2024年中考數(shù)學(xué)模擬測試試卷含答案

2024年中考數(shù)學(xué)模擬測試試卷（含答案）

（考試時間：120分鐘；滿分：120分）

學(xué)校:班級：姓名：考號：

一、單項選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題列出的四個備選項中只

有一項是最符合題目要求的，請將其代碼填涂在答題卡相應(yīng)位置.錯選、多選或未選均不得

分.

1.下列各數(shù)中正顰梨是（）

A.3B.2.1C.0D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類即可求解.

【詳解】解：3是正整數(shù)，2.1是小數(shù)，不是整數(shù)，0不是正數(shù)，-2不是正數(shù)

故選：A.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵.

2.下列圖形中是中心對稱圖形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形

重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案.

【詳解】解：選項A、C、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所

以不是中心對稱圖形；

選項B能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；

故選：B.

【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形，關(guān)鍵是找出對稱中心.

3.若血-4有意義,則々的值可以是（）

A.-1B.0C.2D.6

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求解.

【詳解】解：???&?—4有意義

tz—4>0

解得：a>4,則。的值可以是6

故選：D.

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

4.計算（2加2『的結(jié)果為（）

A.8m6B.6m6C.2m6D.2m5

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)積的乘方計算法則求解即可.

【詳解】解：（2m2）3-8m6

故選A.

【點睛】本題主要考查了積的乘方計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，平面鏡肱V放置在水平地面CD上，墻面？D_LCD于點。，一束光線A0照射到鏡面

上，反射光線為08,點B在上，若NAOC=35°,則NOB。的度數(shù)為（）

0

cMOND

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得NAOC=N5Q￡>,進而根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解.

【詳解】解：依題意ZAOC=ZBODZAOC=35°

ZBOD=35°

?/PD±CD

：.ZOBD=90°-/BOD=55°

故選：C.

【點睛】本題考查了直角三角形中兩個銳角互余，入射角等于反射角，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，點A,B,C,D均在直線/上，點P在直線/外，則經(jīng)過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為

()

P?

ABCD

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)不共線三點確定一個圓可得，直線上任意2個點加上點尸可以畫出一個圓，據(jù)此列舉所有可

能即可求解.

【詳解】解：依題意，A,B；A,C；A,D；B,C；B,D,C,D加上點尸可以畫出一個圓

共有6個

故選：D.

【點睛】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不共線三點確定一個圓是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

7.單項式一5"〃的系數(shù)為.

【答案】-5

【解析】

【分析】根據(jù)單項式系數(shù)的定義：單項式中的數(shù)字因數(shù)，得出結(jié)果即可.

【詳解】解：單項式一5〃/?的系數(shù)是—5.

故答案是：-5.

【點睛】本題考查單項式的系數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握單項式系數(shù)的定義.

8.我國海洋經(jīng)濟復(fù)蘇態(tài)勢強勁.在建和新開工海上風(fēng)電項目建設(shè)規(guī)模約1800萬千瓦，比上一年同期翻一

番，將18000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為.

【答案】1.8x107

【解析】

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式進行解答即可.

【詳解］解：18000000=1.8xlO7

故答案為：1.8x107.

【點睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"。為整數(shù))的形

式，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同是解題的關(guān)鍵.

9.計算：(a+1)2-a2=.

【答案】2a+l

【解析】

【詳解】【分析】原式利用完全平方公式展開，然后合并同類項即可得到結(jié)果.

【詳解】(a+1)2-a2

=a2+2a+l-a2

=2a+l

故答案為2a+l.

【點睛】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握完全平方公式以及合并同類項的法則是解題的關(guān)

鍵.

10.將含30。角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，己Ne=60。，點、B,。表示的刻度分別為

1cm,3cm,則線段AB的長為_______cm.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NAC3=60°,進而可得是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即

可求解.

