5月大數(shù)據(jù)模擬卷03（江蘇專用）（解析版）高中數(shù)學(xué)

5月大數(shù)據(jù)精選模擬卷03(江蘇專用)

數(shù)學(xué)

本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知集合A={xe—x+f<0//?},8={xe7?，+*—6<0},若=<9},貝”

Ap\B—()

A.(-3,3)B.(-2,2)C.(-2,3)D.(-3,2)

【答案】B

【詳解】

因?yàn)榧先?{%6刈》2一x+f<o,fe/?},B={xe+x_6<0}={目-3<x<2},

且AuB={Xd<9}={x[一3<%<3},

所以3是方程f一%+，=0的根，即3?一3+，=o,解得f=-6，

所以集合A={xe7?|x2—x-6<0/e/?}={x[—2<x<3},

所以405=(-2,2),

故選：B

2.“虛數(shù)”這個(gè)詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制的，當(dāng)時(shí)的觀念認(rèn)為這是不存在的數(shù).人們發(fā)現(xiàn)，

最簡(jiǎn)單的二次方程-+1=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有解.已知復(fù)數(shù)z滿足z2+4i=0,則回=()

A.4B.2C.72D.1

【答案】B

【詳解】

解：因?yàn)閦?+4i=0，

所以z2=-4i,

故|z2|=|z『=|-4i|=4,

所以Iz|=2.

故選：B.

1

3.己知a,B是相互垂直的單位向量，與共面的向量［滿足a-r=B-c=2,則：的模為（）

A.1B.72C.2D.272

【答案】D

【詳解】

是相互垂直的單位向量，

不妨設(shè)2=（i,o）,B=（o,i）,

設(shè)c=（x,y）,由a.c=B-c=2,

可得x=y=2,即"=（2,2）,

則c的模為同=V22+22=我=2萬

故選：D

4.《周髀算經(jīng)》中給出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二節(jié)氣

的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列的結(jié)論.已知某地立春與立夏兩個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)分別為10.5尺和4.5尺，現(xiàn)在從該

地日影長(zhǎng)小于9尺的節(jié)氣中隨機(jī)抽取2個(gè)節(jié)氣進(jìn)行日影長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)，則所選取這2個(gè)節(jié)氣中至少有1個(gè)節(jié)

氣的日影長(zhǎng)小于5尺的概率為（）

、3八4〃13、5

A.-B.-C.—D.一

77217

【答案】D

【詳解】

設(shè)這卜二節(jié)氣中第個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)為尺，

可知數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為。，

由題意得。4=10?5，=4.5,6d=。］0-〃4=-6,，4=一1.，

an=4+（〃—4）d=10.5—（n-4）=14.5—H.

令為=14.5-〃<9,解得〃>5.5；令q=14.5-〃<5,解得及>9.5.

從該地日影長(zhǎng)小于9尺的節(jié)氣中隨機(jī)抽取2個(gè)節(jié)氣，所有的基本事件有：（％，%）、（。6，必）、（。6，的）、

（。6，"［0）、（“6，"11）、（以6,。12）、（“7'08）、（,々9）、（"7，。］0）、（^7，"11）、（^7，）、（“8，09）、（“8，"10）、

2

（々8,4］）、（4,42）、（，4o）、（%，"i?）、（^9,4？）、（4o，"】i）、（4o,"12）、（4i，"i2），共21個(gè)，

其中，事件“所選取這2個(gè)節(jié)氣中至少有1個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)小『5尺''所包含的基本事件有：（4，4°）、

（。6'%）、（。6,%2）、（%,《（））、（%，即）、（生馮2）、（4馮0）、（。8,41）、（％'%）、（%,。|0）、（〃9,41）、

（々9，42）、（40,41）、（4o，"i2）、（qdz），共15個(gè)，

因此，所求事件的概率為"=

217

221

5.已知雙曲線C：="-%■=1（?！?力>（））的右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則雙曲線C的離心率為

（）

A.y/2B.氈C.6D.2

3

【答案】B

【詳解】

由題意知雙曲線c的一條漸近線方程為法-胡=o,

所以右頂點(diǎn)到漸近線的距離為—==5”，即c=2Z?,則。=Jc、2—〃=?。?

