重難點(diǎn)專(zhuān)題07 巧妙借助復(fù)數(shù)的幾何意義求與模有關(guān)的范圍與最值問(wèn)題（三大題型）-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

第第頁(yè)重難點(diǎn)專(zhuān)題07巧妙借助復(fù)數(shù)的幾何意義求與模有關(guān)的范圍與最值問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一：?jiǎn)文ｉL(zhǎng)最值問(wèn)題題型二：多模長(zhǎng)之和差最值問(wèn)題題型三：模長(zhǎng)的范圍問(wèn)題【方法技巧與總結(jié)】求復(fù)數(shù)模的范圍與最值問(wèn)題是熱點(diǎn)問(wèn)題，其解題策略是：（1）把復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化、直觀化、熟悉化，即將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)處理，轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，求模的范圍與最值問(wèn)題來(lái)解決；（2）發(fā)掘問(wèn)題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來(lái)解答，把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)解答；（3）利用三角函數(shù)解決.【典型例題】題型一：?jiǎn)文ｉL(zhǎng)最值問(wèn)題【典例1-1】（2024·上海閔行·高一海市七寶中學(xué)?？计谀┰谥校?，為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線、于不同的兩點(diǎn)、．設(shè)，，復(fù)數(shù)，則取到的最小值為_(kāi)_．【答案】【解析】在中，因?yàn)?，所?又，，所以.因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)镸、E、N三點(diǎn)共線，所以，即，復(fù)數(shù)，所以，令，故當(dāng)，取最小值.故答案為：【典例1-2】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)和，i為虛數(shù)單位，求的最大值和最小值．【解析】復(fù)數(shù)和，則由，可得則的最大值，最小值【變式1-1】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)：滿足，求的最大值和最小值．【解析】因?yàn)?，所以；因?yàn)樗?，解得；所以的最大值?，最小值為3.【變式1-2】（2024·高一單元測(cè)試）已知復(fù)數(shù)滿足，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．(1)確定點(diǎn)的集合構(gòu)成圖形的形狀；(2)求的最大值和最小值．【解析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則，故點(diǎn)的集合是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，如下圖所示．（2）設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則,如下圖所示，，則的最大值即的最大值是；的最小值即的最小值是．【變式1-3】（2024·高二·上海松江·期末）若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值是.【答案】1【解析】設(shè)，，，，則，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：1.題型二：多模長(zhǎng)之和差最值問(wèn)題【典例2-1】（2024·浙江·高一嘉興一中校聯(lián)考）已知復(fù)數(shù)滿足，求的最小值______．【答案】13【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，所以，所以，解得，所以，所以，則上式表示復(fù)平面上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離和，因?yàn)殛P(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以因?yàn)椋?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為13，即的最小值為13，故答案為：13【典例2-2】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)________.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以或，因?yàn)?，所以的軌跡為，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到與的距離和；顯然當(dāng)，即時(shí)，故答案為：【變式2-1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知虛數(shù)，，其中i為虛數(shù)單位，，、是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根．(1)求實(shí)數(shù)m、n的值；(2)若，求的取值范圍．【解析】（1）由題意，，即，故，根據(jù)韋達(dá)定理有，，即，（2）由（1），故不妨設(shè)，設(shè)，則的幾何意義即為復(fù)平面內(nèi)到的距離之和為.因?yàn)榈降木嚯x為，故在線段上.故當(dāng)時(shí)取得最小值2，當(dāng)在或時(shí)，取得最大值，故的取值范圍為題型三：模長(zhǎng)的范圍問(wèn)題【典例3-1】（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若，則取值范圍是___．【答案】【解析】由題意設(shè)(),則其幾何意義為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，距離之差，由圖可知，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，距離之差最大，當(dāng)時(shí)，最小，則．的取值范圍是．故答案為：．【典例3-2】（2024·山西晉中·高二榆次一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知z為復(fù)數(shù)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓，表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離.因?yàn)辄c(diǎn)與原點(diǎn)O的距離，所以的最小值是，最大值是，故的取值范圍是.故選:C.法二：因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，不妨設(shè)，,則.因?yàn)?，所以，所以的取值范圍?故選:C.【變式3-1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】復(fù)數(shù)表示復(fù)平面上的點(diǎn)z到和的距離之和是4的軌跡是橢圓，則，的幾何意義是復(fù)平面上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，所以.故選：A.【變式3-2】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（i表示虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，所以.故選：C【過(guò)關(guān)測(cè)試】1．（2024·高一·廣東佛山·期末）復(fù)數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最小值為（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】B【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由知，點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，如下圖，如圖，最小值為.故選：B2．（2024·高一·上海嘉定·期末）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)在單位圓上，表示單位圓上的點(diǎn)和點(diǎn)的距離，其最小值為.故選：D3．（2024·高一·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，則，，由可得，解得，則，所以，，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B.4．（2024·高二·陜西榆林·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）滿足，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．4【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以.故選：A5．（2024·高三·貴州·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足：，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義知滿足的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以點(diǎn)和為端點(diǎn)的線段的中垂線，的中點(diǎn)為，的最小值就是原點(diǎn)到直線的距離即為，故選：B．6．（2024·上海寶山·一模）已知是復(fù)數(shù)，是其共軛復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A． B．若，則的最大值為C．若，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限 D．若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則【答案】B【解析】對(duì)于A，設(shè)，則，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由知，在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，可看作該單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，因?yàn)閳A心到的距離為，則該單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大值為，B正確；對(duì)于C，，則復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，依題意，，整理得，而，因此，解得，D錯(cuò)誤．故選：B.7．（2024·高三·江蘇南通·期末）已知復(fù)數(shù)滿足，當(dāng)?shù)奶摬咳∽畲笾禃r(shí)，（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，則，，∴，∴，，∴，故選：B.8．（2024·高三·江西贛州·階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足(為虛數(shù)單位），則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．+1【答案】C【解析】設(shè)，則.由已知可得，.設(shè)，，則.所以，.當(dāng)，即時(shí)，該式有最大值，所以，，所以，.故選：C.9．（多選題）（2024·高一·河南新鄉(xiāng)·期末）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，且，則（

