2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級上期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級上期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題

意的.請將正確選項(xiàng)前的字母填在表格中相應(yīng)的位置.

1.拋物線y=（x-1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（)

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(3,-1)

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，點(diǎn)尸(4,3）,。尸與尤軸正半軸的夾角為a,則tana

B.1C.1D.1

571

3.方程X2-x+3=o的根的情況是（)

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.無實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

4.如圖，一塊含30°角的直角三角板A8C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A8C,當(dāng)B,C,A在一

條直線上時(shí)，三角板48c的旋轉(zhuǎn)角度為（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，8是反比例函數(shù)y=2（x>0）的圖象上的一點(diǎn)，則矩

x

形Q48C的面積為（）

A.1B.2C.3D.4

6.如圖，在△A8C中，DE//BC,且QE分別交AB,AC于點(diǎn)。，E,若AD：AB=2：3,

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則△AOE和△ABC的面積之比等于（）

C.4：5D.V2：V3

7.圖1是一個(gè)地鐵站入口的雙翼閘機(jī).如圖2,它的雙翼展開時(shí)，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與8

之間的距離為10。小雙翼的邊緣AC=BO=54aw,且與閘機(jī)側(cè)立面夾角/PCA=

=30°.當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度為（）

A.(54>/3+10)cmB.(54r\/2+10)cmC.64cmD.54cm

8.在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，四條拋物線如圖所示，其解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)一定小于1

的是（

A.yiB.yiC.*D.y4

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.方程/-3x=0的根為.

10.半徑為2且圓心角為90°的扇形面積為.

11.已知拋物線的對稱軸是x="，若該拋物線與無軸交于（1,0）,（3,0）兩點(diǎn)，則”的

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值為.

12.在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，若函數(shù)y=x與>=區(qū)gO）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則發(fā)

x

的取值范圍是.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，有兩點(diǎn)A（2,4）,B（4,0）,以原點(diǎn)0為位似中心，

把△0A8縮小得到△0A8.若夕的坐標(biāo)為（2,0）,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

14.已知（-1,ji）,（2,”）是反比例函數(shù)圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，且yi>”，請寫出一個(gè)

符合條件的反比例函數(shù)的解析式.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（3,0）,判斷在M,N,P,。四點(diǎn)中，滿足到

點(diǎn)。和點(diǎn)A的距離都小于2的點(diǎn)是.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，尸是直線y=2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OP的半徑為1,直線

OQ切。尸于點(diǎn)Q,則線段0Q的最小值為.

三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分；第23?26題，每小題5分；第27~

28題，每小題5分）

17.（5分）計(jì)算：cos45°-2sin30°+（-2）°,

18.（5分）如圖，與BC交于。點(diǎn)，NA=NC,AO=4,CO=2,CD=3,求AB的長.

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19.（5分）已知x=n是關(guān)于尤的一元二次方程mx2-4x-5=0的一個(gè)根，若mn2-4n+m=

6,求機(jī)的值.

20.（5分）近視鏡鏡片的焦距y（單位：米）是鏡片的度數(shù)無（單位：度）的函數(shù)，下表記

錄了一組數(shù)據(jù)

X（單位：度）???100250400500???

y（單位：米）???1.000.400.250.20???

（1）在下列函數(shù)中，符合上述表格中所給數(shù)據(jù)的是______;

2

,1Rv_100-13nX1319

A.y-x；LJ.y—；C.y----v+'；L）.y--------------+?

-100X2002400008008

（2）利用（1）中的結(jié)論計(jì)算：當(dāng)鏡片的度數(shù)為200度時(shí)，鏡片的焦距約為_______米.

21.（5分）下面是小元設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖1,。。及O。上一點(diǎn)P.

求作：過點(diǎn)P的。。的切線.

作法：如圖2,

①作射線OP-,

②在直線OP外任取一點(diǎn)A,以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作04,與射線OP交于另一點(diǎn)B；

③連接并延長BA與交于點(diǎn)C；

④作直線PC-,

則直線PC即為所求.

