河北省邯鄲市大名縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二（A）組上學(xué)期第三次周測數(shù)學(xué)試題

圓錐曲線綜合應(yīng)用周測（第十周）題號一二三四總分得分一、選擇題（本大題共8小題，共分）橢圓上到直線距離最近的點的坐標(biāo)是A. B. C. D.拋物線的焦點F是雙曲線的一個焦點，為拋物線上一點，直線AF與雙曲線有且只有一個交點，若，則該雙曲線的離心率為A. B. C.2 D.“”是“方程表示雙曲線”的A.充分必要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不必要也不充分條件已知點，是橢圓和雙曲線的公共焦點，，分別是和的離心率，點P為和的一個公共點，且，若，則的值是A. B. C. D.經(jīng)過作圓的弦AB，且P為AB的中點，則弦AB所在的直線方程為

A. B.

C. D.已知拋物線C：的焦點為F，若斜率為的直線l過點F，且與拋物線C交于A，B兩點，則線段AB的中點到準(zhǔn)線的距離為A. B. C. D.已知為橢圓的左、右焦點，點P在C上，，則等于A. B. C. D.雙曲線左、右焦點分別為、，雙曲線上的點P滿足，則

A.1 B.4 C.7 D.9二、不定項選擇題（本大題共1小題，共分）平面內(nèi)與兩定點，連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點的軌跡，連同，兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線，則以下四個結(jié)論中正確的有

A.當(dāng)時，曲線C是一個圓

B.當(dāng)時，曲線C的離心率為

C.當(dāng)時，曲線C的漸近線方程為

D.當(dāng)時，曲線C的焦點坐標(biāo)分別為和三、填空題（本大題共4小題，共分）過點且與圓相切的直線方程______．已知圓：與圓：相交于A，B兩點，則線段AB所在的直線方程為____________線段AB的中垂線方程為_______________．圓上有且僅有3個點到直線的距離為1，則此時直線被圓截得的弦長等于__________．已知拋物線的焦點為F，直線交C于A、B兩點，M是C的準(zhǔn)線上一點，且直線AM和BM的斜率之和為，則直線FM的斜率為

．四、解答題（本大題共2小題，共分）已知橢圓的半長軸長為，且短軸長是長軸長的一半．

求橢圓的方程；

經(jīng)過點做直線l，交橢圓于A，B兩點．如果M恰好是線段AB的中點，求直線l的方程．

已知點，圓C：．

若直線l過點P且到圓心C的距離為2，求直線l的方程；

設(shè)過點的直線m與圓C交于A、B兩點的斜率為負(fù)，當(dāng)時，求以線段AB為直徑的圓的方程．

圓錐曲線綜合應(yīng)用答案和解析【答案】1.A 2.C 3.C 4.D 5.C 6.A 7.D

8.B 9.ABD 10.

11.；

12.

13.

14.解：根據(jù)題意，橢圓的半長軸長為4，且短軸長是長軸長的一半．

即，

，則，

故橢圓的方程為：；

由得故橢圓的方程為：，

若直線斜率不存在，即l為：，顯然不滿足題意；

故設(shè)直線l的方程為：，

將直線代入橢圓方程，得，，

設(shè)，則，

恰好是線段AB的中點，

，，

解可得得，經(jīng)檢驗，滿足，

則直線l的方程為，即

．

15.解：圓心，設(shè)直線l：，即，

所以，解得：，所以直線l：

設(shè)直線m：，，即，

圓心到直線m的距離為：，

解得舍或，

直線m的方程為：，即．

設(shè)經(jīng)過直線m：與圓的交點A，B的圓系方程為：

，其圓心坐標(biāo)為，

依題意以AB為直徑的圓的圓心在直線m上，

，

解得，

所以以線段AB為直徑的圓的方程為：．

【解析】1.解：設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線l的方程為：，

由，化為

，化為，解得．

直線在橢圓的下方，故直線系中靠近的直線，

取，代入可得：，解得，．

故選：A．

設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線l的方程為：，與橢圓的方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程，令，進(jìn)而解出點的坐標(biāo)．

本題考查了直線與橢圓相切問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到，相互平行的直線之間的斜率公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．2.解：拋物線的焦點，即雙曲線的右焦點為，

雙曲線的漸近線方程分別為，，

拋物線的準(zhǔn)線方程為，

由為拋物線上一點，可得，且，

解得，，

即，由直線AF與雙曲線有且只有一個交點，可得直線AF與漸近線平行，

可得，

則雙曲線的離心率為．

故選：C．

求得拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，以及雙曲線的漸近線方程，由拋物線的定義可得A的坐標(biāo)，由直線AF與雙曲線有且只有一個交點，可得直線AF與漸近線平行，由兩直線平行的條件和離心率公式可得所求值．