C

2b26

所以，該雙曲線的離心率e=￡=-

a&?-3.

log2x,x>1

6.已知函數(shù)/（九）=<1,

g（x）=/（x）-去，若函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則左的取值范圍是（）

—x+l,x<1

14

A.（0,B.（0,JC.卜，口D.［，上］

l4」I6?In2）Le）［4elnl）

【答案】D

【詳解】

log,X,X>1

作出/（x）=4l］，的圖象,

如圖所示，

—x+l,x<1

14

3

當(dāng)丫=丘與y=10g2無相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(與,%),

%=5

則有＜%=log2x0,解得%=e,

Z=—!—

xoln2

所以相切時(shí)的斜率k=—5—；

eln2

將函數(shù)y="的圖象順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

當(dāng)，44＜」一時(shí)，/(工)與＞="有2個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；

4eln2

當(dāng)0〈人＜■!■時(shí)?，/(*)與丫=丘有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；

4

當(dāng)時(shí),/(幻與y=丘有1個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；

當(dāng)我之」一時(shí)，/(幻與》="有。個(gè)或1個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意.

eln2

7.密位制是度量角的一種方法.把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作為角的度量

單位，這種度量角的單位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，單位名稱

密位二字可以省去不寫.密位的寫法是在百位數(shù)與十位數(shù)字之間畫一條短線，如密位7寫成“()-()7”,478

密位寫成“4—78”,1周角等于600()密位，記作1周角=60—00,1直角=15—(X).如果一個(gè)半徑為2的

7

扇形，它的面積為二萬，則其圓心角用密位制表示為()

6

A.12-50B.17-50C.21-00D.35-(X)

【答案】B

【詳解】

1,77

設(shè)扇形所對(duì)的圓心角為a,a所對(duì)的密位為〃，則5。、2-=%萬，解??兀，

7_

--7T/

由題意可得n12，解得〃=——x6000=175。，

------=——24

60002萬

4

因此，該扇形圓心角用密位制表示為17—50.

故選：B.

8.已知四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在以AB為直徑的球R面上，且=8=08=2,若四面體ABCD

的體積是逑，則這個(gè)球面的面積是（）

3

3276

A.16萬B.—nC.D.一71

33

【答案】A

【詳解】

如下圖所示，取A5的中點(diǎn)0，設(shè)△BCD的外心E，連接0E、BE，

I

山題意可知5雙38=-x22xsiny=V3,

設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為h,則匕BCD=-S八BCD-h=逗，解得力=勺住，

R-KY^U3/33

由球的幾何性質(zhì)可得。石，平面BCD，?.?3七匚平面8。，，0七，3七，

2273

因?yàn)椤锳5的中點(diǎn)，則。后=人力=2匹，由正弦定理可得8"

c.乃一3

232sin—

3

所以O(shè)B=y/OE2+BE2=2，則%=4%收=16萬

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得。分.

9.為了解目前淮安市高一學(xué)生身體素質(zhì)狀況，對(duì)某校高一學(xué)生進(jìn)行了體能抽測(cè)，得到學(xué)生的體育成績(jī)

X~N（70,100）,其中60分及以上為及格，90分及以上為優(yōu)秀.則下列說明正確的是（）

參考數(shù)據(jù)：隨機(jī)變量則P(〃-cr<J<〃+cr)=0.6826,

5

尸(〃-2cr<^<//+2cr)=0.9544,P(〃-3cr<彳<〃+3cr)=0.9974.

A.該校學(xué)生體育成績(jī)的方差為10

B.該校學(xué)生體育成績(jī)的期望為70

C.該校學(xué)生體育成績(jī)的及格率不到85%

D.該校學(xué)生體育成績(jī)不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)相當(dāng)

【答案】BC

【詳解】

A：由題設(shè)知cr2=100,所以該校學(xué)生體育成績(jī)的方差100,錯(cuò)誤；

B：由題設(shè)知〃=70,即該校學(xué)生體育成績(jī)的期望為70,正確;

C：P(X26O)=P(X2MF)=]_P(X<M_b)=l+P(〃_b<X</+b)=0.8413,所以該校學(xué)

生體育成績(jī)的及格率不到85%,正確；

D：P(X<60)=P(X<〃—b)=0.1587,而尸(X290)=尸(X2〃+2cr)=0.0228,錯(cuò)誤;

故選：BC.

