2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷02(新高考專用)(解析版)

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷02（新高考專

用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自

己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一'單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求.

1.（2023秋?天津?yàn)I海新?高三大港一中?？茧A段練習(xí)）已知集合4=30兇尤2-2尤43卜

B=貝iJAc低3）=（）

A.{3}B.{0,3}C.{2,3}D.{0,2,3}

【答案】C

【解析】A={xeN|x2-2x<3}-{xeN|-l<x<3}={0,l,2,3},

由三40,得解得04x<2,所以8=展W0]=[O,2）,

x-2[x-2/0[x-2JL'

所以=所以Ac@3）={2,3}.故選：C.

2.（2023?湖南邵陽(yáng)?統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)z滿足（2z+3）i=3z,則三=（）

69.69.69.69.

AA.-----------1B.---------1------1C.一1D.------1------1

1313131313131313

【答案】A

【解析】因?yàn)椋?z+3）i=3z,2zi+3i=3z,（3—2i）z=3i,

3i3i（3+2i）-6+9i69.-白一白二故選:A.

所以z=正珂洋IpF~"一行+6，所以z=一

3-2i

3.（2022秋.安徽六安.高三校聯(lián)考期末）已知一ABC中，。為3c的中點(diǎn)，且忸。卜4,

\AB+AC\=\AB-AC\,ZACB=^f則向量AO在向量AB上的投影向量為（）

A.—ABB.—ABC.—A3D.AS

432

【答案】c

【解析】加+閭=同一44.-.2|AO|=|CB|,ZBAC-p

又怛C|=4,ZACB=（.?.網(wǎng)=2,|AO|=2,

IT

??.OR為等邊三角形，??.NOAB=§;

r.AO在鉆上的投影向量為k°kos/32?向=2xgx；AB=gA2.故選：c

4.（2023?廣西柳州?二模）已知函數(shù)y=/（x）的部分圖象如圖所示，則下列可能是Ax）的解

析式的是（）

B.f(x)=x—cosxC./(%)=工

x

D./（%）=上

COSX

【答案】B

【解析】A./（0）=1>0,故錯(cuò)誤;

B.因?yàn)?。）=一1<0,且（（x）=l+sin%20,則/（尤）在R上遞增，故正確;

Cj（x）的定義域?yàn)椋鹸|xw。｝關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又

cos(-x)_cosx

/(T)==-〃x),

—x-x

則是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故錯(cuò)誤；

D./■（力的定義域?yàn)椴穦.也+會(huì)展2］關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

又/（一月=；^773=高7=一/（尤），則是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故

CObIJifIvOo%

錯(cuò)誤；故選：B.

5.（2023秋?湖北?高三湖北省云夢(mèng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知sin（a+《］-cosa=g,則

（2兀、

cosl2or+—1=（）

【答案】A

—旦na」cosa=sm711

【解析】Vsina+工a——=一，

I62262

Acosf2a+yj=cos2（a7171T，故

+乃=—cos2a——=2sin2a——

[66

選：A.

6.（2022秋.寧夏吳忠.高?？计谀┰诘缺葦?shù)列｛%｝中，公比q>0,S.

是數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，若％=2,%+%=12,則下列結(jié)論正確的是（）

A.q=3B.數(shù)列｛S“+2｝是等比數(shù)列

C.1=64D.數(shù)列｛1段“｝是公差為2的等差數(shù)列

【答案】B

【解析】由4=2,出+%=12,得《（4+4~）=2（4+q）=12,

即+q-6=（q+3）（q-2）=0,解得q=2或q=-3,

由q>0,得［=2,故A錯(cuò)誤；

所以等比數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=2X2"T=2",

所以等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S?="'J"）=-2,即S.+2=23,

1-4

S,用+2/、

+1

所"Sn+22"'

所以數(shù)列｛S“+2｝是公比為2等比數(shù)列，故B正確；

因?yàn)镾,,=2"M-2,所以Ss=25+|-2=26-2=62,故C錯(cuò)誤；

r\n+\

因?yàn)閍”=2”,所以3用一1g%=lg2K+1-lg2"=lg—=lg2,

所以數(shù)列｛1g4｝是公差為lg2的等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：B.

