《變化率問題》示范公開課教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)人教A版】

《變化率問題》教學(xué)設(shè)計(jì)

情境一：高臺跳水運(yùn)動員的速度

問題1:在高臺跳水運(yùn)動中，某運(yùn)動員在運(yùn)動過程中重心相對于水面的高度〃(單位:

m)與起跳后的時(shí)間f(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系

一⑺=-4.9產(chǎn)+4.81+U.

如何描述運(yùn)動員從起跳到入水過程中運(yùn)動的快慢程度呢？

答案：我們可以把整個(gè)運(yùn)動時(shí)間段分成許多小段，用運(yùn)動員在每段時(shí)間的平均速度5

近似地描述他的運(yùn)動狀態(tài).

追問1：如何求運(yùn)動員從起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒這兩段時(shí)間的平均速度？

答案：兩段時(shí)間即0W/W0.5和1W1W2.平均速度分別是：

-A(0.5)-/z(0)/、-A(2)-/z(l)...

vi~-——--=2.35(m/s),V2=————=-9Q.9Q(m/s).

0.5-02-1

追問2：如何求運(yùn)動員起跳后秒到f2秒這段時(shí)間的平均速度？

答案：v=-^—止

f2Tl

48

追問3：計(jì)算運(yùn)動員在OWrW—這段時(shí)間的平均速度，你發(fā)現(xiàn)了什么？

49

48

答案：運(yùn)動員在0W/W—這段時(shí)間的平均速度為：

49

h-〃⑺

v-48-----=0,

--0

49

追問4：你認(rèn)為用OWrW，這段時(shí)間的平均速度近似描述運(yùn)動員這段時(shí)間的運(yùn)動狀

49

態(tài)有什么問題嗎？

答案：在這段時(shí)間，運(yùn)動員的平均速度為0,但顯然，除了在最高點(diǎn)的一瞬間外，運(yùn)

動員一直處于運(yùn)動狀態(tài)，每個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度都不為0.運(yùn)動員的平均速度，只關(guān)注了這個(gè)

時(shí)間段的整體情況，忽略了中間運(yùn)動過程，因此并不能準(zhǔn)確刻畫運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài).

如果需要研究清楚運(yùn)動員在某時(shí)間段的運(yùn)動狀態(tài)，我們還需要了解運(yùn)動員在每一個(gè)時(shí)

刻的速度，也就是瞬時(shí)速度.

問題2：瞬時(shí)速度與平均速度有什么關(guān)系？你能利用這種關(guān)系，求運(yùn)動員在f=ls時(shí)的

瞬時(shí)速度嗎？

答案：如果不斷縮短時(shí)間段的長度，那么平均速度V將越來越趨近于運(yùn)動員在時(shí)刻

的瞬時(shí)速度v(ro).

為了求運(yùn)動員在t=l時(shí)的瞬時(shí)速度，我們在t=l之后或之前，任意取一個(gè)時(shí)刻1+

At,其中At是時(shí)間改變量，可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0.當(dāng)At>0時(shí)，1+At

在1之后；當(dāng)似<0時(shí)，1+僅在1之前.當(dāng)?shù)?gt;0時(shí)，把運(yùn)動員在時(shí)間段［1,1+At］近

似看做勻速直線運(yùn)動，計(jì)算時(shí)間段［1,1+At1的平均速度［用平均速度3近似表示運(yùn)

動員在t=l時(shí)的瞬時(shí)速度.當(dāng)At<0時(shí)，在時(shí)間段［1+At,1］可作類似處理.于是，

得到如下表格：

Af>0時(shí)，［1,l+A/］內(nèi)A/V0時(shí)，［1+AZ,1］內(nèi)

-/z(l+AZ)-/?(l)-/?(1)-//(1+Ar)

V=------------------V=------------------

1-(1+A/)

-4.9(A/)2-5A/_4.9(A/)2+54

一A/-A/

=-4.9A/-5.=—4.9A/—5.

