2024年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-二次函數(shù)與角度有關(guān)問(wèn)題（專項(xiàng)訓(xùn)練）（原卷版+解析）

二次函數(shù)與角度有關(guān)問(wèn)題（專項(xiàng)訓(xùn)練）

1.如圖，直線y=-3%+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c

與直線y=c分別交y軸的正半軸于點(diǎn)C和第一象限的點(diǎn)P,連接PB,得

APCB咨ABOA（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）。若拋物線與x軸正半軸交點(diǎn)為點(diǎn)F,設(shè)M是

點(diǎn)C,F間拋物線上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），其橫坐標(biāo)為m.

（1）直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)和拋物線的解析式.

（2）求滿足的點(diǎn)M的坐標(biāo).

2.（2022?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+fcv+c與x軸交于

點(diǎn)A（-1,0）和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,-4）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在拋物線上且滿足求點(diǎn)P的坐標(biāo).

3.如圖，拋物線y=工/+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其對(duì)稱

一2

軸交拋物線于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E,已知0B=0C=6.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)連接BD,F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo);

4.(2022秋?開(kāi)福區(qū)月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線3QW0)

與x軸交于A(3,0)、B(-1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,

(1)求拋物線的解析式；

(2)在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)〃，使/MC4=/MAC,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

5.(2022?雁塔區(qū)校級(jí)二模)如圖，拋物線y=f+a+c與x軸分別交于A、8兩點(diǎn)(點(diǎn)A

在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,且OB=OC=3OA.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P(m,n)是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，

分別連接8。、BC、BP,當(dāng)時(shí)，求尸點(diǎn)坐標(biāo).

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=gx+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,

拋物線y=—L^+bx+c經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.

2

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)；

①連接BC,CD,設(shè)直線BD交線段AC于點(diǎn)E,的面積為SI,ZiBCE的

面積為S2,求獸的最大值；

②過(guò)點(diǎn)D作DFLAC,垂足為點(diǎn)F,連接CD,是否存在點(diǎn)D,使得△CDF中的某

個(gè)角恰好等于NBAC的2倍？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.(2022?大冶市模擬)已知拋物線y=ci?+6x+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(-3,0),與

y軸交于點(diǎn)C,P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，線段OP交BC于點(diǎn)O,若SACPD：S^coD=m,求相的最大值；

(3)當(dāng)BC平分/PCO時(shí)，求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo).

8.(2022?泰安模擬)如圖，拋物線y=m?+3mx-2："+1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,交龍軸于點(diǎn)A(xi，

0),B(沖，0)(點(diǎn)A在點(diǎn)2左側(cè))，且&-尤1=5,連接BC,D是AC上方的拋物線

-*點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)第二象限內(nèi)拋物線上是否存在一點(diǎn)D,DP垂直AC于點(diǎn)尸，使得△DCF中有一個(gè)

銳角等于/BAC的兩倍？若存在，求點(diǎn)。的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.(2022?贛榆區(qū)二模)如圖，拋物線>=-工f+fec+c過(guò)點(diǎn)A(4,0),B(0,2).M(m,

2

0)為線段。4上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)A不重合)，過(guò)點(diǎn)M作垂直于x軸的直線與直線

AB和拋物線分別交于點(diǎn)。、N.

(1)求直線AB的表達(dá)式和拋物線的表達(dá)式；

(2)若DN=3DM,求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)尸為直線上方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐

標(biāo).

10.(2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，拋物線y=-(x-m)

2+左與X軸相交于原點(diǎn)。和點(diǎn)8(4,0),點(diǎn)A(3,b)在拋物線上.

(1)求拋物線的表達(dá)式，并寫出它的對(duì)稱軸；

(2)點(diǎn)。在拋物線上，如果NBOr>+/2=90°,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

11.(2023秋?廣陵區(qū)期末)如圖，拋物線y=a?+6x+3與無(wú)軸交于A(-2,0)、8(6,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.直線/與拋物線交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)。的橫坐

標(biāo)為4.

