2021年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案 一次函數(shù)線段

一次函數(shù)線段最值問題

知識(shí)點(diǎn)精講

在平面幾何的動(dòng)態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周

長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。

出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、坐標(biāo)軸等。

解題總思路------找點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題

考查。

解決平面幾何最值問題的常用的方法有：

1.線段公理一一兩點(diǎn)之間，線段最短.“垂線段最短”求最值。線段之和的問題往往是將各條線段串聯(lián)起

來，再連接首尾端點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短以及點(diǎn)到線的距離垂線段最短的基本依據(jù)解決。

2.對(duì)稱的性質(zhì)一一①關(guān)于一條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等

②對(duì)稱軸是兩個(gè)對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線j

3.三角形兩邊之和大于第三邊（求最小值）

4.三角形兩邊之差小于第三邊（求最大值）

5、“點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱”、“線段的平移”。

6.軸對(duì)稱原型-----“飲馬問題”，“造橋選址問題”。考的較多的還是“飲馬問題”

7.應(yīng)用其它知識(shí)求最值

（一）、已知兩個(gè)定點(diǎn)：

1、在一條直線〃?上，求一點(diǎn)P,使我+尸8最小；

（1）點(diǎn)N、8在直線機(jī)兩側(cè)：

RR

（2）點(diǎn)A、8在直線同側(cè)

^?yn

I?「

;/

A'

A.A'是關(guān)于直線機(jī)的對(duì)稱點(diǎn)。

2、在直線加、"上分別找兩點(diǎn)尸、Q,使我+PQ+Q8最小。

（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè):

1/29

(2)-個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)

m

n

(3)兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)

n

B'

(4)、臺(tái)球兩次碰壁模型

變式一：已知點(diǎn)4、8位于直線〃的內(nèi)側(cè)，在直線"、加分別上求點(diǎn)。、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形

周長最短

2/29

nn

變式二：已知點(diǎn)/位于直線m、"的內(nèi)側(cè)，在直線加、”點(diǎn)尸、。點(diǎn)E4+PQ+。/周長最短.

（二）、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)：

（―）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)：

點(diǎn)3在直線”上運(yùn)動(dòng)，在直線機(jī)上找一點(diǎn)P,使我+尸8最?。ㄔ趫D中畫出點(diǎn)尸和點(diǎn)8）

/、兩點(diǎn)在直線兩側(cè)：

2、兩點(diǎn)在直線同側(cè)

3/29

Bn

A

n

m

P\

A■

mAf

(三)、已知4、5是兩個(gè)定點(diǎn)，尸、0是直線加上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸在0的左側(cè)，且尸。間長度恒定，在直

線m

上要求?、。兩點(diǎn)，使得以+尸。+。的值最小。(原理用平移知識(shí)解)

(1)點(diǎn)/、5在直線加兩側(cè)：

A■A午-------“C

mm

PQ■P0、

BB

過4點(diǎn)作ZC〃加，且力。長等于尸0長連接交直線加于0,Q向左移動(dòng)尸。長，即為P點(diǎn)，此時(shí)尸、

。即為所求的點(diǎn)。

(2)點(diǎn)/、5在直線機(jī)同側(cè)：

A.

B

m

PQ

(四)求兩線段差的最大值問題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)

1＞在一條直線加上，求一點(diǎn)尸,使我與尸5的差最大，

(1)點(diǎn)/、8在直線加同側(cè)：

(2)點(diǎn)4、8在直線加異側(cè):

4/29

過8作關(guān)于直線機(jī)的對(duì)稱點(diǎn)夕'旌接/夕交點(diǎn)直線機(jī)于尸，此時(shí)P爐P8'.我一P8最大值為

在直線，上求點(diǎn)尸使r

得|尸4-尸卻最大

將點(diǎn)B對(duì)稱8',作直

線月8'與/的交點(diǎn)即

三角形任意兩邊之差

為P.

小于第三邊

B

【典型例題】

【例1】已知直線產(chǎn)!x+6經(jīng)過點(diǎn)，A(4.3).與丁軸交于點(diǎn)2

(1)求3點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)。是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4C+3C的值最小時(shí)，求C點(diǎn)坐標(biāo).(海淀期末)

【解析】(1)將點(diǎn)/(4,3)代入解析式中，解得6=1

：.B(0,1)

(2)點(diǎn)2關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)8'的坐標(biāo)為(0,T),

設(shè)直線/次的解析式為尸履+6,依題意得

直線的解析式為尸x-1,與x軸的交點(diǎn)即為C點(diǎn)，坐標(biāo)為(1,0).