10.當(dāng)x〉0,y>0時(shí)，下列不等式中恒成立的有()

A?苦而B.C,D.

xyx+yxyy]xyx+y

【答案】ABD

【詳解】

2孫v2xy而當(dāng)且僅當(dāng)”=y時(shí)取等號(hào)，正確.

對(duì)于A,x+y'

(1l}

對(duì)于B,—+—(x+y)=2+^+->4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào),正確.

I、y)

11x+y2Jxy2加

對(duì)于C,一+—=-4二^=)=,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，錯(cuò)誤.

%y孫孫。孫

對(duì)于D,(x3+y3)(x+y)=(x+y)2(x2+y2-xy)4x2y2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，正確.

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線C的方程是xy=l,下列結(jié)論正確的是()

A.曲線c上的點(diǎn)與定點(diǎn)a)距離的最小值是2-J5

6

B.曲線。上的點(diǎn)和定點(diǎn)/的距離與到定直線/：x+y-啦=0的距離的比是也

C.曲線。繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，所得曲線方程是f-9=2

D.曲線。的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是4

【答案】ABC

【詳解】

設(shè)p(x,3是曲線上任一點(diǎn)，

X

2

\PF\=J(x_0)2+(j__揚(yáng)2=/2+二一2亞丁+3+4=^(x+-)-272(%+-)+2

=J(xT--->/2)"=x-\----5/2，

Vxx

顯然|產(chǎn)耳的最小值在x>0時(shí)取得，x>0時(shí)，x+->2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)等號(hào)成立，

X

所以仍口.=2-V2.A正確；

IImin

由上面分析得曲線。上的點(diǎn)和定點(diǎn)尸卜傷,、傷)的距離與到定直線/：x+y-&=0的距離的比是:

L+1-V2

1_____1=正

x+l-V2—正確；

由A,B兩選項(xiàng)分析得曲線是雙曲線，離心率是&,一個(gè)焦點(diǎn)是尸(四,女)，它順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。變成

F(2,0),為其對(duì)稱軸，因此c=2,-=V2,a-V2>WJb=y/c2-a2=V2>

a

22

新方程是土一匕=1,即/一9=2,c正確；

22

,1

曲線移=1變?yōu)閥='，y'=--1,設(shè)P(Xo，y0)，則x=x()時(shí)，y=--三，

XXX()

切線方程為y-'=--l(x-Xo),令x=(M蜉y=2

—,令y=。得工=2%,

X。%

12

所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是S=；；x--x|2冗o|=2,D錯(cuò).

2x

7

12.設(shè)函數(shù)/（幻=人廣山+Olnx,下列說法正確的是（）

e

A.若a=b=（）,/（x）是奇函數(shù)

B.若。=1,/?=0,/（X）在（|,+00）單調(diào)遞減

C.若4=0,。=一1,/（X）在（1,+8）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

D.若。20,-----------＞-----------（玉

x}+x2玉一x2

【答案】BC

【詳解】

選項(xiàng)A,若。=〃=0時(shí)，/（%）=;_,xeR,又/（一%）=—1:一//］。一/。），故A不下正確;

ee

“Lc-cq”、d+xin2"，/、—2d+3/_2xin2+ln23、，,/、△

選項(xiàng)B,。=1力=0時(shí)，/(%)=——--,f\x)=----------------------，xw(z一,+8),/(x)<0,

ee2

故B正確；

選項(xiàng)C,a=0,b=-l時(shí)，/(x)==—inx,f\x)=~2，V^3，V---<0.

ee光

函數(shù)在R上單調(diào)遞減，/（i）＞o,/（6＜）＜o(jì),所以函數(shù)在a”）行且僅有一個(gè)零點(diǎn);

Y

選項(xiàng)D,取。=0,力=1,/(x)=—+lnx,

e

/(x)+/(x)f(x.)-f(x)/(x)/(x)

當(dāng)王>修>1時(shí)，若八“八2/〉"上j工2”成立,即2八JZ成立.