【詳解】解：二?直尺的兩邊平行

；?ZACB=Za=60°

又NA=60°

，ABC是等邊三角形

;點、B,C表示的刻度分別為1cm,3cm

BC=2cm

AB=BC=2cm

線段A5的長為2cm

故答案為：2.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，得出NAC3=60°是解題的關(guān)鍵.

11.《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的

ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點A,B,Q在同一水平線上，

/ABC和NAQP均為直角，AP與相交于點。.測得AB=40cm,3。=20cm,AQ=12m,則

樹高PQ=m.

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得，然后相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：???/ABC和NAQP均為直角

BD//PQ

：.ABDsAQP

.BDAB

"~PQ=~AQ

?/AB=40cm,BD-20cm,AQ=12m

MAQxBD12x20,

：.PQ=—.........=----------=6m

故答案為：6.

【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在YA5CD中N3=60°,BC=2AB,將A3繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角a(0。<0<360°)得至U

AP，連接PC,PD.當_28為直角三角形時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為.

【答案】90?；?70?；?80。

【解析】

【分析】連接AC，根據(jù)已知條件可得4AC=90。，進而分類討論即可求解.

【詳解】解：連接AC,取的中點E,連接AE，如圖所示

:在YABC。中/3=60°,BC=2AB

：.BE=-BC=AB

2

.ABE是等邊三角形

ZBAE=ZAEB=60°

又：AE=EC

/.ZEAC=ZECA=-ZAEB=30°

2

：.ZBAC=90°

：.AC±CD

如圖所示，當點尸在AC上時此時/SAP=4AC=90°,則旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為90。

當點尸在C4的延長線上時如圖所示，則夕=360°-90°=270°

/)

----一，(

當尸在B4的延長線上時則旋轉(zhuǎn)角e的度數(shù)為180°,如圖所示

,:PA=PB=CDPB//CD

四邊形PACO是平行四邊形

?/ACLAB

四邊形PACD矩形

二ZPDC=90°

即△PDC是直角三角形

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為90?；?70?；?80。

故答案為：90。或270°或180。.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共5小題，每小題6分，共30分)

13.(1)計算：網(wǎng)+tan45°-3°

(2)如圖，AB=AD,AC平分求證：AABCmAADC.

【答案】(1)2；(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)先計算立方根，特殊角三角函數(shù)值和零指數(shù)幕，再計算加減法即可；

(2)先由角平分線的定義得到NB4C=NZMC,再利用SAS證明△ABCZZVIDC即可.

【詳解】解：（1）原式=2+1—1

=2；

(2)：AC平分284。

ABACADAC

在」EC和八4。。中

AB=AD

<ABAC=ADAC

AC=AC

：.AABC^AADC(SAS).

【點睛】本題主要考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)募，特殊角三角函數(shù)值，全等三角形的判定，角平分線的定

義等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

14.如圖是4x4的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）.

（2）在圖2中的線段AB上作點Q,使尸。最短.

【答案】（1）作圖見解析

（2）作圖見解析

【解析】

【分析】（1）如圖，取格點K,使NA7；①=90°,在K的左上方的格點C滿足條件，再畫三角形即可;

（2）利用小正方形的性質(zhì)取格點連接交A3于。，從而可得答案.

【小問1詳解】

解：如圖，_A5C即為所求作的三角形;

G

\/【小問2詳解】

---------1--------------|--------------i

AIIII

1111

函1

如圖，Q即為所求作的點;

【點睛】本題考查的是復(fù)雜作圖，同時考查了三角形的外角的性質(zhì)，正方形的

性質(zhì)，垂線段最短，熟記基本幾何圖形的性質(zhì)再靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵.

2

XXv-l

15.化簡---------1--------------.下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運算過程:

x+1x-1X

解：原式

x(xT)?x(x+l)x2-l

(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)x

甲同學(xué)

22

府日TxX-1XX-1

解：原式=-----------+-----------

x+1xx-1X

乙同學(xué)

（1）甲同學(xué)解法的依據(jù)是，乙同學(xué)解法的依據(jù)是;（填序號）

①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法分配律；④乘法交換律.

