適用于新高考新教材廣西專版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第三章函數(shù)與基本初等函數(shù)第八節(jié)函數(shù)與方程課件

第八節(jié)函數(shù)與方程第三章課標(biāo)解讀1.理解函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系.2.理解函數(shù)零點存在定理,并能進(jìn)行簡單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解.強基礎(chǔ)增分策略知識梳理1.函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義對于一般函數(shù)y=f(x),我們把使

的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.

(2)幾個等價關(guān)系數(shù)形結(jié)合方法的依據(jù)

f(x)=0方程f(x)=0有實數(shù)解?函數(shù)y=f(x)有零點?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點.微點撥函數(shù)的零點是一個實數(shù),是使函數(shù)值等于0的自變量的值,它不是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的公共點,而是公共點的橫坐標(biāo),也就是說,函數(shù)的零點不是一個點,而是一個實數(shù).2.函數(shù)零點的判定(函數(shù)零點存在定理)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有

,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間

內(nèi)至少有一個零點,即存在c∈(a,b),使得

,這個

也就是方程f(x)=0的解.

f(a)f(b)<0(a,b)f(c)=0c微思考如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,那么一定有f(a)f(b)<0嗎?提示

不一定.例如,函數(shù)f(x)=x2-1在區(qū)間[-2,2]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且在區(qū)間(-2,2)內(nèi)有零點,但f(-2)f(2)>0.事實上,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么“f(a)f(b)<0”是“y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點”的充分不必要條件.3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點的關(guān)系

類型Δ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸的公共點

無公共點零點個數(shù)

(x1,0),(x2,0)(x1,0)2104.二分法的定義

求函數(shù)零點近似值的一種方法

對于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把它的零點所在的區(qū)間一分為二,使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法.常用結(jié)論1.在區(qū)間D上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多有一個零點.2.連續(xù)不斷的函數(shù),其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.3.連續(xù)不斷的函數(shù),其圖象通過零點時,函數(shù)值可能變號,也可能不變號.4.若f(x)=g(x)-h(x),則函數(shù)f(x)零點的個數(shù)就是函數(shù)g(x),h(x)圖象交點的個數(shù).對點演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)函數(shù)f(x)=4-x2的兩個零點是(-2,0)和(2,0).(

)(2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且f(a)f(b)>0,則y=f(x)在(a,b)內(nèi)一定沒有零點.(

)(3)奇函數(shù)若存在零點,則零點個數(shù)不一定為奇數(shù).(

)(4)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象連續(xù)不斷,并且有f(a)f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有唯一的零點.(

)√×××答案

C

解析

因為函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點(2,0),所以2a+b=0,即b=-2a,所以y=bx2-ax=-2ax2-ax,令-2ax2-ax=0,解得x1=0,x2=-,所以函數(shù)y=bx2-ax的零點是0和-.2.若函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象經(jīng)過點(2,0),則函數(shù)y=bx2-ax的零點是(

)答案

D

3.已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù),且在(0,+∞)上的零點有2023個,則f(x)的零點的個數(shù)為(

)A.2023 B.4045C.4046 D.4047解析

因為f(x)是定義域為R的奇函數(shù),且在(0,+∞)上的零點有2

023個,所以f(x)在(-∞,0)上的零點也有2

023個,又因為f(0)=0,所以f(x)的零點個數(shù)為4

047,故選D.增素能精準(zhǔn)突破考點一函數(shù)零點所在區(qū)間的判定典例突破答案

(3,4)

例1.(2023遼寧葫蘆島一模)請估計函數(shù)

零點所在的一個區(qū)間

.

