重難點專題07 巧妙借助復數(shù)的幾何意義求與模有關(guān)的范圍與最值問題（三大題型）-2024學年高一數(shù)學同步學與練（蘇教版）（解析版）

第第頁重難點專題07巧妙借助復數(shù)的幾何意義求與模有關(guān)的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：單模長最值問題題型二：多模長之和差最值問題題型三：模長的范圍問題【方法技巧與總結(jié)】求復數(shù)模的范圍與最值問題是熱點問題，其解題策略是：（1）把復數(shù)問題實數(shù)化、直觀化、熟悉化，即將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來處理，轉(zhuǎn)化為實數(shù)范圍內(nèi)，求模的范圍與最值問題來解決；（2）發(fā)掘問題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來解答，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解答；（3）利用三角函數(shù)解決.【典型例題】題型一：單模長最值問題【典例1-1】（2024·上海閔行·高一海市七寶中學?？计谀┰谥校?，為的中點，過點的直線分別交直線、于不同的兩點、．設(shè)，，復數(shù)，則取到的最小值為__．【答案】【解析】在中，因為，所以.又，，所以.因為E為的中點，所以.因為M、E、N三點共線，所以，即，復數(shù)，所以，令，故當，取最小值.故答案為：【典例1-2】（2024·高一課時練習）已知復數(shù)和，i為虛數(shù)單位，求的最大值和最小值．【解析】復數(shù)和，則由，可得則的最大值，最小值【變式1-1】（2024·高一課時練習）設(shè)復數(shù)：滿足，求的最大值和最小值．【解析】因為，所以；因為所以，解得；所以的最大值為7，最小值為3.【變式1-2】（2024·高一單元測試）已知復數(shù)滿足，且復數(shù)在復平面內(nèi)的對應(yīng)點為．(1)確定點的集合構(gòu)成圖形的形狀；(2)求的最大值和最小值．【解析】（1）設(shè)復數(shù)在復平面內(nèi)的對應(yīng)點為，則，故點的集合是以點為圓心，2為半徑的圓，如下圖所示．（2）設(shè)復數(shù)在復平面內(nèi)的對應(yīng)點為，則,如下圖所示，，則的最大值即的最大值是；的最小值即的最小值是．【變式1-3】（2024·高二·上海松江·期末）若復數(shù)z滿足，則的最小值是.【答案】1【解析】設(shè)，，，，則，，當時，.故答案為：1.題型二：多模長之和差最值問題【典例2-1】（2024·浙江·高一嘉興一中校聯(lián)考）已知復數(shù)滿足，求的最小值______．【答案】13【解析】因為復數(shù)滿足，所以，所以，所以，解得，所以，所以，則上式表示復平面上的點到點的距離和，因為關(guān)于實軸的對稱點為，所以因為，當三點共線時取等號，所以的最小值為13，即的最小值為13，故答案為：13【典例2-2】（2024·全國·高三專題練習）已知復數(shù)滿足，則的最小值為_________.【答案】【解析】設(shè)，因為，所以，所以或，因為，所以的軌跡為，根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知表示復平面內(nèi)點到與的距離和；顯然當，即時，故答案為：【變式2-1】（2024·全國·高三專題練習）已知虛數(shù)，，其中i為虛數(shù)單位，，、是實系數(shù)一元二次方程的兩根．(1)求實數(shù)m、n的值；(2)若，求的取值范圍．【解析】（1）由題意，，即，故，根據(jù)韋達定理有，，即，（2）由（1），故不妨設(shè)，設(shè)，則的幾何意義即為復平面內(nèi)到的距離之和為.因為到的距離為，故在線段上.故當時取得最小值2，當在或時，取得最大值，故的取值范圍為題型三：模長的范圍問題【典例3-1】（2024·全國·高一專題練習）若，則取值范圍是___．【答案】【解析】由題意設(shè)(),則其幾何意義為平面內(nèi)一動點到兩定點，距離之差，由圖可知，當，，三點共線時，距離之差最大，當時，最小，則．的取值范圍是．故答案為：．【典例3-2】（2024·山西晉中·高二榆次一中?？奸_學考試）已知z為復數(shù)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡是以原點O為圓心，以1為半徑的圓，表示復平面內(nèi)的點與點之間的距離.因為點與原點O的距離，所以的最小值是，最大值是，故的取值范圍是.故選:C.