（2）請選擇一種解法，寫出完整的解答過程.

【答案】（1）②，③（2）見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)所給的解題過程即可得到答案;

(2)甲同學(xué)的解法：先根據(jù)分式的基本性質(zhì)把小括號內(nèi)的分式先同分，然后根據(jù)分式的加法計算法則求解,

最后根據(jù)分式的乘法計算法則求解即可；

乙同學(xué)的解法：根據(jù)乘法分配律去括號，然后計算分式的乘法，最后合并同類項即可.

【小問1詳解】

解：根據(jù)解題過程可知，甲同學(xué)解法的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，乙同學(xué)解法的依據(jù)是乘法分配律

故答案為：②，③；

【小問2詳解】

解：甲同學(xué)的解法：

工小x(xT)x(x+l)1x2-1

庫式=[-(-x-+--l-)--(-x---l-)-1--(x--+-l-)-(-x---l-)J----X--

_x2-x+x2+x(x+l)(x-l)

(x+l)(x-l)X

_2九2(x+l)(x-l)

(x+l)(x-l)X

=2x；

乙同學(xué)的解法：

xx2-1xx2-1

原式=-----------+-----------

x+1xx-1X

_x(x+l)(x-l)X(x+l)(x-l)

=----------------1----?-----------

X+1xx-1X

=X—1+X+1

=2X.

【點睛】本題主要考查了分式的混合計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.

16.為了弘揚雷鋒精神，某校組織“學(xué)雷鋒，爭做新時代好少年”的宣傳活動根據(jù)活動要求，每班需要2

名宣傳員某班班主任決定從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中隨機選取2名同學(xué)作為宣傳員.

(1)“甲、乙同學(xué)都被選為宣傳員”是事件：(填“必然”、“不可能”或“隨機”)

(2)請用畫樹狀圖法或列表法，求甲、丁同學(xué)都被選為宣傳員概率.

【答案】(1)隨機(2)-

6

【解析】

【分析】(1)由確定事件與隨機事件的概念可得答案；

(2)先畫樹狀圖得到所有可能的情況數(shù)與符合條件的情況數(shù)，再利用概率公式計算即可.

【小問1詳解】

解：“甲、乙同學(xué)都被選為宣傳員”是隨機事件；

【小問2詳解】

畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結(jié)果，其中選中的兩名同學(xué)恰好是甲，丁的結(jié)果數(shù)為2

21

所以選中的兩名同學(xué)恰好是甲，丁的概率=一=—.

126

【點睛】本題考查是事件的含義，利用畫樹狀圖求解隨機事件的概率，熟記事件的概念與分類以及畫樹

狀圖的方法是解本題的關(guān)鍵.

k

17.如圖，已知直線丁=%+匕與反比例函數(shù)y=-(x>0)的圖象交于點A(2,3),與y軸交于點5,過點3

x

k

作X軸的平行線交反比例函數(shù)y=*(X>。)的圖象于點C.

X

(1)求直線A3和反比例函數(shù)圖象的表達式;

(2)求，的面積.

【答案】(1)直線A3的表達式為y=x+l,反比例函數(shù)的表達式為y=9

x

(2)6

【解析】

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(2)由一次函數(shù)解析式求得點8的坐標，再根據(jù)3C〃x軸，可得點C的縱坐標為1,再利用反比例函數(shù)

表達式求得點C坐標，即可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

k

解：??,直線y=九+人與反比例函數(shù)y=乙(％>0)圖象交于點42,3)

x

???左=2x3=6,2+Z?=3即人=1

直線AB的表達式為y=x+i,反比例函數(shù)的表達式為y=-.

x

【小問2詳解】

解：?..直線y=x+l的圖象與y軸交于點8

.,.當x=0時y=1

AB（O,1）

k

1/5C〃x軸，直線BC與反比例函數(shù)y=2（x>0）的圖象交于點C

x

，點C的縱坐標為1

=1,即％=6

x

：.C（6,l）

BC=6

'?SABC=—><2x6=6.

