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文檔簡介
2024年中考數(shù)學(xué)模擬測試試卷(含答案)
(考試時間:120分鐘;滿分:120分)
學(xué)校:班級:姓名:考號:
一、單項選擇題(本大題共6小題,每小題3分,共18分)在每小題列出的四個備選項中只
有一項是最符合題目要求的,請將其代碼填涂在答題卡相應(yīng)位置.錯選、多選或未選均不得
分.
1.下列各數(shù)中正顰梨是()
A.3B.2.1C.0D.-2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類即可求解.
【詳解】解:3是正整數(shù),2.1是小數(shù),不是整數(shù),0不是正數(shù),-2不是正數(shù)
故選:A.
【點睛】本題考查了有理數(shù)的分類,熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵.
2.下列圖形中是中心對稱圖形的是()
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義:把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形
重合,那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案.
【詳解】解:選項A、C、D均不能找到這樣的一個點,使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合,所
以不是中心對稱圖形;
選項B能找到這樣的一個點,使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合,所以是中心對稱圖形;
故選:B.
【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形,關(guān)鍵是找出對稱中心.
3.若血-4有意義,則々的值可以是()
A.-1B.0C.2D.6
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求解.
【詳解】解:???&?—4有意義
tz—4>0
解得:a>4,則。的值可以是6
故選:D.
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件,熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.
4.計算(2加2『的結(jié)果為()
A.8m6B.6m6C.2m6D.2m5
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)積的乘方計算法則求解即可.
【詳解】解:(2m2)3-8m6
故選A.
【點睛】本題主要考查了積的乘方計算,熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.
5.如圖,平面鏡肱V放置在水平地面CD上,墻面?D_LCD于點。,一束光線A0照射到鏡面
上,反射光線為08,點B在上,若NAOC=35°,則NOB。的度數(shù)為()
0
cMOND
A.35°B.45°C.55°D.65°
【答案】c
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得NAOC=N5Q£>,進而根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解.
【詳解】解:依題意ZAOC=ZBODZAOC=35°
ZBOD=35°
?/PD±CD
:.ZOBD=90°-/BOD=55°
故選:C.
【點睛】本題考查了直角三角形中兩個銳角互余,入射角等于反射角,熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.
6.如圖,點A,B,C,D均在直線/上,點P在直線/外,則經(jīng)過其中任意三個點,最多可畫出圓的個數(shù)為
()
P?
ABCD
A.3個B.4個C.5個D.6個
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)不共線三點確定一個圓可得,直線上任意2個點加上點尸可以畫出一個圓,據(jù)此列舉所有可
能即可求解.
【詳解】解:依題意,A,B;A,C;A,D;B,C;B,D,C,D加上點尸可以畫出一個圓
共有6個
故選:D.
【點睛】本題考查了確定圓的條件,熟練掌握不共線三點確定一個圓是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(本大題共6小題,每小題3分,共18分)
7.單項式一5"〃的系數(shù)為.
【答案】-5
【解析】
【分析】根據(jù)單項式系數(shù)的定義:單項式中的數(shù)字因數(shù),得出結(jié)果即可.
【詳解】解:單項式一5〃/?的系數(shù)是—5.
故答案是:-5.
【點睛】本題考查單項式的系數(shù),解題的關(guān)鍵是掌握單項式系數(shù)的定義.
8.我國海洋經(jīng)濟復(fù)蘇態(tài)勢強勁.在建和新開工海上風(fēng)電項目建設(shè)規(guī)模約1800萬千瓦,比上一年同期翻一
番,將18000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為.
【答案】1.8x107
【解析】
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式進行解答即可.
【詳解]解:18000000=1.8xlO7
故答案為:1.8x107.
【點睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法,熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"。為整數(shù))的形
式,n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同是解題的關(guān)鍵.
9.計算:(a+1)2-a2=.
【答案】2a+l
【解析】
【詳解】【分析】原式利用完全平方公式展開,然后合并同類項即可得到結(jié)果.
【詳解】(a+1)2-a2
=a2+2a+l-a2
=2a+l
故答案為2a+l.
【點睛】本題考查了整式的混合運算,熟練掌握完全平方公式以及合并同類項的法則是解題的關(guān)
鍵.
