大題07新定義綜合（數列新定義、函數新定義、集合新定義）（30題）（學生版）

黃金沖刺大題07新定義綜合（數列新定義、函數新定義、集合新定義）（精選30題）1．（2024·遼寧·二模）已知數列的各項是奇數，且是正整數的最大奇因數，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求數列的通項公式.2．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知數列的各項均為正整數，設集合，，記的元素個數為.(1)若數列A:1，3，5，7，求集合，并寫出的值;(2)若是遞減數列，求證:“”的充要條件是“為等差數列”;(3)已知數列，求證:.3．（2024·廣西·二模）已知函數，若存在恒成立，則稱是的一個“下界函數”．(1)如果函數為的一個“下界函數”，求實數的取值范圍；(2)設函數，試問函數是否存在零點？若存在，求出零點個數；若不存在，請說明理由．4．（2024·湖南長沙·模擬預測）設n次多項式，若其滿足，則稱這些多項式為切比雪夫多項式.例如：由可得切比雪夫多項式，由可得切比雪夫多項式.(1)若切比雪夫多項式，求實數a，b，c，d的值；(2)對于正整數時，是否有成立？(3)已知函數在區(qū)間上有3個不同的零點，分別記為，證明：.5．（2024·浙江·模擬預測）已知實數，定義數列如下：如果，，則．(1)求和（用表示）；(2)令，證明：；(3)若，證明：對于任意正整數，存在正整數，使得．6．（2024·遼寧·三模）若實數列滿足，有，稱數列為“數列”.(1)判斷是否為“數列”，并說明理由；(2)若數列為“數列”，證明：對于任意正整數，且，都有(3)已知數列為“數列”，且.令，其中表示中的較大者.證明：，都有.7．（2024·廣東梅州·二模）已知是由正整數組成的無窮數列，該數列前項的最大值記為，即；前項的最小值記為，即，令（），并將數列稱為的“生成數列”．(1)若，求其生成數列的前項和；(2)設數列的“生成數列”為，求證：；(3)若是等差數列，證明：存在正整數，當時，，，，是等差數列．8．（2024·浙江紹興·二模）已知，集合其中.(1)求中最小的元素；(2)設，，且，求的值；(3)記，，若集合中的元素個數為，求.9．（2024·山東濰坊·二模）數列中，從第二項起，每一項與其前一項的差組成的數列稱為的一階差數列，記為，依此類推，的一階差數列稱為的二階差數列，記為，…．如果一個數列的p階差數列是等比數列，則稱數列為p階等比數列．(1)已知數列滿足，．（?。┣?，，；（ⅱ）證明：是一階等比數列；(2)已知數列為二階等比數列，其前5項分別為，求及滿足為整數的所有n值．10．（2024·貴州黔西·一模）布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可運用到有限維空間并構成了一般不動點定理的基石，得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer).簡單地講就是:對于滿足一定條件的連續(xù)函數，存在實數，使得，我們就稱該函數為“不動點”函數，實數為該函數的不動點.(1)求函數的不動點;(2)若函數有兩個不動點，且，若，求實數的取值范圍.11．（2024·河北滄州·一模）對于函數，，若存在，使得，則稱為函數的一階不動點；若存在，使得，則稱為函數的二階不動點；依此類推，可以定義函數的階不動點．其中一階不動點簡稱為“不動點”，二階不動點簡稱為“穩(wěn)定點”，函數的“不動點”和“穩(wěn)定點”構成的集合分別記為和，即，．(1)若，證明：集合中有且僅有一個元素；(2)若，討論集合的子集的個數．12．（2024·山東聊城·二模）對于函數，若存在實數，使，其中，則稱為“可移倒數函數”，為“的可移倒數點”．已知．(1)設，若為“的可移倒數點”，求函數的單調區(qū)間；(2)設，若函數恰有3個“可移1倒數點”，求的取值范圍．13．（2024·湖南·二模）羅爾定理是高等代數中微積分的三大定理之一，它與導數和函數的零點有關，是由法國數學家米歇爾·羅爾于1691年提出的．它的表達如下：如果函數滿足在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間內可導，且，那么在區(qū)間內至少存在一點，使得．(1)運用羅爾定理證明：若函數在區(qū)間連續(xù)，在區(qū)間上可導，則存在，使得．(2)已知函數，若對于區(qū)間內任意兩個不相等的實數，都有成立，求實數的取值范圍．(3)證明：當時，有．14．（2024·安徽合肥·二模）在數學中，廣義距離是泛函分析中最基本的概念之一．對平面直角坐標系中兩個點和，記，稱為點與點之間的“距離”，其中表示中較大者．(1)計算點和點之間的“距離”；(2)設是平面中一定點，．我們把平面上到點的“距離”為的所有點構成的集合叫做以點為圓心，以為半徑的“圓”．求以原點為圓心，以為半徑的“圓”的面積；(3)證明：對任意點．15．（2024·廣東深圳·二模）無窮數列，，…，，…的定義如下：如果n是偶數，就對n盡可能多次地除以2，直到得出一個奇數，這個奇數就是﹔如果n是奇數，就對盡可能多次地除以2，直到得出一個奇數，這個奇數就是．(1)寫出這個數列的前7項；(2)如果且，求m，n的值；(3)記，，求一個正整數n，滿足．16．（2024·湖南邵陽·模擬預測）對于定義在上的函數，若存在距離為的兩條平行直線和，使得對任意的都有，則稱函數有一個寬度為的通道，與分別叫做函數的通道下界與通道上界．