(1)求拋物線的解析式與直線/的解析式；

(2)若點(diǎn)尸是拋物線上的點(diǎn)且在直線/上方，連接用、PD,求當(dāng)△E4D面積最大時(shí)點(diǎn)

尸的坐標(biāo)及該面積的最大值；

(3)若點(diǎn)Q是拋物線上的點(diǎn)，且/AOQ=45°,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

X

圖2

12.（2022秋?丹江口市校級(jí)月考）已知，如圖，拋物線-2or+c（a>0）與y軸交

于點(diǎn)C,與x軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè).點(diǎn)A的坐標(biāo)為（7,0）,OC=3OA.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)。是線段BC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABDC面積的最大值；

（3）若拋物線上有一點(diǎn)使/ACM=45°,求M點(diǎn)坐標(biāo).

13.（2022?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=//+法+。過(guò)點(diǎn)A（-2,-1）,

B（0,-3）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）平移拋物線，平移后的頂點(diǎn)為尸Cm,n）（m>0）.

i.如果S&OBP=3,設(shè)直線x=k,在這條直線的右側(cè)原拋物線和新拋物線均呈上升趨勢(shì)，

求上的取值范圍；

ii.點(diǎn)P在原拋物線上，新拋物線交y軸于點(diǎn)Q,且/BPQ=120°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

二次函數(shù)與角度有關(guān)問(wèn)題（專項(xiàng)訓(xùn)練）

1.如圖，直線y=-3%+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，拋物線y^-x2+bx+c

與直線y=c分別交y軸的正半軸于點(diǎn)C和第一象限的點(diǎn)P,連接PB,得

APCB冬ABOA（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）。若拋物線與x軸正半軸交點(diǎn)為點(diǎn)F,設(shè)M是

點(diǎn)C,F間拋物線上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），其橫坐標(biāo)為m.

（1）直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)和拋物線的解析式.

（2）求滿足ZMPO=ZPOA的點(diǎn)M的坐標(biāo).

【解答】（1）易得點(diǎn)P坐標(biāo)為（3,4）,

（2）①當(dāng)點(diǎn)M在線段0P上方時(shí)，?.?CP〃x軸，，當(dāng)點(diǎn)C、M重合時(shí)，NMP0=/P0A,...點(diǎn)M

的坐標(biāo)為（0,4）；

②當(dāng)點(diǎn)M在線段0P下方時(shí)，在x軸正半軸取點(diǎn)D,連接DP,使得D0=DP,此時(shí)/DP0=/P0A.

25

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(n,0),則D0=n,DP2=-3)2+16,An-=(n-3)2+16,m：n=—,

6

點(diǎn)D坐標(biāo)為

24100

設(shè)直線PD解析式為y=代入得:y=--x+—.聯(lián)立拋物線解析式得

-77

24124

綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,4）或

2.（2022?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物

線y=a/+6x+c與x軸交于點(diǎn)A（-1,0）和點(diǎn)B,與y軸交

于點(diǎn)C,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,-4）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)尸在拋物線上且滿足求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【解答】解：(1):拋物線y=/+6x+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為

(1,-4)，

a-b+c=0

上=1

?I2a

4ac-b2,

.—4；-a=-4

解得：，

???拋物線的解析式為y=7-2x-3；

(2)令y=0,貝U-2%-3=0,

解得：x=-1或3.

：.B(3,0).

：.OB=3,

令尤=0,貝！Jy=-3,

：.C(0,-3),

???OC=3.

：?OB=OC,

：.ZACB=ZABC=45°.

①過(guò)點(diǎn)。作。尸〃3。，交拋物線與點(diǎn)P,如圖,

t：CP//BD,

:.ZPCB=ZCBD,

???此時(shí)點(diǎn)P符合題意,

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+n,

.fk+n=~4

'13k^n=0，

解得：1=2,

ln=-6

?,?直線BD的解析式為y=2x-6.