10.將含30。角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置,己Ne=60。,點、B,。表示的刻度分別為
1cm,3cm,則線段AB的長為_______cm.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NAC3=60°,進而可得是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即
可求解.
【詳解】解:二?直尺的兩邊平行
;?ZACB=Za=60°
又NA=60°
,ABC是等邊三角形
;點、B,C表示的刻度分別為1cm,3cm
BC=2cm
AB=BC=2cm
線段A5的長為2cm
故答案為:2.
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)與判定,得出NAC3=60°是解題的關(guān)鍵.
11.《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺(即圖中的
ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可測量物體的高度如圖,點A,B,Q在同一水平線上,
/ABC和NAQP均為直角,AP與相交于點。.測得AB=40cm,3。=20cm,AQ=12m,則
樹高PQ=m.
【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得,然后相似三角形的性質(zhì),即可求解.
【詳解】解:???/ABC和NAQP均為直角
BD//PQ
:.ABDsAQP
.BDAB
"~PQ=~AQ
?/AB=40cm,BD-20cm,AQ=12m
MAQxBD12x20,
:.PQ=—.........=----------=6m
故答案為:6.
【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用,熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.
12.如圖,在YA5CD中N3=60°,BC=2AB,將A3繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角a(0。<0<360°)得至U
AP,連接PC,PD.當_28為直角三角形時旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為.
【答案】90?;?70?;?80。
【解析】
【分析】連接AC,根據(jù)已知條件可得4AC=90。,進而分類討論即可求解.
【詳解】解:連接AC,取的中點E,連接AE,如圖所示
:在YABC。中/3=60°,BC=2AB
:.BE=-BC=AB
2
.ABE是等邊三角形
ZBAE=ZAEB=60°
又:AE=EC
/.ZEAC=ZECA=-ZAEB=30°
2
:.ZBAC=90°
:.AC±CD
如圖所示,當點尸在AC上時此時/SAP=4AC=90°,則旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為90。
當點尸在C4的延長線上時如圖所示,則夕=360°-90°=270°
/)
----一,(
當尸在B4的延長線上時則旋轉(zhuǎn)角e的度數(shù)為180°,如圖所示
,:PA=PB=CDPB//CD
四邊形PACO是平行四邊形
?/ACLAB
四邊形PACD矩形
二ZPDC=90°
即△PDC是直角三角形
綜上所述,旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為90?;?70?;?80。
故答案為:90。或270°或180。.
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定,等邊三角形的性質(zhì)與判定,矩形的性質(zhì)與判定,旋轉(zhuǎn)的性
質(zhì),熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
三、解答題(本大題共5小題,每小題6分,共30分)
13.(1)計算:網(wǎng)+tan45°-3°
(2)如圖,AB=AD,AC平分求證:AABCmAADC.
【答案】(1)2;(2)證明見解析
【解析】
【分析】(1)先計算立方根,特殊角三角函數(shù)值和零指數(shù)幕,再計算加減法即可;
(2)先由角平分線的定義得到NB4C=NZMC,再利用SAS證明△ABCZZVIDC即可.
【詳解】解:(1)原式=2+1—1
=2;
(2):AC平分284。
ABACADAC
在」EC和八4。。中
AB=AD
<ABAC=ADAC
AC=AC
:.AABC^AADC(SAS).
【點睛】本題主要考查了實數(shù)的運算,零指數(shù)募,特殊角三角函數(shù)值,全等三角形的判定,角平分線的定
義等等,靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.
14.如圖是4x4的正方形網(wǎng)格,請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖(保留作圖痕跡).
(2)在圖2中的線段AB上作點Q,使尸。最短.
【答案】(1)作圖見解析
(2)作圖見解析
【解析】
【分析】(1)如圖,取格點K,使NA7;①=90°,在K的左上方的格點C滿足條件,再畫三角形即可;
(2)利用小正方形的性質(zhì)取格點連接交A3于。,從而可得答案.
【小問1詳解】
解:如圖,_A5C即為所求作的三角形;
G
\/【小問2詳解】
---------1--------------|--------------i
AIIII
1111
函1
如圖,Q即為所求作的點;
【點睛】本題考查的是復(fù)雜作圖,同時考查了三角形的外角的性質(zhì),正方形的
性質(zhì),垂線段最短,熟記基本幾何圖形的性質(zhì)再靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵.