【例2】已知點(diǎn)，A(1.2)和8(3,5),試分別求出滿足下列條件的點(diǎn)的坐標(biāo):

(1)在x軸上找一點(diǎn)C,使得4C+8C的值最小；

(2)在〉軸上找一點(diǎn)C,使得NC+BC的值最小；

(3)在直線產(chǎn)x上找一點(diǎn)C,使得NC+8c的值最?。?/p>

(4)在x軸、y=x上各找一點(diǎn)M、N,使得NM+MN+A?的值最小

【解析】(1)作N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)H,易知坐標(biāo)(1,-2)

,:B(3,5)

5/29

(2)作8關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)玄，易知坐標(biāo)(-3.5)

U：A(1,2)

k=a

5=-3k+b

解得4

2=k+b711

b=一

4

日口311

v——一x+，：.C(0,

44

(3)作/關(guān)于產(chǎn)x的對(duì)稱點(diǎn)H,易知坐標(biāo)(2,1)

?:B(3,5)

5=3k+bk=4

解得

l=2k+bb=-7

77

即y=4x—7,：.C(-,-)

33

6/29

（4）作《關(guān)于》軸的對(duì)稱點(diǎn),易知坐標(biāo)（一1.2）

作8關(guān)于了=尤的對(duì)稱點(diǎn)".易知坐標(biāo)（5,3）

k=-

:衣:解得6

713

b=—

6

日口11377

即y=一九十一,：.C(-,-)

6633

13

：.M(0,二).N

6

【例3】如圖，N/06的邊與無軸正半軸重合，點(diǎn)P是CM上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（6,是。5上的一

定點(diǎn)，點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，//。2=30。，要使PM+PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【答案】（3,出）

【解析】

【分析】

7/29

作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N',連接N'M交。1于P,則此時(shí)，尸A/+PN最小，由作圖得到ON=ON',NN'ON=2

ZAON=60°,求得△NON是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到N'朋，ON,解直角三角形即可得

到結(jié)論.

【詳解】

作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N',連接N'〃交04于尸，

則此時(shí)，PM+PN最小/垂直平分MV',

AON=ON',ZN'ON^2AAON-600,△MON是等邊三角形，

;點(diǎn)〃是ON的中點(diǎn)，：.N'MLON,?.?點(diǎn)N（6,0）,：.ON=6,,點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，；.（W=3,

：.PM=y/3,：.P（3,JT）.故答案為：（3,G）

本題考查了軸對(duì)稱一最短路線問題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是確定尸的位置.

【例4】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4B、C的坐標(biāo)分別為（2,0）,（3,點(diǎn)），（1,壽），點(diǎn)。、E的坐

標(biāo)分別為（m.褥機(jī)），（n,f"）（m、"為非負(fù)數(shù)），則C￡+_DE+D5的最小值是.

【答案】4

【解析】

試題分析:連接4C,作3關(guān)于直線Oc的對(duì)稱點(diǎn),連接,交OC于。，交08于E,此時(shí)CE+DE+AD

的值最小，

點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為（m,事m）,（n,g〃）（“、〃為非負(fù)數(shù)）

點(diǎn)。在直線0c上，點(diǎn)E在直線03上

點(diǎn)/、B、C的坐標(biāo)分別為（2,0）,（3,?。?（1,/）,...四邊形OC8N是菱形

：.AC±OB,AO=OC

8/29

即4和C關(guān)于06對(duì)稱，:.CE=AE,：.DE+CE=DE+AE=AD

和關(guān)于0c對(duì)稱，：.DE'=DB.：.CE+DE+DB=AD+DE'=AE

過C作CN上。4于N,VC(1,73),：.ON=1,CN=j3,由勾股定理得：OC=2

BPAB=BC=OA=OC=2.：.ZCON=60°,ZCBA=ZCOA=6Q°,:四邊形CO/8是菱形，

：.BC//OA,：.ZDCB=ZCOA=QO°.和￡'關(guān)于OC對(duì)稱，；./C=90°./.ZE'5C=90°-60°=30°,

:.NE'氏4=60°+30°=90°.CF=；BC=1,由勾股定理得：BF=^E'F,

在用△E8/中，由勾股定理得：AE'=4,即CE+DE+D8的最小值是4.

