第16小題 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-2024年高考《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)題型分類與方法點(diǎn)撥（解析版）

第第頁第16小題一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用TOC\o"1-5"\h\u第16小題一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1一、主干知識(shí)歸納與回顧 216.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義 2§5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 316.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3（一）命題角度剖析 4（二）考情分析 4（三）高考預(yù)測 4二、題型分類與預(yù)測 5命題點(diǎn)一：導(dǎo)函數(shù)的概念與幾何意義 51.1母題精析（三年高考真題） 5一．極限及其運(yùn)算（共1小題） 5二．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（共8小題） 5三．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程（共10小題） 91.2解題模型 141.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市模考） 14一．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（共2小題） 14二．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程（共22小題） 15命題點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值 271.1母題精析（三年高考真題） 27一．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共3小題） 27二．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（共5小題） 28三．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（共3小題） 31四．不等式恒成立的問題（共1小題） 341.2解題模型 351.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹?36一．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共6小題） 36二．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（共2小題） 45三．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（共10小題） 47四．不等式恒成立的問題（共1小題） 55三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）： 57一．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（共1小題） 57二．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共9小題） 58三．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（共10小題） 66四．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程（共11小題） 76一、主干知識(shí)歸納與回顧16.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義1.導(dǎo)數(shù)定義：對(duì)于函數(shù)，把比值叫做函數(shù)從到的平均變化率，如果當(dāng)時(shí)，平均變化率無限趨近于一個(gè)確定的值，即有極限，則稱在處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做在處的導(dǎo)數(shù)（也稱瞬時(shí)變化率），記作或，即.2.函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：（1）切線：在曲線上任取一點(diǎn)，如果當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限趨近于點(diǎn)時(shí)，割線無限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定的位置的直線稱為曲線在點(diǎn)處的切線.（2）的幾何意義：是曲線在處的切線的斜率.3.導(dǎo)函數(shù)：當(dāng)時(shí)，是一個(gè)唯一確定的數(shù)，這樣當(dāng)變化時(shí)，就是的函數(shù)，我們稱它為的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù).有時(shí)記作.§5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（1）.（2）.特別地：.（3）.3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則由函數(shù)復(fù)合而成的的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對(duì)的導(dǎo)數(shù)等于對(duì)的導(dǎo)數(shù)與對(duì)的導(dǎo)數(shù)的乘積.16.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（1）在某個(gè)區(qū)間上，如果，則函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增；在某個(gè)區(qū)間上，如果，則函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減.（2）設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若為增函數(shù)，則（在上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零）；若為減函數(shù)，則（在上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零）.2.函數(shù)的極值函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，,而且在點(diǎn)附近的左側(cè),右側(cè)，我們把叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值；函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，,而且在點(diǎn)附近的左側(cè),右側(cè)，我們把叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值.極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.3.最大值、最小值：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：（1），都有;（2）使得，我們就稱是函數(shù)的最大值.如果存在實(shí)數(shù)滿足：（1），都有;（2）使得，我們就稱是函數(shù)的最小值.（一）命題角度剖析1.導(dǎo)函數(shù)的概念與幾何意義★★★☆☆2.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值★★★★★（二）考情分析高考頻率：100%試題難度：較難呈現(xiàn)形式：以選擇題或填空題呈現(xiàn)（三）高考預(yù)測本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、含參函數(shù)的單調(diào)性與極值問題、函數(shù)的最值與恒成立問題.熱點(diǎn)內(nèi)容為與單調(diào)性、極值、最值有關(guān)的綜合問題二、題型分類與預(yù)測命題點(diǎn)一：導(dǎo)函數(shù)的概念與幾何意義1.1母題精析（三年高考真題）一．極限及其運(yùn)算（共1小題）1．（2022?上海）已知函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，其圖像關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)，時(shí)，，若將方程的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則2．【分析】是周期為4的周期函數(shù)，作出圖像，的幾何意義是兩條漸近線之間的距離，由此能求出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，其圖像關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)，時(shí)，，是周期為4的周期函數(shù)，圖像如圖：將方程的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則的幾何意義是兩條漸近線之間的距離2，．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查極限的求法，考查函數(shù)的周期性、函數(shù)圖像、極限的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．二．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（共8小題）2．（2022?甲卷）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（2）A． B． C． D．1【分析】由已知求得，再由題意可得（1）求得，得到函數(shù)解析式，求其導(dǎo)函數(shù)，即可求得（2）．【解答】解：由題意（1），則，則，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最值，可得也是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，（1），即．，易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故處，函數(shù)取得極大值，也是最大值，則（2）．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)最值與極值的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．3．（2020?全國）設(shè)函數(shù)，若，則A．3 B． C． D．1【分析】先根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)公式求出導(dǎo)函數(shù)，再通過建立方程即可求解．【解答】解：，，又，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)公式，方程思想，屬基礎(chǔ)題．4．（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若，均為偶函數(shù)，則A． B． C．（4） D．（2）【分析】由為偶函數(shù)，可得關(guān)于對(duì)稱，可判斷；為偶函數(shù)，可得，關(guān)于對(duì)稱，可判斷；由，關(guān)于對(duì)稱，可得，得到是的極值點(diǎn)，也是極值點(diǎn)，從而判斷；圖象位置不確定，可上下移動(dòng)，故函數(shù)值不確定，從而判斷．【解答】解：為偶函數(shù)，可得，關(guān)于對(duì)稱，令，可得，即（4），故正確；為偶函數(shù)，，關(guān)于對(duì)稱，故不正確；關(guān)于對(duì)稱，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，函數(shù)在，處的導(dǎo)數(shù)為0，即，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，，函數(shù)在，的導(dǎo)數(shù)為0，是函數(shù)的極值點(diǎn)，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，由是函數(shù)的極值點(diǎn)可得是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，，進(jìn)而可得，故是函數(shù)的極值點(diǎn)，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，，故正確；圖象位置不確定，可上下移動(dòng)，即每一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不是確定值，故錯(cuò)誤．解法二：構(gòu)造函數(shù)法，令，則，則，，滿足題設(shè)條件，可得只有選項(xiàng)正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性，極值點(diǎn)與對(duì)稱性，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想，屬中檔題．5．