7.（2023?湖南永州?統(tǒng)考二模）如圖，5與為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過F2的直線交雙曲線于

昆。兩點(diǎn)，且=E為線段。片的中點(diǎn)，若對(duì)于線段。耳上的任意點(diǎn)尸，都有

PaPBWEFjEB成立,則雙曲線的離心率是（）

C.2D.75

【答案】D

【解析】取耳8中點(diǎn)Q,連接尸。,石。,。。,

3

PF「PB=；［(尸片+尸8『_(PF_］=；卜/。？一8月］=尸/2,

2

EFCEB=^[(3+_(E^_Eg)[=1,EQ_BF：]=EQ?-；BF：

:.Pd~BF'>Ed-^BF",則PQ22EQ2,；JPQ閆E0恒成立，

.'.EQIDF^又EQUBD,:.BD1DF},

設(shè)忸閭=〃z,由g0=3耳B得：\BD\^2m,

根據(jù)雙曲線定義可知：|。耳|=|亞|-24=3m-2°,

\BF^=\BF^+2a=m+2a,

\BDf+\DFf=\BFtf,即4帆2+(3m-2a『=(??+2a)2,.?.加=g°,

22

:.\DFl\=2a,|D^|=4o,5C\DF^+\DF^=\FXF^,.-.20a=4c,

.?"=1=5,則離心率e=^.故選：D.

a

i113

8.(2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期末)設(shè)“=—e3b=-,c=21n-,則(

1092

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】由題知，記〃x)=e'-x-l,x>0,所以/'(x)=e-G0,所以

f(x)>/(O)=O,

1ini1i

所以ej%+1,在％>0時(shí)成立，所以e9>",BP—e9>-,即a>6,

9109

ir_i

記g(x)=x—1—Inx,x>0,所以g'(x)=l-7=—

所以在(0,1)上,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,在(1,內(nèi))上，g'(x)>0,g(x)單調(diào)

遞增，

所以g(x)2g(l)=0,所以InxWx-l,則In,W，-1,即InxWl-L即

XX尤

I3-21

In—>1——=—,

233

c=21n|>-|>Z?=^,即有c>b,因?yàn)?<￡<2，所以°<2<°,

239e<e<21053

綜上:/?<。<<?.故選口

二'多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.(2023秋?湖北?高三湖北省云夢(mèng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末)新冠肺炎疫情防控期間，進(jìn)出

小區(qū)、超市、學(xué)校等場(chǎng)所，我們都需要先進(jìn)行體溫檢測(cè).某學(xué)校體溫檢測(cè)員對(duì)一周內(nèi)甲，乙

兩名同學(xué)的體溫進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

°I234567[|刪

A.乙同學(xué)體溫的極差為0.2℃

B.甲同學(xué)體溫的第三四分住藜為365c

C.甲同學(xué)的體溫比乙同學(xué)的體溫穩(wěn)定

D.乙同學(xué)體溫的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)都相等

【答案】ABD

【解析】對(duì)A：乙同學(xué)體溫的最大值為36.5C,最小值為363C,故極差為0.2℃,A正

確；

對(duì)B：甲同學(xué)體溫按從小到大的順序排列為：36.2℃,36.2℃,36.4℃,36.4℃,

36.5℃,

36.5℃,36.6℃,又7x75%=5.25,

故甲同學(xué)體溫的第三四分位數(shù)為上述排列中的第6個(gè)數(shù)據(jù)，即365C,B正確；

對(duì)C：乙同學(xué)體溫按從小到大的順序排列為：36.3℃,36.3℃,36.4℃,36.4℃,

36.4℃,36.5℃,

故乙同學(xué)體溫的平均數(shù)為：

336.3+36.3+36.4+36.4+36.4+36.5+36.5)=36.4℃,

故乙同學(xué)體溫的方差

14

r222

S；='[(36.3-36.4)+(36.3-36.4)2+(365_364)+(36.5-36.4)]=—；

又甲同學(xué)體溫的平均數(shù)為：

|(36.2+36.2+36.4+36.4+36.5+36.5+36.6)=36.4℃,

故甲同學(xué)體溫的方差

S；=1[(36.2-36.4)2+(36.2-36.4)2+(36.5-36.4)2+(36.5-36.4)2+(36.6-36.4)2]14

700

又故乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定，c錯(cuò)誤；

對(duì)D：乙同學(xué)體溫的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)均為364C,故D正確.故選：ABD.