故答案是：4

【例5】，如圖，已知/(3,1),B(1,0),尸。是直線尸c上的一條動(dòng)線段且尸。=0(。在尸的下方)

當(dāng)AP+PQ+QB取最小值時(shí)，點(diǎn)。坐標(biāo)為.

【分析】作點(diǎn)3關(guān)于直線＞=》的對(duì)稱點(diǎn)*(0,1),過點(diǎn)/作直線并沿九W向下平移V7單位后

得/'(2,0),連接交直線y=x于點(diǎn)0,求出直線解析式，

與y=x組成方程組，可求。點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：作點(diǎn)8關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)8'(0,1),過點(diǎn)/作直線"N,并沿兒W向下平移加單

位后得/'(2,0)

連接/'3'交直線y=x于點(diǎn)。

如圖

理由如下：=PQ=V2,44'//PQ,

四邊形/尸。/'是平行四邊形.

9/29

：.AP=A'Q.

\'AP+PQ+QB=B，Q+A'Q+PQ且PQ=42.

：.當(dāng)A'Q+B'Q值最小時(shí)，AP+PQ+QB值最小.

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即Q,4三點(diǎn)共線時(shí)/'0+8'。值最小.

?：B'(0,1),A'(2,0),

直線8'的解析式y(tǒng)=-lx+1x=-lx+1.即x=2,-

2233

點(diǎn)坐標(biāo)(g,j).

故答案是：(2,3).

33

本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，最短路徑問題，找到當(dāng)/尸+2。+08最小時(shí)，。點(diǎn)坐標(biāo)是本

題關(guān)鍵.

6.閱讀下列一段文字,然后回答下列問題.

已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)《(士，”)、鳥(々，當(dāng))，其兩點(diǎn)間的距離相=>/(1-、)2+(%-%)2，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所

在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí),兩點(diǎn)間距離公式可簡化為1尤2-玉I或I%-XL

⑴已知/(2,4)、3(-3,-8),試求43兩點(diǎn)間的距離；

(2)已知A、B在平行于y軸的直線上,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為-1,試求兩點(diǎn)間的距離；

(3)已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為。(1,6)、￡(-2,2)、尸(4,2),你能判定此三角形的形狀嗎?說明理由；

⑷在⑶的條件下,平面直角坐標(biāo)中,在x軸上找一點(diǎn)尸，使尸口+P尸的長度最短,求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)以及PD+尸尸

的最短長度.

解：

(1)'：A⑵4)(-3,-8),AB=7(-3-2)2+(-8-4)2=13；

(2)在平行于y軸的直線上，點(diǎn)工的縱坐標(biāo)為4,點(diǎn)2的縱坐標(biāo)為-1,.?23=5；

(3)為等腰三角形，

理由：：。(1,6)、￡(-2,2)、尸(4,2),

：.DE=5,DF=5,EF=6,即DE=DF,

；.△￡)￡尸為等腰三角形.

(4)做出尸關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F',連接DF\與x軸交于點(diǎn)P,此時(shí)DP+PF最短，

設(shè)直線DF'解析式為y=kx+b,

10/29

k=上

將-2）代入得：屋］一'解得:3

b7--26

3

直線叱解析式為y=g+g,

令度0,得：x=￡13,即p(1￡3,0),

44

"：PF=PF',

PD+PF=DP+PF'=DF'=J(1一4)2+(6+2尸=用，

則PD+PF的長度最短時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?，0）,此時(shí)PD+PF的最短長度為y/13.

此題屬于一次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及一次函數(shù)與無軸的交點(diǎn),弄清題中材料中

的距離公式是解本題的關(guān)鍵.

11/29

相似題

1.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知/（-1,0）,8（3,0）,<:（0,-1）三點(diǎn),。（1,加是一點(diǎn)，當(dāng)△/CD的周長最小時(shí),

則的面積為（）

解：由題可得，點(diǎn)C關(guān)于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2,-1）,

k=--

-k+b=O3

設(shè)直線/￡的解析式為產(chǎn)丘+瓦則解得

2k+b=-l

b=--

3

.11

??V———■X——,

33

將。（1,m）代入,得加二—2,即點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,-2±）,

33

:.當(dāng)AACD的周長最小時(shí),AABD的面積=2X4BX

2114

故選:C.