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若（1），則1．【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)（1），求得的值．【解答】解：，，（1），，則，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．6．（2019?全國）若函數(shù)，，則3．【分析】對(duì)求導(dǎo)，然后解方程，可得的值．【解答】解：由，得，，，．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．7．（2018?天津）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則（1）的值為．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算（1）的值．【解答】解：函數(shù)，則；（1）．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．8．（2016?天津）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則的值為3．【分析】先求導(dǎo)，再帶值計(jì)算．【解答】解：，，．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．9．（2015?天津）已知函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，若（1），則的值為3．【分析】由題意求出，利用（1），求．【解答】解：因?yàn)?，所以，又?），所以；故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求導(dǎo)公式的運(yùn)用；熟練掌握求導(dǎo)公式是關(guān)鍵．三．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程（共10小題）10．（2023?甲卷）曲線在點(diǎn)處的切線方程為A． B． C． D．【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進(jìn)而可求切線方程．【解答】解：因?yàn)?，，故函?shù)在點(diǎn)處的切線斜率，切線方程為，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．（2021?新高考Ⅰ）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則A． B． C． D．【分析】法一：畫出函數(shù)的圖象，判斷與函數(shù)的圖象的位置關(guān)系，即可得到選項(xiàng)．法二：設(shè)過點(diǎn)的切線橫坐標(biāo)為，求出切線方程，代入，設(shè)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后推出的范圍即可．【解答】解：法一：函數(shù)是增函數(shù)，恒成立，函數(shù)的圖象如圖，，即切點(diǎn)坐標(biāo)在軸上方，如果在軸下方，連線的斜率小于0，不成立．點(diǎn)在軸或下方時(shí)，只有一條切線．如果在曲線上，只有一條切線；在曲線上側(cè)，沒有切線；由圖象可知在圖象的下方，并且在軸上方時(shí)，有兩條切線，可知．故選：．法二：設(shè)過點(diǎn)的切線橫坐標(biāo)為，則切線方程為，可得，設(shè)，可得，，，是增函數(shù)，，，是減函數(shù)，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，對(duì)應(yīng)兩條切線．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線與方程的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及切線的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．12．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）函數(shù)的圖象在點(diǎn)，（1）處的切線方程為A． B． C． D．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再求得（1），然后利用直線方程的點(diǎn)斜式求解．【解答】解：由，得，（1），又（1），函數(shù)的圖象在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．13．（2023?全國）曲線在處切線方程為．【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程．【解答】解：由可得，，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以所求切線方程為即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（2022?新高考Ⅰ）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則的取值范圍是，，．【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，進(jìn)而得到切線方程，再把原點(diǎn)代入可得，因?yàn)榍芯€存在兩條，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根，由△即可求出的取值范圍．【解答】解：，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，切線的斜率，切線方程為，又切線過原點(diǎn)，，整理得：，切線存在兩條，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，△，解得或，即的取值范圍是，，，故答案為：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，屬于中檔題．15．（2022?全國）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，即切線的斜率，然后由直線方程的點(diǎn)斜式得答案．【解答】解：由，得，（1），即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，整理得：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)的切線方程，過曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是基礎(chǔ)題．16．（2022?新高考Ⅱ）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．【分析】當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表達(dá)出切線的斜率，進(jìn)而表達(dá)出切線方程，再把原點(diǎn)代入即可求出的值，從而得到切線方程，當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可求出另一條切線方程．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，，切線的斜率，切線方程為，又切線過原點(diǎn)，，，切線方程為，即，當(dāng)時(shí)，，與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，切線方程也關(guān)于軸對(duì)稱，切線方程為，綜上所述，曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為，，故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，屬于中檔題．17．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)，，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)，和點(diǎn)，的兩條切線互相垂直，且分別交軸于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是．【分析】分別求得，時(shí)，的解析式和導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和方程，令，可得，的坐標(biāo)，再由兩直線垂直的條件和兩點(diǎn)的距離公式，化簡整理，可得所求范圍．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為，可得在點(diǎn)，處的斜率為，切線的方程為，令，可得，即，當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)數(shù)為，可得在點(diǎn)，處的斜率為，令，可得，即，由的圖象在，處的切線相互垂直，可得，即為，，，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：切線的方程，以及兩直線垂直的條件，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．（2021?甲卷）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【分析】先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式即可求得切線方程．【解答】解：因?yàn)?，在曲線上，所以，所以，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2021?全國）曲線在點(diǎn)處的切線方程是．【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，以及直線方程的運(yùn)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．1.2解題模型1.曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線問題設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線為l,則根據(jù)2.曲線y=f(x)過點(diǎn)(x0,y0)的切線問題設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x?,f(x?)),先求出在x=x?處的切線方程，然后把點(diǎn)(x0,y0)的坐標(biāo)代入切線方程即可求出x1,從而得出切線方程.3.由曲線的切線求參數(shù)的方法已知曲線在某點(diǎn)處的切線求參數(shù)問題主要用方程思想來解決.先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值；再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與已知條件，建立關(guān)于參數(shù)的方程(組)或不等式(組),通過解方程(組)或不等式(組)求出參數(shù)的值或取值范圍.1.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹┮唬畬?dǎo)數(shù)的運(yùn)算（共2小題）1．（2023?漳州模擬）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則A．0 B．1 C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)的周期性，以及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，即可求解．【解答】解：的導(dǎo)函數(shù)為，則，故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的周期性，以及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023?寧德模擬）已知函數(shù)滿足如下條件：①定義域?yàn)椋虎诖嬖?，使得；③．試寫出一個(gè)符合上述要求的函數(shù)（答案不唯一）．【分析】根據(jù)已知條件，選出函數(shù)，并驗(yàn)證，即可求解．【解答】解：設(shè)，則函數(shù)定義域?yàn)?，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程（共22小題）3．（2023?泉州模擬）定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)，時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為A． B． C． D．【分析】利用函數(shù)的對(duì)稱性和周期性及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解．【解答】解：由可以得關(guān)于中心對(duì)稱，又偶函數(shù)，即函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，所以的周期為4．所以，因?yàn)?，即關(guān)于對(duì)稱，所以，所以切線方程：．即：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性及周期性的考查，還考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義在切線方程的求解，屬于中檔題．4．（2022?泉州模擬）若直線與曲線相切，直線與曲線相切．則的值為A． B．1 C． D．