）A．B．C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限D(zhuǎn)．的最小值為4【答案】BCD【解析】由題意得，，所以，故A錯(cuò)誤；而，故B正確；因?yàn)?，故?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，故C正確；因?yàn)椋渣c(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上，而表示點(diǎn)，之間的距離，所以，故D正確.故選：BCD.10．（多選題）（2024·高一·江蘇揚(yáng)州·期末）已知復(fù)數(shù)，滿足，，則有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值【答案】BD【解析】由得，令，有以及，因此，由絕對(duì)值三角不等式得，，等號(hào)在兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量反向時(shí)成立，，等號(hào)在兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量同向時(shí)成立，因此，，則，即有最大值，最小值.故選：BD.11．（多選題）（2024·高一·江西南昌·期末）若復(fù)數(shù)，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為2 B．的最大值為4C． D．【答案】ABC【解析】設(shè)對(duì)應(yīng)的向量為，由向量加法法則可得，當(dāng)反向和同向時(shí)分別取等，即，故的最小值為2，最大值為4，A、B正確；設(shè)，則，又，則，C正確；又，則，則，D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．（多選題）（2024·高一·福建龍巖·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（

）A．若，則B．若，則C．D．若，則的最大值為3【答案】BCD【解析】若復(fù)數(shù)，滿足，但這兩個(gè)虛數(shù)不能比大小，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則，即，得或，所以，B選項(xiàng)正確；設(shè)，，則，，，所以，C選項(xiàng)正確；若，得，有，，則，時(shí)取等號(hào)，則的最大值為3，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.13．（多選題）（2024·高一·浙江寧波·階段練習(xí)）設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若為虛數(shù)，則也為虛數(shù)B．若，則的最大值為C．D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)闉樘摂?shù)，為實(shí)數(shù)，所以為虛數(shù)，所以也為虛數(shù)，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，，所以，，所以，所以C正確，對(duì)于D，設(shè)對(duì)應(yīng)的向量分別為，則由向量三角不等式得，所以恒成立，所以D正確，故選：ACD14．（多選題）（2024·高一·江蘇徐州·期末）已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．復(fù)數(shù)的虛部為C．D．若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為2【答案】AD【解析】因?yàn)?，所以，所以，故A正確；復(fù)數(shù)的虛部為，故B錯(cuò)誤；，所以，故C錯(cuò)誤；若復(fù)數(shù)滿足，設(shè)，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以的最大值為，故D正確，故選：AD15．（多選題）（2024·高一·山東濱州·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（

）A．的虛部是B．C．若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值是D．若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則【答案】BCD【解析】，，對(duì)選項(xiàng)A：的虛部是，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，故，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，即，故，正確；故選：BCD.16．（多選題）（2024·高一·湖南岳陽(yáng)·期末）已知復(fù)數(shù)，，則（

）A．B．若，則的最大值為3C．D．是純虛數(shù)【答案】AB【解析】對(duì)于A：復(fù)數(shù)，，，，又，∴，A正確；對(duì)于B：設(shè)，則，即，且，，即的最大值為3，B正確；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，不是純虛數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：AB.17．（2024·高一·全國(guó)·單元測(cè)試）復(fù)數(shù)，則的最大值是，最小值是．【答案】【解析】設(shè)，作出圓，如圖所示，表示點(diǎn)，則表示點(diǎn)P到圓上的點(diǎn)的距離，當(dāng)圓上的點(diǎn)與點(diǎn)O，P共線時(shí)，取得最值，因?yàn)?，則最大值為，最小值為.故答案為：；18．（2024·高一·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足那么的最小值是.【答案】1【解析】設(shè)，代入得，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，即取等號(hào).即的最小值是1.故答案為：1.19．（2024·高一·浙江溫州·期末）已知，復(fù)數(shù)，，且，若，則的最小值為.【答案】【解析】復(fù)數(shù)，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.故答案為：.20．（2024·高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）若實(shí)數(shù)、滿足，復(fù)數(shù)，則的最大值是；最小值．【答案】64【解析】設(shè)，則.則，即.即，即.因此的最大值為，最小值為.故答案為：；.21．（2024·上海閔行·模擬預(yù)測(cè)）若，則的最大值與最小值的和為.【答案】【解析】由幾何意義可得：復(fù)數(shù)表示以（）為圓心的半徑為1的圓，則.故答案為：22．（2024·高一·上海奉賢·期末）已知z是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則的最小值是．【答案】.【解析】設(shè)，，且，則，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，因?yàn)椋裕?，則，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)椋?，，則，當(dāng)時(shí)，取到最值.故答案為：．23．（2024·高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，，則的實(shí)部的最大值為．【答案】/1.5【解析】直接計(jì)算知：，故的實(shí)部為.而，，所以的最大值為，故的實(shí)部的最大值為.故答案為：.24．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，滿足，，則的最大值為.【答案】/【解析】令復(fù)數(shù)，，，則，所以，所以，，即.又因?yàn)椋丛趶?fù)