XX

X]+馬玉一X22\

人7/、/(x)X2Inx\-2x(x-l)1-lnx

令〃。)=八二='+——，/(%)=——J；—+―「，

xe2xxex

〃'⑴=1＞0,所以xe（l,x0）,〃（?，。故近幻二/⑷在①?）是單調(diào)遞增,

x

/（X,）/（X.）

所以9＞玉＞乙＞1時(shí)，g^＞2"一」不成立.

々王

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在（x+2『（x+l）7的展開式中，含/項(xiàng)的系數(shù)為.

8

【答案】301

【詳解】

(x+2)-(1+x)7=x~(1+x)7+4x(1+x)7+4(l+x)7,

所以含一項(xiàng)的系數(shù)為臂++4C；=301.

、

4-

14.已知函數(shù)/（x）=〃+e*sinx（e=2.7I828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)在點(diǎn)］，。+前處的切

7

線過點(diǎn)則參數(shù)”的值為

（4）

【答案】fT

（4）

【詳解】

過

7171

/r(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx),/.f'sin—+cos—

22

兀一乃、

在—,a+e2處的切線為：y-a+e2X——

2J

7

7T

)、出71、

又切線過?.=e2.，解得：。二

4;卜

7

、n

故答案為:--1

4)

15.已知數(shù)列｛4｝滿足4=1,=108"（"+1）（"22,〃€乂）.定義：使乘積qq…一為為正整數(shù)的

火僅eN+）叫做“幸運(yùn)數(shù)”，則在［1,2021］內(nèi)的所有“幸運(yùn)數(shù)”的和為,（用數(shù)字作答）

【答案】2036

【詳解】

lg(〃+l)

「a”=log“(〃+l)=

lg〃

1lg31g4lg(fc+l)_lg(A:+l)

log2(Z:+l),

1g21g3Igklg2

為使log2（A+l）為正整數(shù)，令I(lǐng)og2（%+1）二刀（〃￡乂），即滿足2"=2+1，則％=2"-1，

9

vl<jl<2021,BPl<2"-l<2021.可得2V2Y2022，，九€{1,2,3,…,10}

則在［1,2021］內(nèi)的所有“幸運(yùn)數(shù)”的和為:

2（l-2,0）

2'-l+22-l+---+210-l=-^----^-10=1023x2-10=2036

1-2

16.在長(zhǎng)方體ABC。-4gG4中，AB=13,AD=5,M=12,過點(diǎn)A且與直線CO平行的平面a

將長(zhǎng)方體分成兩部分.現(xiàn)同時(shí)將兩個(gè)球分別放入這兩部分幾何體內(nèi)，則在平面a變化的過程中，這兩個(gè)球的

半徑之和的最大值為

【答案】墨

【詳解】

如圖所示：平面將長(zhǎng)方體分成兩部分，肱V有可能在平面CDRG上或平面AAG4上，根據(jù)對(duì)

稱性知，兩球半徑和的最大值是相同的,故僅考慮在平面8RG上的情況，延長(zhǎng)B￡與BM交于點(diǎn)P,

設(shè)NCBP=NBPB1=a,圓01對(duì)應(yīng)的半徑為《，根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì),

aaO,Qr,

在中，NQBO、=巴,BQ=BC-CQ=5-r]ttan-=-^=-^-

22bQ3一八

ua

5tan-q

則4=------=5---------,又當(dāng)5P與5G重合時(shí)，4取得最大值，由內(nèi)切圓券面枳法求得

1a,a

14-tan—1+tan—

22

5x12nla,2

2---------=2,則tan—K-

5+12+1323

a

設(shè)圓。2時(shí)應(yīng)的半徑為弓，同理可得々=6—6tan5,

10

5a7

又心解得tan/N，.