法二：因為復數(shù)z滿足，不妨設(shè)，,則.因為，所以，所以的取值范圍是.故選:C.【變式3-1】（2024·全國·高三專題練習）復數(shù)z滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】復數(shù)表示復平面上的點z到和的距離之和是4的軌跡是橢圓，則，的幾何意義是復平面上的點到坐標原點的距離，所以.故選：A.【變式3-2】（2024·全國·高三專題練習）已知復數(shù)（i表示虛數(shù)單位），復數(shù)z滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以.復數(shù)z對應(yīng)的點在以為圓心，1為半徑的圓上，所以.故選：C【過關(guān)測試】1．（2024·高一·廣東佛山·期末）復數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最小值為（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】B【解析】設(shè)復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為，由知，點的軌跡為以原點為圓心，半徑為1的圓，表示圓上的點到點的距離，如下圖，如圖，最小值為.故選：B2．（2024·高一·上海嘉定·期末）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，所以對應(yīng)點在單位圓上，表示單位圓上的點和點的距離，其最小值為.故選：D3．（2024·高一·河北邢臺·階段練習）已知是虛數(shù)單位，復數(shù)，，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，則，，由可得，解得，則，所以，，因此，，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.故選：B.4．（2024·高二·陜西榆林·階段練習）已知復數(shù)為虛數(shù)單位）滿足，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．4【答案】A【解析】因為，所以復數(shù)對應(yīng)的點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以.故選：A5．（2024·高三·貴州·階段練習）已知復數(shù)z滿足：，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】由復數(shù)模的幾何意義知滿足的對應(yīng)的點在以點和為端點的線段的中垂線，的中點為，的最小值就是原點到直線的距離即為，故選：B．6．（2024·上海寶山·一模）已知是復數(shù)，是其共軛復數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A． B．若，則的最大值為C．若，則復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限 D．若是關(guān)于的方程的一個根，則【答案】B【解析】對于A，設(shè)，則，，A錯誤；對于B，由知，在復平面內(nèi)表示復數(shù)的點在以原點為圓心的單位圓上，可看作該單位圓上的點到點的距離，因為圓心到的距離為，則該單位圓上的點到點的距離最大值為，B正確；對于C，，則復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，C錯誤；對于D，依題意，，整理得，而，因此，解得，D錯誤．故選：B.7．（2024·高三·江蘇南通·期末）已知復數(shù)滿足，當?shù)奶摬咳∽畲笾禃r，（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，則，，∴，∴，，∴，故選：B.8．（2024·高三·江西贛州·階段練習）若復數(shù)z滿足(為虛數(shù)單位），則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．+1【答案】C【解析】設(shè)，則.由已知可得，.設(shè)，，則.所以，.當，即時，該式有最大值，所以，，所以，.故選：C.9．（多選題）（2024·高一·河南新鄉(xiāng)·期末）已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為，復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為，且，則（

