適用于新高考新教材廣西專版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第五章三角函數(shù)高考解答題專項二三角函數(shù)中的綜合問題課件

三角函數(shù)中的綜合問題高考解答題專項二考情分析三角函數(shù)是高考的必考內(nèi)容,在近幾年的高考試卷中,三角函數(shù)解答題可能是常規(guī)考題,也可能是結(jié)構(gòu)不良試題或開放型問題,形式靈活,但以考查三角函數(shù)的基本知識、基本方法為主,滲透綜合應(yīng)用能力的考查,對學(xué)生的綜合素養(yǎng)要求較高,一般處在解答題的前兩個題目位置,對邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等多個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都有較深入的考查.考點一三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題方法總結(jié)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問題的解法(1)基本策略:首先通過恒等變換將函數(shù)解析式化為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,然后利用整體換元思想解決相應(yīng)的性質(zhì)問題.(2)易錯提醒:①求單調(diào)區(qū)間時,如果系數(shù)ω<0,應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式,將系數(shù)化為正數(shù),再進行求解;當(dāng)A<0時,原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)y=sin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間恰好相反,應(yīng)注意轉(zhuǎn)換.②求函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的最值和值域時,不能錯誤地認(rèn)為最大值和最小值就是1和-1,也不能認(rèn)為最值一定在區(qū)間端點a,b處取得,而應(yīng)該依據(jù)x∈[a,b]求出ωx+φ的取值區(qū)間,然后結(jié)合正弦函數(shù)的圖象來確定函數(shù)的最值以及取得最值時自變量的值.(1)試寫出滿足題意的2個條件的序號,并說明理由;(2)求函數(shù)g(x)=f(x)+6cos2x的值域.考點二三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合例2.設(shè)函數(shù)f(x)=sinx+cosx(x∈R).方法點撥利用恒等變換研究三角函數(shù)性質(zhì)在研究三角函數(shù)的周期、最值、奇偶性、單調(diào)區(qū)間等性質(zhì)時,通常先利用和差倍角公式以及其他三角函數(shù)公式,進行恒等變換,對函數(shù)解析式進行化簡整理,化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論.其中恒等變換的關(guān)鍵步驟有二:(1)降次:化為asin

ωx+bcos

ωx的形式;(2)化一:化為

sin(ωx+φ)的形式.(1)求函數(shù)圖象的對稱軸方程;(2)求函數(shù)y=f(-x)的單調(diào)遞減區(qū)間.考點三利用正余弦定理解三角形問題例3.(2023新高考Ⅱ,17)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(2)若b2+c2=8,求b,c.方法總結(jié)利用正余弦定理解三角形的基本策略

考點四三角形的中線與角平分線問題例4.(2023福建廈門二模)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2a-c=2bcosC.(1)求B;(2)A的角平分線與C的角平分線相交于點D,AD=3,CD=5,求AC和BD.解

(1)因為2a-c=2bcos

C,由正弦定理得2sin

A-sin

C=2sin

Bcos

C.所以2sin(B+C)-sin

C=2sin

Bcos

C,所以2sin

Bcos

C+2cos

Bsin

C-sin

C=2sin

Bcos

C.所以2cos

Bsin

C=sin

C,因為sin

C≠0,方法總結(jié)三角形中的中線、角平分線問題的處理策略

對點訓(xùn)練4銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,(1)求A;(2)若b=2,D為AB的中點,求CD的取值范圍.考點五三角函數(shù)與解三角形的綜合問題技巧點撥三角函數(shù)與解三角形綜合問題的解法步驟

即cos

Acos

B=sin

B(1+sin

A),∴cos

Acos

B=sin

B+sin

Asin

B,∴sin

B=cos

Acos

B-sin

Asin

B=cos(A+B)=cos(π-C)=-cos

C>0.考點六三角變換與解三角形的綜合問題例6.(2023新高考Ⅰ,17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.(2)過點C作AB的垂線,垂足為點D,則CD為AB邊上的高.規(guī)律方法在含有邊角關(guān)系的等式中,利用正弦定理的變形a=2Rsin

A,b=2Rsin

B,c=2Rsin

C,R為三角形外接圓的半徑,可直接將等式兩邊的邊化為角;也能利用余弦定理的變形如cos

A=將角化為邊.在三角形中利用三角變換求三角式的值時,要注意角的范圍的限制,還有隱含條件:A+B+C=π,使用這個隱含條件可以減少未知數(shù)的個數(shù).對點訓(xùn)練6(2023全國甲,文17)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已

在△ABC中,A+B+C=π,則sin

C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin

Acos

B+co