*：CP//BDf

則設(shè)直線CP的解析式為y=2x-3,

y=2x-3

2

y=xz-2x-3

x=0-

解得:或,

y=-3

:.p(4,5)；

②過(guò)點(diǎn)2作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線，它們交于點(diǎn)G,在2C的下方作/

P\CB=NCBD,交拋物線于點(diǎn)P，交BG于點(diǎn)、F,如圖，

設(shè)直線CP與x軸交于點(diǎn)E,

令y=0,貝。2x-3=0,

解得：x=l,

2

：.E(3，0).

2

：.OE=^~.

2

'CCOLOB,GC±OC,GBLOB,

四邊形COBG為矩形,

'：OB=OC,

四邊形COBG為正方形,

：.GC=GB=3,NGCB=NGBC=45°.

'：ZACB=ZGCB=45°,

：.ZOCE=ZFCG.

在△EOC和△FGC中,

'/EOC=/G=90°

<OC=OG=3,

ZOCE=ZGCF

：.AEOC^/\FGC(ASA),

：.OE=GF=3,

2

:.BF=GB-GF=&,

2

：.F(3,-3).

2

設(shè)直線CF的解析式為y=dx+e,

解得：

e=-3

.?.直線CF的解析式為3.

弓x-3

y=x2-2x-3

5

X=

x=0-~2

解得:或s

y=-3_7

y--4

：.Pi(8,-工)

24

綜上，若點(diǎn)尸在拋物線上且滿足則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4,5）或（土,-1）.

24

3.如圖，拋物線y=+Z?x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其對(duì)稱

軸交拋物線于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E,已知0B=0C=6.

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）連接BD,F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NFA6=NED5時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

【解答】（1）因?yàn)?B=0C=6,所以B（6,0）,C（0,-6）,

將B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得y=—2x—6=g（x—2）2—8,

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,-8）

(2)如圖1,過(guò)F作FG，x軸于點(diǎn)G,設(shè)F(x,gx2—2x—61貝UFG=一2%一6

AG=x+2,當(dāng)時(shí)，且NK}A=ZBED,

Ac1Qx+2

所以△EAGsABDE,所以——=—,即一=二2，

EBFG4

—x2-2x-6

2

當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，則有x+2=X2-4X-12,解得x=—2（舍去）或x=7,此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為；

當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，則有x+2=—（J—4x—12）,解得x=—2（舍去）或x=5,止匕時(shí)F

點(diǎn)的坐標(biāo)為[5,-g],，綜上可知點(diǎn)F的坐標(biāo)為，,g）或

4.（2022秋?開(kāi)福區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=o?+bx-3QW0）

與x軸交于A（3,0）、2（-1,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,

（1）求拋物線的解析式；

（2）在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)使若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

【解答】解：(1)將A(3,0)、8(-1,0)代入y=/+bx-3,

.(9a+3b-3=0

1a-b-3=0

解得，

.,.y=x2-2x-3；

(2)存在點(diǎn)M,使NMCA=NMAC,理由如下：

-2x-3=(x-1)2-4,

二對(duì)稱軸為直線x=l,

令x=0,則y=-3,

：.C(0,-3),

設(shè)M(Lt),

"：ZMCA=ZMAC,

：.MC=MA,

Vl+(t+3)2=V4+t2，

解得r=-1,

5.（2022?雁塔區(qū)校級(jí)二模）如圖，拋物線y=/+bx+c與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A

在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,且OB=OC=3OA.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P（m,?）是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，

分別連接8。、BC、BP,當(dāng)時(shí)，求尸點(diǎn)坐標(biāo).

