類比專題之平面幾何與立體幾何-滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教案（教育機(jī)構(gòu)專用）

滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年度高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)類比專題之類比與轉(zhuǎn)化②------平面幾何與立體幾何類比課前引入將空間問題轉(zhuǎn)化為熟知的平面問題是研究立體幾何問題最重要的數(shù)學(xué)方法之一。如線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為三角形全等的平面幾何問題；教材中的幾種多面體和旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式的推導(dǎo)（除球面和球冠外）、側(cè)面上最短線問題都是通過側(cè)面展開轉(zhuǎn)化為平面幾何問題；旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)問題不也是轉(zhuǎn)化為關(guān)于軸截面的平面幾何問題嗎？其實(shí)，立體幾何中的三種角（線線角、線面角、二面角）和四種距離（線線距、點(diǎn)面距、線面距、面面距）從定義到具體的計(jì)算以及三垂線定理都體現(xiàn)了空間到平面的轉(zhuǎn)化。教學(xué)目標(biāo)1、掌握平面幾何和立體幾何的類比關(guān)系；2、利用類比原則解題知識(shí)梳理平面內(nèi)的一般三角形與空間中的四面體性質(zhì)類比注意點(diǎn)：這些知識(shí)要根據(jù)學(xué)生的情況給到，進(jìn)行適當(dāng)刪減，不能全部給到學(xué)生，否則時(shí)間不夠。三角形四面體三角形兩邊之和大于第三邊.四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積．三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)且該點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心.四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)，且該點(diǎn)是四面體內(nèi)切球的球心．三角形任意兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.四面體任意三條棱的中點(diǎn)連成的三角形的面積等于第四個(gè)面面積的,且該三角形所在平面平行于第四個(gè)面.三角形的任何一條邊上的中線將三角形分成面積相等的兩部分.四面體的任何一個(gè)三角形面上的一條中線和這個(gè)三角形所在平面外一頂點(diǎn)所確定的平面將這個(gè)四面體分成體積相等的兩部分．三角形的三條中線交于一點(diǎn)，且三角形的每一條中線被該點(diǎn)分成的兩段的比為2：1.將四面體的每一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)面的重心相連接，所得四條線段交于一點(diǎn)，且其中每一條線段被交點(diǎn)分成的兩段的比都是3：1在ΔABC中，的平分線交BC于D，則；在四面體ABCD中，二面角C-AB-D的平分面交棱CD于點(diǎn)E，則，；在ΔABC中，（正弦定理）在四面體ABCD中，棱AB與面ACD、BCD的夾角分別，，則設(shè)ΔABC的三邊長(zhǎng)分別為、、，ΔABC的面積為，內(nèi)切圓半徑為，外接圓半徑為，則（1）（2）四面體S—ABCD的四個(gè)側(cè)面的面積分別為，，，，內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則（1）（2）典例精講平面幾何和立體幾何之間常見的類比關(guān)系（一）“直線”類比為“__平面___”，“角”類比為“___二面角_____”，“角的兩邊”類比為“____構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面____________”等．（★）例1、（★）對(duì)于平面幾何中的命題：“如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．”在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題：“___如果兩個(gè)二面角的平面分別對(duì)應(yīng)垂直，則這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)_______________________．”其真假性是___真______．變式練習(xí)、（★）我們所熟悉的從平面幾何定理到立體幾何定理還有不少類比的實(shí)例，例如：(1)平幾：平行于同一直線的兩直線平行；立幾：平行于同一平面的兩平面平行．(2)平幾：垂直于同一直線的兩直線平行；立幾：垂直于同一平面的兩直線平行；垂直于同一直線的兩平面平行．(3)平幾：如果一條直線垂直于兩平行直線中的一條直線，那么它也和另一條直線垂直；立幾：如果一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，那么它也和另一個(gè)平面垂直；(4)平幾：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；立幾：如果一個(gè)二面角的兩個(gè)面與另一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別平行，那么這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)．注意：這部分內(nèi)容主要是讓學(xué)生能理解平面幾何和立體幾何的對(duì)應(yīng)規(guī)則，對(duì)于程度較好的學(xué)生可以適當(dāng)刪減。(二)三角形類比到_空間四面體_______________例2（★）平面幾何中，有結(jié)論：“正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值，且定值等于該正三角形邊長(zhǎng)的_______倍”．類比這一結(jié)論，將其拓展到空間，可得到結(jié)論：_正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值，且定值為正四面體邊長(zhǎng)的_____________________倍__________________________________．注意：讓學(xué)生先明白在正三角形中此結(jié)論是通過面積的割補(bǔ)得到的，類比在四面體中就是通過體積的割補(bǔ)得到的。變式練習(xí)（★★）已知是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，高，求（1）異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（2）四面體的體積.解析：(1)(2)注意：對(duì)于第二問中，一定要給學(xué)生提到正難則反的轉(zhuǎn)化思路，通過割補(bǔ)法求體積，并且可以用同樣的方法求出正四面體的體積（三）矩形類比到___長(zhǎng)方體_______圓類比到_____球______例4（★★）矩形ABCD的對(duì)角線AC與邊AB和AD所成的角分別為，則，把它類比推廣到長(zhǎng)方體中，試寫出一個(gè)相應(yīng)的真命題：__長(zhǎng)方體中體對(duì)角線和想交的三條棱所成的角分別為，則____________________________________.例5（★★）若一個(gè)底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則此球的體積為．解析：注意：利用矩形的外接圓圓心為矩形的中心，類比得到長(zhǎng)方體的外接球球心為長(zhǎng)方體中心變式練習(xí)1：（★★）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為．答案變式練習(xí)2：（★★）一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1cm，那么該棱柱的表面積為cm2.答案B1OD1A1C1ABCD鞏固練習(xí)（可選）．若多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,則稱這個(gè)多面體內(nèi)接于球.如圖長(zhǎng)方體B1OD1A1C1ABCD距離為___________.解析：注意：球面距離考綱中文理科都要求，