本題屬于最短路線問題，主要考查了軸對(duì)稱性質(zhì)的運(yùn)用以及待定系數(shù)法的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用兩點(diǎn)

之間線段最短這一基本事實(shí).

2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，比△CM3的直角頂點(diǎn)/在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,石），點(diǎn)C

的坐標(biāo)為（1,0）,且乙8=60°,點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為.

12/29

y

X

解:如圖作點(diǎn)/關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)A二連接04,A'C,A'C交。3于P,連接PC,此時(shí)以+PC的值最

小,最小值為線段?C的長.

在貶△0/8中，?.?O4=3,/8=G

.?.tanN20/=追，.?./20/=30°,

3

?；ZA'OA=60°,0A'=0A=3,

△34是等邊三角形，

VC(3,0),:.A'C=6=6,

，我+尸。的最小值為",

本題考查軸對(duì)稱-最短問題、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題,

屬于中考填空題中的壓軸題.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸(2,0),0(2,4),在y軸有一點(diǎn)M,若PM+QM最小,則M的坐標(biāo)為.

解:如圖:作出點(diǎn)尸關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N,連接NQ交＞軸于點(diǎn)M..

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知:兒。=跖7,

：.MP+MQ=MN+MQ,.'.當(dāng)Q、N在一條直線上時(shí)，MP+MQ有最小值.

設(shè)直線QN所在直線的解析式為產(chǎn)質(zhì)+瓦

13/29

b=4

將點(diǎn)。（2,4）*2,。）代入得：口+…，解得：F=2.

，直線QN的解析式為y=x+2.

將x=0代入得產(chǎn)2,點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,2）

本題主要考查的是軸對(duì)稱-路徑最短問題、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、一次函數(shù)與了軸的交點(diǎn)，明確M、

。、N在一條直線上時(shí)，MP+MQ有最小值是解題的關(guān)鍵

4.如圖，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-3,0）,點(diǎn)3在直線y=-無上運(yùn)動(dòng)，連接則線段的長的最小值為.

解:當(dāng)48_L直線產(chǎn)-x時(shí)，線段48最短.

此時(shí)△CM3為等腰直角三角形，：CM=3,:.AB=30

2

14/29

本題考查一次函數(shù)問題，關(guān)鍵是根據(jù)：垂線段最短以及等腰三角形的底邊上的高與中線互相重合.

5.如圖,矩形OABC中,D為對(duì)角線NC,OB的交點(diǎn),直線AC的解析式為y=2x+4,點(diǎn)P是〉軸上一動(dòng)點(diǎn),

當(dāng)△尸8。的周長最小時(shí),線段OP的長為.

解:作點(diǎn)。關(guān)于夕軸的對(duì)稱點(diǎn)D連接皮)，交y軸于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸即為所求.

直線AC的解析式為y=2x+4,

點(diǎn)N(-2,0),點(diǎn)C(0,4),.?.點(diǎn)8(-2,4),

由中點(diǎn)公式，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-1,2),.?.點(diǎn)少的坐標(biāo)為(1,2),

k=2

(-2k+/?=4

設(shè)過點(diǎn)8和點(diǎn)。的直線解析式為丁="+尻則77"，解得，＜3

[k+b=278

b=-

9Q

直線2叨懈析式為y+

QQQ

當(dāng)產(chǎn)0時(shí)，產(chǎn)-，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,_),：.OP=-,

333

15/29

y

本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、最短路線問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要

的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答

6.閱讀理解：

如圖①,圖形/外一點(diǎn)尸與圖形/上各點(diǎn)連接的所有線段中,若線段PA最短,則線段PA的長度稱為點(diǎn)P

到圖形/的距離.

例如：圖②中,線段片A的長度是點(diǎn)《到線段AB的距離;線段P2H的長度是點(diǎn)P2到線段AB的距離.

解決問題：

如圖③,平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)43的坐標(biāo)分別為(8,4),(12,7),點(diǎn)P從原點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單

位長度的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng)了/秒.

(1)當(dāng)44時(shí),求點(diǎn)P到線段AB的距離；

(2”為何值時(shí)，點(diǎn)P到線段AB的距離為5?