，OC=-c,

"OB=OC=?>OA,

：.B(-c,0),A(￡,0),

3

將2(-c,0),A("I",0)代入y=/+fcv+c,

c2-bc+c=0

--j-c2+ybc+c=0'

解得［b=-2,

lc=-3

.*.y=x2-2x-3；

(2)Vy=x2-2x-3=(x-1)2-4,

：.D(1,-4),

；B(3,0),C(0,-3),

：.BC2=18,CD2=2,BD2=20,

"：BD2^CD2+BC2,

...△BCD是直角三角形，且NBC￡)=90°,

tanZCBD=,

3V23

過(guò)點(diǎn)P作PG_Lx于點(diǎn)G,

'：ZPBA=ZCBD,

tanZPBA=^-=A,

BG3

設(shè)尸(/,?-2r-3),

?t^-2t_3_1

??------------------,

3-t3

解得r=3(舍)或/=-生

3

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=gx+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,

拋物線y=-工J+bx+c經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.

2

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)；

①連接BC,CD,設(shè)直線BD交線段AC于點(diǎn)E,△CDE的面積為SI,ZkBCE的

面積為S2,求血的最大值；

②過(guò)點(diǎn)D作DFLAC,垂足為點(diǎn)F,連接CD,是否存在點(diǎn)D,使得△CDF中的某

個(gè)角恰好等于NBAC的2倍？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

13

【解答】（1）y--士龍+2

22

①過(guò)D作DMLAC于M,過(guò)B作BN，x軸交AC于N,

ADME^ABNE

SiDEDM，設(shè)D〔a-^a2+2

S2~BE~BN

2

Sa—lOa

?*.Q,5〃+2),.1?1_DM_~2~i44

=—(a+2)2*1—,?,.最大值為一.

5

S2BN555

2

②在OA上取一點(diǎn)P使得PA=PC,設(shè)0P=m,則PC=PA=4-m,在RtAPCO中,

34

由勾股定理得：(4-m)2=m2+22,解得m=—,.*.tanZCPO=-,

23

過(guò)D做x軸的平行線交y軸于R,交AC延長(zhǎng)線于G,

情況一：ZDCF=2ZBAC=ZDGC+ZCDG,AZCDG=ZBAC,.*.tanZCDG=tan

RC11、幾/13Q.

ZBAC=-,H即n---=一，設(shè).Dci,—c2ia+2].DR=a,RC=一_cr—a,代

2DR22I22J22

入得，ai=O,a2=-2,；.XD=12

4

情況二：ZFDC=2ZBAC,.*.tanZFDC=-,設(shè)FC=4k,DF=3k,DC=5k,

3

3k1r-

VtanZDGC=—=—,，F(xiàn)G=6k,CG=2k,DG=3區(qū),

FG2

?n「一2君君陽(yáng)4也11鄧.

??RC------k，RG-------k，DR—3、/5k--------k--------k,??

5555

11V5

DR=^Z_29

1一。二，."1=0(舍去),a2=-----

RC275,11

——k——a2——a

522

99

綜上所述：點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為一2或----.

7.(2022?大冶市模擬）已知拋物線y=ax1+bx+2

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1,0）和點(diǎn)B（-3,0）,與y

軸交于點(diǎn)C,P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式;

（2）如圖，線段OP交BC于點(diǎn)。，若SACPD：S^coD=m,求m的最大值;

(3)當(dāng)BC平分/PCO時(shí)，求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo).

【解答】解：(1)將點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(-3,0)代入函數(shù)解析式,

a+b+2=0

可得

9a-3b+2=0

解得：，

y---x2-—x+2；

33

?.?-P-D—PE,

0D0C

由y=-27-&x+2,當(dāng)x=0時(shí)，y=2,

33

；.c點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),

設(shè)直線BC的解析式為y=fcr+p,將B(-3,0),C(0,2)代入,

可得"-3k+p=0,

1D=2

解得：\3,

D=2

直線BC的解析式為尸尹2,

設(shè)Pa,-2?-生+2),則Ea,Z+2),

333

:.PE=-2金-國(guó)f+2--2=-2及-It,

3333

??——PD_PE

?cCPD?、c叢COD-m--，

0D0C

工f2-2t

3。+3)2+旦,

23324

.?,二旦時(shí)，機(jī)的最大值為國(guó);