為了提高近似表示的精確度，我們不斷縮短時(shí)間間隔機(jī)，當(dāng)At無限趨近于0時(shí)，無

論t從小于1的一邊還是大于1的一邊無限趨近于1,平均速度都無限趨近于一5.這是一

個(gè)巧合還是必然結(jié)果呢？

追問1:給出更多的值，利用信息技術(shù)工具計(jì)算更多的平均速度。的值.當(dāng)△/無限

趨近于。時(shí)，平均速度了有什么變化趨勢？

答案：無論△『的正負(fù)，只要時(shí)間間隔不斷變小，無限趨近于0,平均速度都無限趨近

于一5.那是不是就能說明f=l時(shí)，運(yùn)動員的瞬時(shí)速度就是一5m/s呢？

追問2：你認(rèn)為上述通過列表計(jì)算瞬時(shí)速度的過程可靠嗎？

答案：通過前面計(jì)算平均速度的值，盡管我們發(fā)現(xiàn)“隨著時(shí)間間隔的不斷縮小，平均速

度越來越接近于常數(shù)一5”，但這種計(jì)算是有限的，不能斷定平均速度是否永遠(yuǎn)具有這種特

征.所以需要從更加理性的角度加以說明.我們可以把剛才的過程進(jìn)?步梳理：

因?yàn)榱?/)=-4.9尸+4.8+11,所以運(yùn)動員在［1,1+A/］(或［1+A［,1］)這段時(shí)

間的平均速度為：工='(1+加)-岫

Ar

—4.9(1+Af)~+4.8(1+Az)+11—(—4.9+4.8+11)

△t

-4.9(4)2-54

△t

=-4.9加-5.

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)無限趨近于0時(shí)，-4.9Af也無限趨近于0,所以V無限趨近于一5.這

與前面得到的結(jié)論一致.

數(shù)學(xué)中，我們把一5叫做“當(dāng)△，無限趨近于0時(shí)，S=妁士歿二處的極限”，記為

△t

］由〃(1+△，)/?⑴=limM.9Ar-5)=-5.

A/->0△/A/->0

這樣，我們就從更理性的角度，解釋了剛才通過計(jì)算得到的結(jié)論.

追問3：你能用上述方法，計(jì)算當(dāng)/=2s時(shí)的瞬時(shí)速度嗎？

答案：因?yàn)?/⑺=-4.9尸+4.8—11,所以運(yùn)動員在［2,2+Az］(或［2+。,2］)

這段時(shí)間的平均速度為：3='(2+M-〃⑵

X

-4.9(2+加>+4.8(2+A/)+ll-(-4.9x22+4.8x2+11)

△t

-4.9(加)2—14.84

一Ar

=T.9A/—14.8.

v(2)=lim(-4.9A?-14.8)=-14.8.

A/TO

問題3：你能推導(dǎo)出任意時(shí)刻fo對應(yīng)的瞬時(shí)速度的表達(dá)式嗎？

答案：我們類比剛才的過程，得到如下的一般結(jié)果：

因?yàn)?z(f)=-4.9尸+4.8/+11,所以運(yùn)動員在［fo，"+△?］(或［/()+△■，擊］)這

__/?+&)—/?(%)

段時(shí)間的平均速度為:V-

2

—4.9((f0+Af)~+4.8(/Q+A/)+11-(-4.9^0+4.8f0+11)

△t

T.9(Af)2-9.83+4.8Af

△t

—4.9Ar—9.8/。+4.8.

當(dāng)Az—>0時(shí),—4.9A1—9.80+4.8―>—9.81。+4.8.

所以v(L)=lim(-4.94-9&0+4.8)=-9.8/+4.8.

Ar->00

這樣我們就把求某一具體時(shí)刻瞬時(shí)速度的方法推廣到了一般情形.