本題考查拋物線和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運用，以及離心率的求法，化簡運算能力，屬于中檔題．3.解：若，，，則不能表示雙曲線，不是充分條件，

反之，若方程表示雙曲線，

則a，b異號，是必要條件，

故是方程表示雙曲線的必要不充分條件，

故選：C．

運用反例，特殊值，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷．

本題考查了充分必要條件的定義，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．4.解：設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，長半軸長為，實半軸長為，

即有，，

設(shè)P為第一象限的點，，，

由橢圓和雙曲線的定義可得，，

解得，，

由，可得，

即為，

即有，又，

．

故選：D．

設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，長半軸長為，實半軸長為，運用離心率公式和橢圓、雙曲線的定義，結(jié)合三角形的余弦定理，可得與的關(guān)系式，再由已知的值求得的值．

本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，主要是離心率，考查三角形的余弦定理的應(yīng)用，考查化簡運算能力，屬于中檔題．5.【分析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線的斜率，直線的點斜式方程．

由題知P為弦AB的中點，可得直線AB與過圓心和點P的直線垂直，可求AB的斜率，然后用點斜式求出AB的方程．

【解答】

解：由題意知圓的圓心為，

，由，得，所以弦AB所在直線的方程為，整理得．

故選C．6.解：拋物線C：，可得準(zhǔn)線方程為：，

過點且斜率的直線l：，

由題意可得：，可得，

直線l與拋物線C相交于A、B兩點，則線段AB的中點的橫坐標(biāo)為：，

則線段AB的中點到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為：．

故選：A．

求出拋物線的準(zhǔn)線方程，然后求解準(zhǔn)線方程，求出線段AB的中點的橫坐標(biāo)，然后求解即可．

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力．7.【分析】

本題主要考查了橢圓的定義的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的推理計算能力．

由橢圓定義可知，又，則可知，由題可知，則利用余弦定理可得．

【解答】

解：由橢圓定義可知，

又，則可知，

又即．

則．

故選D．8.【分析】

本題考查雙曲線的概念和余弦定理得應(yīng)用，在中根據(jù)余弦定理列出與的關(guān)系，再由雙曲線的概念得出結(jié)果，屬于較容易題．

【解答】

解：由雙曲線的定義可知，

設(shè)，，則，

由余弦定理可得，即，

，可得，

故選B．9.【分析】

本題考查了直線的斜率公式，圓的軌跡方程，橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

設(shè)動點為，求出直線、的斜率，并且求出它們的積，即可求出點M軌跡方程，根據(jù)題目所給條件逐一核對四個命題得答案．

【解答】

解：設(shè)動點為，

當(dāng)時，由條件可得，

即，

又，的坐標(biāo)滿足，

當(dāng)時，曲線C的方程為，

則C是圓心在原點的圓，故A正確；

當(dāng)時，曲線C的方程為，

則C是焦點在y軸上的橢圓，

又，離心率為，故B正確；

當(dāng)時，曲線C的方程為，

表示焦點在y軸上的雙曲線，

其漸近線方程為，故C錯誤；

當(dāng)時，曲線C的方程為，

表示焦點在y軸上的橢圓，

由，

可知焦點坐標(biāo)分別為和；

當(dāng)時，C是焦點在y軸上的雙曲線，

方程為，

由，

可知焦點坐標(biāo)分別為和，故D正確．

故選ABD．10.解：把點代入圓成立，

可知點是圓上的一點，

則過的圓的切線方程為．

故答案為．

點是圓上的一點，然后直接代入過圓上一點的切線方程為，得圓的切線方程．

本題考查圓的切線方程，過圓上一點的切線方程為，此題是基礎(chǔ)題．11.【分析】

第一空所求AB所在直線方程，實際是兩個圓相交的特殊情況，把兩圓方程作差即可求得結(jié)果；

第二空所求AB的中垂線方程經(jīng)過兩圓的圓心，由直線方程的截距式可求出AB的中垂線方程．

【解答】

解：圓：與圓：相減，即得公共弦AB所在的直線方程，

故AB所在的直線方程是：，即．

由上面圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知兩圓圓心坐標(biāo)為，，因為AB的中垂線方程經(jīng)過兩圓的圓心，

由直線方程的截距式得AB的中垂線方程為：，即

故答案為；．12.【分析】

此題考查了圓與直線的位置關(guān)系，圓心到直線的距離等于2，考查了圓的弦長公式．

求出圓心，求出半徑，圓心到直線的距離等于2，則可得即可得到答案．

【解答】

解：圓半徑為3，圓心到直線的距離等于2，

即圓上有且僅有3個點到直線的距離為1．

此時弦長為．

故答案為．13.略14.根據(jù)題意，由橢圓的幾何性質(zhì)分析可得a、b的值，將a、b的值代入橢圓方程即可得答案；

根據(jù)題意