【分析】分別求得，的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)可得切線的斜率，由已知切線方程可得兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)（用，表示），結(jié)合函數(shù)的圖像的對(duì)稱性，可得所求值．【解答】解：的導(dǎo)數(shù)為，的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為，直線與曲線相切的切點(diǎn)為，所以，，即，，，即，又，即，可得，考慮為方程的根，為方程的根，分別畫出，和，的圖像，可得和的交點(diǎn)與和的交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：求切線的方程，以及函數(shù)的圖像的對(duì)稱性，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．（2022?莆田模擬）下列直線中，既不是曲線的切線，也不是曲線的切線的是A． B． C． D．【分析】分別求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由每一個(gè)選項(xiàng)中直線的斜率求得與兩曲線切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步求得縱坐標(biāo)，再看切點(diǎn)是否滿足直線方程即可．【解答】解：的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為．對(duì)于，的斜率為1，由，得，，是曲線的切線，故錯(cuò)誤；對(duì)于，的斜率為1，由判斷可知，不是曲線的切線，由，得，，則是曲線的切線，故錯(cuò)誤；對(duì)于，的斜率為，由，得，，是曲線的切線，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由判斷可知，不是曲線的切線，由，得，，點(diǎn)不適合直線，則不是曲線的切線．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．6．（2021?莆田模擬）函數(shù)的圖象的切線斜率可能為A． B． C． D．【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由正弦函數(shù)的值域和不等式的性質(zhì)，可得斜率的范圍，可得結(jié)論．【解答】解：的導(dǎo)數(shù)為，由于，，，可得，則切線的斜率可能為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，以及正弦函數(shù)的值域，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2020?福州三模）曲線在處的切線方程為A． B． C． D．【分析】先求出導(dǎo)數(shù)，然后求出切線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式求出切線方程．【解答】解：由已知：，．所以，故切線為，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法．屬于基礎(chǔ)題．8．（2022?莆田模擬）若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱具有性質(zhì)．下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是A． B． C．， D．【分析】函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則判斷存在兩個(gè)函數(shù)值的乘積為即可．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，恒成立，不滿足條件；當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，且，，所以存在，，滿足條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬中檔題．9．（2022?漳州模擬）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A．曲線的切線斜率可以是1 B．曲線的切線斜率可以是 C．過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條 D．過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有2條【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域判斷與；設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到函數(shù)在切點(diǎn)處的切線方程，分別把，代入求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可判斷與．【解答】解：，得，由，得，曲線的切線斜率可以是1，故正確；，故錯(cuò)誤；設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，過切點(diǎn)的切線方程為，把代入，可得，，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，可得只有一根0，即過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條，故正確；把代入，可得，解得．過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．10．（2023?莆田模擬）直線經(jīng)過點(diǎn)，，且與曲線相切，寫出的一個(gè)方程（或，或．【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過求得的切線方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)一步得答案．【解答】解：由，得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，則過切點(diǎn)的切線方程為，把點(diǎn)，代入，可得，整理得：，即或或．當(dāng)時(shí)，切線方程為，當(dāng)時(shí)，切線方程為，當(dāng)時(shí)，切線方程為．故答案為：（或，或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，設(shè)切點(diǎn)是關(guān)鍵，是中檔題．11．（2023?思明區(qū)校級(jí)模擬）若曲線有兩條過的切線，則的范圍是．【分析】由題可將曲線有兩條過的切線轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，畫出大致圖象，即可得答案．【解答】解：設(shè)切線切點(diǎn)為，，又，所以切線斜率為，因?yàn)?，所以切線方程為：．又切線過，則，即，則由題可知函數(shù)圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又（1），又，，，．據(jù)此可得大致圖象如下．則由圖可得，當(dāng)時(shí)，曲線有兩條過的切線．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．12．（2023?廈門模擬）已知函數(shù)，，若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用斜率等于切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，和切線相同即可判斷．【解答】解：，假設(shè)兩曲線在同一點(diǎn)，處相切，則，可得，即，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，且時(shí)，所以，則，此時(shí)兩曲線在處相切，根據(jù)曲線的變化趨勢，若繼續(xù)增大，則兩曲線相交于兩點(diǎn)，不存在公切線，所以的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．13．（2023?惠安縣模擬）已知直線是曲線與的公切線，則直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．【分析】設(shè)直線與兩曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，得到兩曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，再由斜率相等列式求解切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，進(jìn)一步得答案．【解答】解：由，得，由，得，設(shè)直線與曲線和分別切于，，，，則，即，代入，可得，解得，，切點(diǎn)為，，則切線方程為，取，得．直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．14．（2023?泉州模擬）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【分析】欲求曲線在點(diǎn)處的切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：，，當(dāng)時(shí)，得切線的斜率為2，所以；所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．15．（2023?南平模擬）已知曲線和曲線有唯一公共點(diǎn)，且這兩條曲線在該公共點(diǎn)處有相同的切線，則的方程為．【分析】設(shè)與，再設(shè)公共點(diǎn)，，根據(jù)題意得到，，，解出后進(jìn)而求得結(jié)論．【解答】解：設(shè)與在公共點(diǎn)，處的切線相同．，，由題意知，即，解得，；故切點(diǎn)為：，，切線的斜率；可得切線方程為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程的基礎(chǔ)知識(shí)，是一道關(guān)于函數(shù)的基礎(chǔ)題，應(yīng)熟練掌握其求解的方法步驟．16．（2023?福州模擬）已知曲線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為11．【分析】利用二次導(dǎo)函數(shù)，求解函數(shù)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，求出的縱坐標(biāo)即可．【解答】解：曲線，，，令，可得，此時(shí)，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為．曲線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為11．故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，對(duì)稱中心的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．17．（2023?泉州模擬）曲線在處的切線方程為．【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由斜截式方程可得所求切線方程．【解答】解：的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在處的切線斜率為，切點(diǎn)為，則切線的方程為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，以及直線方程的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（2023?漳州模擬）函數(shù)的圖象在處的切線方程為．【分析】先對(duì)求導(dǎo)，再求出所求切線的斜率與切點(diǎn)，從而由點(diǎn)斜式方程即可得出答案．【解答】解：，，所求切線的斜率為，又，即切點(diǎn)為，函數(shù)的圖象在處的切線方程為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的點(diǎn)斜式方程，屬基礎(chǔ)題．19．（2022?廈門模擬）若函數(shù)和的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則在處的切線方程是．【分析】分別求得，的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，，則①，結(jié)合，聯(lián)立消掉可得關(guān)于的方程，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可求得唯一值，進(jìn)而可求的坐標(biāo)，以及切線的斜率和切線方程．【解答】解：的導(dǎo)數(shù)為，的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)，，則①，，即，化簡得②，聯(lián)立①②消得，，令，，可得在上單調(diào)遞增，又（1），在上有唯一零點(diǎn)1，方程有唯一解，即，則（1），．故，切線的斜率為1，切線的方程為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．20．（2022?荔城區(qū)校級(jí)模擬）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，然后求解切線方程．【解答】解：，可得，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，是基礎(chǔ)題．21．（2022?莆田模擬）曲線在處的切線方程為．