2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)建平中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)建平中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（)A． B． C． D．2．如圖，若長方體的六個面中存在三個面的面積分別是2,3,6，則該長方體中線段的長是（）A． B． C．28 D．3．平面與平面平行的充分條件可以是（）A．內(nèi)有無窮多條直線都與平行B．直線，，且直線a不在內(nèi)，也不在內(nèi)C．直線，直線，且，D．內(nèi)的任何一條直線都與平行4．在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且=3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若=x+(1-x)，則x的取值范圍是()A． B．C． D．5．已知，，，若點是所在平面內(nèi)一點，且，則的最大值等于（）.A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列｛an｝的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2等于A．－10 B．－8 C．－6 D．－47．函數(shù)的定義域為R，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，若，，則（）A．恒為負數(shù) B．恒為正數(shù)C．當(dāng)時，恒為正數(shù)；當(dāng)時，恒為負數(shù) D．當(dāng)時，恒為負數(shù)；當(dāng)時，恒為正數(shù)8．若，則（）A． B． C．2 D．9．三棱錐的高，若，二面角為，為的重心，則的長為（）A． B． C． D．10．sincos＋cos20°sin40°的值等于A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的_______．12．關(guān)于函數(shù)有下列命題：①由可得必是的整數(shù)倍；②的圖像關(guān)于點對稱，其中正確的序號是____________.13．若三邊長分別為3，5，的三角形是銳角三角形，則的取值范圍為______.14．若則____________15．已知等比數(shù)列、、、滿足，，，則的取值范圍為__________．16．已知函數(shù),為的反函數(shù),則_______(用反三角形式表示).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)的最小正周期是．(1)求ω的值；(2)求函數(shù)f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．18．已知向量，，其中為坐標原點.（1）若，求向量與的夾角；（2）若對任意實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（1）證明：；（2）證明：對任何正整數(shù)n，存在多項式函數(shù)，使得對所有實數(shù)x均成立，其中均為整數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，；（3）利用（2）的結(jié)論判斷是否為有理數(shù)？20．如圖所示，在直角坐標系中，點，，點P，Q在單位圓上，以x軸正半軸為始邊，以射線為終邊的角為，以射線為終邊的角為，滿足.（1）若，求（2）當(dāng)點P在單位圓上運動時，求函數(shù)的解析式，并求的最大值.21．設(shè)數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，為數(shù)列位的前項和，求；（3）在（2）的條件下，是否存在自然數(shù)，使得對一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由題意利用兩角和的余弦公式化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．【詳解】函數(shù)，令，求得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，，．再根據(jù)，，可得增區(qū)間為，，故選．【點睛】本題主要考查兩角和的余弦公式的應(yīng)用，考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解析】

由長方體的三個面對面積先求出同一點出發(fā)的三條棱長，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)長方體從一個頂點出發(fā)的三條棱的長分別為，且，，，則，，，所以長方體中線段的長等于.【點睛】本題主要考查簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題型.3、D【解析】

利用平面與平面平行的判定定理一一進行判斷，可得正確答案.【詳解】解：A選項，內(nèi)有無窮多條直線都與平行，并不能保證平面內(nèi)有兩條相交直線與平面平行，這無窮多條直線可以是一組平行線，故A錯誤；B選項,直線，，且直線a不在內(nèi)，也不在內(nèi),直線a可以是平行平面與平面的相交直線，故不能保證平面與平面平行，故B錯誤；C選項,直線，直線，且，,當(dāng)直線，同樣不能保證平面與平面平行，故C錯誤；D選項,內(nèi)的任何一條直線都與平行,則內(nèi)至少有兩條相交直線與平面平行，故平面與平面平行;故選:D.【點睛】本題主要考查平面與平面平行的判斷，解題時要認真審題，熟練掌握面與平面平行的判定定理，注意空間思維能力的培養(yǎng).4、D【解析】