根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：是OA的直徑，

.1.ZBPC=90°（）（填推理的依據(jù)）.

：.OP±PC.

又是O。的半徑,

?..PC是的切線（）（填推理的依據(jù)）.

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22.（5分）2018年10月23日，港珠澳大橋正式開通，成為橫亙在伶仃洋上的一道靚麗的

風(fēng)景.大橋主體工程隧道的東、西兩端各設(shè)置了一個(gè)海中人工島，來銜接橋梁和海底隧

道，西人工島上的A點(diǎn)和東人工島上的B點(diǎn)間的距離約為5.6千米，點(diǎn)C是與西人工島

相連的大橋上的一點(diǎn)，A,B,C在一條直線上.如圖，一艘觀光船沿與大橋AC段垂直

的方向航行，到達(dá)尸點(diǎn)時(shí)觀測兩個(gè)人工島，分別測得出，P8與觀光船航向尸。的夾角

ZDE4=18°,/DPB=53°,求此時(shí)觀光船到大橋AC段的距離尸。的長.

ci）.

（1）求上的值；

（2）設(shè)點(diǎn)P（加，n）是雙曲線y=X"上不同于A的一點(diǎn)，直線PA與無軸交于點(diǎn)B。，0）.

x

①若相=1,求6的值；

②若PB=2AB,結(jié)合圖象，直接寫出6的值.

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y\

5.

4-

3■

2■

1-

-5T-3T-Q-12345x

24.(6分)如圖，A,B,C為。。上的定點(diǎn).連接AB,AC,〃為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

CM,將射線繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,交。。于點(diǎn)。，連接若AB=6qw,AC

=2cm,記A,M兩點(diǎn)間距離為尤cm,B,D兩點(diǎn)間的距離為yc〃z.

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y隨自變量X的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.

下面是小東探究的過程，請補(bǔ)充完整：

(1)通過取點(diǎn)、畫圖、測量，得到了尤與y的幾組值，如下表，補(bǔ)全表格：

xlcm00.250.47123456

y/cm1.430.6601.312.592.76—1.660

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補(bǔ)全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)

的圖象；

(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)8D=AC時(shí)，AM的長度約為cm.

25.(6分)如圖，AB是OO的弦，半徑P為的延長線上一點(diǎn)，PC與。。相

切于點(diǎn)C,CE與AB交于點(diǎn)F.

(1)求證：PC=PF；

(2)連接。2,BC,若OB〃PC,BC=3近,tanP=3,求用的長.

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E

26.（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線G：y=4x2-SaxUa2-4,A（-1,0）,

N(n,0).

(1)當(dāng)a—1時(shí),

①求拋物線G與無軸的交點(diǎn)坐標(biāo);

②若拋物線G與線段AN只有一個(gè)交點(diǎn)，求”的取值范圍;

（2）若存在實(shí)數(shù)處使得拋物線G與線段AN有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象，直接寫出”的取

值范圍.

y

5

4

2

1

12345x

27.（7分）己知在△ABC中，AB^AC,/BAC=a,直線/經(jīng)過點(diǎn)A（不經(jīng)過點(diǎn)2或點(diǎn)C）,

點(diǎn)C關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)為點(diǎn)。，連接B。，CD.

（1）如圖1,

①求證：點(diǎn)8,C,。在以點(diǎn)A為圓心，為半徑的圓上.

②直接寫出N3OC的度數(shù)（用含a的式子表示）為.

（2）如圖2,當(dāng)a=60°時(shí)，過點(diǎn)。作2。的垂線與直線/交于點(diǎn)E,求證：AE=BD；

（3）如圖3,當(dāng)a=90°時(shí)，記直線/與CD的交點(diǎn)為R連接BF將直線/繞點(diǎn)A旋

轉(zhuǎn)，當(dāng)線段8尸的長取得最大值時(shí)，直接寫出tan/FBC的值.

