS).(2)由△AEF≌△CDE,得∠FEA=∠EDC(對應(yīng)角相等)，∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF(等量代換)△DEF是等邊三角形(已知)，∴∠DEF=60°(等邊三角形的性質(zhì))，∴∠BCA=60°(等量代換)，由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，∴△ABC中,AB=BC(等角對等邊).∴△ABC是等邊三角形(等邊三角形的判定).28．（１）見解析；（２）見解析．【分析】（1）關(guān)鍵是證出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，兩兩相加可得．再結(jié)合已知條件可證出△AEF≌△CDE．（2）有（1）中的全等關(guān)系，可得出∠AFE=∠CED，再結(jié)合△DEF是等邊三角形，可知∠DEF=60°，從而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等邊三角形．證明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）

∴FA=EC（等量加等量和相等）．

∵△DEF是等邊三角形（已知），

∴EF=DE（等邊三角形的性質(zhì)）．

又∵AE=CD（已知），

∴△AEF≌△CDE（SSS）．

（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（對應(yīng)角相等），

∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代換），

△DEF是等邊三角形（已知），

∴∠DEF=60°（等邊三角形的性質(zhì)），

∴∠BCA=60°（等量代換），

由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，

∵∠DEC+∠FEC=60°，

∴∠EFA+∠FEC=60°，

又∠BAC是△AEF的外角，

∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，

∴△ABC中，AB=BC（等角對等邊）．

∴△ABC是等邊三角形（等邊三角形的判定）．29．詳見解析【分析】利用等邊三角形性質(zhì)和角平分線的定義得到AB=AC,,進(jìn)而證明，再利等式的性質(zhì)求證.證明：∵為等邊三角形，∴°，∴°，∵平分，∴°.在和中，∴，∴，∵°，∴°，∴為等邊三角形.【點(diǎn)撥】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和角平分線的定義確定三角形全等是此題的解題關(guān)鍵.30．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；（4）見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，求出∠ACE=∠DCB，根據(jù)SAS推出△ACE≌△DCB即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠CAE=∠CDB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°，求出∠DCE=60°，推出∠ACM=∠DCN，根據(jù)ASA推出△ACM≌△DCN即可；

（3）根據(jù)有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形推出△CMN為等邊三角形，推出∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°，求出∠CMN=∠ACM=60°，即可得出答案；

（4）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠CMN=∠ACM=60°，根據(jù)平行線的判定得出即可．解：證明：（1）∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，

∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

即∠ACE=∠DCB，

在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE=BD；（2）∵由（1）可知：△ACE≌△DCB，

∴∠CAE=∠CDB，

即∠CAM=∠CDN，

∵△DAC、△EBC均是等邊三角形，

∴AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°，

又點(diǎn)A、C、B在同一條直線上，

∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，

即∠DCN=60°，

∴∠ACM=∠DCN，

在△ACM和△DCN中，，∴△ACM≌△DCN（ASA），

∴CM=CN；（3）∵由（2）可知CM=CN，∠MCN=60°，

∴△CMN為等邊三角形（有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）；（4）∵△CMN為等邊三角形

∴∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°，

∴∠CMN=∠ACM=60°，

∴MN∥BC．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．31．詳見解析.【分析】根據(jù)已知條件利用角與角之間的關(guān)系來求得△DEF的各角分別為60度，從而得出其是一個(gè)等邊三角形.∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB=∠ACF=∠CBE=90°，∴∠FAC=∠BCE=∠DBA=30°，∴∠D=∠E=∠F=90°﹣30°=60°，∴DF=DE=EF，∴△DEF是等邊三角形.【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形兩銳角互余等，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.32．【閱讀發(fā)現(xiàn)】90°；【拓展應(yīng)用】（1）見解析；（2）100°.【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及可得DF=CD=AE=AD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求出∠FDC=150°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°，即可求出∠CDM=75°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DMC的度數(shù)即可；【拓展應(yīng)用】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得=150°，，，利用SAS可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得ED=FC；（2）根據(jù)可得∠ADE=∠DFC=20°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求出∠DMC的度數(shù).∵四邊形是正方形，∴，．∵，∴．∵，∴，∴∠CDM=90°-15°=75°，∴∠DMC=180°-75°-15°=90°，故答案為：90°【拓展應(yīng)用】（1）∵為等邊三角形，∴，．∵為等邊三角形，∴，．∵四邊形為矩形，∴，，∴．∵，，∴．在和中，∴，∴．（2）∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵.33．見解析.【分析】證明△ABD≌△CAF≌△BEC，推導(dǎo)出∠FDE=∠DEF=∠EFD即可說明△DEF是等邊三角形．證明：∵是等邊三角形，∴.∵，∴，即.在和中，，∴，∴.∴.同理可得.∴，∴是等邊三角形.【點(diǎn)撥】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于解決線段間的等量關(guān)系一般利用全等三角形的判定和性質(zhì)．34．（1）證明見解析（2）