(3)/滿足什么條件時(shí)，點(diǎn)尸到線段的距離不超過6?(直接寫出此小題的結(jié)果)

解：

(1)如圖1,作軸于點(diǎn)C,

16/29

則NC=4、OC=8,當(dāng)t=4時(shí)，OP=4,：.PC=4,

：.點(diǎn)P到線段AB的距離P4=y]PC2+AC2=4x/2;

⑵如圖2,過點(diǎn)8作無軸，交y軸于點(diǎn)。，

①當(dāng)點(diǎn)P位于AC左側(cè)時(shí)，：/C=4、耳/=5,

-AC2=二42=3,

0—=5,即尸5;

②當(dāng)點(diǎn)尸位于AC右側(cè)時(shí),過點(diǎn)A作AP2LAB,交無軸于點(diǎn)巴，過點(diǎn)3作BELCA延長線于A.

?：BE=AC=4,ZABE^ZP2AC,

：.Rt/\ACP2mRt^BEA,

：.P?C=AE=3,

.'.OP2=ll,即f=ll;

⑶如圖3,

①當(dāng)點(diǎn)P位于AC左側(cè),且AP3=6時(shí)，

則QC=4AP；-AC?=2底?！?8—2番;

17/29

②當(dāng)點(diǎn)P位于AC右側(cè),且有M=6時(shí)（此時(shí)P3'MLAB）,

過點(diǎn)￡作鳥NJ.月加于點(diǎn)N,

則四邊形是矩形，

?.//P2N=90°,ZACP2=ZP2NP3'=90°2P2=MN=5,

:.AACP1sdp2NP；,且NP；=1,

?處=烏即工=2-pn.5

23=

P2P3'NPj'PiP；7'

S38

???。百=OC+C￡+W=8+3+g=了.

.?.當(dāng)8-244f4過時(shí)，點(diǎn)尸到線段AB的距離不超過6.

本題主要考查一次函數(shù)的綜合問題，理解題意掌握點(diǎn)到線段的距離概念及分類討論思想的運(yùn)用、矩形的判

定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.探究:小明在求同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間的距離時(shí)發(fā)現(xiàn),對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)耳（占，%）、

鳥（馬,為），可通過構(gòu)造直角三角形利用圖1得到結(jié)論：PA=他還利用圖2證明了

線段片鳥的中點(diǎn)尸（x,y）的坐標(biāo)公式：x=y=21±21.

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（1）請(qǐng)你幫小明寫出中點(diǎn)坐標(biāo)公式的證明過程;

、-m

運(yùn)用:

⑵①已知點(diǎn)朋X2,-1）,雙（-3,5）,則線段龍加長度為；

②直接寫出以點(diǎn)/（2,2）,8（-2,0）,C（3,-1）,。為頂點(diǎn)的平行四邊形頂點(diǎn)。的坐標(biāo):;

拓展：

4

⑶如圖3,點(diǎn)P（2,〃）在函數(shù)y=§x（x20）的圖象與x軸正半軸夾角的平分線上,請(qǐng)?jiān)凇?、龍軸上分別找

出點(diǎn)￡尸，使△尸所的周長最小,簡要敘述作圖方法,并求出周長的最小值.

圖3

解：

（1）?（不，％）、鳥（為2，為），P（XJ）

22i=222,即％一再=無2-無，,尤=%

?./。為梯形耳。衛(wèi)2心的中位線，???尸0=微；￡2="1,即y=Zl產(chǎn)

即線段《舄的中點(diǎn)p的坐標(biāo)公式為了=土產(chǎn)，y=x產(chǎn)；

（2）①；M（2,-1）,N（-3,5）,MN=5/（2+3）2+（-1-5）2=461.

@-：A（2,2）,B（-2,0）,C（3,-1）,

...當(dāng)43為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，其對(duì)稱中心坐標(biāo)為（0,1）,

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二0

x=-3

設(shè)。（x,y）,則＜2,,、，解得

y+（f一1)=3

2

此時(shí)。點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,3）,

當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（7,1）,

當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，同理可求得。點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,-3）,

綜上可知。點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,3）或（7,1）或（-1,-3）,

⑶如圖,設(shè)P關(guān)于直線0L的對(duì)稱點(diǎn)為M,關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接交直線0L于點(diǎn)P,連接PN

交x軸于點(diǎn)S,連接MN交直線OL于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)F,

又對(duì)稱性可知EP=EM,FP=FN,：.PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN,

此時(shí)APE尸的周長即為ACV的長,為最小值，

4

設(shè)R（x,-%）,由題意可知。氏=0S=2,尸心尸S二〃，

3

Jx2+（1x）2=2,解得x=-|（舍去）或x=|,

5

^(2-1)2+(?-|)2=n,解得n=\,

；.P(2,1),：.N(2,-1),

設(shè)貝U個(gè)=|,與=|,解得x=|,y

?1/211.-8小

??A/(—,—),??A/N-

555

即的周長的最小值為嶺.