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，再求出時(shí)的函數(shù)值，利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案．【解答】解：由，得，，又當(dāng)時(shí)，，曲線在處的切線方程為，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是基礎(chǔ)題．22．（2022?龍巖模擬）函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，再求出（1），可得切線方程，求出切線在兩坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形面積公式得答案．【解答】解：由，得，（1），又（1），函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線為，取，得，取，得．切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查三角形面積的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．23．（2021?龍巖一模）已知函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，則的值為1．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，再由（1）求解值．【解答】解：由，得，函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，（1），即．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．24．（2021?南平模擬）請(qǐng)寫出與曲線在點(diǎn)處具有相同切線的一個(gè)函數(shù)（非常數(shù)函數(shù)）的解析式為或或（答案不唯一）．【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得曲線在點(diǎn)處的切線方程為，從而得解．【解答】解：因?yàn)?，所以，把代入，得，即曲線在點(diǎn)處切線方程的斜率為0，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因此，所有在點(diǎn)處的切線方程為的函數(shù)都是正確答案．故答案為；或或（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題以曲線的切線為載體，考查函數(shù)圖像在某點(diǎn)處的切線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．命題點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值1.1母題精析（三年高考真題）一．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共3小題）1．（2023?新高考Ⅱ）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為A． B． C． D．【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意可得在上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得解．【解答】解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，，依題意，在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，易知當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查不等式的恒成立問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2020?全國）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A． B．， C． D．【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后求解的解集即可得解．【解答】解：已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋海瑒t，令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，重點(diǎn)考查了函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬基礎(chǔ)題．3．（2023?乙卷）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是，．【分析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得導(dǎo)函數(shù)在上恒成立，再參變量分離求解即可得出答案．【解答】解：函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上恒成立，即，化簡可得在上恒成立，而在上，故有，由，化簡可得，即，，解答，故的取值范圍是，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題的求解，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．二．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（共5小題）4．（2023?全國）已知函數(shù)在處取得極小值1，則A． B．0 C．1 D．2【分析】根據(jù)已知條件，對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【解答】解：，則，函數(shù)在處取得極小值1，，解得，故，，令，解得或，在，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，故在處取得極小值，故，符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題．5．（2022?全國）設(shè)和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)．若，則A．0 B．1 C．2 D．3【分析】先求出，又和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則和是方程的兩根，再利用韋達(dá)定理可解．【解答】解：函數(shù)，，又和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則和是方程的兩根，故，，又，則，即，則，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題，屬于中檔題．6．（2021?乙卷）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則A． B． C． D．【分析】分及，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)及題意，通過圖象發(fā)現(xiàn)，的大小關(guān)系，進(jìn)而得出答案．【解答】解：令，解得或，即及是的兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，則；當(dāng)時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，則；綜上，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．7．（2023?新高考Ⅱ）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則A． B． C． D．【分析】將函數(shù)有極大、極小值問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)不等正實(shí)根來處理．【解答】解：函數(shù)定義域?yàn)?，且，由題意，方程即有兩個(gè)正根，設(shè)為，，則有，，△，，，，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)極值的基礎(chǔ)知識(shí)，屬簡單題．8．（2022?乙卷）已知和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則的取值范圍是．【分析】由已知分析函數(shù)至少應(yīng)該兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)其再求導(dǎo)，分類討論和時(shí)兩種情況即可得出結(jié)果．【解答】解：對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，分析可知：在定義域內(nèi)至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)其再求導(dǎo)可得：，當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，此時(shí)若存在使得，則在單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，此時(shí)若函數(shù)在和分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，應(yīng)滿足，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞減，此時(shí)若存在使得，則在單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，且，此時(shí)若函數(shù)在和分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，故僅需滿足，即：，解得：，又因?yàn)?，故綜上所述：的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．三．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（共3小題）9．（2022?乙卷）函數(shù)在區(qū)間，的最小值、最大值分別為A．， B．， C．， D．，【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，令得，或，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值，再與端點(diǎn)值比較即可．【解答】解：，，，則，令得，或，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，在區(qū)間，上的極大值為，極小值為，又，，函數(shù)在區(qū)間，的最小值為，最大值為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題．10．（2018?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)，則的最小值是．【分析】由題意可得是的一個(gè)周期，問題轉(zhuǎn)化為在，上的最小值，求導(dǎo)數(shù)計(jì)算極值和端點(diǎn)值，比較可得．【解答】解：由題意可得是的一個(gè)周期，故只需考慮在，上的值域，先來求該函數(shù)在，上的極值點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)可得，令可解得或，可得此時(shí)，或；的最小值只能在點(diǎn)，或和邊界點(diǎn)中取到，計(jì)算可得，，，，函數(shù)的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．11．（2018?江蘇）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在，上的最大值與最小值的和為．【分析】推導(dǎo)出，，當(dāng)時(shí)，，，在上沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的解為，在上遞減，在，遞增，由只有一個(gè)零點(diǎn)，解得，從而，，，，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出在，上的最大值與最小值的和．【解答】解：函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，，，①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，在上沒有零點(diǎn)，舍去；②當(dāng)時(shí)，的解為，在上遞減，在，遞增，又只有一個(gè)零點(diǎn)，，解得，，，，，的解集為，在上遞增，在上遞減，，，（1），，，在，上的最大值與最小值的和為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用，同時(shí)考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力，是中檔題．四．不等式恒成立的問題（共1小題）12．（2020?浙江）已知，且，對(duì)于任意均有，則A． B． C． D．【分析】設(shè)，求得的零點(diǎn)，根據(jù)在上恒成立，討論，的符號(hào)，結(jié)合三次函數(shù)的圖象，即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)，可得的圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)，，且，由題意知，在上恒成立，則，，，可得，恒成立，排除，；我們考慮零點(diǎn)重合的情況，即中間和右邊的零點(diǎn)重合，左邊的零點(diǎn)在負(fù)半軸上．