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D

D

AD

夕7/c7

BCBCBC

圖1圖2圖3

28.（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0,a）和點(diǎn)B（b,0）,給出如下定義：

以AB為邊，按照逆時(shí)針方向排列A,B,C,。四個(gè)頂點(diǎn)，作正方形A8CD,則稱正方形

ABCD為點(diǎn)A,B的逆序正方形.例如，當(dāng)。=-4,6=3時(shí)，點(diǎn)A,B的逆序正方形如

圖1所示.

（1）圖1中點(diǎn)C的坐標(biāo)為；

（2）改變圖1中的點(diǎn)A的位置，其余條件不變，則點(diǎn)C的坐標(biāo)不變（填“橫”

或“縱”），它的值為；

（3）已知正方形ABC。為點(diǎn)A,8的逆序正方形.

①判斷：結(jié)論“點(diǎn)C落在x軸上，則點(diǎn)。落在第一象限內(nèi)（填“正確”或“錯(cuò)

誤”），若結(jié)論正確，請說明理由；若結(jié)論錯(cuò)誤，請?jiān)趫D2中畫出一個(gè)反例；

②OT的圓心為TG,0）,半徑為1.若。=4,b>Q,且點(diǎn)C恰好落在OT上，直接寫

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2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級上期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題

意的.請將正確選項(xiàng)前的字母填在表格中相應(yīng)的位置.

1.拋物線y=（x-1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（1,3）B.（-1,3）C.（1,-3）D.（3,-1）

【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式解析式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【解答】解：拋物線y=（尤-1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,3）.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要是利用頂點(diǎn)式解析式寫頂點(diǎn)的方法，需熟記.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)尸（4,3）,。尸與無軸正半軸的夾角為a,則tana

的值為（）

【分析】過尸作PNLx軸于N,PM±y軸于根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)求出PN和ON,解直

角三角形求出即可.

過尸作PALLx軸于N,軸于則/PNO=90°,

?.“軸_1/軸，

，ZMON=ZPMO=/PNO=90°,

，四邊形MONP是矩形，

：.PM=ON,PN=OM,

VP(4,3),

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：.0N=PM=4,PN=3,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)和解直角三角形，能求出PN和ON的長是解此題的關(guān)鍵.

3.方程/-x+3=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.無實(shí)數(shù)根D.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

【分析】把。=1,6=-1,c=3代入△=啟-4a進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷方

程根的情況.

【解答】解：b--1,c—3,

；.△=/-4ac=（-1）2-4X1X3=-11<0,

所以方程沒有實(shí)數(shù)根.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程o?+6x+c=0QWO,a,"c為常數(shù)）的根的判別式

△=/-4ac.當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）時(shí)，方程有兩個(gè)相等

的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

4.如圖，一塊含30°角的直角三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ABC,當(dāng)8,C,4在一

條直線上時(shí)，三角板ABC的旋轉(zhuǎn)角度為（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)邊，再根據(jù)三角板的內(nèi)角的度數(shù)得出答案.

【解答】解：：將一塊含30°角的直角三角板ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A3C,

；.8C與8C是對應(yīng)邊，

旋轉(zhuǎn)角NBC8=180°-30°=150°.

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角,

正確得出對應(yīng)邊是解題關(guān)鍵.

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5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，B是反比例函數(shù)y=2（尤＞0）的圖象上的一點(diǎn)，則矩

x

形Q48C的面積為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】因?yàn)檫^雙曲線上任意一點(diǎn)引尤軸、y軸垂線，所得矩形面積S是個(gè)定值，即5=

因.

【解答】解：：點(diǎn)2在反比例函數(shù)y=2（尤＞0）的圖象上，

x

，矩形OABC的面積S=|川=2,

故選:B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)y=K中左的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x

x

軸、y軸垂線，所得矩形面積為因.

6.如圖，在△ABC中，DE//BC,且。E分別交AB,AC于點(diǎn)。，E,若A。：AB=2：3,

則△AOE和△ABC的面積之比等于（）

A.2：3B.4：9C.4：5D.72:V3

【分析】由。E〃8C,利用“兩直線平行，同位角相等”可得出ZAED

=ZACB,進(jìn)而可得出△ADES/XABC,再利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即

可求出結(jié)論.