24

（3）過(guò)點(diǎn)尸作PE〃y軸，交,BC于E,交x軸于H,

ZPEC=ZECO,

'.'BC^ZPCO,

：.ZPCE=ZECO,

：.ZPEC=ZPCE,

：.PC=PE,

設(shè)pG,-Z/2-4汁2),則E(t,Zf+2),

333

：.PE=-Zz2-af+2-2=--2t,

3333

：C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),

.-./>C2=?+(--2?-lf+2-2)2=a+4尸+西戶+西p=冬/4+KP+空匕

33999999

PE2=(--t2-2r)2=4片+曰戶+4落

393

與4+西尸+空金=生4+@?+4r,

99993

?l-I1

8

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-旦.

8

8.（2022?泰安模擬）如圖，拋物線>=租/+3租x-2加+1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)A（xi，

0）,B（股，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)3左側(cè)），且股-％1=5,連接5C,。是AC上方的拋物線

~"點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)第二象限內(nèi)拋物線上是否存在一點(diǎn)O,。尸垂直AC于點(diǎn)凡使得△ZXT中有一個(gè)

銳角等于/A4C的兩倍？若存在，求點(diǎn)。的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)：拋物線尸如人臼如”2加+1的圖象交x軸于點(diǎn)43，0),B(X2,

0),

.,.xi，X2是方程nvr+,imjc-2m+l=0的兩根，

.'.xi+x2=-3,x「x2=_2m+l,.

m

\"X2-Xl=5,

(x?_X])2=25.

即：(X2+X1)2-4xrx2=25,

A9-4X12m+l=25.

m

解得：m=-

2

拋物線的解析式為尸--■1x+2.

(2)第二象限內(nèi)拋物線上存在一點(diǎn)。，。尸垂直AC于點(diǎn)R使得△DC尸中有一個(gè)銳角

等于/BAC的兩倍，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-2或-空，理由：

11

VA(-4,0),B(1,0),C(0,2),

：.OA=4,OB=1,OC=2,

22=BC=22=

?'-AC=A/OA-K)C,VOB-K)C,AB=OA+OB=5.

'：AC2+BC2=25=AB2,

」.△ABC為直角三角形，ZACB=90°.

取A2的中點(diǎn)尸，連接CP,

則P(-2,0),

2

；.OP=旦.

2

：.PA=PB=PC=^-,

2

...ZBAC^ZPCA.

:ZCPB=ZBAC+ZPCA,

，ZCPB=2ZBAC.

過(guò)點(diǎn)。作DRLy軸于點(diǎn)R,延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G,如圖,

①當(dāng)/QCF=2/BAC時(shí)，

設(shè)￡)(m,—^m+2),則￡>R=-冽，0R=-^-m+2,

22

：.CR=OR-OC=-Xm.

2

；DR_Ly軸，OA_Ly軸，

：.DR//AB,

：.ZG=ZBAC.

ZDCF=ZG+ZCDG,ZDCF=2ZBAC,

：.ZCDG=ZG=ZBAC.

VtanZBAC=-52.=A,

OA2

/.tanZCDR=—.

2

.CR1

DR2

123

.7111Tm1

F

解得：-2或。(舍去)，

*.m=-2.

???點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-2；

②當(dāng)NF￡>C=2NR4C時(shí)，

?:/CPB=2/BAC,

：.ZFDC=ZCPB.

*.*tanNCP3=,

tanZFDC=—,

3

\，tanZFDC=^~,

DF

.FC4

??--"f

DF3

設(shè)FC=4w,則。尸=3”，

CD=7FC2+DF2=5N-

tanZG=tanZBAC=—,

2

tanZG=PLJ

而W

:,FG=6n.

：.CG=FG-FC=2n.