【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點、一次函

數(shù)與y軸的交點，熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

18.今年植樹節(jié)，某班同學(xué)共同種植一批樹苗，如果每人種3棵，則剩余20棵；如果每人種4棵，則還缺

25棵.

（1）求該班的學(xué)生人數(shù)；

（2）這批樹苗只有甲、乙兩種，其中甲樹苗每棵30元，乙樹苗每棵40元.購買這批樹苗的總費用沒有超

過5400元，請問至少購買了甲樹苗多少棵？

【答案】（1）該班的學(xué)生人數(shù)為45人

（2）至少購買了甲樹苗80棵

【解析】

【分析】（1）設(shè)該班的學(xué)生人數(shù)為x人，根據(jù)兩種方案下樹苗的總數(shù)不變列出方程求解即可；

（2）根據(jù)（1）所求求出樹苗的總數(shù)為155棵，設(shè)購買了甲樹苗加棵，則購買了乙樹苗（155-m）棵樹

苗，再根據(jù)總費用不超過5400元列出不等式求解即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)該班的學(xué)生人數(shù)為無人

由題意得3x+20=4x—25

解得x=45

該班的學(xué)生人數(shù)為45人；

【小問2詳解】

解：由（1）得一共購買了3x45+20=155棵樹苗

設(shè)購買了甲樹苗根棵，則購買了乙樹苗（155-加）棵樹苗

由題意得30”?+40（155-zu）<5400

解得m>80

.7"得最小值為80

，至少購買了甲樹苗80棵

答：至少購買了甲樹苗80棵.

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，正確理解題意找到等量

關(guān)系列出方程，找到不等關(guān)系列出不等式是解題的關(guān)鍵.

19.如圖1是某紅色文化主題公園內(nèi)的雕塑，將其抽象成加如圖2所示的示意圖，已知點B,A,D,E均在同

一直線上==測得N6=55°,BC=1.8m,DE=2m.（結(jié)果保小數(shù)點后一位）

（2）求雕塑的高（即點E到直線BC的距離）.

（參考數(shù)據(jù)：sin55°?0.82,cos55°?0.57,tan55°?1.43）

【答案】（1）見解析（2）雕塑的高約為4.2米

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等邊對等角得出N3=NACB,NACD=NADC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出

2（ZB+ZADC）=180°,進而得出4CD=90°,即可得證；

（2）過點、E作EF工BC,交的延長線于點尸，在RtBDC中得出4。=匹~=」^—,則

cos3cos55°

1Q

BE=AD+DE=2+―--,在Rt△石B廠中根據(jù)跖=5E-sin5,即可求解.

cos55°

【小問1詳解】

解：：AB=AC=AD

NB=NACB,ZACD=ZADC

,：ZB+ZADC+ZBCD=180°

即2(NB+NADC)=180。

，ZB+ZADC=90°

SPZBCD=90°

DC±BC；

【小問2詳解】

如圖所示，過點E作及113C,交6C的延長線于點歹

在Rt_3￡>C中ZB=55°,BC=1.8m,DE=2m

nBC

cosB=-----

AD

?BC1.8

???AD=-------=----------

cosBcos55°

1Q

??.BE=AD+DE=2+—―

cos55°

EF

在Rt△￡B/中sin3=—

BE

:.EF=BEsinB

2+1-8

xsin55°

cos55°

2+黑

x0.82

?4.2(米).

答：雕塑的高約為4.2米.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角

函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在JRC中AB=4,ZC=64°,以AB為直徑的「。與AC相交于點，E為ABD上一

點，且NADE=40°.

(1)求BE的長；

(2)若NE4D=76°,求證：CB為「。的切線.

