2024屆廣西賀州市數(shù)學高二年級上冊期末考試模擬試題含解析

2024屆廣西賀州市數(shù)學高二上期末考試模擬試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.已知橢圓=+3=1(?！怠！?)的短軸長為8,且一個焦點是圓/+產(chǎn)一6%+8=0的圓心，則該橢圓的左頂點為

a"b"

()

A(-2,0)B.(-3,0)

C.(-4,0)D.(-5,0)

2.已知向量一，且向量a—2b與c互相垂直，則左的值是()

a=(l，1,k),b=(T,0,-1),2,1)

A.1B.-2

C.-3D.-4

3.若圓C與直線3x+y=0和4：x+y—8=0都相切，且圓心在y軸上，則圓C的方程為()

A.x2+(y+4)2=8B.x2+(y-4)2=8

C.x2+(y+4)2=16D.x2+(y-4)2=16

4.正方體ABCD-AgG。的棱長為2,P為側面A54A內(nèi)動點，且滿足忸。卜通，則APBC面積的最小值為

()

C.2D.2-V2

5.已知拋物線必=4y上一點M與焦點間的距離是3,則點M的縱坐標為()

A.lB.2

C.3D.4

6.中國大運河項目成功人選世界文化遺產(chǎn)名錄，成為中國第46個世界遺產(chǎn)項目，隨著對大運河的保護與開發(fā)，大運

河已成為北京城市副中心的一張亮麗的名片，也成為眾多旅游者的游覽目的地.今有一旅游團乘游船從奧體公園碼頭

出發(fā)順流而下至漕運碼頭，又立即逆水返回奧體公園碼頭，已知游船在順水中的速度為匕，在逆水中的速度為

匕(匕。匕)，則游船此次行程的平均速度V與匕產(chǎn)的大小關系是()

A.V＜」——工B.V＜」——Z

22

C.V＞~~ZD.V=^Z

22

7.已知直線/與拋物線丁=4x交于不同的兩點A,B,0為坐標原點，若直線。4,03的斜率之積為-1,則直線/恒

過定點()

A.(4,0)B.(0,4)

C.(OT)D.(-4,0)

8.已知橢圓方程為土+y=l,則該橢圓的焦距為()

2

A.lB.2

C.72D.2A/2

/、lnx+x,x>0

9.已知函數(shù)〃')=1_(2尤+1)/+x,x<0g(%)=/(%)—%—a.若g(x)存在三個零點，則實數(shù)。的取值范圍是

()

(_2\C3A

A.0,/1B.0,2)

\7I)

(_2\(_3\

C.0,2e《D.0,e2

\)I)

10.下列結論正確的個數(shù)為()

1191

①若y=ln2,則y片②若/(%)=則八3)=—③若丁=2。則一=%21；④若y=log2%,則丁=:二

2x27xln5

A.4B.3

C.2D.1

11.已知函數(shù)/1(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(―8,0)B.(0.-)

C.(0,1)D.(0,+8)

2

12.拋物線V=4x的焦點到雙曲線必-三~=1的漸近線的距離是()

C.lD.g

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

(27r兀、

13.某個彈簧振子在振動過程中的位移y(單位：mm)與時間f(單位：s)之間的關系為y=18sin耳，則

當f=3s時，彈簧振子的瞬時速度為mm/s.

14.直線/過點P(l,3),且它的一個方向向量為(2,1),則直線/的一般式方程為.

15.若不等式％2—公+匕<0的解集為(2,3),則。+上=

22

16.已知片是橢圓工+&=1的兩個焦點，A,3分別是該橢圓的左頂點和上頂點，點p在線段上，則

63

的最小值為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在正方體—4用。|。中，E是棱。2的中點.

(1)試判斷直線BQ與平面的的位置關系，并說明理由;

(2)求證：直線或)口面

22b

18.(12分)在平面直角坐標系xQy中，設橢圓斗+4=1(a>b>0)的離心率是e,定義直線y=±-為橢圓的

a2b2e

“類準線”，已知橢圓C的“類準線"方程為'=±46,長軸長為8.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）0為坐標原點,4為橢圓C的右頂點,直線I交橢圓C于E,歹兩不同點（點E,F與點A不重合）,且滿足AE±AF,

若點P滿足20P=0E+0P，求直線AP的斜率的取值范圍.