本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及中位線定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式、軸對(duì)稱的性質(zhì)、角平

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分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí).在(1)中求得。。和尸。的長是解題的關(guān)鍵，在(2)中注意

中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，在(3)中確定出巨尸的位置，求得尸點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.本題考查知識(shí)

點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大，難度較大.

7.探究：小明在求同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間的距離時(shí)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)R(x”上)，

P2(x2,%)，可通過構(gòu)造直角三角形利用圖1得到結(jié)論：/3、=/(》2一片廣+(0—治尸,他還利用圖2

證明了線段A戶，的中點(diǎn)尸的坐標(biāo)公式:

(1)請(qǐng)你幫小明寫出中點(diǎn)坐標(biāo)公式的證明過程;

運(yùn)用：(2)①已知點(diǎn)M(2,—1)、N(-3,5),則線段AW的長度為.

②直接寫出以點(diǎn)/(2,2)、B(-2,0)、C(3,-1),。為頂點(diǎn)的平行四邊形頂點(diǎn)。的坐標(biāo)

拓展：(3)如圖3,點(diǎn)尸(2,"）在函數(shù)y=yX(x>0)的圖象與x軸正半軸夾角的平分線上，請(qǐng)?jiān)?/p>

OL、x軸上分別找出點(diǎn)￡、F,使的周長最小，簡要敘述作圖方法，并求出周長的最小值.

【答案】(1)答案見解析；(2)①v%T；②(-3,3)或(7,1)或(一1,-3)；(3)與5

【解析】

試題分析：

(1)用R、P,的坐標(biāo)分別表示出和PQ的長即可證得結(jié)論；

(2)①直接利用兩點(diǎn)間距離公式可求得的長；②分AB、AC.8c為對(duì)角線，可求得其中心的坐標(biāo)，

再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得。點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)設(shè)P關(guān)于直線。的對(duì)稱點(diǎn)為M,關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接交直線于點(diǎn)R,連接尸N交

x軸于點(diǎn)S,則可知OR=OS=2,利用兩點(diǎn)間距離坐標(biāo)公式可求得尺的坐標(biāo)，再由PR=PS=n,可求得n的值，

可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得M點(diǎn)坐標(biāo)，由對(duì)稱性可求得N點(diǎn)坐標(biāo)，連接交直線

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于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)S,此時(shí)EP=EM,FP=FN,此時(shí)滿足△尸跖的周長最小，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得

其周長的最小值.

試題解析:

（1）乃），P2（x2,y2）

,"O\Qi=。。1—0Q}=x->—Xj

X—X1X|+x

，22

?-OQ—OQx+QtQ-x+22

???PQ為梯形R0102P2的中位線

PQ-

22

Xy+x2M4y2

即線段PP?的中點(diǎn)尸（x,了）的坐標(biāo)公式為K=~2~'y=~^~~

(2)①?.?M(2,-1),N(-3,5)

MN=，(2+33H■(—1-5(二兩

②；4(2,2)、B(-2,0)、C(3,—1)

...當(dāng)43為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，其對(duì)稱中心坐標(biāo)為（0,1）

設(shè)（無，了），則無+3=0,y+（-1）=2

此時(shí)。點(diǎn)坐標(biāo)為（一3,3）

當(dāng)NC為對(duì)角線時(shí)，同理可求得。點(diǎn)坐標(biāo)為（7,1）；

當(dāng)3C為對(duì)角線時(shí)，同理可求得。點(diǎn)坐標(biāo)為（—1,-3）

綜上可知，。點(diǎn)坐標(biāo)為（一3,3）或（7,1）或（一1,一3）

（3）如圖，設(shè)尸關(guān)于直線d的對(duì)稱點(diǎn)為“，關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接交直線OZ于點(diǎn)R,連接

PN交x軸于點(diǎn)S,連接"N交直線于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)尸

又對(duì)稱性可知FP=FN

：.PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN

此時(shí)尸的周長即為MN的長，為最小

設(shè)RG,[x),由題意可知OA=OS=2,PR=PS=n

jr+（yx）2—2>解得：（舍去）或x='

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?