2212

l5,/a…5n

,,K+弓=5-------------F6-6tan-=17--------------6(1+tan-)7a2

故1,=21?a2?——<tan—<—,

1+tan—1+tan—1223

22

aio5

設(shè)Al+tan^,則xe［五/(%)=17---6X,

X

195

由對(duì)號(hào)函數(shù)性質(zhì)易知函數(shù)/(X)單減，

小、J9、…5,19165…

...f(x)f(—)=17—示"—6x——----川111」/士4165

則八，191238，即最大值為音

1238

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①4〃sin5cosA=，②hsin?5+csin?C=S+Qsin?A,③6sinA+cosA=*+3.這

ab

三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求出cos5的值；若問題中的三角形

不存在，說明理由.

問題：在AASC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,已知cosC=g,

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【詳解】

選①：因?yàn)?asinBcosA=，山正弦定理得4sinAsinBcosA=J^sin8.

所以Be(O,萬)，所以sin8#(),

所以4sinAcosA=百，sin2A=—

2

又Aw(O,?),2Ae(0,2萬)，所以24=工或二，即A=三或三.

3363

因?yàn)閏osC=；,Cc(。,萬)，所以sin《=Jl—cos2c=半

TT

當(dāng)A=—時(shí)，cosB=-cos(A+C)

6

G112V2-V3

一cos仁+C------X------------X

2326

當(dāng)A二—時(shí)，cosB=-cos(A+C)

3

11

(7Tyf11732叵、276-1

=-cos—+C=-—x------X----=--------,

(3J(2323J6

I.IMDS/古U2>/2-5/3T2^6—1

因此cos8的值為—----或—------

66

選②：因?yàn)閔sin?8+csin2c=(Z?+c)sin2A,

由正弦定理得/+=3+c)a2，

因?yàn)閎+C>0,所以〃2+/一)c、=〃2,

所以c°sA=C^W

2

IT

因?yàn)锳G(O,〃)，所以A=一.

3

因?yàn)閏osC=；,Ce(0,%),所以sinC=Jl—cos2C=^

所以cosB=-cos(A+C)

f11

—X—

232

因此cos8的值亞二1

6

選③：因?yàn)?sinA+cosA=2+q,所以2sin(A+工]=—+0,

ab\6Jab

因?yàn)?N2sin(A+工)=々+@22、^^=2，

I6Jab、ab

于是2+幺=2,即〃=/?；_gL2sin||=2,即sin(A+7]=l,

abV6J67

71(717萬、

注意到AE(0/),A+,

6166J

jr7Tw

因此A+—=—,即4=—,

623

于是AAbC為等邊三角形,

12

因此cosC=LvcosC=」相矛盾，

23

故△ABC不存在.

18.已知數(shù)列｛《J滿足4=2,(〃+2)%=3(〃+1)凡+].

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)S“為數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和，求證S“＜?.

【詳解】

(1)由(〃+2)為=3(〃+1)%+1,得-^-=----J

〃+23〃+1

a”+i

因?yàn)?=2,所以'=1。0,所以衛(wèi)士2=1

1+13

〃+1

所以&是首項(xiàng)為1,公比為」的等比數(shù)列,

1〃+1J3

所以,-,即%=(〃+1)?鼻(?€N*).

〃+1

,234〃+1但

(2)由So“=下+3+?+…+三丁得

1_234n〃+1

—S=-H--H--+…H-----H-----,

33132333”T3〃

in/d2ccl11〃+l

兩式相減，得彳5=2+—+—H---h--j--

331323'i3"T

〃+l_5_2_〃__+_5_,

丁一］23

所以S.=，6〃+15得得證.

4.3"

19.如圖1所示，梯形ABC￡＞中，AD=2AB=2BC^2CD=4.E為A￡＞的中點(diǎn)，連結(jié)BE,AC交于尸，

將八鉆石沿5E折疊，使得平面ABEL平面BCDE(如圖2),

13

A

E

AD

E'4D

B4--------------

圖1圖2

(1)求證：AF±CD；

(2)求平面AFC與平面ADE所成的二面角的正弦值.