19.（12分）已知定點”（—1,0），圓N：（X-1）2+/=16,點。為圓N上動點，線段MQ的垂直平分線交NQ于

點P,記尸的軌跡為曲線C

（1）求曲線C的方程；

（2）過點M與N作平行直線和“，分別交曲線C于點4,5和點。，E,求四邊形A5DE面積的最大值

2

20.（12分）已知命題P：直線丫=米+1與雙曲線L—y2=i的右支有兩個不同的交點，命題/直線乙：3履+y=0

與直線4：%+。-1=0平行.

（1）若k=0,判斷命題"（「夕"（「4）”的真假；

（2）若命題“〃△（「4）”為真命題，求實數(shù)"的取值范圍.

21.（12分）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為直角梯形，平面PCD,平面ABC。，AD±CD,PD1AC.

（1）證明：平面ABCD；

（2）已知AB=1,CD=2,AD=6，且直線PB與平面PC。所成角的正弦值為且，求平面皮乃與平面3cp夾

3

角的余弦值.

22.（10分）某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本y（元）與

生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量X（千件）有關，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：

X12345678

y56.53122.7517.815.9514.51312.5

A

根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制了散點圖觀察散點圖，兩個變量間關系考慮用反比例函數(shù)模型y=a+—和指數(shù)函數(shù)模型'=。6%'分

別對兩個變量的關系進行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為y=48.3761°」95工，Iny與x的相關系數(shù)

q=-0,929.

（1）用反比例函數(shù)模型求y關于x的回歸方程；

（2）用相關系數(shù)判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好（精確到0.001）,并用其估計產(chǎn)量為10千件時每件產(chǎn)品非

原料成本；

（3）根據(jù)企業(yè)長期研究表明，非原料成本y服從正態(tài)分布用樣本平均數(shù)歹作為〃的估計值〃，用樣本標

準差s作為。的估計值°,若非原料成本y在（〃-+之外，說明該成本異常，并稱落在（〃-+。）之外的

成本為異樣成本，此時需尋找出現(xiàn)異樣成本的原因.利用估計值判斷上述非原料成本數(shù)據(jù)是否需要尋找出現(xiàn)異樣成本的

原因？

參考數(shù)據(jù)（其中％='）：

X：

8888

—2

UU^0.61x1545.555V193.194

i=lZ=1i=li=l

0.340.1151.531845777.55593.0630.70513.9

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（%,%）,（%，%），…，（乙,先），其回歸直線y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估計公式分

nn

Z%/-欣?歹^(x,.-x)(x-y)

別為：b=^----------,a=y-bx,相關系數(shù)廠=I“91”

夕-苗件寸

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】根據(jù)橢圓的一個焦點是圓Y+y2—6x+8=0的圓心，求得C,再根據(jù)橢圓的短軸長為8求得%即可.

【詳解】圓/+y2—6x+8=O的圓心是（3,0）,

22

所以橢圓二+1=1（?！?〉0）的一個焦點是（3,0）,即c=3,

ab

22

又橢圓二+二=1（?！?〉0）的短軸長為8,即方=4,

ab

所以橢圓長半軸長為。=正壽=5，

所以橢圓的左頂點為（-5,0）,

故選：D

2、D

【解析】根據(jù)向量的坐標運算和向量垂直數(shù)量積為0可解.

【詳解】解：根據(jù)題意，易得一，

a-2fc=（l,1,k）-2（-l,0,-1）=（3,3k+2]

d-2/j與c兩向量互相垂直，，巾+、+K，+?.=0，解得左=—4.

故選：D

3、B

【解析】首先求出兩平行直線間的距離，即可求出圓的半徑，設圓心坐標為（0力），（0<Z?<8）,利用圓心到直線4的

距離等于半徑得到方程，求出6的值，即可得解；

【詳解】解：因為直線x+y=0和4：x+y—8=0的距離1=1量=40,由圓C與直線3x+y=0和

/2：x+y—8=0都相切，所以圓的半徑為2加,又圓心在丁軸上，設圓心坐標為（0力），（0</?<8）,所以圓心到

直線4的距離等于半徑，即=所以6=4或>=T（舍去），所以圓心坐標為（0,4）,故圓的方程為

尤2+(y-4)2=8；

故選：B

4、B

【解析】建立空間直角坐標系如圖所示，設P(2,y,z)由上川=遍，得出點P的軌跡方程，由幾何性質求得|P8L，

再根據(jù)垂直關系求出APBC面積的最小值

【詳解】以點。為原點，分別為x，%z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則。1(0,0,2),5(2,2,0),設P(2,y,z)

所以1PR|=j4+y2+(z-2)2=屈,得V+(Z-2)2=2,

所以回L=7(2-0)2+(0-2)2-應=應

因為平面A351A，所以BCLPB

故APBC面積的最小值為5=工忸葉忸網(wǎng).=72

2?Ilinun

故選：B

5、B

【解析】利用拋物線的定義求解即可

【詳解】拋物線4》的焦點為(0,1),準線方程為y=-l,

因為拋物線d=4＞上一點”與焦點間的距離是3,

所以y“+l=3,得y“=2,即點M的縱坐標為2,

故選：B

6、A

【解析】求出平均速度匕進而結合基本不等式求得答案.