則有或或三種情況，此時(shí)顯然成立；若，則不成立；若，即，可得，且和都在正半軸上，符合題意，綜上恒成立．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式恒成立問題，注意三次函數(shù)的圖象，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．1.2解題模型1.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法①可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上f(x)≥0(或f’(x)≤0)恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，求出參數(shù)的取值范圍，要注意檢驗(yàn)等號(hào)成立時(shí)導(dǎo)數(shù)是否在某區(qū)間上恒為0.②可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f’(x)>0(或f’(x)<0)在該區(qū)間上存在解集，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，求出參數(shù)的取值范圍。③若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I上含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍.(2)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小、解不等式時(shí)常用的構(gòu)造函數(shù)技巧(1)出現(xiàn)nf(x)＋xf′(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xnf(x)；(2)出現(xiàn)xf′(x)－nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,xn).(3)出現(xiàn)f′(x)＋nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝enxf(x)；(4)出現(xiàn)f′(x)－nf(x)形式，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝eq\f(fx,enx).(5)函數(shù)f(x)與sinx，cosx相結(jié)合構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)的幾種常見形式F(x)＝f(x)sinx，F(xiàn)′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝eq\f(fx,sinx)，F(xiàn)′(x)＝eq\f(f′xsinx－fxcosx,sin2x)；F(x)＝f(x)cosx，F(xiàn)′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝eq\f(fx,cosx)，F(xiàn)′(x)＝eq\f(f′xcosx＋fxsinx,cos2x).(6)同構(gòu)法的三種基本模式：①乘積型，如aea≤blnb可以同構(gòu)成aea≤(lnb)elnb，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xex；②比商型，如eq\f(ea,a)<eq\f(b,lnb)可以同構(gòu)成eq\f(ea,lnea)<eq\f(b,lnb)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)f(x)＝eq\f(x,lnx)；③和差型，如ea±a>b±lnb，同構(gòu)后可以構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex±x或f(x)＝x±lnx.2.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值和最值問題的策略(1)解決函數(shù)極值問題的一般思路(2)可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)存在問題可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)f’(x)的變號(hào)零點(diǎn)存在問題.(3)將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較，即可得函數(shù)的最值.1.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹┮唬脤?dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共6小題）1．（2023?寧德模擬）已知，則A． B． C． D．【分析】由可得到，利用作差法得到，，構(gòu)造，，分別求出，在上的單調(diào)性，即可求解．【解答】解：因?yàn)?，所以，又，令，，則，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，即；又，令，，則，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，即，綜上，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于中檔題．2．（2023?福州模擬）已知，函數(shù)，．若，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】構(gòu)造函數(shù)，，則，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出答案．【解答】解：，即，令，，令，則，所以函數(shù)為增函數(shù)，即函數(shù)為增函數(shù)，又（1），則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以（1），所以，所以的取值范圍是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．3．（2023?漳州模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)為，且，，則A． B．（e）（1） C．在上是增函數(shù) D．存在最小值【分析】令，求導(dǎo)得，分析的符號(hào)，的單調(diào)性，進(jìn)而可得，是否正確；由上可得，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性和最值，可得的符號(hào)，的符號(hào)，的單調(diào)性，即可得出答案．【解答】解：令，，因?yàn)?，所以，令得，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，對(duì)于：因?yàn)椋裕?），所以（1），所以（1），故正確；對(duì)于：因?yàn)?，所以（e）（1），所以（e）（1），所以（e）（1），故正確；對(duì)于：由上可得，，令，，令得，所以在上，單調(diào)遞減，在，上，單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上，單調(diào)遞增，故正確；對(duì)于：由選項(xiàng)知不存在最值，故錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、轉(zhuǎn)化方法、放縮法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．4．（2023?廈門模擬）已知函數(shù)，則A．曲線關(guān)于軸對(duì)稱 B．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷，，求出時(shí)的導(dǎo)數(shù)，判斷時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性判斷，即可．【解答】解：，，關(guān)于軸對(duì)稱，故正確，錯(cuò)誤，時(shí)，，則，故時(shí)，，單調(diào)遞減，，時(shí)，，單調(diào)遞增，又關(guān)于軸對(duì)稱，在，單調(diào)遞減，又，在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，在上不單調(diào)，故錯(cuò)誤，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．5．（2023?南平模擬）已知函數(shù)滿足，（1），則A． B． C．若方程有5個(gè)解，則 D．若函數(shù)且有三個(gè)零點(diǎn)，則【分析】令，求導(dǎo)可得，進(jìn)而可得，，又（1），解得，則，，對(duì)于：求導(dǎo)分析的單調(diào)性，最值，可判斷是否正確；對(duì)于：由上可知，，令，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性和最值，即可得出，進(jìn)而可，則，結(jié)合的單調(diào)性，即可判斷是否正確；對(duì)于：由上可知，方程可化為，令，則方程可化為：，作出圖象如下，只需有5個(gè)零點(diǎn)，即可判斷是否正確；對(duì)于：若函數(shù)且有三個(gè)零點(diǎn)，則方程有三個(gè)根，又，，在上單調(diào)遞增，則方程有三個(gè)根，即可判斷是否正確．【解答】解：令，，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，因?yàn)椋?），所以，所以，所以，所以，，令得，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以，對(duì)于：由上可知，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?），所以，所以（1），又（1），所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于：由上可知，，令，令，單調(diào)遞減，又（1），所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故正確；對(duì)于：由上可知，方程可化為，令，則方程可化為：，作出圖象如下：方程，△，①若△，即時(shí)，方程的解只有一個(gè)，則函數(shù)的零點(diǎn)至多有三個(gè)，不合題意，②若△，即時(shí)，方程的無解，則函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意，③若△，即或時(shí)，方程的解有兩個(gè)，，，，，若函數(shù)且有三個(gè)零點(diǎn)，則，有五個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合的圖象可得有三個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，當(dāng)，即，解得，此時(shí)，符合，所以，故正確；對(duì)于：若函數(shù)且有三個(gè)零點(diǎn)，則方程有三個(gè)根，因?yàn)?，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以若方程有三個(gè)根，則方程有三個(gè)根，所以有三個(gè)根，所以有三個(gè)根，即有三個(gè)根，令，則與有三個(gè)根，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，，令得，所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以（e），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由奇函數(shù)的對(duì)稱性可得，，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下：所以或，所以或，所以的取值范圍為，，，故正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．6．（2023?南平模擬）若，則A． B． C． D．【分析】對(duì)于，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解；對(duì)于，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；對(duì)于，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；對(duì)于，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【解答】解：，則，，故錯(cuò)誤，正確；，則，故錯(cuò)誤；構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，，（a）（b），即，故，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．二．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（共2小題）7．（2023?龍巖模擬）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)，則下列說法正確的是A．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減 B．當(dāng)時(shí)，恒成立 C．