根據(jù)所給的數(shù)量關(guān)系，寫出要求向量的表示式，注意共線的向量之間的三分之一關(guān)系，根據(jù)表示的關(guān)系式和所給的關(guān)系式進行比較，得到結(jié)果．【詳解】如圖.依題意，設(shè)=λ，其中1<λ<，則有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x)，且不共線，于是有x=1-λ∈，即x的取值范圍是.故選D.【點睛】本題考查向量的基本定理，是一個基礎(chǔ)題，這種題目可以出現(xiàn)在解答題目中，也可以單獨出現(xiàn)，注意表示向量時，一般從向量的起點出發(fā)，繞著圖形的邊到終點．5、A【解析】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，即，所以，，因此，因為，所以的最大值等于，當(dāng)，即時取等號．考點：1、平面向量數(shù)量積；2、基本不等式．6、C【解析】試題分析：有題可知，a1，a3，a4成等比數(shù)列，則有，又因為｛an｝是等差數(shù)列，故有，公差d=2，解得；考點：?等差數(shù)列通項公式?等比數(shù)列性質(zhì)7、A【解析】

由函數(shù)的解析式可得函數(shù)是奇函數(shù)，且為單調(diào)遞增函數(shù)，分和兩種情況討論，分別利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，即可求解，得到結(jié)論．【詳解】由題意，因為函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)和反正切函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因為數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且，則①當(dāng)時，由，可得，所以，所以，同理可得：，所以，②當(dāng)時，由，則，所以綜上可得，實數(shù)恒為負數(shù)．故選：A．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，以及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中合理利用等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．8、D【解析】

將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二倍角的正切公式即可求出.【詳解】故選D【點睛】本題主要考查了二倍角的正切公式，關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，利用二倍角的正切公式求出，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)AB=AC，取BC的中點E，連結(jié)AE，得到AE⊥BC，再由由AH⊥平面BCD，得到EH⊥BC.，所以∠GEH是二面角的平面角，然后在△GHE中，利用余弦定理求解.【詳解】:如圖所示：取BC的中點E，連結(jié)AE，∵AB=AC，∴AE⊥BC，且點G在中線AE上，連結(jié)HE.∵AH⊥平面BCD，∴EH⊥BC.∴∠GEH=60°.在Rt△AHE中，∵∠AEH=60°，AH=∴EH=AHtan30°=3，AE=6，GE=AE=2由余弦定理得HG2=9+4-2×3×2cos60°=7.∴HG=故選：C【點睛】本題主要考查了二面角問題，還考查了空間想象和推理論證的能力，屬于中檔題.10、B【解析】由題可得，.故選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

按照程序框圖運行程序，直到a的值滿足a>100時，輸出結(jié)果即可.【詳解】第一次循環(huán)：a=3；第二次循環(huán)：a=7；第三次循環(huán)：a=15；第四次循環(huán)：a=31；第五次循環(huán)：a=63；第六次循環(huán)：a=127，a>100，所以輸出a.所以本題答案為127.【點睛】本題考查根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)計算輸出結(jié)果的問題，屬于基礎(chǔ)題.12、②【解析】

對①，可令求出的通式，再進行判斷；對②，將代入檢驗是否為0即可【詳解】對①，令得，可令，，①錯；對②，當(dāng)時，，②對故正確序號為：②故答案為②【點睛】本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題13、【解析】

由三邊長分別為3，5，的三角形是銳角三角形，若5是最大邊，則，解得范圍，若是最大邊，則，解得范圍，即可得出．【詳解】解：由三邊長分別為3，5，的三角形是銳角三角形，若5是最大邊，則，解得．若是最大邊，則，解得．綜上可得：的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)與解法、余弦定理、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14、【解析】因為,所以=.故填．15、【解析】