VtanZG=-^-=A,

RG2

：.RC=^I^-n,

5

?'-D7?=VCD2-CR

1的n

.DR=5-a

?怎=2娓123

a-^ra

51122

解得：。=0或0(舍去)，

11

??a-2--9-，

11

即點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-空,

11

綜上，第二象限內(nèi)拋物線上存在一點(diǎn)。，。尸垂直AC于點(diǎn)?使得△DCF中有一個(gè)銳角

等于N2AC的兩倍，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-2或-至

11

9.(2022?贛榆區(qū)二模)如圖，拋物線y=-工/+6x+c過(guò)點(diǎn)A(4,0),B(0,2).M(m,

2

0)為線段。4上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)A不重合)，過(guò)點(diǎn)M作垂直于x軸的直線與直線

AB和拋物線分別交于點(diǎn)。、N.

(1)求直線4B的表達(dá)式和拋物線的表達(dá)式；

(2)若DN=3DM,求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)P為直線上方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)尸的坐

標(biāo).

【解答】解：(1)設(shè)直線AB的解析式為y^px+q,

把4(4,0),8(0,2)代入得，I""14",

\Q=2

解得『一不

q=2

直線AB的解析式為y=--1x+2；

，1_

把A(4,0),B(0,2)代入產(chǎn)-工/+法+c得，1~~2X16+4b+c=0

2c=2

[b=l

解得J2；

c=2

.,?拋物線解析式為y=-尹+尹2；

(2)，.?初V，x軸，M(m,0),點(diǎn)。在直線AB上，點(diǎn)N在拋物線上，

.,.NCm,--m2+—m+2),D(.m,-—m+2),

222

:.DN=--itr+lm,DM=-—m+2,

22

,:DN=3DM,

--in2+2m=3(-—m+2),

22

解得m=3或加=4(舍)，

：.N(3,2).

(3)如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)夕，

：.OB=OB',B'(0,-2),

ZAOB=ZAOB'=90°,OA=OA,

：./\AOB^/\AOB',

：.ZOAB'=ZOAB,

：.ZBAB'=2ZBAC,

VA(4,0),B'(0,-2),

直線AB'的解析式為：y=^x-2,

-2

過(guò)點(diǎn)B作交拋物線于點(diǎn)P,則NABP=NBAB'=2/BAC,即點(diǎn)P即為所求,

直線BP的解析式為：y=lx+2,

2

令工x+2=-工7+2■尤+2,解得x=2或x=0(舍)，

222

：.P(2,3).

10.(2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-Cx-m)

2+左與X軸相交于原點(diǎn)。和點(diǎn)8(4,0),點(diǎn)A(3,b)在拋物線上.

(1)求拋物線的表達(dá)式，并寫出它的對(duì)稱軸；

(2)點(diǎn)。在拋物線上，如果/BOD+/B=90°,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【解答】解：(1)把。(0,0),2(4,0)代入y=-(x-m)?+左得:

~m^+k=0

，-(4-in)2+k=0

解得k=2,

Ik=4

拋物線的表達(dá)式為y=-Cx-2)2+4,

它的對(duì)稱軸是直線x=2；

(2)過(guò)。作0GLA3于G,交拋物線于。，過(guò)G作軸于M,作G關(guān)于x軸的

對(duì)稱點(diǎn)G)作射線0G交拋物線于ZA如圖：

???。是滿足條件的點(diǎn)，

*.*/B+/BGM=/OGM+/BGM,

：./B=/OGM,

由(2)知tanNA5O=3,

tanZOGM=tanZABO=3,

?GMOMQ

BMGM

設(shè)3Al=3則GM=3/,0M=9t,

：.OB=OM+BM=\Qt,

V0B=4,

???10f=4,

解得t=2,

5

：.GM=3t=^-,0M=9t=^-,

55

.心(186\

55

設(shè)直線OG解析式為y=nx,

?18“一6

55

解得”=」，

3

.?.直線0G解析式為y=￡x,

r1（11

y工XT

3

解彳得或In，

y=-（x-2）2+4卜丁

：.D（H,旦）,

39

：G,G'關(guān)于x軸對(duì)稱，

：.G（1^-,-A）,ZGOB=ZG'OB,即NBO。三NBOD,

55

是滿足條件的點(diǎn)，

由G(歿，-2)可得直線OG解析式為y=-

553

/f13

y」xX"T

解,3得或,

,y=-(x-2)2+4y=-q"

.?.o,（12,-12）,

39

綜上所述，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（旦，旦）或（逆，-A1）.