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上存在唯一極小值點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，有且僅有2個(gè)零點(diǎn)【分析】對(duì)于：求導(dǎo)得，，分析的符號(hào)，單調(diào)性，即可判斷是否正確；對(duì)于：當(dāng)時(shí)，，，令，，求導(dǎo)分析單調(diào)性，最值，即可判斷是否正確；對(duì)于：當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)分析單調(diào)性，極值，即可判斷是否正確；對(duì)于：由上可知在上單調(diào)性，進(jìn)而可得存在，，使得，分析的單調(diào)性，零點(diǎn)，即可判斷是否正確．【解答】解：對(duì)于，，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以在上，單調(diào)遞減，故正確；對(duì)于：當(dāng)時(shí)，，，令，，，所以在上，單調(diào)遞增，在，上，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于：當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，所以在上，單調(diào)遞減，在，上，單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上有唯一極小值點(diǎn)，故正確；對(duì)于：由上可知在上單調(diào)遞減，，在，上單調(diào)遞增，，所以存在，，使得，所以在上，，單調(diào)遞減，在，上，，單調(diào)遞增，又，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，遞增，又，0為一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以在上不存在零點(diǎn)，故正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．8．（2022?福州模擬）已知函數(shù)在處取得極值，則實(shí)數(shù)．【分析】先求導(dǎo)數(shù)，再由極值條件，列方程求解．【解答】解：因?yàn)?，又因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以（1），于是，解得，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題，屬于中檔題．三．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值（共10小題）9．（2023?福州模擬）若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．【分析】設(shè)，，求兩個(gè)曲線公切線的斜率即可．【解答】解：設(shè)，，依題意只需求公切線斜率即可．，，設(shè)切點(diǎn)分別為，，，則切線方程為，即．，即．則，由①得，代入②得：，則，故公切線斜率為或，如圖，由圖象可知，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．10．（2023?龍巖模擬）已知兩數(shù)，則的最小值為A． B． C． D．0【分析】依題意可知為周期為的偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的最值，利用函數(shù)的圖象，即可得到答案．【解答】解：，為偶函數(shù)，又，的周期為，當(dāng)，時(shí)，，，令，得，，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，作出的圖象，如圖：由圖可知，函數(shù)的最小值為，故正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．11．（2022?南平模擬）對(duì)任意的，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B． C．， D．【分析】化簡不等式后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解．【解答】解：對(duì)任意的，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，，令，由題意得在，上單調(diào)遞減，，在，上恒成立，．實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．12．（2022?泉州模擬）已知函數(shù)，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．，【分析】原問題等價(jià)于，，令，，，，只需在單調(diào)遞增即可，利用在上恒成立，即可求解．【解答】解：，，等價(jià)于，，，，令，，，，又當(dāng)時(shí)，恒成立，只需在單調(diào)遞增即可，即在上恒成立，在上恒成立，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了恒成立問題，考查了同構(gòu)思想，考查了計(jì)算能力，屬于難題，13．（2022?三明模擬）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C．， D．【分析】問題轉(zhuǎn)化為有兩根，令，利用導(dǎo)數(shù)求其極小值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：由有兩個(gè)零點(diǎn)，得有兩個(gè)根，即有兩個(gè)根，令，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（1），可得在上恒成立，有兩根，令，則，由上可知，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，的極小值為（1），又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定及應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求極值，考查運(yùn)算求解能力，屬難題．14．（2022?莆田模擬）已知函數(shù)的最小值是4，則A．3 B．4 C．5 D．6【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，得到關(guān)于的方程，解出即可．【解答】解：令，則，，，在遞增，而，故時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，故，解得，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是中檔題．15．（2021?南平模擬）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B． C． D．【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得出其單調(diào)性情況及極值情況，作出大致圖象，結(jié)合圖象分，及分別討論得解．【解答】解：，，令，得，易知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．則函數(shù)在處取得極小值，且極小值為，如圖所示：當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，則，解得；當(dāng)時(shí)，由于直線與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式有無數(shù)個(gè)整數(shù)解，不合乎題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用函數(shù)不等式整數(shù)解的個(gè)數(shù)問題求參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及變化趨勢，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，蘊(yùn)含運(yùn)動(dòng)變化和分類整合思想，考查學(xué)生邏輯推理能力以及運(yùn)算求解轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．16．（2023?福建模擬）函數(shù)，若，則的取值范圍，．【分析】由，可得時(shí)，，；時(shí)，，時(shí)，等號(hào)成立；時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、結(jié)合洛必達(dá)法則即可得出結(jié)論．【解答】解：由，可得時(shí)，，；時(shí)，，時(shí)，等號(hào)成立；時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，令，，令，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，時(shí)，由洛必達(dá)法則可得：，．時(shí)，．令，，則，令，，，函數(shù)即在上單調(diào)遞增，，，，．綜上可得：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值及最值、分類討論方法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、洛必達(dá)法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．17．（2023?三明三模）已知不等式恒成立，其中，則的最大值為．【分析】由題意，將問題轉(zhuǎn)化成不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，對(duì)和這兩種情況進(jìn)行分析，利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性和最值，此時(shí)問題轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造函數(shù)（a），對(duì)（a）進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到（a）的單調(diào)性，進(jìn)而可得最大值．【解答】解：已知不等式恒成立，所以已知不等式恒成立，不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，可得，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，函數(shù)無最小值，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，所以（a），滿足，即，整理得，所以，不妨設(shè)（a），函數(shù)定義域?yàn)?，可得（a），當(dāng)時(shí)，（a），（a）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，（a），（a）單調(diào)遞減，所以（a）（3），則的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值以及不等式恒成立問題，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力．18．（2022?龍巖模擬）若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【分析】依題意，將問題轉(zhuǎn)化為，對(duì)任意，恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可知在，上為增函數(shù)，則（1），然后分及討論得答案．【解答】解：依題意，對(duì)任意，恒成立，記，，在，上為增函數(shù)，則（1），當(dāng)，即時(shí)，在，上為增函數(shù)，則（1），符合題意；當(dāng)，即時(shí)，（1），時(shí)，，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，（1），不合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值，考查不等式的恒成立問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于較難題目．四．不等式恒成立的問題（共1小題）19．（2021?三明模擬）已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【分析】由二次函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)性的定義，可判斷的范圍，再由函數(shù)恒成立思想可得（e）（e），運(yùn)用排除法可得結(jié)論．【解答】解：是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，可得時(shí)，遞增，即有，且，可得，又，即，可得，可排除選項(xiàng)，又，由當(dāng)時(shí)，恒成立，可得（e）（e），即，可得，即有．進(jìn)而排除，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，以及函數(shù)恒成立問題解法，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）：一．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（共1小題）1．（2023?新羅區(qū)校級(jí)三模）定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是A．（2） B．函數(shù)關(guān)于對(duì)稱 C．