突破技巧判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法(1)利用函數(shù)零點存在定理:即通過驗證函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值是否異號來判斷該區(qū)間內(nèi)是否存在零點.(2)數(shù)形結(jié)合法:通過畫出函數(shù)的圖象,觀察圖象與x軸公共點所在的區(qū)間進(jìn)行判定.對點訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=lgx+2x-7的零點在區(qū)間(k,k+1)(k∈Z)內(nèi),則k=(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案C

解析因為函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且它在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)至多有一個零點.又f(3)=lg

3-1<0,f(4)=lg

4+1>0,所以f(x)的零點在區(qū)間(3,4)內(nèi),故k=3.考點二函數(shù)零點個數(shù)的判定典例突破(2)函數(shù)f(x)=|x-4|-的零點的個數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.3例2.(1)(2023廣東肇慶模擬)已知函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x-1),當(dāng)x∈[0,2)時,

,則f(x)在[0,8]上的零點個數(shù)為(

)A.4 B.6

C.8

D.9答案

(1)D

(2)D

解析(1)∵函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x-1),∴f(x+2)=f(x),∴函數(shù)f(x)的周期為2,當(dāng)∴當(dāng)x∈[0,2)時,f(x)有兩個零點,∴f(x)在[0,8)上的零點個數(shù)為2×4=8,又∵f(8)=f(0)=0,∴f(x)在[0,8]上的零點個數(shù)為9.故選D.突破技巧函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法(1)直接法:解方程f(x)=0,解的個數(shù)即為零點的個數(shù);(2)函數(shù)零點存在定理法:若函數(shù)在[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0,可結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性等)確定零點的個數(shù);(3)圖象交點法:將函數(shù)構(gòu)造為兩函數(shù)的差,畫出兩個函數(shù)的圖象,其交點的個數(shù)就是原函數(shù)零點的個數(shù);(4)換元法:形如f(g(x))的函數(shù),可先令g(x)=t,求得f(t)=0時t的值,再根據(jù)g(x)的圖象及性質(zhì)確定g(x)=t時x的值的個數(shù),即f(g(x))的零點的個數(shù).對點訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)y=f(x)-ln(x-1)的零點個數(shù)是

.

答案

3解析函數(shù)y=f(x)-ln(x-1)的零點個數(shù)等價于函數(shù)f(x)與y=ln(x-1)圖象的交點個數(shù),在同一平面直角坐標(biāo)系中,分別作出函數(shù)f(x)與y=ln(x-1)的圖象,如圖.由圖可知,函數(shù)f(x)與y=ln(x-1)的圖象有3個交點,故函數(shù)y=f(x)-ln(x-1)的零點個數(shù)為3.考點三函數(shù)零點的應(yīng)用(多考向探究)考向1.根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)典例突破(2)已知函數(shù)f(x)=ln|x|-|x-1|,若函數(shù)y=f(x)-m有三個零點,則實數(shù)m的值為

.

答案

(1)D

(2)-2

(2)函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞減,且f(-1)=-1-1=-2.作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示.顯然,當(dāng)m=-2時,直線y=m與函數(shù)f(x)的圖象有三個交點,即函數(shù)y=f(x)-m有三個零點.突破技巧已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)的常用方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題進(jìn)行求解;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.對點訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)f(x)=若方程f(x)=k有且僅有兩個不等實根,則實數(shù)k的取值范圍是(

)A.(1,3) B.[1,3) C.(0,3) D.(-∞,3)f2(x)+bf(x)+c=0有6個互不相等的實數(shù)解的充要條件為

.

答案

(1)B

(2)-2<b<0且c=0

畫出f(x)在(0,+∞)上的圖象,利用偶函數(shù)的對稱性,易得f(x)在其定義域上的圖象,如圖.由圖象可知,當(dāng)t=0時,f(x)=t有兩個解;當(dāng)0<t<2時,f(x)=t有四個解.設(shè)f(x)=t,則原方程變?yōu)閠2+bt+c=0,則方程t2+bt+c=0的兩根t1,t2滿足t1=0且0<t2<2.又t1=0時,c=0,且t2=-b,而Δ=b2-4c,則由題意得

所以-2<b<0且c=0.考向2.根據(jù)零點范圍求參數(shù)典例突破例4.已知函數(shù)f(x)=2x--a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)答案

C

解析

由題意得f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(1)f(2)=(0-a)(3-a)<0,解得0