【解答】,：DE//BC,

/ADE=ZABC,NAED=ZACB,

：.AADE^^XABC,

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.SAADE_，皿2_4

??瓦嬴一短~9

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的面積比等于相似比的

平方是解題的關(guān)鍵.

7.圖1是一個(gè)地鐵站入口的雙翼閘機(jī).如圖2,它的雙翼展開時(shí)，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與2

之間的距離為10c",雙翼的邊緣AC=BD=54cM1,且與閘機(jī)側(cè)立面夾角NPCA=/BDQ

=30°.當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度為（）

閑機(jī)■閑機(jī)看

圖1圖2

A.（5473+10）cmB.（54>/2+10）cmC.64cmD.54cm

【分析】過A作AE，CP于E,過B作2尸，。。于凡則可得AE和3尸的長，依據(jù)端點(diǎn)

4與8之間的距離為10。"，即可得到可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度.

【解答】解：如圖所示，過A作AELCP于E,過2作于R則

RtzXACE中，AE=LC=LX54=27（cm）,

22

同理可得，BF=21cm,

又：點(diǎn)A與8之間的距離為lOc/77,

...通過閘機(jī)的物體的最大寬度為27+10+27=64（cm）,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它

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可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多.

8.在平面直角坐標(biāo)系尤。丫中，四條拋物線如圖所示，其解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)一定小于1

的是（）

A.yiB.yiC.y3D.j4

【分析】先確定”的二次項(xiàng)系數(shù)為1,然后根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的絕對值大，圖象開口反而

小即可得出結(jié)論.

【解答】解：由圖象可知：開口都是向上，二次項(xiàng)系數(shù)都大于0,函數(shù)yi的開口最大，

大于y2,函數(shù)小的開口小于了2,函數(shù)y4的開口等于＞2

:拋物線”的頂點(diǎn)為（0,-1）,與尤軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1,0）,根據(jù)待定系數(shù)法求得中

=X2-1,則二次項(xiàng)的系數(shù)為1,

故解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)一定小于1的是yi

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解

析式，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得解析式是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.方程x2-3x=0的根為xi=0,X2=3.

【分析】根據(jù)所給方程的系數(shù)特點(diǎn)，可以對左邊的多項(xiàng)式提取公因式，進(jìn)行因式分解，

然后解得原方程的解.

【解答】解：因式分解得，x（尤-3）=0,

解得，xi=0,X2=3.

故答案為：XI—0,X2=3.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程的方法，當(dāng)方程的左邊能因式分解時(shí)，一般情況下

是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點(diǎn)解出方程的根.因式分解法是解一元二

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次方程的一種簡便方法，要會(huì)靈活運(yùn)用.

10.半徑為2且圓心角為90°的扇形面積為TT.

【分析】根據(jù)扇形面積公式求出即可.

【解答】解：扇形的面積是X2:=e,

360

故答案為億

【點(diǎn)評】本題考查了扇形的面積計(jì)算，能熟記扇形的面積公式是解此題的關(guān)鍵.

11.已知拋物線的對稱軸是x=w,若該拋物線與X軸交于（1,0）,（3,0）兩點(diǎn)，則"的

值為2.

【分析】利用拋物線與x軸的交點(diǎn)為對稱軸，從而得到拋物線的對稱軸方程.

【解答】解：.??拋物線與x軸交于（1,0）,（3,0）兩點(diǎn)，

.?.拋物線的對稱軸為直線=2.

即〃的值為2.

故答案為2.

【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=o?+灰+c（a,b,c是常數(shù)，

。/0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo).也考

查了二次函數(shù)的性質(zhì).

12.在同一平面直角坐標(biāo)系尤0y中，若函數(shù)y=尤與>=區(qū)0）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則Z

x

的取值范圍是1>0.