函數(shù)是周期函數(shù) D．【分析】由為奇函數(shù)可得（2），由取導(dǎo)數(shù)可得，結(jié)合條件可得，判斷，再由條件判斷函數(shù)，的周期，由此計(jì)算，判斷，．【解答】解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，取可得（2），對(duì)，因?yàn)椋?，所以，又，即，，故，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，錯(cuò)，因?yàn)椋?，所以，為常?shù)，因?yàn)椋?，所以，取可得，所以，又，即，所以，所以，所以，故函?shù)為周期為4的函數(shù)，因?yàn)?，所以?）（1），（4）（2），所以（1）（2）（3）（4），所以，所以，故的值為0，正確；因?yàn)?，即，故函?shù)也為周期為4的函數(shù)，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性，屬于中檔題．二．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共9小題）2．（2023?蕉城區(qū)校級(jí)一模）關(guān)于的不等式的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【分析】化簡不等式可得，設(shè)，，則原不等式即為，根據(jù)兩函數(shù)的單調(diào)性分類討論，得出不等式的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)的不等式組解出即可．【解答】解：依題意，關(guān)于的不等式的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，即的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，設(shè)，，則原不等式即為．若，則當(dāng)時(shí)，，，原不等式的解集中有無數(shù)個(gè)大于2的整數(shù)，．（2），（2），（2）（2）．當(dāng)（3）（3），即時(shí)，設(shè)，則．設(shè)，則（3），在，上為減函數(shù)，（4），當(dāng)時(shí)，，在，上為減函數(shù)，即（4），當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，原不等式的解集中沒有大于2的整數(shù)．，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，要使原不等式的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，和在兩個(gè)交點(diǎn)之間，則，即，解得．則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了不等式恒成立問題，屬于中檔題．3．（2023?蕉城區(qū)校級(jí)模擬）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．， C． D．，【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可；【解答】解：函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，檢驗(yàn)符合．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．4．（2022?薌城區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)滿足（2），則的單調(diào)遞減區(qū)間為A． B． C． D．【分析】對(duì)求導(dǎo)得到關(guān)于（2）、的方程求出它們的值，代入原解析式，根據(jù)求單調(diào)減區(qū)間．【解答】解：由題設(shè)（2），則（2）（2），可得，而（2），則（2），所以，即，則且遞增，當(dāng)時(shí)，即遞減，故遞減區(qū)間為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．（2023?蕉城區(qū)校級(jí)二模）已知函數(shù)，則A．（2）（3） B．若有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，則 C． D．若，，均為正數(shù)，則【分析】：代入2、3直接計(jì)算比較大小；：求的導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性，可得當(dāng)有兩個(gè)不相等實(shí)根時(shí)、的范圍，不妨設(shè)，則有，比較的大小關(guān)系，因?yàn)椋蓸?gòu)造，求導(dǎo)求單調(diào)性，計(jì)算可得成立，可證；：用在上單調(diào)遞增，構(gòu)造可證明；：令，解出，，作差可證明．【解答】解：對(duì)于，，又，，所以，所以，所以（2）（3），故錯(cuò)誤；對(duì)于：函數(shù)，定義域?yàn)椋?，令得，所以在上時(shí)，單調(diào)遞增，在上時(shí)，單調(diào)遞減，所以，且時(shí)，有，所以若有兩個(gè)不相等的實(shí)根、，有，不妨設(shè)，有，要證，只需證，且，又，所以只需證，令，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以有，所以在上單調(diào)遞增，且（e），所以恒成立，所以，即，即，故正確；對(duì)于：由可知，在上單調(diào)遞增，所以（2）（e），所以，則有，故正確；對(duì)于：令，則，，，所以，所以，故正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)值的大小，不等式的證明，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．6．（2023?福建模擬）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A．為增函數(shù) B．的最小值為 C．函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) D．若，且，則【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和最值判斷、；由過原點(diǎn)且與曲線相切為臨界點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，并求出對(duì)應(yīng)切線方程，進(jìn)而有，構(gòu)造研究單調(diào)性易得，結(jié)合只需判斷，2的大小關(guān)系，數(shù)形結(jié)合即可判斷；利用極值點(diǎn)偏移，構(gòu)造研究單調(diào)性，判斷，即可判斷．【解答】解：：令，，即遞增，所以在上，（1），為減函數(shù)，錯(cuò)誤；：在上（1），故的最小值為，正確；：由上知，過原點(diǎn)且與曲線相切為臨界點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，，點(diǎn)處的切線為，代入原點(diǎn)坐標(biāo)化簡得，令，則，函數(shù)單調(diào)遞增，記方程的根為，又（4）知：，令，有，得單調(diào)遞增，有，由圖象知，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，故正確；：設(shè)，有，所以，而，故為減函數(shù)，由，故為增函數(shù)，故（1）為減函數(shù)（1），即，，故，又，，且該區(qū)間上遞增，，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及最值關(guān)系的應(yīng)用，還考查了函數(shù)性質(zhì)在函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷中的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（2023?龍巖模擬）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，分別記為，；對(duì)于，存在使，則A．在上單調(diào)遞增 B．（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） C． D．【分析】對(duì)于：求導(dǎo)并令，解得的單調(diào)遞增區(qū)間，即可判斷是否正確；對(duì)于：若有兩個(gè)零點(diǎn)，方程有兩個(gè)根，令，則與的交點(diǎn)，即可判斷是否正確；對(duì)于：由上可得，又，，由的單調(diào)性可得，進(jìn)而可得即可判斷是否正確；對(duì)于：計(jì)算，令，則，可得，又在上單調(diào)遞增，則，即可判斷是否正確．【解答】解：對(duì)于：因?yàn)椋畹?，所以在上單調(diào)遞增，對(duì)于有兩個(gè)零點(diǎn)，方程有兩個(gè)根，令，則，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值（e），所以，，故正確；對(duì)于：由上可得，又，，由的單調(diào)性可得，，所以，，所以，故正確；對(duì)于：由已知，而，所以，令，則，所以在單調(diào)遞增，所以（1），所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，即，故正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．8．（2023?福建模擬）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（或，也對(duì)）．【分析】令，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知：的增區(qū)間即為所求．【解答】解：令，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知：的增區(qū)間即為所求，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．故答案為：（或，也對(duì)）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2023?福建模擬）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用給定的單調(diào)性列出恒成立的不等式，再借助二次函數(shù)求解作答．【解答】解：由題意，，恒成立，即恒成立，令，，則在，上恒成立，設(shè)，因此函數(shù)在，上恒有成立，而函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，于是，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．10．（2022?荔城區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，有一位同學(xué)研究該函數(shù)后發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖像具有對(duì)稱性，則函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，同時(shí)利用性質(zhì)求得不等式的解集是．【分析】先檢驗(yàn)與的關(guān)系，然后結(jié)合函數(shù)圖象的平移及導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系判斷的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)稱性與單調(diào)性可求．【解答】解：因?yàn)椋?，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，令，則的圖象可由的圖象向右平移1個(gè)單位，且的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以時(shí)，單調(diào)遞增，由得，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱性及單調(diào)性的判斷，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是單調(diào)性判斷的關(guān)鍵，屬于中檔題．三．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（共10小題）11．（2023?漳州模擬）已知函數(shù)和函數(shù)，具有相同的零點(diǎn)，則的值為A．2 B． C． D．【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義可整理得到，令，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理的知識(shí)可確定在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，并得到，，由可確定，由此化簡所求式子即可得到結(jié)果．【解答】解：由題意知：，，聯(lián)立兩式可得：，令，則；令，則在上單調(diào)遞增，又，（1），在上存在唯一零點(diǎn)，且，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)問題；解題關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用零點(diǎn)存在定理確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，并得到隱零點(diǎn)所滿足的等量關(guān)系式，進(jìn)而利用等量關(guān)系式化簡最值和所求式子．