**?Y(2——)H"(w——~w?解得：n=\

：.P(2,1),：.N(2,-1)

設(shè)y),則人、2=1,JL=,,解得：、=弓，y--^~

即尸的周長的最小值為華

8.恩施州自然風(fēng)光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世.注明的恩施大峽谷（A）和世界級(jí)自

然保護(hù)區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB=50km,/、2到直線尤的距離分別為10切v和

40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P,向/、2兩景區(qū)運(yùn)送游客.小民設(shè)計(jì)了兩種方方案，圖（1）

是方案一的示意圖（/尸與直線X垂直，垂足為尸），P到/、8的距離之和S1=P/+P8,圖（2）是方案

二的示意圖（點(diǎn)/關(guān)于直線X的對(duì)稱點(diǎn)是"，連接助咬直線x于點(diǎn)尸），尸到42的距離之和S?=P/+PA.

（1）求S、Si,并比較它們的大小;

（2）請(qǐng)你說明S,—PA+PB的值為最小;

（3）擬建的恩施到張家界高速公路/與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，8到直線

y的距離為30而7,請(qǐng)你在X旁和y旁各修建一服務(wù)區(qū)尸、。，使尸、A.B、。組成的四邊形的周長最小,

并求出這個(gè)最小值.

【答案】(1)St>S2;(2)50+50小

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【解析】

試題分析:

(1)根據(jù)勾股定理分別求得s、S,的值，比較即可；

(2)在公路上任找一點(diǎn),，連接M4、MB、MA',由對(duì)稱可知，

$2=84’為最??；

(3)過/作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)H,過8作關(guān)于丫軸的對(duì)稱點(diǎn)配,連接交X軸于點(diǎn)尸，交丫軸于點(diǎn)

Q，求出的值即可.

試題解析：

(1)圖(1)中過8作尸，垂足為C

則尸C=40,又/P=10,：.AC=30

在用△A8C中，AB=5Q,AC=30,：.BC=40,：.HP=y/CP2+BC1=40\/2

/-5,-40v/2+10

在圖(2)中，過臺(tái)作BCL/R,垂足為C

則“e=50,又8c=40,二/?/'=.40)+5()2=10\所

由軸對(duì)稱可知：PA=PA'

S,=BA'=105/4T

；?St>S2

(2)如圖，在公路上任找一點(diǎn)M,連接M4、MB、MA'

由軸對(duì)稱可知MA=MA'

：.MB+MA=MB+MA'>A'B

S2~AH為最小

(3)過/作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)H交X軸于點(diǎn)尸

過8作關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)夕交y軸于點(diǎn)。，連接力0

則尸、。即為所求

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A'B'=v/l()02+502=50逐

，所求四邊形的周長為50+50^/5

課后追蹤

1.①若要求貨站到工、3兩個(gè)開發(fā)區(qū)的距離相等，那么貨站應(yīng)建在哪里?

②若要求貨站到/、8兩個(gè)開發(fā)區(qū)的距離和最小，那么貨站應(yīng)建在哪里？如圖(2)建立平面直角坐標(biāo)系,

若已知/(0,2)、B(4,3),請(qǐng)求出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).

八

BB

A

M

M0

圖⑴圖⑵

【解析】

(1)要使貨站到工、3兩個(gè)開發(fā)區(qū)的距離相等，可連接/臺(tái)，線段/臺(tái)的中垂線與龍w的交點(diǎn)即為貨站的

位置，N8的垂直平分線與"N的交點(diǎn)上.

(2)由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以過點(diǎn)/作"關(guān)于九W對(duì)稱，連接8R,與的交點(diǎn)即為貨站的位置,

作N點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)加，連接84交于點(diǎn)尸，P為所求點(diǎn)，P(1.6,0).

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2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線產(chǎn)一2x+4分別與x軸、了軸交于/(a,0)、B(0,b)兩點(diǎn).

(1)填空：a=,b=；

(2)點(diǎn)尸是直線上的點(diǎn)，P到x軸、丁軸的距離分別為4、d2.

①當(dāng)",+j=3時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②若在線段4B上存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)尸，使4+左小=4"為常數(shù))，求人的值；

(3)在第一象限內(nèi)存在點(diǎn)C,使得A/BC是等腰直角三角形，直接寫出所有點(diǎn)C