）A．B．C．復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限D(zhuǎn)．的最小值為4【答案】BCD【解析】由題意得，，所以，故A錯誤；而，故B正確；因為，故復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第一象限，故C正確；因為，所以點在以原點O為圓心，為半徑的圓上，而表示點，之間的距離，所以，故D正確.故選：BCD.10．（多選題）（2024·高一·江蘇揚州·期末）已知復數(shù)，滿足，，則有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值【答案】BD【解析】由得，令，有以及，因此，由絕對值三角不等式得，，等號在兩復數(shù)對應(yīng)的向量反向時成立，，等號在兩復數(shù)對應(yīng)的向量同向時成立，因此，，則，即有最大值，最小值.故選：BD.11．（多選題）（2024·高一·江西南昌·期末）若復數(shù)，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為2 B．的最大值為4C． D．【答案】ABC【解析】設(shè)對應(yīng)的向量為，由向量加法法則可得，當反向和同向時分別取等，即，故的最小值為2，最大值為4，A、B正確；設(shè)，則，又，則，C正確；又，則，則，D錯誤.故選：ABC.12．（多選題）（2024·高一·福建龍巖·階段練習）已知復數(shù)，下列結(jié)論正確的有（

）A．若，則B．若，則C．D．若，則的最大值為3【答案】BCD【解析】若復數(shù)，滿足，但這兩個虛數(shù)不能比大小，A選項錯誤；若，則，即，得或，所以，B選項正確；設(shè)，，則，，，所以，C選項正確；若，得，有，，則，時取等號，則的最大值為3，D選項正確.故選：BCD.13．（多選題）（2024·高一·浙江寧波·階段練習）設(shè)為復數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若為虛數(shù)，則也為虛數(shù)B．若，則的最大值為C．D．【答案】ACD【解析】對于A，因為為虛數(shù)，為實數(shù)，所以為虛數(shù)，所以也為虛數(shù)，所以A正確；對于B，當時，滿足，此時，所以B錯誤；對于C，設(shè)，則，，所以，，所以，所以C正確，對于D，設(shè)對應(yīng)的向量分別為，則由向量三角不等式得，所以恒成立，所以D正確，故選：ACD14．（多選題）（2024·高一·江蘇徐州·期末）已知復數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．復數(shù)的虛部為C．D．若復數(shù)滿足，則的最大值為2【答案】AD【解析】因為，所以，所以，故A正確；復數(shù)的虛部為，故B錯誤；，所以，故C錯誤；若復數(shù)滿足，設(shè)，則點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以的最大值為，故D正確，故選：AD15．（多選題）（2024·高一·山東濱州·階段練習）已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（

）A．的虛部是B．C．若復數(shù)滿足，則的最大值是D．若是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，則【答案】BCD【解析】，，對選項A：的虛部是，錯誤；對選項B：，正確；對選項C：，故，正確；對選項D：，即，故，正確；故選：BCD.16．（多選題）（2024·高一·湖南岳陽·期末）已知復數(shù)，，則（

）A．B．若，則的最大值為3C．D．是純虛數(shù)【答案】AB【解析】對于A：復數(shù)，，，，又，∴，A正確；對于B：設(shè)，則，即，且，，即的最大值為3，B正確；對于C：，故C錯誤；對于D：，不是純虛數(shù)，D錯誤.故選：AB.17．（2024·高一·全國·單元測試）復數(shù)，則的最大值是，最小值是．【答案】【解析】設(shè)，作出圓，如圖所示，表示點，則表示點P到圓上的點的距離，當圓上的點與點O，P共線時，取得最值，因為，則最大值為，最小值為.故答案為：；18．（2024·高一·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足那么的最小值是.【答案】1【解析】設(shè)，代入得，設(shè)，，則，當時，即取等號.即的最小值是1.故答案為：1.19．（2024·高一·浙江溫州·期末）已知，復數(shù)，，且，若，則的最小值為.【答案】【解析】復數(shù)，所以，所以，因為，所以當時，.故答案為：.20．（2024·高一·全國·課時練習）若實數(shù)、滿足，復數(shù)，則的最大值是；最小值．【答案】64【解析】設(shè)，則.則，即.即，即.因此的最大值為，最小值為.故答案為：；.21．（2024·上海閔行·模擬預(yù)測）若，則的最大值與最小值的和為.【答案】【解析】由幾何意義可得：復數(shù)表示以（）為圓心的半徑為1的圓，則.故答案為：22．（2024·高一·上海奉賢·期末）已知z是虛數(shù)，是實數(shù)，是虛數(shù)z的共軛復數(shù)，則的最小值是．【答案】.【解析】設(shè)，，且，則，因為是實數(shù)，所以，因為，所以，所以，則，因為，所以，所以，所以，因為，所以，，則，當時，取到最值.故答案為：．23．（2024·高一·全國·專題練習）已知復數(shù)，，則的實部的最大值為．【答案】/1.5【解析】直接計算知：，故的實部為.而，，所以的最大值為，故的實部的最大值為.故答案為：.24．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）已知復數(shù)，滿足，，則的最大值為.【答案】/【解析】令復數(shù)，，，則，所以，所以，，即.又因為，即在復