【分析】聯(lián)立兩函數(shù)解析式，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，由兩函數(shù)在同一直角

坐標(biāo)系中的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)得到根的判別式大于0,列出關(guān)于左的不等式，求出不等式的

解集即可得到人的范圍.

y=x

【解答】解：聯(lián)立兩解析式得：k，

y=-

X

消去y得：/-k=0,

???兩個(gè)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

：.X=R-4ac=4k>0,即k>0.

故人的取值范圍是％>0.

故答案為：k>0.

【點(diǎn)評】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，以及反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，

第14頁共33頁

熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，有兩點(diǎn)A(2,4),B(4,0),以原點(diǎn)O為位似中心,

把△OA8縮小得到△0AE.若8的坐標(biāo)為(2,0),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).

【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)計(jì)算.

【解答】解：點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),以原點(diǎn)。為位似中心，把縮小得到△OA9,

8的坐標(biāo)為(2,0),

以原點(diǎn)。為位似中心，把△048縮小工，得到△。48,

2

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4),

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2X-1,4xX),即(1,2),

22

故答案為：(1,2).

【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變

換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于％或-k.

14.已知(-1,yi),(2,*)是反比例函數(shù)圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，且yi>”,請寫出一個(gè)

符合條件的反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=-2,答案不唯一.

x

【分析】先根據(jù)題意判斷出左的符號，再寫出符合條件的解析式即可.

【解答】解：：(-1,yi),(2,”)是反比例函數(shù)圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，且yi>”，

...函數(shù)圖象的分支在二四象限，則上<0.

故答案為：y=-2,答案不唯一.

x

【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，解決

此題的關(guān)鍵是確定上的符號.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，點(diǎn)A(3,0),判斷在M,N,P,。四點(diǎn)中，滿足到

點(diǎn)。和點(diǎn)A的距離都小于2的點(diǎn)是點(diǎn)A/與點(diǎn)N.

第15頁共33頁

【分析】分別以點(diǎn)0和點(diǎn)A為圓心，2為半徑畫圓，即可得到滿足到點(diǎn)。和點(diǎn)A的距離

都小于2的點(diǎn).

【解答】解：如圖，分別以點(diǎn)。和點(diǎn)A為圓心，2為半徑畫圓，

可得滿足到點(diǎn)O和點(diǎn)A的距離都小于2的點(diǎn)是點(diǎn)〃與點(diǎn)N,

故答案為：點(diǎn)〃與點(diǎn)N.

【點(diǎn)評】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)的坐標(biāo)，解題時(shí)注意：當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí),

點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，尸是直線y=2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OP的半徑為1,直線

0Q切。尸于點(diǎn)Q,則線段0Q的最小值為—在

【分析】連接PQ、0P,如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得PQLOQ,再利用勾股定理得到0Q

=Vop2-r利用垂線段最短，當(dāng)。尸最小時(shí)，。。最小，然后求出。尸的最小值，從而

得到OQ的最小值.

【解答】解：連接P。、OP,如圖,

:直線切。尸于點(diǎn)Q,

J.PQLOQ,

第16頁共33頁

在Rt△。尸0中，02=j0p2_pQ2=1yop2

當(dāng)。尸最小時(shí)，OQ最小,

當(dāng)。尸，直線y=2時(shí)，。尸有最小值2,

：.OQ的最小值為亞W=?.

故答案為

【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了勾股定理.

三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分；第23-26題，每小題5分；第27~

28題，每小題5分）

17.（5分）計(jì)算：cos45°-2sin30°+（-2）°.

【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值，以及零指數(shù)幕法則計(jì)算即可求出值.

【解答】解：原式=返-2義工+1=返-1+1=返.

2222

【點(diǎn)評】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

18.（5分）如圖，與BC交于。點(diǎn)，ZA=ZC,AO=4,CO=2,CD=3,求AB的長.

【分析】由N4=/C,可得出利用相似三角形的性質(zhì)

可得出膽=9_,代入AO=4,CO=2,CD=3即可求出AB的長.