12．（2023?鯉城區(qū)校級(jí)模擬）已知，若函數(shù)在處取得極小值，則下列結(jié)論正確的是A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)， C． D．【分析】求導(dǎo)可得，對(duì)分類討論，結(jié)合函數(shù)在處取得極小值，及其函數(shù)的零點(diǎn)，，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：，，，令，解得，或．，令，解得，或，①時(shí)，當(dāng)，，即時(shí)，函數(shù)在處取得極小值；②時(shí)，，，即時(shí)，函數(shù)在處取得極小值．綜上可得：正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、函數(shù)的零點(diǎn)、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13．（2023?思明區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，將的所有極值點(diǎn)按照由小到大的順序排列得到數(shù)列，對(duì)于正整數(shù)，則下列說法中正確的有A． B． C．為遞減數(shù)列 D．【分析】的極值點(diǎn)為函數(shù)與函數(shù)圖象在交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將兩函數(shù)圖象畫在同一坐標(biāo)系中，數(shù)形結(jié)合逐項(xiàng)分析各選項(xiàng)，能求出結(jié)果．【解答】解：的極值點(diǎn)為在上的變號(hào)零點(diǎn)，即為函數(shù)與函數(shù)圖象在交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，時(shí)，，時(shí)，，，，，時(shí)，，據(jù)此可將兩函數(shù)圖象畫在同一坐標(biāo)系中，如圖，對(duì)于，時(shí)，，，，結(jié)合圖象得當(dāng)，，，，，當(dāng)，時(shí)，，，，故正確；對(duì)于，由圖象可知，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于，表示兩點(diǎn)，與，間距離，數(shù)形結(jié)合得隨著的增大，兩點(diǎn)間的距離越來越近，即為遞減數(shù)列，故正確；對(duì)于，由選項(xiàng)分析得：，數(shù)形結(jié)合得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．14．（2023?寧德模擬）已知函數(shù)，，，則下列說法正確的是A．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，（1）中心對(duì)稱，則 B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)過原點(diǎn)的切線有且僅有兩條 C．函數(shù)在，上單調(diào)遞減的充要條件是 D．若實(shí)數(shù)，是的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且滿足，則或【分析】．函數(shù)，，，令，解得，即為對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，（1）中心對(duì)稱，進(jìn)而解得，即可判斷出的正誤．．時(shí)，原點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，因此過原點(diǎn)有一條切線；若切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，，利用點(diǎn)斜式可得切線方程為，把代入可得，即可判斷出的正誤．．函數(shù)在，上單調(diào)遞減（不恒等于在，上恒成立，其對(duì)稱軸為．分類討論對(duì)稱軸與區(qū)間斷點(diǎn)的值的大小關(guān)系，即可判斷出的正誤．．，由實(shí)數(shù)，是的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，可得△，即，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入，解得范圍，即可判斷出的正誤．【解答】解：．函數(shù)，，，令，解得，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，（1）中心對(duì)稱，，解得，因此正確．．時(shí)，原點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，因此過原點(diǎn)有一條切線；若切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，，則切線方程為，把代入可得：，若，則函數(shù)過原點(diǎn)的切線有且僅有一條；若，則函數(shù)過原點(diǎn)的切線有兩條．因此不正確．．函數(shù)在，上單調(diào)遞減（不恒等于在，上恒成立，其對(duì)稱軸為．分類討論：或或，因此正確．．，由實(shí)數(shù)，是的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則△，即，，，，，化為，代入，可得，解得或，因此正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、方程與不等式的解法、分類討論方法、三次函數(shù)的單調(diào)性與中心對(duì)稱性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．15．（2023?新羅區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)，則A．為奇函數(shù) B．在區(qū)間上單調(diào)遞減 C．的極小值為 D．的最大值為【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷選項(xiàng)；利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷選項(xiàng)；分析函數(shù)的單調(diào)性，利用極值的定義可判斷選項(xiàng)；利用極值與最值的關(guān)系可判斷選項(xiàng)．【解答】解：由題意知，的定義域?yàn)椋?，所以為偶函?shù)，錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，錯(cuò)；對(duì)于，當(dāng)，時(shí)，，所以，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減．又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為、，遞減區(qū)間為、，所以函數(shù)的極小值為，對(duì)；對(duì)于，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)的極大值為，故函數(shù)的最大值為，對(duì)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．16．（2023?思明區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)，設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，若過兩點(diǎn)，，，的直線與軸的交點(diǎn)在曲線上，則的值是A．0 B．2 C． D．【分析】求導(dǎo)得，，為方程的兩個(gè)根，則，計(jì)算直線的斜率，直線必過對(duì)稱中心，，即，進(jìn)而可得直線的方程，可得直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線，即可得出答案．【解答】解：因?yàn)椋?，為方程的兩個(gè)根，所以，所以直線的斜率，若直線過點(diǎn)，，，，則直線必過對(duì)稱中心，，即，所以直線的方程為，令，得，又因?yàn)辄c(diǎn)，在曲線上，代入曲線可得，解得或或，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．17．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)，則A．曲線是軸對(duì)稱圖形 B．函數(shù)有極大值為 C．若，則 D．若，且，則【分析】．計(jì)算，即可判斷；．利用導(dǎo)數(shù)法求解判斷；．由，得到，由，利用導(dǎo)數(shù)法求解判斷；．易證，再根據(jù)，且，結(jié)合得到，即可．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以的極小值為，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，由可知的極小值為，所以，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，且，所以，即，由知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．18．（2023?泉州模擬）設(shè)函數(shù)，則下列判斷正確的是A．存在兩個(gè)極值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)零點(diǎn) C．當(dāng)時(shí)，存在一個(gè)零點(diǎn) D．若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則【分析】由已知可得，可得有兩個(gè)根，，且，進(jìn)而運(yùn)算可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正確性．【解答】解：由函數(shù)，可得定義域?yàn)?，，令，可得，△，方程有兩個(gè)根，，且，故，，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，故存在唯一極大值點(diǎn)，故錯(cuò)誤；又，，，又在單調(diào)遞增，且，，易知為增函數(shù)，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，存在兩個(gè)零點(diǎn)，故正確；當(dāng)時(shí)，，，無法判斷有多少個(gè)零點(diǎn)，故不正確；若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則，為方程的兩解，作出函數(shù)，的圖象，作出點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，，由圖可知，，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．19．（2022?德化縣校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋堑臉O大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是A．， B．是的極大值點(diǎn) C．是的極小值點(diǎn) D．是的極小值點(diǎn)【分析】根據(jù)函數(shù)圖像對(duì)稱性判斷新函數(shù)的極值點(diǎn)即可．【解答】解：選項(xiàng)：為極大值點(diǎn)，不能說明函數(shù)在取最小值，選項(xiàng)：為函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，故在取極大值，故選項(xiàng)正確，選項(xiàng)：為函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，故在取極小值，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)：為函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故在取得極小值，故選項(xiàng)正確，故選．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖像的變化及極值點(diǎn)定義，屬于中檔題．20．（2022?龍巖模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，當(dāng)，時(shí)，對(duì)，，下列選項(xiàng)正確的是A．，則的最小值為 B．，則的值不存在 C．極小值，則 D．時(shí)，函數(shù)所有極小值之和大于【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可得函數(shù)在，上遞減，在，上遞增，則在，內(nèi)的極小值（最小值）為（1），且無最大值，再可知，在，內(nèi)的極小值為為偶數(shù)），可利用等比數(shù)列求和分析極小值的和．【解答】解：當(dāng)，時(shí)，，則，令則，函數(shù)在，上遞減，在，上遞增，則在，內(nèi)的極小值（最小值）為（1），且當(dāng)時(shí)，，不正確，正確，，則函數(shù)在，上遞減，在，上遞增為偶數(shù)），在，內(nèi)的極小值為為偶數(shù)），如下表：極值點(diǎn)135極小值0若，則，正確，若，則函數(shù)在，內(nèi)的極小值為：這些極小值依次構(gòu)成等比數(shù)列，其前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，即不正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．四．