【詳解】

(1)證明：連接EC,

因?yàn)锳D=2A5=25C=2CD=4.E為的中點(diǎn)，

所以△ABE、&BCE、/XCDE都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

又AE//8C,所以四邊形ABCE是菱形，

所以AFL5E，CF1BE

又因?yàn)槠矫鍭BE_L平面3c平面ABED平面6CDE=3E,

AFu平面他E，所以4/_1_平面8CDE，

又因?yàn)镃Ou平面BCDE,所以AF_LCD；

(2)由(1)知EB、FC、E4兩兩垂直，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

14

E(-l,0,0),￡>(-2,6,0),A(0,0,5/3),

W=(-l,73.0).￡4=(1,0,73),

設(shè)平面ADE的法向量ffL為一(x，丫，z),

fEDm=-x+x/3y=0「r-

(1_f-，令x=6，則而=(6，1,-1),

[EA-m=x+\l3z-0

平面ACE的法向量為萬=(1,0,0),

設(shè)平面AR7與平面ADE所成的二面角的大小為，,

,zj.\m-n\G百

"昨募'

所以sin0=71-cos20

20.陽澄湖大閘蟹又名金爪蟹，產(chǎn)于江蘇蘇州，蟹身青殼白肚，體大膘肥，肉質(zhì)膏膩，營(yíng)養(yǎng)豐富，深受消

費(fèi)者喜愛.某水產(chǎn)品超市購(gòu)進(jìn)一批重量為100千克的陽澄湖大閘蟹，隨機(jī)抽取了50只統(tǒng)計(jì)其重量，得到的

結(jié)果如下表所示:

規(guī)格中蟹大蟹特大蟹

重量（單位：克）[160,180)[180,200)[200,220)[220,240)[240,260)[260,280]

數(shù)量（單位：只）32152073

（1）試用組中值來估計(jì)該批大閘蟹的有多少只？（所得結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）

（2）某顧客從抽取的10只特大蟹中隨機(jī)購(gòu)買了4只，記重量在區(qū)間［260,280］上的大閘蟹數(shù)量為X,求

15

X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

(1)50只大閘蟹的平均重量為：

x(170x3+190x2+210x15+230x20+250x7+270x3)=224.

所以水產(chǎn)品超市購(gòu)進(jìn)的100千克大閘蟹只數(shù)約為100000+2247446.

(2)X的可能取值為0，1，2,3,

概率分別為：

43

P(x=o)=號(hào)C°c」1；p(x=l)=*c'c」1

c：。6''C：。2

223

P(X=2)=*Cc=3工P(X=3)=c*c'J1

C；°10C；。30

X0123

231

P

6萬1030

所以E(X)=0xLlxL+2xa+3x'=9

6210305

21.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，過點(diǎn)M(0,-l)的直線交拋物V=4x于A,B兩點(diǎn).

(1)設(shè)OA,OB的斜率分別為勺，&2,求K+左2的值；

(2)過點(diǎn)A,8分別作直線x=T的垂線，垂足為C、D,試探究NAO3和NC8的關(guān)系，并說明理

由.

【詳解】

/2\/2\

⑴設(shè)A,同今,%

I4)I4)

因?yàn)橹本€A8過點(diǎn)M(。,—1),

X+1=%+1

所以北一￡,，整理得,+%=一＞1%，

~4~4

,,44y1+y)

所以《+公=—+—=4?二一。2=—4.

X%)'跖

⑵①當(dāng)A，B兩點(diǎn)在大軸的異側(cè)時(shí)，/AOB+/COD=兀;

16

②當(dāng)A,3兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)(只能同在下方)時(shí)，ZAOB=ZCOD.

理由如下：

①當(dāng)A,5兩點(diǎn)在x軸的異側(cè)時(shí)，不妨設(shè)x〉0,y2<0,

44

直線OA,08的斜率分別為匕=—,匕=——，

X%

￡_4

tan(乃-ZAOB)=&——=—————

1i+也XM+16

由題意，C(—4,y),￡>(T,%)，

所以宜線OC，。。的斜率分別為=&=-&,

44

_AA

tan(乃-NCOD)=噎一％=口~+=心一?).

1+kock()D［十―2y跖+16

16

所以tan(7r-ZAOB)=Tan(兀-ZCOD)=tanZCOD.

因?yàn)镹A03,ZCO