排列組合與二項式

一、分類計數原理（加法原理）：完成一件事情，有n類方式,在第1類方式中有m1種不同的方法,在第2類方式中有m2種不同的方法，……，在第n類方式中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.第十五章排列、組合與二項式定理要點：（1）分類；（2）相互獨立；（3）N=m1+m2+…+mn（各類方法之和）2021/10/101分步計數原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.

要點：（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3）N=m1×m2×…×mn（各步方法之積）2021/10/102總結出兩個原理的聯(lián)系、區(qū)別：分類計數原理分步計數原理聯(lián)系區(qū)別1區(qū)別2完成一件事，共有n類辦法，關鍵詞“分類”完成一件事，共分n個步驟，關鍵詞“分步”每類辦法相互獨立，每類方法都能獨立地完成這件事情各步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算完成這件事都是研究完成一件事的不同方法的種數的問題2021/10/103例1書架的第一層放有4本不同的計算機書，第二層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？解：從書架上任取一本書，有3類辦法：第1類辦法是從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2類辦法是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類辦法是從第3層取一本體育書，有2種方法．根據分類計數原理，不同取法的種數是N=4+3+2=9．答：從書架上任取1本書，有9種不同的取法.2021/10/104例2書架的第一層放有4本不同的計算機書，第二層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．從書架的第1、2、3層各取一本書，有幾種不同的取法？解:從書架的第1，2，3層各取1本書，可以分成3個步驟完成：根據分步乘法計數原理，不同取法的種數是

N=4×3×2=24．答：從書架的第1，2，3層各取1本書，有24種不同的取法.

第3個步驟是從第3層取一本體育書，有2種方法．第2個步驟是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第1個步驟是從第1層取1本計算機書，有4種方法；2021/10/105課堂練習書架的上層放有5本不同的數學書，中層放有6本不同的語文書，下層放有4本不同的英語書，從中任取1本書的不同取法的種數是（）

A.5+6＋4=15B.1C.6×5×4=120D.3A在上題中,如果從中任取3本,數學,語文,英語各一本,則不同取法的種數是()A.1+1+1=3B.5+6+4=15C.5×6×4=120D.1C2021/10/106二、排列的概念：

從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.

說明：（1）排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；（2）兩個排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同；（3）當m=n時，稱為n個元素的全排列.2021/10/107排列數的定義：

從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素的所有排列的個數叫做從n個元素中取出m元素的排列數.用符號表示:區(qū)別排列和排列數的不同：

“一個排列”是指：從n個不同元素中，任取m個元素按照一定的順序排成一列，不是數；

“排列數”是指從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素的所有排列的個數，是一個數，所以符號只表示排列數，而不表示具體的排列.2021/10/108排列數公式

從n個元素a1,a2,a3,…,an中任取m個元素填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數就是排列數．由分步計數原理完成上述填空共有種填法.2021/10/109說明：

（1）公式特征：第一個因數是n，后面每一個因數比它前面一個少1，最后一個因數是n-m+1，共有m個因數；（2）全排列：當m=n時,即n個不同元素全部取出的一個排列.全排列數：2021/10/1010排列數公式階乘表示：2021/10/10111、從2，3，5，7，11這五個數字中，任取2個數字組成分數，不同值的分數共有多少個？2、5人站成一排照相，共有多少種不同的站法？3、某年全國足球中超聯(lián)賽共有16隊參加，每隊都要與其余各隊在主客場分別比賽1次，共進行多少場比賽？2021/10/1012

一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.

說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；⑶相同組合：元素相同三、組合的概念：2021/10/1013組合數的概念：

從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數．用符號表示:2021/10/1014組合數公式:

一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數可以分如下兩步：①先求從n個不同元素中取出m個元素的組合數；②求每一個組合中m個元素全排列數，根據分步計數原理得：2021/10/1015組合數性質1：組合數性質2：2021/10/10161、利用組合數性質計算：2021/10/10172021/10/10182、5個男生，3個女生（1）男女生各選2個參加會議，有多少種不同的選法？（2）選4人參加會議，其中必須有女生，有多少種不同的選法？（3）選4人參加會議，女生至多1人，有多少種不同的選法？分組問題：“含”與“不含”