【答案】(1)—Ji

9

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)如圖所示，連接OE,先求出OE=OB=OA=2,再由圓周角定理得到

ZAOE=2/ADE=80°,進而求出NBOE=100°,再根據(jù)弧長公式進行求解即可；

(2)如圖所示，連接3。，先由三角形內(nèi)角和定理得到NAED=64。，則由圓周角定理可得

ZABD=ZAED=64°,再由A3是.。的直徑，得到NAZ汨=90。，進而求出NB4c=26。，進一步

推出NABC=90°,由此即可證明是。的切線.

【小問1詳解】

解：如圖所示，連接OE

是］。的直徑，且AB=4

OE=OB=OA=2

為ABD上一點，且乙位汨=40°

NAOE=2NADE=80°

NBOE=180°-NAOE==100°

,...100x〃x2li0

/.BE的長=----------=-一兀；

180S)

【小問2詳解】

ADC

證明：如圖所示，連接BD

/EAD=76°ZADE=40°

NAED=180°—ZEAD-NADE=64°

:.NABD=NAED=64°

：AB是的直徑

ZADB=90°

：.ZBAC=90°-NABD=26°

VZC=64°

ZABC=1800-ZC-ABAC=90°,即ABIBC

：。8是:一。的半徑

；.8。是〔。的切線.

【點睛】本題主要考查了切線的判定，求弧長，圓周角定理，三角形內(nèi)角和

定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵

五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

21.為了解中學(xué)生的視力情況，某區(qū)衛(wèi)健部門決定隨機抽取本區(qū)部分初、高中學(xué)生進行調(diào)查，并對他們的

視力數(shù)據(jù)進行整理，得到如下統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖.

整理描述

初中學(xué)生視力情況統(tǒng)計表

視力人數(shù)百分比

0.6及以下84%

0.7168%

0.82814%

0.93417%

1.0m34%

1.1及以上46n

合計200100%

以下以上

(1)m=n=

(2)被調(diào)查的高中學(xué)生視力情況的樣本容量為

(3)分析處理：①小胡說：“初中學(xué)生的視力水平比高中學(xué)生的好.”請你對小胡的說法進行判斷，并

選擇一個能反映總體的統(tǒng)計量說明理由:

②約定：視力未達到1.0為視力不良.若該區(qū)有26000名初中學(xué)生，估計該區(qū)有多少名初中學(xué)生視力不

良？并對視力保護提出一條合理化建議.

【答案】(1)6823%；(2)320；(3)①小胡的說法合理，選擇中位數(shù)解析，理由見解析；②11180

人，合理化建議見解析，合理即可.

【解析】

【分析】(1)由總?cè)藬?shù)乘以視力為1.0的百分比可得，"的值，再由視力L1及以上的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得

n的值;

(2)由條形統(tǒng)計圖中各數(shù)據(jù)之和可得答案;

(3)①選擇視力的中位數(shù)進行比較即可得到小胡說法合理；②由初中生總?cè)藬?shù)乘以樣本中視力不良的百分

比即可，根據(jù)自身體會提出合理化建議即可.

【小問1詳解】

解：由題意可得：初中樣本總?cè)藬?shù)為：200人

.-.m=34%x200=68（人）〃=46+200=23%；

【小問2詳解】

由題意可得：14+44+60+82+65+55=320

?1?被調(diào)查的高中學(xué)生視力情況的樣本容量為320；

【小問3詳解】

①小胡說：“初中學(xué)生的視力水平比高中學(xué)生的好.”

小胡的說法合理；

初中學(xué)生視力的中位數(shù)為第100個與第101個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，落在視力為1.0這一組

而高中學(xué)生視力的中位數(shù)為第160個與第161個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，落在視力為0.9的這一組

而1.0>0.9

，小胡的說法合理.

②由題意可得：26000x(l-34%-23%)=11180(人)

/.該區(qū)有26000名中學(xué)生，估計該區(qū)有H180名中學(xué)生視力不良；

合理化建議為：學(xué)校可以多開展用眼知識的普及，規(guī)定時刻做眼保健操.