10.(2022秋?福建福州?高三校聯(lián)考期中)如圖，在長(zhǎng)方體耳G。中，

AD=2AB=2AAi=4,分別是棱人。，用弓刀。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在側(cè)面AADQ內(nèi)，且

BP=xBE+yBF^x,eR),則()

B.AtH1BP

C.三棱錐尸-ABF的體積是定值

D.三棱錐尸-227的外接球表面積的取值范圍是［12兀,44兀］

【答案】BCD

【解析】如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(4,0,0),3(4,2,0),E(2,0,0)1(2,2,2),打(2,2,0),4(4,0,2),0(0,0,2),

設(shè)尸(a,02)(0<aV4,0WbV2),

則BP=(a-4,-2,b),BE=(-2,-2,0),BF=(-2,0,2),

a-4=-2x-2yX=1

因?yàn)樽?(尤,yER),所以<一2=-21,得<a=2-2y,所以

b=2yb=2y

a=2-bf

0<2-Z?<4

則得0<b<2,

0<b<2

Dp=(a,0,Z?—2)—(a,0,_a),PE=(2—a,0,—Z?)=(2—tz,0,a—2),

當(dāng)a=2時(shí)，PE=4,則2P〃2E,

當(dāng)a/2時(shí)，則。尸=，一PE,則〃尸〃PE,

2-a

綜上，D。/PE,所以〃，尸,E三點(diǎn)共線，即點(diǎn)尸的軌跡即為線段網(wǎng)>1，

對(duì)于A,AP=J(a-4Y+l>2=,2.+1+422,即AP的最小值是2,故A錯(cuò)

、口

氏；

對(duì)于

B,AlH^(-2,2,-2),BP=(a-4,-2,b),

貝|14".82=一2。+8—4—2。=—2(2—4)+4—26=0,所以4H_L8P,故B正確;

對(duì)于C,BF=1-J1,則SABF=gx2x2忘=20為定值，

由點(diǎn)P的軌跡即為線段EQ,且En=(-2,0,2),3/1(-2,0,2)=ER,所以

BF//ED,,

又跳'u平面ARF,ERu平面ASF,所以片口，平面ARF,

所以點(diǎn)P到平面AB尸的距離為定值，即三棱錐尸-AB尸的高為定值，

所以三棱錐尸-ARF的體積是定值，故C正確；

對(duì)于D,設(shè)BF的中點(diǎn)為M,則在Rt瓦?/中，Rt-84/外接圓的圓心即為點(diǎn)

M,

則三棱錐P-BB7的外接球的球心在過點(diǎn)〃且垂直于平面8用戶的直線上，

設(shè)球心為O,O（3,〃z,l）,則OP=05,即

yl（l+b）~+m2+（1-Z7）~=Jl+（m-2）2+1,

所以“=貝Uog2=i+（根一2）2+1=；。4+廿+3,

因?yàn)椤?lt;匕<2,所以O(shè)B2€[3,11],

即三棱錐P-BB'F的外接球的半徑RG[V3,A/TT],

所以三棱錐P-BBp的外接球表面積的取值范圍是[12兀,44可，故D正確.故選：

BCD.

11.（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)41,1）在拋物線C:V=2py（p>0）上，

過點(diǎn)3（0,-1）的直線交C于尸，。兩點(diǎn)，則（）

A.C的準(zhǔn)線為y=-lB.直線A3與C相切

C.\OP\\OQ|>|OA|2D.\BP\\BQ\>\BA\2

【答案】BCD

【解析】A.由題意可知，1=2。，所以拋物線方程是V=y,準(zhǔn)線方程是y=一;，故A錯(cuò)

誤；

1?.篇=?”=2,直線A5：y+l=2x,即y=2x-l,與拋物線方程聯(lián)立，

/=2尤-1=>尤2-2尤+1=0,其中A=0,所以直線AB與C相切，故B正確；

c.設(shè)過B的直線為/,若直線/與y軸重合，則直線/與拋物線c只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以，直線/的斜率存在，設(shè)其方程為、=丘-1,尸（士,州）,。（々，為），

A=）t2-4>0

\y=kx—1

=

聯(lián)立，得日+1=0,所以Vx^+x2k,所以上〉2或k<—2,

xxx2=1

%%=（三%）2=1,

又IOP|=4X；+y；=J%+y；，\OQ\=&+y；=+-'