1

【詳解】易知匕〉0,匕〉0,設奧運公園碼頭到漕運碼頭之間的距離為1,則游船順流而下的時間為瓦，逆流而上的

*1

iv=-----------------―i=Jvyv+vi—

時間為7,則平均速度1,1,由基本不等式可得011'2，而-2之歷7,當且僅當

2

'片以2屋

用一時，兩個不等式都取得f而根據(jù)題意用一，于是丫＜麻＜石巳

故選：A.

7、A

【解析】設出直線方程％=沖+乙聯(lián)立拋物線方程，得至11%+%=4",％%=-4，進而得到網(wǎng)泡的值，將直線

OA,OB的斜率之積為一1,用A,B點坐標表示出來，結合毛々的值即可求得答案.

【詳解】設直線方程為％=陽+/,4%,%),3(々,%)，

x=my+t,

聯(lián)立＜2，整理得：y2-4/ny-4z=0,

y=4x

需滿足A=(-4〃z)2+16f＞0,即蘇+/＞0，

貝！1%+%=4"，%為=-4/,

22

由=4玉，%2=4々,得：中2=X%=',

16

所以《4灰。8="?迪=在=-1,即W=-l,

%x2XjX2廠

故/=4,

所以直線/為：x^my+4,當y=0時，x=4,

即直線/恒過定點(4,0),

故選：A.

8、B

【解析】根據(jù)橢圓中心仇c之間的關系，結合橢圓焦距的定義進行求解即可.

【詳解】由橢圓的標準方程可知：a2=2,/=inc2=a2—/=i,貝［］焦距為2c=2,

故選：B.

9、B

【解析】根據(jù)題意，當尤＞0時，g(x)=/(x)—x—。有一個零點，進而將問題轉化為當了＜0時，—(2x+l)e*=a

有兩個實數(shù)根，再研究函數(shù)M%)=—(2x+l)e',xW0即可得答案.

【詳解】解：因為g(x)存在三個零點，所以方程/(x)=x+a有三個實數(shù)根，

因為當x>0時，由/(x)=x+a得lnx=a,解得x=e"，有且只有一個實數(shù)根,

所以當了<0時，/(x)=x+a有兩個實數(shù)根，即—(2x+l)e'=a有兩個實數(shù)根，

所以令M%)=—(2x+l)e”,xW0,則//'(X)=—(2%+3卜*,兀40,

所以當時，〃(x)>0,可龍)單調(diào)遞增，

當一時，/z,(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減，

因為X-—8,以力-0,/Z(O)=-1,//(刀口支］一

所以M%)=—(2x+l)e，,xW0的圖象如圖所示，

(3A

所以—(2x+l)e、=。有兩個實數(shù)根，則ae0,2”

故選:B

【解析】根據(jù)常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為0,可判斷①；根據(jù)塞函數(shù)的求導公式，可判斷②；根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的求

導公式，可判斷③④.

【詳解】由y=ln2得：y'=0,故①錯誤；

1?2

對于/(x)==，/'(x)=—二，故尸(3)=—二，故②正確；

x~x27

對于y=2',則y'=21n2,故③錯誤；

對于y=log,x,則?=一二，故④錯誤，

xln2

故選：D

11、B

【解析】函數(shù)f(x)=x(Inx-ax),貝!|f'(x)=lnx-ax+x(--a)=lnx-2ax+l,

令fr(x)=lnx-2ax+l=0得lnx=2ax-1,

函數(shù)f(x)=x(Inx-ax)有兩個極值點，等價于F(x)=lnx-2ax+l有兩個零點,

等價于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個交點，

在同一個坐標系中作出它們的圖象(如圖)

當a"時，直線y=2ax-1與y=lnx的圖象相切，

由圖可知，當OVaV、時，y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個交點

則實數(shù)a的取值范圍是(0,2)

故選B

12、B

【解析】先確定拋物線的焦點坐標，和雙曲線的漸近線方程，再由點到直線的距離公式即可求出結果.