【點睛】本題考查是從頻數(shù)分布表與頻數(shù)分布直方圖中獲取信息，中位數(shù)的含義，利用樣本估計總體，

理解題意，確定合適的統(tǒng)計量解決問題是解本題的關(guān)鍵.

22.課本再現(xiàn)

思考

我們知道，菱形的對角線互相垂直.反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

嗎？

可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理；

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

(1)定理證明：為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形(如圖1),并寫出了“已知”和“求證”，請你

完成證明過程.

己知：在YA5CD中對角線垂足為。.

求證：YABCD是菱形.

(2)知識應(yīng)用：如圖2,在YA6CD中對角線AC和3。相交于點。AD=5,AC=8,BD=6.

圖2

①求證：YABCD是菱形；

1OF

②延長至點E,連接0E交于點尸，若NE=—NACD,求——的值.

2EF

【答案】（1）見解析（2）①見解析；②，

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明AOBaCOB得出AB=CB,同理可得，DQ4Z.ODC,則

DA=DC,AB=CD進而根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，即可得證；

（2）①勾股定理的逆定理證明△49。是直角三角形，且NAOD=90。，得出AC43D,即可得證；

②根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件得出NE=/COE,則OC=OE=，AC=4,過點。作OG〃CD交

2

于點G,根據(jù)平行線分線段成比例求得CG='CB=9,然后根據(jù)平行線分線段成比例即可求解.

22

【小問1詳解】

證明：：四邊形ABCD是平行四邊形

AAO=COAB=BC

BDJLAC

：.ZAOB^ZCOB=90°

在cAO54co8中

AO=CO

<ZAOB=ZCOB

BO=BO

,AOB^COB

：.AB=CB

同理可得,￡>Q4之,ODC,則ZM=DC

又；AB=CD

:.AB=BC=CD=DA

...四邊形ABC。是菱形;

【小問2詳解】

①證明：：四邊形ABCD是平行四邊形AD=5,AC=8,BD=6.

：.DO=BO=-BD=3,AO=CO=-AC=^

22

在△49。中A￡>2=25AC>2+O￡>2=32+42=25

AD2=AO2+0D2

：.Z\AOD是直角三角形，且ZAOD=90°

AC1BD

四邊形ABC。是菱形；

②..?四邊形ABC。是菱形；

/.ZACB=ZACD

?：ZE=-ZACD

2

/.ZE=-ZACB

2

VZACB=ZE+ZCOE

:.NE=/COE

/.OC=OE=^-AC=4

2

如圖所示，過點。作OG〃。交BC于點G

,BGBO,

"GCOD

：.CG=-BC=-AD=-

222

5

：.OFGC25.

EF~CE~4~8

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平

行線分線段成比例，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

六、解答題（本大題共12分）

23.綜合與實踐

問題提出：某興趣小組開展綜合實踐活動：在中NC=90。，D為ACk一點、CD=①,動點

尸以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿C.3fA勻速運動，到達點A時停止，以。。

為邊作正方形DPEF設(shè)點尸的運動時間為左，正方形3PEF的而積為S,探究S與f的關(guān)系

當點尸由點C運動到點2時

①當/=1時5=.

②S關(guān)于r的函數(shù)解析式為

（2）當點P由點8運動到點A時經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于r的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請根據(jù)圖

象信息，求S關(guān)于r的函數(shù)解析式及線段A3的長.

（3）延伸探究：若存在3個時刻（4<￡2<，3）對應(yīng)的正方形3PE尸的面積均相等.

②當％=4%時求正方形DPEF的面積.

34

【答案】（1）①3；②S=r+4（2）S=r2-8r+18（2<r<8）AB=6（3）①4；②豆

【解析】

【分析】（1）①先求出CP=1,再利用勾股定理求出。尸=6,最后根據(jù)正方形面積公式求解即可；②仿

照（1）①先求出CP=f,進而求出Dp2=/+2,則S=z）p2=r+2；

（2）先由