2
XXv-l
15.化簡---------1--------------.下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運算過程:
x+1x-1X
解:原式
x(xT)?x(x+l)x2-l
(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)x
甲同學(xué)
22
府日TxX-1XX-1
解:原式=-----------+-----------
x+1xx-1X
乙同學(xué)
(1)甲同學(xué)解法的依據(jù)是,乙同學(xué)解法的依據(jù)是;(填序號)
①等式的基本性質(zhì);②分式的基本性質(zhì);③乘法分配律;④乘法交換律.
(2)請選擇一種解法,寫出完整的解答過程.
【答案】(1)②,③(2)見解析
【解析】
【分析】(1)根據(jù)所給的解題過程即可得到答案;
(2)甲同學(xué)的解法:先根據(jù)分式的基本性質(zhì)把小括號內(nèi)的分式先同分,然后根據(jù)分式的加法計算法則求解,
最后根據(jù)分式的乘法計算法則求解即可;
乙同學(xué)的解法:根據(jù)乘法分配律去括號,然后計算分式的乘法,最后合并同類項即可.
【小問1詳解】
解:根據(jù)解題過程可知,甲同學(xué)解法的依據(jù)是分式的基本性質(zhì),乙同學(xué)解法的依據(jù)是乘法分配律
故答案為:②,③;
【小問2詳解】
解:甲同學(xué)的解法:
工小x(xT)x(x+l)1x2-1
庫式=[-(-x-+--l-)--(-x---l-)-1--(x--+-l-)-(-x---l-)J----X--
_x2-x+x2+x(x+l)(x-l)
(x+l)(x-l)X
_2九2(x+l)(x-l)
(x+l)(x-l)X
=2x;
乙同學(xué)的解法:
xx2-1xx2-1
原式=-----------+-----------
x+1xx-1X
_x(x+l)(x-l)X(x+l)(x-l)
=----------------1----?-----------
X+1xx-1X
=X—1+X+1
=2X.
【點睛】本題主要考查了分式的混合計算,熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵.
16.為了弘揚雷鋒精神,某校組織“學(xué)雷鋒,爭做新時代好少年”的宣傳活動根據(jù)活動要求,每班需要2
名宣傳員某班班主任決定從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中隨機選取2名同學(xué)作為宣傳員.
(1)“甲、乙同學(xué)都被選為宣傳員”是事件:(填“必然”、“不可能”或“隨機”)
(2)請用畫樹狀圖法或列表法,求甲、丁同學(xué)都被選為宣傳員概率.
【答案】(1)隨機(2)-
6
【解析】
【分析】(1)由確定事件與隨機事件的概念可得答案;
(2)先畫樹狀圖得到所有可能的情況數(shù)與符合條件的情況數(shù),再利用概率公式計算即可.
【小問1詳解】
解:“甲、乙同學(xué)都被選為宣傳員”是隨機事件;
【小問2詳解】
畫樹狀圖為:
共有12種等可能的結(jié)果,其中選中的兩名同學(xué)恰好是甲,丁的結(jié)果數(shù)為2
21
所以選中的兩名同學(xué)恰好是甲,丁的概率=一=—.
126
【點睛】本題考查是事件的含義,利用畫樹狀圖求解隨機事件的概率,熟記事件的概念與分類以及畫樹
狀圖的方法是解本題的關(guān)鍵.
k
17.如圖,已知直線丁=%+匕與反比例函數(shù)y=-(x>0)的圖象交于點A(2,3),與y軸交于點5,過點3
x
k
作X軸的平行線交反比例函數(shù)y=*(X>。)的圖象于點C.
X
(1)求直線A3和反比例函數(shù)圖象的表達式;
(2)求,的面積.
【答案】(1)直線A3的表達式為y=x+l,反比例函數(shù)的表達式為y=9
x
(2)6
【解析】
【分析】(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可;
(2)由一次函數(shù)解析式求得點8的坐標,再根據(jù)3C〃x軸,可得點C的縱坐標為1,再利用反比例函數(shù)
表達式求得點C坐標,即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
k
解:??,直線y=九+人與反比例函數(shù)y=乙(%>0)圖象交于點42,3)
x
???左=2x3=6,2+Z?=3即人=1
直線AB的表達式為y=x+i,反比例函數(shù)的表達式為y=-.
x
【小問2詳解】
解:?..直線y=x+l的圖象與y軸交于點8
.,.當x=0時y=1
AB(O,1)
k
1/5C〃x軸,直線BC與反比例函數(shù)y=2(x>0)的圖象交于點C
x
,點C的縱坐標為1
=1,即%=6
x
:.C(6,l)
BC=6
'?SABC=—><2x6=6.