【詳解】因為拋物線V=4x的焦點坐標為(1,0),

2

雙曲線/―1_=1的漸近線方程為y=±gx,

由點到直線的距離公式可得d=-^L=Y3.

V3+12

故選:B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、0

【解析】根據(jù)題意得y=-18co2s7rTf,進而根據(jù)導數(shù)幾何意義求解f=3s時的導函數(shù)值即可得答案.

【詳解】解：因為y=J=-18cos~^-%,

,27r（27r\27r

所以求導得y=—I8x《-X—sinr-%=12?sin《-%,

所以根據(jù)導數(shù)的幾何意義得該振子在t=3s時的瞬時速度為y'L=12乃sinCx3）=0,

故答案為：0.

14、x-2y+5=0

【解析】根據(jù)直線方向向量求出直線斜率即可得直線方程.

【詳解】因為直線/的一個方向向量為（2,1）,所以其斜率左=工，

2

所以/方程為：y—3=g（x—1）,即其一般式方程為：x—2y+5=0.

故答案為：x—2y+5=0.

15、11

【解析】根據(jù)題意得到2與3是方程爐—依+/,=（）的兩個根，再根據(jù)兩根之和與兩根之積求出進而求出答案.

【詳解】由題意得：2與3是方程Y—依+/,=（）的兩個根，則2+3=〃，2x3='所以。+b=5+6=11.

故答案為：11

16、-1

【解析】由題可設P（%?）,則y=（x+8,-CwxVO,然后利用數(shù)量積坐標表示及二次函數(shù)的性質即得.

【詳解】由題可得出-百,0）,6（6,0）,A（-A/6,0）,B（0,^）,

設P（%y）,因為點P在線段A3上，

所以，y=[^x+由，-瓜工xWO

丫

/.PF[PF=^+73,yj-^-V3,yj=x2+j2-3=|-x2+76%=1-rV6

2XH-------1

I3)

.?.當x=—當時，P耳的最小值為-1.

故答案為：-1.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）BD]//平面AEC,理由見解析

（2）證明見解析

【解析】（1）以線面平行的判定定理去證明直線8功與平面AEC平行即可;

（2）以線面垂直的判定定理去證明直線8。，面AB1。即可.

【小問1詳解】

連接班＞，設ACc6D=O,連接OE.在BDD]中,O、E分別是30、的中點，則OE//3D].

因為直線OE在平面AEC上，而直線BD｝不在平面AEC上，

根據(jù)直線與平面平行的判定定理，得到直線BDJ/平面AEC.

【小問2詳解】

正方體48?！辏┮?4。12中,

AC±BD,AC：LDD[,DD]CBD=D

故AC，面又BRu面BLR,故

同理

AB}±A^B,AB】上AD，ARcA3=A

故AB,1面Ad。，又BRu面,故，BDX

又AB}?AC=A

根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，得直線3。，平面AB1。.

叵叵

16"，-56-

2

【解析】（1）由題意列關于。，b,c的方程，聯(lián)立方程組求得1=16，b=12,°2=4,則橢圓方程可求；

（2）分直線軸與直線/不垂直于x軸兩種情況討論，當直線/不垂直于x軸時，設石（玉,%）,尸（9,%），直

線/：y^kx+t（t-k,左WO）,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消元由△＞（）,得到16左2—〃+12＞0,再列出韋

4kk=______

達定理，由AE_LAF則AE-AP=0,解得。=一一，再由2OP=OE+OF，求出尸的坐標，貝！IA「一，7,再

k

利用基本不等式求出取值范圍；

【詳解】解：（1）由題意得：=4^/3,2。=8,又/=〃+°2,

ec

22

聯(lián)立以上可得：4=16，＞2=12,02=4,二橢圓C的方程為二+乙=1.

1612

y=一%+4,

（2）由⑴得4（4,0）,當直線/!.%軸時，又AELA產(chǎn)，聯(lián)立9得7f_32x+16=0，

11612

44/41

解得％或％=4,所以乙=4=亍此時氣,。）直線AP的斜率為0.