所以IOPI-IOQ|=J-%（1+%）（1+%）=Jgx-=\k\>2=\OA^,故C正確；

D.因?yàn)閨2尸|=J1+左2I%I，\BQ|=A/1+F|X2|-

所以12Pl-|3Q|=（1+公）|再%|=1+公>5,而13Al2=5,故D正確.故選:BCD

12.（2022秋?遼寧?高三東北育才學(xué)校校考階段練習(xí)）定義在（0,+8）上的函數(shù)/（尤）的導(dǎo)函

數(shù)為且:則對(duì)任意占，%26（0,+?）,其中項(xiàng)片馬，則下列不等式中一

定成立的是（）

A./（門<〃1）9B.vU+-%^/（2）

1X2）L

c./(xl+x2)>/(xl)+/(x2)D./(x1)+/(x2)>^-/(x1)+^-/(x2)

【答案】BCD

【解析】由題意可設(shè)g(x)=￡^,則/")=之”/

XX

,x>0,：.xf'(x)-f(x)>0,

g'(x)>0在(O,+e)上恒成立，所以g@)在(0,+功上單調(diào)遞增，

對(duì)A：由于爐>1,所以g(e")>g⑴，即/?)>四,所以

e百1

故A不正確；

對(duì)B：由于4+,22,當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)取等號(hào)，所以/々+,］冷⑵，

即.2%［但,所以9/"+，匕與1〃2),故B正確；

工+工2(切2

2尤2

對(duì)c：由g(%+x2)>ga)得：""+%)>"%),即：

-^1I"^2

%〃花+馬)>/(占),

X］+x2

同理：-^/(X1+X2)>/(X2),兩式相加得：/(Ai+X2)>/(A1)+/(X2),故C

人］I人？

正確；

X?

兩式相減得：/(^l)--/(^l)--/(^2)+/(^2)=^—^/(^2)

所以/(玉)一生■/(』)一三_/(%2)+/(%2)>。,即

?/■6)+〃無2)>乂馬),故D正確.

%x2

故選：BCD.

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.(2023秋?天津?高三大港一中校考)若

314+%i2=CLQ+q(x+1)+%(1+1)+.-+41(%+1)+0^2(無+1)‘則%++1+42=-

【答案】-7

【解析】令X=-1,則％=4；等式右邊一系數(shù)為q2,結(jié)合等式左邊得&=1；

14+C；,4+C；2=

等式右邊石系數(shù)為2比較等式左邊可得0nan=-12.

故%++〃12=-7.

14.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知圓。：J+y'l與直線/：x=-l,寫出一個(gè)半徑為1,且

與圓。及直線都相切的圓的方程：.

【答案】f+(匕2)2=1(答案不唯一)

【解析】設(shè)圓心。為(毛,%),由已知圓。與直線/：尤=-1相切，圓C與圓。：X2+y2=1

相切，

卜1-無o|=l

可得

J無0~+=2

且已知半徑為1,

所以圓的方程可以為：》2+(>-2)2=1或》2+(>+2)2=1或(彳+2『+/=1

15.(2022秋?福建?高三福建師大附中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0

時(shí)，/(x)=x2+ln(-%),則曲線y=/(x)在x=l處的切線方程為

【答案】3x-y-2=0

【解析】若無>0,則—x<0,由是偶函數(shù)，得</(—)=Inx+/=_y⑺,

；.x=l時(shí)，f(l)=1,而此時(shí)的尸(耳=2無+：,即:(1)=3,

曲線y=/(x)在x=l處的切線方程為y—l=3(x—1),即3x—y-2=0.

16.(2022.山東東營(yíng).勝利一中?？寄M預(yù)測(cè))某資料室在計(jì)算機(jī)使用中，出現(xiàn)如表所示的

以一定規(guī)則排列的編碼，表中的編碼從左至右以及從上至下都是無限的，此表中，主對(duì)角

線上的數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列1,2,5,10,17,…的通項(xiàng)公式為,編碼99共出現(xiàn)

次.

111111

123456

1357911

147101316

159131721

1611162126

【答案]n2-2n+26

【解析】設(shè)主對(duì)角線上的數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列1,2,5,10,17,…為{4},

因?yàn)?一%=]，-a2=3,a4—a3=59,an—un_x—2(n—1)—1,

將以上n-1個(gè)式子相加，可得

(H-1)[1+(2^-3)]

=1+3+5++(2〃—3)+1=+l=(n-l)2+l=n2-2n+2;

2

由編碼觀察可得，第〃，行是首項(xiàng)為1,公差為旭-1的等差數(shù)列，

則第扭行的第，個(gè)數(shù)為1+（〃-1）（利-1）,

令1+（”一1）（加-1）=99,則（“一1）（吁1）=98,

f7n-l=lf777-1=2fm-1=7f〃z-l=98fm—1=49

所以Ico,或I,c，或I或II，或Ic，或

[〃-1=98[n—l=49[n-1=14[n—1=1[n-l=2

m-l=14

1=7'

所以99共出現(xiàn)6次.