CDCO

【解答】解：VZA=ZC,/AOB=NCOD,

：.△AOBsXcOD,

?AB_AO即AB=4

，-，

'CDCO~T~T

：.AB=6.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形對應(yīng)邊的比相等是解題

的關(guān)鍵.

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19.（5分）已知x="是關(guān)于x的一■元二次方程/nr2-4x-5=0的一個(gè)根，mn2-4n+m=

6,求小的值.

【分析】把x=w代入方程求出機(jī)層-4〃的值，代入已知等式求出m的值即可.

【解答】解：把x="代入方程得：根"2-4〃-5=0,即機(jī)層-4〃=5,

代入已知等式得：5+m=6,

解得：機(jī)=1.

【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定義，熟練掌握運(yùn)算法則

是解本題的關(guān)鍵.

20.（5分）近視鏡鏡片的焦距y（單位：米）是鏡片的度數(shù)x（單位：度）的函數(shù)，下表記

錄了一組數(shù)據(jù):

X（單位：度）???100250400500

y（單位：米）???1.000.400.250.20

（1）在下列函數(shù)中，符合上述表格中所給數(shù)據(jù)的是2；

x21319

A.y=—―x；B.y=；C.y=-1x4-|sDy

'100x-20040000^SOO-X8

（2）利用（1）中的結(jié)論計(jì)算：當(dāng)鏡片的度數(shù)為200度時(shí)，鏡片的焦距約為.?-1米.

一2一

【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得近視鏡鏡片的焦距y（單位：米）與度數(shù)無（單位：度）

成反比例，依此即可求解;

（2）將x=200代入（1）中的解析式，求出y即可.

【解答】解：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得，100X1=250X0.4=400X0.25=500X0.2=100,

所以近視鏡鏡片的焦距y（單位：米）與度數(shù)無（單位：度）成反比例,

所以y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是里.

x

故選：B.

(2)將x=200代入

X

得尸也”

2002

故答案為工.

2

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)值，正確求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)

第18頁共33頁

鍵.

21.（5分）下面是小元設(shè)計(jì)的“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖1,及。。上一點(diǎn)P.

求作：過點(diǎn)P的。。的切線.

作法：如圖2,

①作射線0P；

②在直線0P外任取一點(diǎn)A,以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作OA,與射線0P交于另一點(diǎn)B；

③連接并延長BA與OA交于點(diǎn)C；

④作直線PC-,

則直線PC即為所求.

根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：是OA的直徑，

.,.ZBPC=90°（圓周角定理）（填推理的依據(jù)）.

：.OP±PC.

又：OP是。。的半徑，

圖1圖2

【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；

（2）根據(jù)圓周角定理得到/8PC=90°,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖所示，則直線PC即為所求；

（2）證明：是OA的直徑，

：.ZBPC=9Q°（圓周角定理），

：.OP±PC.

又：OP是。。的半徑,

第19頁共33頁

.??PC是o。的切線（切線的判定）.

故答案為：圓周角定理，切線的判定.

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

22.（5分）2018年10月23日，港珠澳大橋正式開通，成為橫亙在伶仃洋上的一道靚麗的

風(fēng)景.大橋主體工程隧道的東、西兩端各設(shè)置了一個(gè)海中人工島，來銜接橋梁和海底隧

道，西人工島上的A點(diǎn)和東人工島上的8點(diǎn)間的距離約為5.6千米，點(diǎn)C是與西人工島

相連的大橋上的一點(diǎn)，A,B,C在一條直線上.如圖，一艘觀光船沿與大橋AC段垂直

的方向航行，到達(dá)尸點(diǎn)時(shí)觀測兩個(gè)人工島，分別測得PA,PB與觀光船航向PD的夾角

ZZ）B4=18°,/DPB=53°,求此時(shí)觀光船到大橋AC段的距離尸。的長.