【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點、一次函
數(shù)與y軸的交點,熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.
四、解答題(本大題共3小題,每小題8分,共24分)
18.今年植樹節(jié),某班同學(xué)共同種植一批樹苗,如果每人種3棵,則剩余20棵;如果每人種4棵,則還缺
25棵.
(1)求該班的學(xué)生人數(shù);
(2)這批樹苗只有甲、乙兩種,其中甲樹苗每棵30元,乙樹苗每棵40元.購買這批樹苗的總費用沒有超
過5400元,請問至少購買了甲樹苗多少棵?
【答案】(1)該班的學(xué)生人數(shù)為45人
(2)至少購買了甲樹苗80棵
【解析】
【分析】(1)設(shè)該班的學(xué)生人數(shù)為x人,根據(jù)兩種方案下樹苗的總數(shù)不變列出方程求解即可;
(2)根據(jù)(1)所求求出樹苗的總數(shù)為155棵,設(shè)購買了甲樹苗加棵,則購買了乙樹苗(155-m)棵樹
苗,再根據(jù)總費用不超過5400元列出不等式求解即可.
【小問1詳解】
解:設(shè)該班的學(xué)生人數(shù)為無人
由題意得3x+20=4x—25
解得x=45
該班的學(xué)生人數(shù)為45人;
【小問2詳解】
解:由(1)得一共購買了3x45+20=155棵樹苗
設(shè)購買了甲樹苗根棵,則購買了乙樹苗(155-加)棵樹苗
由題意得30”?+40(155-zu)<5400
解得m>80
.7"得最小值為80
,至少購買了甲樹苗80棵
答:至少購買了甲樹苗80棵.
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應(yīng)用,一元一次不等式的實際應(yīng)用,正確理解題意找到等量
關(guān)系列出方程,找到不等關(guān)系列出不等式是解題的關(guān)鍵.
19.如圖1是某紅色文化主題公園內(nèi)的雕塑,將其抽象成加如圖2所示的示意圖,已知點B,A,D,E均在同
一直線上==測得N6=55°,BC=1.8m,DE=2m.(結(jié)果保小數(shù)點后一位)
(2)求雕塑的高(即點E到直線BC的距離).
(參考數(shù)據(jù):sin55°?0.82,cos55°?0.57,tan55°?1.43)
【答案】(1)見解析(2)雕塑的高約為4.2米
【解析】
【分析】(1)根據(jù)等邊對等角得出N3=NACB,NACD=NADC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出
2(ZB+ZADC)=180°,進而得出4CD=90°,即可得證;
(2)過點、E作EF工BC,交的延長線于點尸,在RtBDC中得出4。=匹~=」^—,則
cos3cos55°
1Q
BE=AD+DE=2+―--,在Rt△石B廠中根據(jù)跖=5E-sin5,即可求解.
cos55°
【小問1詳解】
解::AB=AC=AD
NB=NACB,ZACD=ZADC
,:ZB+ZADC+ZBCD=180°
即2(NB+NADC)=180。
,ZB+ZADC=90°
SPZBCD=90°
DC±BC;
【小問2詳解】
如圖所示,過點E作及113C,交6C的延長線于點歹
在Rt_3£>C中ZB=55°,BC=1.8m,DE=2m
nBC
cosB=-----
AD
?BC1.8
???AD=-------=----------
cosBcos55°
1Q
??.BE=AD+DE=2+—―
cos55°
EF
在Rt△£B/中sin3=—
BE
:.EF=BEsinB
2+1-8
xsin55°
cos55°
2+黑
x0.82
?4.2(米).
答:雕塑的高約為4.2米.
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用,解直角三角形的應(yīng)用,熟練掌握三角
函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.
20.如圖,在JRC中AB=4,ZC=64°,以AB為直徑的「。與AC相交于點,E為ABD上一
點,且NADE=40°.