設(shè)等比數(shù)列、、、的公比為，由和計算出的取值范圍，再由可得出的取值范圍.【詳解】設(shè)等比數(shù)列、、、的公比為，，，，所以，，，.所以，，故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵就是利用已知條件求出公比的取值范圍，考查運算求解能力，屬于中等題.16、【解析】

先將轉(zhuǎn)化為，，然后求出即可【詳解】因為所以所以所以所以把與互換可得即所以故答案為：【點睛】本題考查的是反函數(shù)的求法，較簡單三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)函數(shù)f(x)的最大值是2＋，此時x的集合為{x|x＝+，k∈Z}．【解析】試題分析析：本題是函數(shù)性質(zhì)問題，可借助正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)去研究，根據(jù)周期公式可以求出，當(dāng)函數(shù)的解析式確定后，可以令，，根據(jù)正弦函數(shù)的最大值何時取得，可以計算出為何值時，函數(shù)值取得的最大值，進而求出的值的集合.試題解析：(1)∵f(x)＝sin（＋2(x∈R，ω＞0)的最小正周期是，∴，所以ω＝2.(2)由(1)知，f(x)＝sin＋2.當(dāng)4x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)時，sin取得最大值1，所以函數(shù)f(x)的最大值是2＋，此時x的集合為{x|x＝＋，(k∈Z)}．【點睛】函數(shù)的最小正周期為，根據(jù)公式求出，頁有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可按照復(fù)合函數(shù)的思想去求，可以看成與.復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，譬如本題求函數(shù)的最大值，可以令，求出值，同時求出函數(shù)的最大值2.18、（1）或；（2）或.【解析】

（1）按向量數(shù)量積的定義先求夾角余弦，再求得夾角；（2）不等式化為恒成立，令取1和－1代入解不等式組即可得．【詳解】（1）由題意，，記向量與的夾角為，又，則，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，．（2），由得，∵，∴，∴，解得或．【點睛】本題考查向量模與夾角，考查不等式恒成立問題，不等式中把作為一個整體，它是關(guān)于的一次不等式，因此要使它恒成立，只要取1和－1時均成立即可．19、（1）見解析；（2）見解析；（3）不是【解析】

（1），利用兩角和的正弦和二倍角公式，進行證明；（2）對分奇偶，即和兩種情況，結(jié)合兩角和的余弦公式，積化和差公式，利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，將表示出來，然后判斷其每一項都為無理數(shù)，從而得到答案.【詳解】（1）所以原式得證.（2）為奇數(shù)時，時，，其中，成立時，，其中，成立時，，其中，成立，則當(dāng)時，所以得到因為均為整數(shù)，所以也均為整數(shù)，故原式成立；為偶數(shù)時，時，，其中，時，，其中，成立，時，，其中，成立，則當(dāng)時，所以得到其中，因為均為整數(shù)，所以也均為整數(shù)，故原式成立；綜上可得：對任何正整數(shù)，存在多項式函數(shù)，使得對所有實數(shù)均成立，其中，均為整數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，；（3）由（2）可得其中均為有理數(shù)，因為為無理數(shù)，所以均為無理數(shù)，故為無理數(shù)，所以不是有理數(shù).【點睛】本題考查利三角函數(shù)的二倍角的余弦公式，積化和差公式，數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于難題.20、（1）（2），最大值.【解析】

（1）由角的定義求出，再由數(shù)量積定義計算；（2）由三角函數(shù)定義寫出坐標，求出的坐標，計算出，利用兩角和的正弦公式可化函數(shù)為一個三角函數(shù)形式，由正弦函數(shù)性質(zhì)可求得最大值．【詳解】（1）由圖可知，，..（2）由題意可知，.因為，，所以.所以，.所以.當(dāng)（）時，取得最大值.【點睛】本題考查任意角的定義，平面向量的數(shù)量積的坐標運算，考查兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)．本題解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義，表示出坐標．21、（1）（2）（3）【解析】

（1）根據(jù)題干可推導(dǎo)得到，進而得到數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由等