參考數(shù)據(jù)：sinl8°*0.31,cosl8°心0.95,tanl8°-0.33,sin53°^0.80,cos53°"0.60,

【分析】設(shè)PD的長為x千米，DA的長為y千米，在RtAPAD中利用正切的定義得到

tanl8°=工，即y=0.33x,同樣在RtAPDB中得到y(tǒng)+5.6=1.33x,所以0.33x+5.6=1.33x,

x

然后解方程求出X即可.

【解答】解：設(shè)尸。的長為X千米，D4的長為y千米，

在中，tan/D81=地，

DP

即tanl8°=—,

x

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/.y=0.33x,

在RtZkPOB中，tanZDPB=^~,

PD

即tan53。=迄殳，

X

Ay+5.6=1.33x,

???0.33x+5.6=1.33x,解得x=5.6,

答:此時(shí)觀光船到大橋AC段的距離PD的長為5.6千米.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用：根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或

邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案.

23.(6分)在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，已知直線y=L與雙曲線>=上■的一個(gè)交點(diǎn)是A(2,

2x

a).

(1)求上的值；

(2)設(shè)點(diǎn)尸("z,n)是雙曲線>=區(qū)上不同于A的一點(diǎn)，直線出與x軸交于點(diǎn)2(6,0).

x

①若相=1,求b的值；

②若尸8=2AB,結(jié)合圖象，直接寫出6的值.

【分析】(1)由直線解析式求得A(2,1),然后代入雙曲線y=K中，即可求得上的值;

(2)①根據(jù)系數(shù)上的幾何意義即可求得〃的值，得到尸的坐標(biāo)，繼而求得直線也的解

析式，代入B(b,0)即可求得。的值；②分兩種情況討論求得即可.

【解答】解：(1),?,直線>=工■尤與雙曲線y=K的一個(gè)交點(diǎn)是A(2,a),

2x

.，.a=」X2=l,

2

AA(2,1),

第21頁共33頁

.\k=2X1=2；

(2)①若相=1,則P(1,〃)，

???點(diǎn)尸(1,〃)是雙曲線>=區(qū)?上不同于A的一點(diǎn),

x

??nk~~~21

：.P(1,2),

VA(2,1),

則直線B4的解析式為y=-x+3,

?.?直線與x軸交于點(diǎn)8(6,0),

；.0=-b+3,

."=3；

②如圖1,當(dāng)P在第一象限時(shí)，

\"PB=2AB,A(2,1),

；.尸點(diǎn)的縱坐標(biāo)時(shí)2,

代入y=2求得x=l,

x

：.P(1,2),

由①可知，此時(shí)6=3；

如圖2,當(dāng)尸在第，三象限時(shí)，

?；PB=2AB,A(2,1),

二尸點(diǎn)的縱坐標(biāo)時(shí)-2,

代入y=Z求得x=-1,

x

：.P(-1,-2),

VA(2,1)

則直線PA的解析式為y=x-1,

*.b=\,

綜上，6的值為3或1.

第22頁共33頁

【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的

關(guān)鍵.

24.(6分)如圖，A,B,C為OO上的定點(diǎn).連接AB,AC,M為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

CM,將射線繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,交。。于點(diǎn)。，連接8D若AB=6CHI,AC

=2cm,記A,M兩點(diǎn)間距離為無cmB,。兩點(diǎn)間的距離為

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.

下面是小東探究的過程，請補(bǔ)充完整：

(1)通過取點(diǎn)、畫圖、測量，得到了尤與y的幾組值，如下表，補(bǔ)全表格：

x/cm00.250.47123456

第23頁共33頁

y/cm1.430.6601.312.592.762.411.660

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補(bǔ)全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)

的圖象；

(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)AC時(shí),AM的長度約為1.38或4.62cm.

【分析】(1)描出圖象后，測量x=4時(shí)，y的值，即可求解；

(2)描點(diǎn)即可；

(3)當(dāng)3￡(=AC時(shí)，即：y=2,即圖中點(diǎn)A、8的位置，即可求解.