當直線/不垂直于X軸時，設后（玉,乂），F(xiàn)（x2,y2）,直線/：y^kx+t（t-4k,左w0）,

聯(lián)立辰,整理得（3+4左2）無2+8依+4/—48=0,

3x2+4y=48''

依題意八=64k2/—4（3+4左2）（4產(chǎn)—48）＞0,即16左2—/+12＞0（*）且玉+々=--工4廣—48

3+4k3+4k-

又AELAF,

/.AE-AF=（^-4）-（X2一4）+%?%=（玉-4）-（x2-4）+（hq+力）（5+，）

=（1+左2）%+3—4）（玉+%2）+16+/="+32"'；16"_Q,

.?.7/+32^+16〃=0,即（7，+4左）?+4左）=0,.」=一萬且，滿足（*）,

Skt6t]

/.2OP=OE+OF=（玉+%2,M+%）=3+4左2'3+4左2J尸

3t

故直線AP的斜率L=—3拼2—3t_k_1

4kt16k~+4kt+12~8k~+7~2_

-------------4A8k+

3+4左2

當左<0時，8Z:+-=-f-8Jt+—^<-2A-8k-—=-4A/14,當且僅當一8左=二，即左=—巫時取等號，此時

k[-k）V-k-k4

-祟3。；

當左>0時，8k+->2.8k--=4y/14,當且僅當8左=’,即左=皿時取等號，此時o（幻〈如；

k\kk4”56

714叵

綜上，直線的斜率的取值范圍為

AP-56"，-56"

【點睛】本題考查利用待定系數(shù)法求橢圓方程，直線與橢圓的綜合應用，屬于難題.

22

19、（1）—+^=1

43

（2）6

【解析】（1）由橢圓的定義求解

（2）設直線方程后與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理表示弦長，將面積轉化為函數(shù)后求求解

【小問1詳解】

由題意可得|"P|+|即|=|尸+|凹=4〉=2,

所以動點尸的軌跡是以M,N為焦點，長軸長為4的橢圓，即曲線C的方程為：土+匕=1；

43

【小問2詳解】

由題意可設12的方程為x=ty+l,

聯(lián)立方程得

6t

設。（玉,yj,￡（/，%），則由根與系數(shù)關系有%

*%=一川

所以|￡＞同=J1+尸"（％+%）?_4%%

5件一Zg~12（1+/）

3r+43r+4

12（1+?2）,2

根據(jù)橢圓的對稱性可得|0閔=|A.=舊2的距離即為點拉到直線，2的距離，為八后

3/+4

24"_24

若，令后:M

所以四邊形A5ZJE面積為S=24x（心）得二次丁E

U

由對勾函數(shù)性質可知：當且僅當"=1,即7=°時，四邊形A5DE面積取得最大值為

【小問1詳解】

尤2

解：對于命題P，易知直線y=l與雙曲線上-y2=i的左、右支各有一個交點,

4'

二命題P為假命題；

對于命題g,左=0時，有/］：y=0與4：尤=1,顯然兩條直線垂直，

...命題g為假命題.

命題”(^P)Vr)”為真命題，

【小問2詳解】

命題"pA(—”為真命題，

，p為真命題，q為假命題.

對于命題P，由|2辰S'得(1—4公卜2一8辰—8=。，

x-4y"-4=0,、'

直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點，即此方程有兩個不同的正根，

A>0,

1

——?

-1-4^22

-T〉0,

4左2

則3左2-1=0，解得左=±?^,

對于命題g,要使命題g為真,

3

/3

，命題g為假命題，即左

F1

實數(shù)發(fā)的取值范圍為，等

21、(1)證明過程見解析；

⑵叵.

17

【解析】(1)利用平面與平面垂直的性質得出直線與平面垂直，進而得出平面ABC。；

(2)建立空間直角坐標系即可求解.

【小問1詳解】

證明：因為平面PCD，平面ABC。，交線為CD

且平面ABC。中，ADYCD

所以平面PC。

又PDu平面PC。

所以a。，？。

又PDLAC,且AD|AC=A

所以平面ABC。

【小問2詳解】

解：由（1）知，正。，平面48。￡）且相），8

所以ZM、DC、。尸兩兩垂直

因此以。原點，建立如圖所示的空間直角坐標系

因為AB=1,CD=2,AD=6,設PD=a

所以。（0,0,0）,A（V2,0,0）,B（V2,l,0）,C（0,2,0）,P（0,0,a）

由（1）知，AD,平面PCD

所以A。為平面PC。的法向量且A0=卜行,0,0）

PB=（V2,l,-a）

因為直線P3與平面PC。所成角的正弦值為走

3后xj2+l+/

解得：a=A/3

所以P（0,0,g）,又3（夜,1,0）,C（0,2,0）,0（0,0,0）

所以03=（0,1,0）,DP=（0,0,A/3）,PB=（72,1,-73）,PC=（0,2,-73）

設平面BDP與平面BCP的法向量分別為：n1=（x,,y1,z1）,%=伍,