四、解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（2022秋?云南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列｛%｝中，q=14,耨=含-3.

（1）證明[去-3；是等比數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列+的前〃項(xiàng)和為S“，證明：S?<|.

【答案】（1）證明過程見解析；g=2"（25+3）；（2）證明過程見解析

【解析】（1）證明：依題意可得煞一3=窘一6=2[墨一3]，又q=14,則今一3=4,

4+13

故土_=2,所以[黑一3]是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即結(jié)論

angHJ

T

得證；

則祟-3=4X2"T=2"M,所以g=2"（2用+3）；

zs2"_2"_2"__J________1_

（2）結(jié)合（1）,得見+]-2"QM+3）+]—（2"+1）（2川+1）一（2"+]）一（2鵬+]），

則

/\

<1111V111111<1￥114

“七+礦+浦+2"J+^3-5+5-9++（2"+l）-（2,,+i+l）J-~\2J+3-（2n+1+1）<3

故結(jié)論得證.

18.（2022秋?廣東.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，AfiC中，若角A,8,C所對(duì)的邊分別是

a,b,c,AD=DC,BA=2BD.

(1)證明：sin^BDC=2sin/BAC；

(2)若b=2a=2,求ABC的面積.

【答案】（1）證明見解析；⑵4-

【解析】（1）證明：在如c中，由正弦定理得擊焉而g「.sin?C=^￡

sinCBD

a.<2sinCtzsinC

在「ABC中,由正弦定理得砧sinABAC=---------

sinZBACAB2BD

所以sin^BDC=2sin/BAC.故得證.

(2)設(shè)==由題得cosNAZ)J5+cosNB￡)C=0,

由IV1+x2—4x21+x2—3V2

所以---------+-------=0,.?.1=——.所以AB=VL

2-x-l2-x-l2

2+4-15r-/14

所以cosABAC=-------產(chǎn)=—夜,.NBACe(0,兀),二sinABAC=-x

2.2.V288

所以ABC的面積為L(zhǎng)&.2.恒=也.

284

19.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐尸-ABCD中，平面APD，平面ABC。，AAPD

為正三角形，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD,AB=2CD=2BC^4.

Cl）求證：應(yīng)平面APD；

（2）若點(diǎn)尸為線段尸3上靠近點(diǎn)尸的三等分點(diǎn)，求二面角尸-AD-尸的大小.

7T

【答案】（1）證明見解析；（2）-

4

【解析】（1）取中點(diǎn)E,連接CE,根據(jù)梯形性質(zhì)和AB=2CD可知，CD//AE,且

CD=AE,

于是四邊形ADCE為平行四邊形，CE=AD=2=BE=CB,

jr

貝1J-CEB為等邊三角形，故NA=NCEB=],

在△ABO中，由余弦定理，

BD2=AB2+AD2-2ABXADXCOS-=16+4-8=12,

3

故30=26注意至IJQ+AD?=12+4=16=48"

7T

由勾股定理，ZADB=-即

2f

由平面APE＞_1_平面ABCD,平面AP。平面A5CD="),BDu平面

ABCD,

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得，平面APZX

(2)過P作PGLAD,垂足為G,連接EG,

由平面AP￡＞J_平面ABC。，平面平面ABCD=A￡),PGu平面

PAD,

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，尸3_1_平面鉆8,△APD為正三角形,

PGLAD,

故AG=G￡)(三線合一)，由AE=EB和中位線性質(zhì)，GE//BD,

由(1)知，應(yīng)＞人平面APD,故GEJ_平面APD,

于是GAGE,GP兩兩垂直，故以G為原點(diǎn)，G4,GE,GP所在直線分別為

x，V，z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由(1)知，應(yīng)＞1平面APD,

又班)〃，軸，故可取m=(0,1,0)為平面APD的法向量，

又尸(0,0,6),B(-1,2后0),根據(jù)題意，BF=2FP，設(shè)/(無,%Z),

貝U(x+1,\_2迅,2)=2(_尤,一\,石一z),解得F——,

又A(l,0,0),Z)(—1,0,0),DA=(2,0,0),FA=-,——,

(a=0

n-DA=0

設(shè)平面EAD的法向量〃=(a,b,c),由＜,BP14a2技2&

n-FA=0------------------------

iI333

/\m-n1J2

于是〃=(o,l,-l)為平面E4D的法向量，故c°s(%葉=口胴=延=下一

二面角大小的范圍是［0,兀］,結(jié)合圖形可知是銳二面角，

兀

故二面角b-AD-P的大小為:

20.(2023?湖南岳陽(yáng)?統(tǒng)考一模)8月5日晚，2022首屆湖南?岳陽(yáng)”洞庭漁火季”開幕式在洞

庭南路歷史文化街區(qū)工業(yè)遺址公園(岳陽(yáng)港工業(yè)遺址公園)舉行，舉辦2022首屆湖南?岳

陽(yáng)“洞庭漁火季”，是我市深入貫徹落實(shí)中央和省委“穩(wěn)經(jīng)濟(jì)、促消費(fèi)、激活力”要求，推出

的大型文旅活動(dòng)，旨在進(jìn)一步深挖岳陽(yáng)“名樓”底蘊(yùn)、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳

陽(yáng)”文旅/P,為加快推進(jìn)文旅融合發(fā)展拓展新維度、增添新動(dòng)力.活動(dòng)期間，某小吃店的生

意異常火爆，對(duì)該店的一個(gè)服務(wù)窗口的顧客從排隊(duì)到取到食品的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如

下：

取到食品所需的時(shí)間（分）12345

頻率0.050.450.350.10.05

假設(shè)每個(gè)顧客取到食品所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘.從排隊(duì)的第一個(gè)顧客等待取

食品開始計(jì)時(shí).

（1）試估計(jì)“恰好4分鐘后，第三個(gè)顧客開始等待取食品”的概率；

（2）若隨機(jī)變量X表示“至第2分鐘末，已取到食品的顧客人數(shù)”，求X的分布列及數(shù)學(xué)

期望.

【答案】⑴0.2375；（2）分布列見解析，0.5025.

【解析】（1）設(shè)y表示每個(gè)顧客取到食品所需的時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，得y的分布列如

下：

Y12345

P0.050.450.350.10.05

A表示事件“恰好4分鐘后，第三個(gè)顧客開始等待取食品”，

則事件A對(duì)應(yīng)三種情形：

①第一個(gè)人取到食品所需的時(shí)間為1分鐘，且第二個(gè)人取到食品所需的時(shí)間

為3分鐘；

②第一人取到食品所需的時(shí)間為3分鐘，且第二人取到食品所需的時(shí)間為1

分鐘；

③第一個(gè)和第二個(gè)人取到食品所需的時(shí)間均為2分鐘.

所以p（A）=p（y=i）p（y=3）+P（Y=3）p（y=i）+P（Y=2）p（y=2）

=0.05X0.35+0.35x0.05+0.45x0.45=0.2375.

（2）X所有可能的取值為0,1,2.

X=0對(duì)應(yīng)第一個(gè)人取到食品所需時(shí)間超過2分鐘，所以

p（X=0）=P（y>2）=0.5；

X=1對(duì)應(yīng)第一個(gè)人取到食品所需時(shí)間為1分鐘且第二個(gè)人取到食品所需時(shí)間

超過1分鐘，

或第一個(gè)人取到食品所需的時(shí)間為2分鐘，

所以尸（X=1）=尸（F=l）P（y>1）+P（Y=2）=0.05X0.95+0.45=0.4975；

X=2對(duì)應(yīng)兩個(gè)人取到食品所需的時(shí)間均為1分鐘，

所以p（x=2）=p（y=i）p（y=i）=0.05x0.05=0.0025；

所以X的分布列為：

X012

P0.50.49750.0025

所以E（X）=0x0.5+lx0.4975+2x0.0025=0.5025.

r2v2

21.（2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)橢圓E：?+斗=1（a>力>0）的左、

右焦點(diǎn)分別為月(T，。)，?(1,0),點(diǎn)G，,-T

在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線x=3上，過T的兩條直線分別交E于A,2兩點(diǎn)和尸，。兩點(diǎn)，且

\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

【答案】(1)三+21=1；(2)0

43

【解析】(1)由已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為1(-1,0),F2(1,Q),：.C=1,

方法一：

2*12

a—b=c=12

由題意得(13，解得*a=4

b2=3"

橢圓E的方程為工+三=1；

43

方法二:

(1+1)2++J(1-D2+33=4

由2"=|G耳|+依閶=22