【解答】解：(1)描出后圖象后，x=4時(shí)，測得y=2.41(答案不唯一),

故答案是2.41；

(2)圖象如下圖所示:

當(dāng)尤=4時(shí)，測量得：y—2Al；

(3)當(dāng)時(shí)，y=2,

即圖中點(diǎn)A、B的位置，

從圖中測量可得：XA=1.38,XB=4.62,

故：答案為：1.38或4.62(本題答案不唯一).

【點(diǎn)評】本題考查的函數(shù)的作圖，主要通過描點(diǎn)的方法作圖，再根據(jù)題意測量出相應(yīng)的

長度.

25.(6分)如圖，是。。的弦，半徑OELAB,P為A8的延長線上一點(diǎn)，PC與。。相

切于點(diǎn)C,CE與AB交于點(diǎn)?

(1)求證：PC=PF；

(2)連接。8,BC,若OB〃PC,BC=3A/2，tanP=3,求尸8的長.

第24頁共33頁

E

【分析】（1）連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)以及0E_LA8,可知NE+NEE4=NOCE+N/。尸

=90°,從而可知/￡剛=//。尸，由對頂角的性質(zhì)可知NC尸尸=NbCP,所以尸。=尸尸;

（2）過點(diǎn)8作8G_LPC于點(diǎn)G,由于05〃PC,且O5=OC,8C=3加,從而可知03

=3,易證四邊形05GC是正方形，所以O(shè)8=CG=8G=3,所以弛=3,所以PG=4,

PG4

由勾股定理可知：尸3=5,所以FB=PF-PB=7-5=2.

【解答】解：（1）連接OC,

???尸。是OO的切線，

.\ZOCP=90°,

OE=OC,

：./E=/OCE,

uJOELAB,

：.ZE+ZEFA=ZOCE+ZFCP=9Q°,

：.ZEFA=ZFCP,

?：/EFA=/CFP,

:?/CFP=NFCP,

：.PC=PF；

(2)過點(diǎn)3作BG_LPC于點(diǎn)G,

OB//PC,

：.ZCOB=90°,

VOB=OC,8C=3&,

???OB=3,

?：BGLPC,

：.四邊形OBGC是正方形，

???OB=CG=BG=3,

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\'tanP=—,

4

.BG3

??--------,

PG4

.?.PG=4,

由勾股定理可知：PB=5,

?：PF=PC=1,

：.FB=PF-PB=1-5=2.

【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合問題，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定,

銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).

26.（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線G：j=4x2-8ax+4a2-4,A（-1,0）,

N（7i,0）.

（1）當(dāng)（7=1時(shí)，

①求拋物線G與尤軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

②若拋物線G與線段AN只有一個(gè)交點(diǎn)，求〃的取值范圍；

（2）若存在實(shí)數(shù)a,使得拋物線G與線段AN有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象，直接寫出“的取

值范圍.

【分析】（1）①把。=1代入二次函數(shù)表達(dá)式得：y=4/-8x,令y=0,即可求解；

②拋物線G與線段AN只有一個(gè)交點(diǎn)，貝鼠=-1時(shí)，y20（已經(jīng)成立），尤=〃時(shí)，y<0,

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且-1,即可求解；

(2)由②知，拋物線G與線段AN有兩個(gè)交點(diǎn)，貝Ux=-1時(shí)，x=〃時(shí)，y20,

即可求解.

【解答】解：⑴①把。=1代入二次函數(shù)表達(dá)式得：y=4f-8x,

令y=0,即4A2-8x=0,解得：x=0或2,

即拋物線G與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：(2,0)、(0,0)；

②拋物線G與線段AN只有一個(gè)交點(diǎn)，

則尤=-1時(shí)，y^O(已經(jīng)成立)，x—n時(shí)，y<0,且n>-1,

4?2-8?<0,解得：0<n<2,

故：0Ww<2；

(2)由②知，拋物線G與線段AN有兩個(gè)交點(diǎn)，

貝ijx=-l時(shí)，y^O,尤="時(shí)，yNO,

Bn(4+8a+4a2-4)。副但(a>0或a<-2

即：〈0，解得：一、，

-2an+a-l>0或n?a