總結(jié)：我們通過不斷縮小時(shí)間間隔，用平均速度逼近瞬時(shí)速度，也就是說，瞬時(shí)速度

是平均速度的極限.無限逼近的極限思想，正是微積分學(xué)的基礎(chǔ).

情境二：拋物線的切線的斜率

我們知道，如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)圓相切.

問題4：對于一般的曲線C,如拋物線f(x)=f，如何定義它在某一點(diǎn)，如Po(l，1)處

的切線呢？

追問1：如果一條直線與一條曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與這條曲線一定相

切嗎？

答案：不一定.例如，二次函數(shù)/(X)=X2的圖象和直線X=1只有一個(gè)交點(diǎn)，但它們顯

然不相切.

追問2：如果一條直線與一條曲線相切，那么它們一定只有一個(gè)公共點(diǎn)嗎？

答案：不一定.例如，正弦函數(shù)/(x)=sinx的圖象和直線y=l相切，但它們顯然不止

一個(gè)交點(diǎn).

因此不能再像在研究直線和圓的位置關(guān)系時(shí)那樣，通過交點(diǎn)個(gè)數(shù)來定義相切.

追問3：對于拋物線/(x)=f,應(yīng)該如何定義它在點(diǎn)Po(l,1)處的切線的切線呢？

答案：與研究瞬時(shí)速度類似，為了研究拋物線/(X)=x2在點(diǎn)Po(l,1)處的切線，我們在

點(diǎn)Po(l,1)的附近任取一點(diǎn)P(X,x2),考察拋物線的割線PoP的變化情況.

我們可以借助幾何畫板工具來觀察.

通過演示可以看到，當(dāng)點(diǎn)P無限趨近于點(diǎn)Po時(shí)，割線PoP無限趨近于一個(gè)確定的位

置，這個(gè)確定位置的直線?稱為拋物線〃x)=x2在點(diǎn)%(1,1)處的切線.

這樣，我們得到拋物線/(M=x2在點(diǎn)Po(l,1)處的切線的含義.從幾何上看，拋物線在

點(diǎn)Po的切線，是由過這一點(diǎn)的割線PoP,當(dāng)P無限接近Po時(shí)的極限位置確定的.

我們知道，斜率是確定直線的一個(gè)要素.在已知切點(diǎn)的情況下，如果我們再能確定切

線的斜率，就能確定切線的方程.

追問4：如何求拋物線/(x)=x2在點(diǎn)P0(l,1)處的切線07■的斜率呢？

答案：從上述切線的定義可見，拋物線/(x)=f在點(diǎn)Po(l,1)處的切線PoT的斜率與

割線PoP的斜率有內(nèi)在聯(lián)系.既然切線是割線的極限位置確定的，那么切線的斜率也就應(yīng)

該是割線斜率當(dāng)P無限接近尸0時(shí)的極限值.

我們記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)X=1+Ax,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(無，(1+Ax)2).于是割線PoP的斜率

/)7(1)=(2-"+2.

x-\Ax

我們可以通過割線PoP的斜率近似地表示切線的斜率，并且通過不斷縮短橫坐標(biāo)間隔

|Ax|來提高近似表示的精確度.我們可以借助電腦的excel計(jì)算，來觀察當(dāng)P無限接近Po

時(shí)，割線PoP的斜率變化情況.

Ar>0

Ar人=2kr+2Ar4=zkr+2

—0.011.990.012.01

-0.0011.9990.0012.001

—0.00011.99990.00012.0001

-0.000011.999990.000012.00001

—0.0000011.9999990.0000012.000001

..............

當(dāng)無限趨近于0時(shí)，無論x從小于1的一邊還是大于1的一邊無限趨近于1,割線

斜率都無限趨近于2.

事實(shí)上，由&=’』+&）一/（1）=?+2可以直接看出,當(dāng)Ax無限趨近于0時(shí)，Ax

x-1

+2無限趨近于2.我們把2叫做“當(dāng)無限趨近于0時(shí)，k=）（".