(1)求BE的長;
(2)若NE4D=76°,求證:CB為「。的切線.
【答案】(1)—Ji
9
(2)證明見解析
【解析】
【分析】(1)如圖所示,連接OE,先求出OE=OB=OA=2,再由圓周角定理得到
ZAOE=2/ADE=80°,進而求出NBOE=100°,再根據(jù)弧長公式進行求解即可;
(2)如圖所示,連接3。,先由三角形內(nèi)角和定理得到NAED=64。,則由圓周角定理可得
ZABD=ZAED=64°,再由A3是.。的直徑,得到NAZ汨=90。,進而求出NB4c=26。,進一步
推出NABC=90°,由此即可證明是。的切線.
【小問1詳解】
解:如圖所示,連接OE
是]。的直徑,且AB=4
OE=OB=OA=2
為ABD上一點,且乙位汨=40°
NAOE=2NADE=80°
NBOE=180°-NAOE==100°
,...100x〃x2li0
/.BE的長=----------=-一兀;
180S)
【小問2詳解】
ADC
證明:如圖所示,連接BD
/EAD=76°ZADE=40°
NAED=180°—ZEAD-NADE=64°
:.NABD=NAED=64°
:AB是的直徑
ZADB=90°
:.ZBAC=90°-NABD=26°
VZC=64°
ZABC=1800-ZC-ABAC=90°,即ABIBC
:。8是:一。的半徑
;.8。是〔。的切線.
【點睛】本題主要考查了切線的判定,求弧長,圓周角定理,三角形內(nèi)角和
定理等等,正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵
五、解答題(本大題共2小題,每小題9分,共18分)
21.為了解中學(xué)生的視力情況,某區(qū)衛(wèi)健部門決定隨機抽取本區(qū)部分初、高中學(xué)生進行調(diào)查,并對他們的
視力數(shù)據(jù)進行整理,得到如下統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖.
整理描述
初中學(xué)生視力情況統(tǒng)計表
視力人數(shù)百分比
0.6及以下84%
0.7168%
0.82814%
0.93417%
1.0m34%
1.1及以上46n
合計200100%
以下以上
(1)m=n=
(2)被調(diào)查的高中學(xué)生視力情況的樣本容量為
(3)分析處理:①小胡說:“初中學(xué)生的視力水平比高中學(xué)生的好.”請你對小胡的說法進行判斷,并
選擇一個能反映總體的統(tǒng)計量說明理由:
②約定:視力未達到1.0為視力不良.若該區(qū)有26000名初中學(xué)生,估計該區(qū)有多少名初中學(xué)生視力不
良?并對視力保護提出一條合理化建議.
【答案】(1)6823%;(2)320;(3)①小胡的說法合理,選擇中位數(shù)解析,理由見解析;②11180
人,合理化建議見解析,合理即可.
【解析】
【分析】(1)由總?cè)藬?shù)乘以視力為1.0的百分比可得,"的值,再由視力L1及以上的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得
n的值;
(2)由條形統(tǒng)計圖中各數(shù)據(jù)之和可得答案;
(3)①選擇視力的中位數(shù)進行比較即可得到小胡說法合理;②由初中生總?cè)藬?shù)乘以樣本中視力不良的百分
比即可,根據(jù)自身體會提出合理化建議即可.
【小問1詳解】
解:由題意可得:初中樣本總?cè)藬?shù)為:200人
.-.m=34%x200=68(人)〃=46+200=23%;
【小問2詳解】
由題意可得:14+44+60+82+65+55=320
?1?被調(diào)查的高中學(xué)生視力情況的樣本容量為320;
【小問3詳解】
①小胡說:“初中學(xué)生的視力水平比高中學(xué)生的好.”
小胡的說法合理;
初中學(xué)生視力的中位數(shù)為第100個與第101個數(shù)據(jù)的平均數(shù),落在視力為1.0這一組
而高中學(xué)生視力的中位數(shù)為第160個與第161個數(shù)據(jù)的平均數(shù),落在視力為0.9的這一組
而1.0>0.9
,小胡的說法合理.
②由題意可得:26000x(l-34%-23%)=11180(人)
/.該區(qū)有26000名中學(xué)生,估計該區(qū)有H180名中學(xué)生視力不良;
合理化建議為:學(xué)校可以多開展用眼知識的普及,規(guī)定時刻做眼保健操.