(1)若，請寫出滿足題意的一組通道寬度不超過3的通道下界與通道上界的直線方程；(2)若，證明：存在寬度為2的通道；(3)探究是否存在寬度為的通道？并說明理由．17．（2024·福建福州·模擬預測）記集合，集合，若，則稱直線為函數在上的“最佳上界線”；若，則稱直線為函數在上的“最佳下界線”．(1)已知函數，．若，求的值；(2)已知．（?。┳C明：直線是曲線的一條切線的充要條件是直線是函數在上的“最佳下界線”；（ⅱ）若，直接寫出集合中元素的個數（無需證明）．18．（2024·遼寧·二模）如果數列，其中，對任意正整數都有，則稱數列為數列的“接近數列”．已知數列為數列的“接近數列”．(1)若，求的值；(2)若數列是等差數列，且公差為，求證：數列是等差數列；(3)若數列滿足，且，記數列的前項和分別為，試判斷是否存在正整數，使得？若存在，請求出正整數的最小值；若不存在，請說明理由．（參考數據：）19．（2024·遼寧大連·一模）對于數列，定義“T變換”：T將數列A變換成數列，其中，且．這種“T變換”記作，繼續(xù)對數列B進行“T變換”，得到數列，依此類推，當得到的數列各項均為0時變換結束．(1)寫出數列A：3，6，5經過5次“T變換”后得到的數列：(2)若不全相等，判斷數列不斷的“T變換”是否會結束，并說明理由；(3)設數列A：2020，2，2024經過k次“T變換”得到的數列各項之和最小，求k的最小值．20．（2024·湖南·一模）已知為非零常數，，若對，則稱數列為數列．(1)證明：數列是遞增數列，但不是等比數列；(2)設，若為數列，證明：；(3)若為數列，證明：，使得．21．（2023·山西·模擬預測）對于數列，若存在，使得對任意，總有，則稱為“有界變差數列”．(1)若各項均為正數的等比數列為有界變差數列，求其公比q的取值范圍；(2)若數列滿足，且，證明：是有界變差數列；(3)若，均為有界變差數列，且，證明：是有界變差數列．22．（2024·江西九江·二模）定義兩個維向量，的數量積，，記為的第k個分量（且）.如三維向量，其中的第2分量.若由維向量組成的集合A滿足以下三個條件：①集合中含有n個n維向量作為元素；②集合中每個元素的所有分量取0或1；③集合中任意兩個元素，，滿足（T為常數）且.則稱A為T的完美n維向量集.(1)求2的完美3維向量集；(2)判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；(3)若存在A為T的完美n維向量集，求證：A的所有元素的第k分量和.23．（2024·浙江臺州·二模）設A，B是兩個非空集合，如果對于集合A中的任意一個元素x，按照某種確定的對應關系，在集合B中都有唯一確定的元素y和它對應，并且不同的x對應不同的y；同時B中的每一個元素y，都有一個A中的元素x與它對應，則稱：為從集合A到集合B的一一對應，并稱集合A與B等勢，記作.若集合A與B之間不存在一一對應關系，則稱A與B不等勢，記作.例如：對于集合，，存在一一對應關系，因此.(1)已知集合，，試判斷是否成立?請說明理由；(2)證明：①；②.24．（2024·浙江嘉興·二模）已知集合，定義：當時，把集合中所有的數從小到大排列成數列，數列的前項和為.例如：時，，.(1)寫出，并求；(2)判斷88是否為數列中的項.若是，求出是第幾項；若不是，請說明理由；(3)若2024是數列中的某一項，求及的值.25．（2024·廣西·二模）設，用表示不超過x的最大整數，則稱為取整函數，取整函數是德國數學家高斯最先使用，也稱高斯函數．該函數具有以下性質：①的定義域為R，值域為Z；②任意實數都能表示成整數部分和純小數部分之和，即，其中為x的整數部分，為x的小數部分；③；④若整數a，b滿足，則.(1)解方程；(2)已知實數r滿足，求的值；(3)證明：對于任意的大于等于3的正整數n，均有．26．（2024·河北石家莊·二模）設集合是一個非空數集，對任意，定義，稱為集合的一個度量，稱集合為一個對于度量而言的度量空間，該度量空間記為.定義1：若是度量空間上的一個函數，且存在，使得對任意，均有：，則稱是度量空間上的一個“壓縮函數”.定義2：記無窮數列為，若是度量空間上的數列，且對任意正實數，都存在一個正整數，使得對任意正整數，均有，則稱是度量空間上的一個“基本數列”.(1)設，證明：是度量空間上的一個“壓縮函數”；(2)已知是度量空間上的一個壓縮函數，且，定義，，證明：為度量空間上的一個“基本數列”.27．（2024·湖北·模擬預測）歐拉函數在密碼學中有重要的應用．設n為正整數，集合，歐拉函數的值等于集合中與n互質的正整數的個數；記表示x除以y的余數（x和y均為正整數），(1)求和；(2)現有三個素數p，q，，，存在正整數d滿足；已知對素數a和，均有，證明：若，則；(3)設n為兩個未知素數的乘積，，為另兩個更大的已知素數，且；又，，，試用，和n求出x的值．28．（2024·江西宜春·模擬預測）定義：設和均為定義在上的函數，其導函數分別為，，若不等式對任意恒成立，則稱和為區(qū)間上的“友好函數”．(1)若和是“友好函數”，求的取值范圍；(2)給出兩組函數：①，；②，，分別判斷這兩組函數是否為上的“友好函數”．29．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）若有窮數列（是正整數），滿足（，且，就稱該數列為“數列”.(1)已知數列是項數為7的數列，且成等比數列，，試寫出的每一項；(2)已知是項數為的數列，且構成首項為100，公差為的等差數列，數列的前項和為，則當為何值時，取到最大值