“至多”與“至少”2021/10/1019特殊元素先排1、a、b、c、d、e五個人排成一排，依下列條件有多少種不同的排法？（1）共有多少種排法？（2）a必須在中間（3）a必須在兩端（4）a不在首，b不在尾四、排列、組合的簡單應用2021/10/1020（10）a在b的前面集團式排除法插空法按序1、a、b、c、d、e五個人排成一排，依下列條件有多少種不同的排法？（5）a、b、c必須相連（7）a、b、c恰有兩個相連（8）a、b、c中至多有兩個相連（9）a、b、c中至少有兩個相連（6）a、b、c不相連2021/10/1021（10）a在b的前面按序1、a、b、c、d、e五個人排成一排，依下列條件有多少種不同的排法？a在第1位a在第2位a在第3位a在第4位分類討論所以共有24+18+12+6=60種不同的排法2021/10/10222、3名男生和2名女生站成一排，其中2名女生恰好站在兩端的概率是()3、書架上陳列了4本科技雜志和4本文藝雜志。一位學生從中任取一本閱讀，那么他閱讀文藝雜志的概率等于（）（A）1（B）0.25（C）0.5（D）0.1254、某學生從5門課程中任選3門，其中甲、乙兩門課程至少選一門，則不同的選課方案共有（）種。（A）11（B）10（C）9（D）8Cc2021/10/10235、8名選手在8條跑道的運動場進行百米賽跑，其中有2名中國選手，按隨機抽簽方式決定選手的跑道，2名中國選手在相鄰的跑道的概率為（）。6、4個人排成一行，其中甲、乙二人總排在一起，則不同的排法共有（）。

(A)3種(B)6種(C)12種(D)24種7、兩個盒子內各有3個同樣的小球，每個盒子中的小球上分別標有1，2，3三個數字，從兩個盒子中分別任意取出一個球，則取出的兩個球上所標數字的和為3的概率是（）。C2021/10/10248、某學生從6門課程中選修3門，其中甲課程一定要選修，則不同的選課方案共有（）。

(A)4種(B)8種(C)10種(D)20種9、5個人排成一行，則甲排在正中間的概率是（）。10、某學生從6門課程中選修3門，其中甲、乙兩門課程至少選一門，則不同的選課方案共有（）。

(A)4種(B)12種(C)16種(D)20種11、正六邊形中，由任意三個頂點連線構成的三角形的個數為（）。（A）6（B）20（C）120（D）720C2021/10/1025例3、6本不同的書，按下列要求處理，各有幾種分法？（1）一堆1本，一堆2本，一堆3本（2）甲得1本，乙得2本，丙得3本（3）一人得1本，一人得2本，一人得3本（4）平均分給甲、乙、丙三人（5）平均分成三堆非均勻不定向分配（有序）非均勻定向分配（有序）均勻分組問題（無序）均勻定向分配（有序）非均勻分組（無序）2021/10/1026例4（1）將6個相同的小球放入4個抽屜，每個抽屜至少有1個球的方法有多少種？（2）將9本相同的練習本分給5個人，每人至少1本，有多少種不同的分法？（3）某城市一條道路上有12盞路燈，為了節(jié)約用電又不影響正常照明，可以熄滅其中的3盞燈，但路的兩端燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，共有多少種熄滅的方法？相同元素分組問題：插空法（隔板法）2021/10/1027例5、從5雙不同的鞋子中取出4只，按下列條件有多少種不同的取法？（1）取出4只鞋恰好配成2雙（2）取出4只鞋至少配成1雙（3）任何2只都不能配成1雙分組問題：配對2021/10/1028五、二項式定理(a+b)4＝C40a4

＋C41a3b＋C42a2b2＋C43ab3＋C44

b42021/10/1029(a+b)2＝

(a+b)(a+b)展開后其項的形式為：a2

，ab，b2這三項的系數為各項在展開式中出現的次數?？紤]b恰有1個取b的情況有C21種，則ab前的系數為C21恰有2個取b的情況有C22

種，則b2前的系數為C22每個都不取b的情況有1種，即C20,則a2前的系數為C20(a+b)2=a2+2ab+b2

＝C20

a2+C21

ab+C22b2=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3單三步2021/10/1030二項展開式定理:一般地，對于nN*，有：

這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做(a+b)n的

，其中（r=0,1,2,……,n）叫做

，

叫做二項展開式的通項，用Tr+1

表示，該項是指展開式的第

項，展開式共有_____個項.展開式二項式系數r+1n+1單三步2021/10/10312.二項式系數規(guī)律：3.指數規(guī)律：（1）各項的次數和均為n；（2）二項和的第一項a的次數由n逐次降到0，

第二項b的次數由0逐次升到n.1.項數規(guī)律：展開式共有n+1個項二項展開式定理:單三步2021/10/1032特別地:2、令a=1，b=x1、把b用-b代替(a-b)n=Cnan-Cnan-1b+…+(-1)rCnan-rbr

+…