【點睛】本題考查是從頻數(shù)分布表與頻數(shù)分布直方圖中獲取信息,中位數(shù)的含義,利用樣本估計總體,
理解題意,確定合適的統(tǒng)計量解決問題是解本題的關(guān)鍵.
22.課本再現(xiàn)
思考
我們知道,菱形的對角線互相垂直.反過來,對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
嗎?
可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理;
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
(1)定理證明:為了證明該定理,小明同學(xué)畫出了圖形(如圖1),并寫出了“已知”和“求證”,請你
完成證明過程.
己知:在YA5CD中對角線垂足為。.
求證:YABCD是菱形.
(2)知識應(yīng)用:如圖2,在YA6CD中對角線AC和3。相交于點。AD=5,AC=8,BD=6.
圖2
①求證:YABCD是菱形;
1OF
②延長至點E,連接0E交于點尸,若NE=—NACD,求——的值.
2EF
【答案】(1)見解析(2)①見解析;②,
【解析】
【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明AOBaCOB得出AB=CB,同理可得,DQ4Z.ODC,則
DA=DC,AB=CD進而根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形,即可得證;
(2)①勾股定理的逆定理證明△49。是直角三角形,且NAOD=90。,得出AC43D,即可得證;
②根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件得出NE=/COE,則OC=OE=,AC=4,過點。作OG〃CD交
2
于點G,根據(jù)平行線分線段成比例求得CG='CB=9,然后根據(jù)平行線分線段成比例即可求解.
22
【小問1詳解】
證明::四邊形ABCD是平行四邊形
AAO=COAB=BC
BDJLAC
:.ZAOB^ZCOB=90°
在cAO54co8中
AO=CO
<ZAOB=ZCOB
BO=BO
,AOB^COB
:.AB=CB
同理可得,£>Q4之,ODC,則ZM=DC
又;AB=CD
:.AB=BC=CD=DA
...四邊形ABC。是菱形;
【小問2詳解】
①證明::四邊形ABCD是平行四邊形AD=5,AC=8,BD=6.
:.DO=BO=-BD=3,AO=CO=-AC=^
22
在△49。中A£>2=25AC>2+O£>2=32+42=25
AD2=AO2+0D2
:.Z\AOD是直角三角形,且ZAOD=90°
AC1BD
四邊形ABC。是菱形;
②..?四邊形ABC。是菱形;
/.ZACB=ZACD
?:ZE=-ZACD
2
/.ZE=-ZACB
2
VZACB=ZE+ZCOE
:.NE=/COE
/.OC=OE=^-AC=4
2
如圖所示,過點。作OG〃。交BC于點G
,BGBO,
"GCOD
:.CG=-BC=-AD=-
222
5
:.OFGC25.
EF~CE~4~8
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定,勾股定理以及勾股定理的逆定理,等腰三角形的性質(zhì)與判定,平
行線分線段成比例,熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.
六、解答題(本大題共12分)
23.綜合與實踐
問題提出:某興趣小組開展綜合實踐活動:在中NC=90。,D為ACk一點、CD=①,動點
尸以每秒1個單位的速度從C點出發(fā),在三角形邊上沿C.3fA勻速運動,到達點A時停止,以。。
為邊作正方形DPEF設(shè)點尸的運動時間為左,正方形3PEF的而積為S,探究S與f的關(guān)系
當點尸由點C運動到點2時
①當/=1時5=.
②S關(guān)于r的函數(shù)解析式為
(2)當點P由點8運動到點A時經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于r的二次函數(shù),并繪制成如圖2所示的圖象請根據(jù)圖
象信息,求S關(guān)于r的函數(shù)解析式及線段A3的長.
(3)延伸探究:若存在3個時刻(4<£2<,3)對應(yīng)的正方形3PE尸的面積均相等.
②當%=4%時求正方形DPEF的面積.
34
【答案】(1)①3;②S=r+4(2)S=r2-8r+18(2<r<8)AB=6(3)①4;②豆
【解析】
【分析】(1)①先求出CP=1,再利用勾股定理求出。尸=6,最后根據(jù)正方形面積公式求解即可;②仿
照(1)①先求出CP=f,進而求出Dp2=/+2,則S=z)p2=r+2;
(2)先由
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