3939

11.(2023秋?廣陵區(qū)期末)如圖，拋物線y=o?+6x+3與x軸交于A(-2,0)、B(6,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.直線/與拋物線交于A、。兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)O的橫坐

標(biāo)為4.

(1)求拋物線的解析式與直線/的解析式；

(2)若點(diǎn)尸是拋物線上的點(diǎn)且在直線/上方，連接及1、PD,求當(dāng)面積最大時(shí)點(diǎn)

P的坐標(biāo)及該面積的最大值；

(3)若點(diǎn)。是拋物線上的點(diǎn)，且/ADQ=45°,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【解答】解：(1)將A(-2,0)、3(6,0)代入y=o?+bx+3得:

(4a-2b+3=0,解得，

I36a+6b+3=0

二拋物線的解析式為y=--1X2+X+3,

在y=-Xi?+x+3中，令x=4得y=3,

：.D(4,3),

設(shè)直線/解析式為y=fcr+f,

將A(-2,0)、￡>(4,3)代入得：

fk=l

,解得2,

t=l

..?直線/解析式為y=/x+l；

(2)過(guò)P作PK〃y軸交于K,如圖:

設(shè)尸(；M,-—m2+m+3)(-2</n<4),貝ljK(m,—m+l),

42

/.PK=(-—m2+m+3)-=--m2+—m+2,

4242

2

...△以￡)面積5=上2八|切-用|=」><(-Am+Am+2)X6=-3(m-1)2+2L,

224244

?；-2<o,

4

.?.當(dāng)"2=1時(shí)，S取最大值，最大值為2Z,

4

此時(shí)尸(1,；

4

(3)當(dāng)Q在直線AD上方時(shí),過(guò)4作AM±AD交射線OQ于M,過(guò)M作MNLx軸于N,

過(guò)D作DHLx軸于N,如圖:

VZADQ=45°,

^ADM是等腰直角三角形，

：.AD=AM,

又/A￡4N=90°-ZDAH=ZADH,ZANM=ZAHD=90°,

A/\ANM^/\DHA(A4S),

：.AH=MN,DH=AN,

\'A(-2,0)、D(4,3),

：.MN=AH=6,AN=DH=3,

：.M(-5,6),

由O(4,3),M(-5,6)得直線為：y=-!x+衛(wèi)，

33

f_113f4

y=-yx-*^-x=y

解］1得(與D重合，舍去)或］”，

y=-p+x+3,喑

：.Q(A,至)；

39

當(dāng)。在直線AD下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作A7\LAD交。。于T,過(guò)A作RS〃丁軸，過(guò)。作DR

_LRS于R,過(guò)T作ZSLLRS于S,如圖：

同理可證△ADR之7As(A4S),

：.AS=DR=6,TS=AR=3,

：.T(1,-6),

直線DT解析式為y=3x-9,

fy=3x-9缶=-i2

由4i2得(舍去)或I

y=-+x+3ly=-45

：.Q(-12,-45),

圖2

12.（2022秋?丹江口市校級(jí)月考）已知，如圖，拋物線-2or+c（a>0）與y軸交

于點(diǎn)C,與x軸交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)2左側(cè).點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）,OC=3OA.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)O是線段BC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABDC面積的最大值;

(3)若拋物線上有一點(diǎn)M,使/ACM=45°,求M點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：(1)V0C=30A,A(-1,0),

：.C(0,-3).

把點(diǎn)A,C的坐標(biāo)代入y=o?-2"+0,得［a+2a+c=0,

lc=-3

解得卜=1,

lc=-3

.,.拋物線線的解析式為：y=7-2x-3；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)。作軸分別交線段BC和無(wú)軸于點(diǎn)M,N.

:拋物線線的解析式為-2x-3,

：.B(3,0