2024年濟南歷下區(qū)九年級中考數學一?？荚囋囶}（含答案）

2024年九年級學業(yè)水平第一次模擬考試數學試題（2024.3）

考試時間120分鐘滿分150分

第1卷（選擇題共40分）

一.選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的）

1.2024的絕對值是（）

A?感B?一上C.2024D.-2024

2.如圖，是由5個完全相同的小正方體擺成的幾何體，則這個幾何體的俯視圖是（）

3.海水淡化是解決全球水資源危機的戰(zhàn)略手段,根據《海水淡化利用發(fā)展行動計劃（2021-2025

年）》，到2025年我國海水淡化總規(guī)模將達到2900000噸/日以上.數字2900000用科學

記數法表示為（）

A.0.29X107B.2.9X106C.29xl05D.290xl04

4.將直角三角板和直尺按照如圖位置擺放，若Nl=56。，則N2的度數是（）

A.26°B.28°C.30°D.36°

（第4題圖）（第6題圖）

5.我國民間建筑裝飾圖案中，蘊含著豐富的數學之美.下列圖案中既是軸對稱圖形又是中心

對稱圖形的是（）

7.有四張大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分別印有"前"、"程朋"、"鶴"四個漢字，

將這四張卡片背面朝上洗勻，甲隨機抽出一張并放回，洗勻后，乙再隨機抽出一張，則兩人

抽到漢字可以組成"墨朋"的概率是（）

A-1B-iD-8

8.某小區(qū)內的消防車道有一段彎道，如圖，彎道的內外邊緣均為圓弧，弧AB、弧CD所在圓

1

的圓心為點0,點C、D分別在OA和OB上.已知消防車道寬AC=4m,ZAOB=120°,則彎道

外邊緣AB的長與內邊緣CD的長的差為（）

9.如圖，在國ABC中，AB=AC,ZBAC=108°,分別以點A、C為圓心，以大于的長為半徑作

弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN分別BC和AC于點D、E,連接AD.以下結論不正

確的是（）

A.NBDA=72。B.BD=2AEC箸等O.CA-CD.CB

10.定義：函數圖象上到兩坐標軸的距離都不大于n（n20）的點叫做這個函數圖象的"n階方點",

例如，點（1,3）與點（$2）都是函數y=2x+l圖象的"3階方點若y關于x的二次函數

y=（x-n）2+n2-6的圖象存在"n階方點"，則n的取值范圍是（）

A.l<n<|B.|<n<2C.2<<3D.l<<3

第II卷（非選擇題共110分）

二.填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）

11.分解因式：xy-y2=.

12.若分式。有意義，則x的值可以是_____.（寫出一個即可）

X+1----------------

13.如圖，矩形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖，已知AB長為6,BC長為8,一小球

在矩形ABCD內自由地滾動,并隨機停留在某區(qū)域,它最終停留在黑色區(qū)域的概率為（結

果保留Q

14.如圖所示，在^ABC中，AB=AC=4,ZA=90°,以點A為圓心，以AB的長為半徑作弧BC,

以BC為直徑作半圓弧BFC,則陰影部分的面積為o

15.如圖，Rt團ABC中，ZABC=90°,AB=6cm,AC=10cm,點D為AC的中點，過點B作EB_L

BD,連接EC,若EB=EC,連接ED交BC于點F,則EF=cm。

16.如圖，已知矩形ABCD,AB=6,AD=8,點E為邊BC上一點，連接DE,以DE為一邊在與

點C的同側作正方形DEFG,連接AF.當點E在邊BC上運動時，AF的最小值是。

2

三.解答題（本大題共10個小題，共86分，請寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分6分）計算：|-2|-（^-2）°+（1）1-4tan45".

3(x+2)>x+4(l)

18.（本小題滿分6分）解不等式組:并寫出它的所有整數解.

19.（本小題滿分6分）在矩形ABCD中，AC與BD交于點O,BE±AC,CF±BD,垂足分別為

E和F.求證：BE=CF.

20.（本小題滿分8分）為增強同學們的環(huán)保意識，某校八年級舉辦"垃圾分類知識競賽"活動，

分為筆試和展演兩個階段。已知年級所有學生都參加了兩個階段的活動.首先將成績分為以

下六組（滿分100分，實際得分用x表示）：

A:70<x<75,B:75<x<80,C:80^x<85,D:85<x<90,E:90<x<95,F:95<x<100

隨機抽取n名學生，將他們兩個階段的成績均按以上六組進行整理，相關信息如下：

七試成績各組人數的扇形統(tǒng)計圖展演成績頻數分布我力圖

圖I

3

請根據以上信息，完成下列問題：

(1)在扇形統(tǒng)計圖中，"E組,'所對應的扇形的圓心角是;

(2)n=,并補全圖2中的頻數分布直方圖；

⑶在筆試階段中，n名學生成績的中位數是分；

(4)已知筆試和展演兩個階段的成績是按照2:3的權重計入總成績,總成績在91分以上的將獲

得"環(huán)保之星"稱號，以下為甲、乙兩位同學的成績，最終誰能獲得"環(huán)保之星"稱號？請通過

計算說明理由.

I?謨

21.(本小題滿分8分)數學興趣小組用所學的數學知識來解決實際問題，實踐報告如下:

二遮陽鷹前擋板的設計

?我們所在的社區(qū)服務中心在境外安裝了

遮陽建.結果發(fā)現亶日正午時納涼面枳

不夠，現在為使房前的納涼區(qū)域增加到

2.76m寬,計劃在遮陽道前端加裝一塊

前擋板(前擋板?宜于地面)，如圖1

何時背.現在要計算所需晌擋板的寬度8c的

景長.

我＜1實地測■了相關效據.并畫出了惻

商示意圈.如圖2.遮陽W4H長為4小

,其與墻面的夾角=70.M

“堵蛛離地高4。為3.5m通過直網責

14.了N到本地■日正午的太陽離度角

(太陽光線勺地面夾角/。尸￡：)一小為

測■數60.若何設此時胸前恰好有2.76〃1宙

據抽領的防影力廣,如陽3,求出口。的長即

懂型可.

4

經過討論，我10法仔按MUU下涉秦解決

U:

(1)運用所學的三角函敬的相關知識.

解決思

構造直角三角形，先求出遮陽逐前豌B

路

到墻面.4。的距離；

(2)繼續(xù)構造百角三角形,求出/。尸￡

為60時，BC的長度.

運籟過

該報告運算過程還沒有完成，請按照解決思路，幫助興趣小組完成該部分.(結果精確到

0.01m,參考數據：sin70°=0.940,cos70°=0.342,tan70°=2.747,73=1.732)

22.(本小題滿分8分)如圖，AB為。。的直徑，點D為。。上一點，點E是弧AD的中點,

連接BE和AE,過點A的切線與BE的延長線交于點C,弦BE、AD相交于點F.

(1)求證：ZADE=ZCAE;

(2)若NADE=30°,AE=V3,求BF的長.

23.(本小題滿分10分)"體育承載著國家強盛、民族振興的夢想，體育強則中國強，國運興

則體育興."為引導學生在體育鍛煉中享受樂趣、增強體質，學校開展大課間活動，七年級五

班擬組織學生參加跳繩活動，需購買A、B兩種跳繩若干，已知購買3根A種跳繩和1根B

種跳繩共需105元；購買5根A種跳繩和3根B種跳繩共需215元.

(1)求A、B兩種跳繩的單價；

(2)如果班級計劃購買A、B兩型跳繩共48根，B型跳繩個數不少于A型跳繩個數的2倍，那

么購買跳繩所需最少費用是多少元？

5

24.(本小題滿分10分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，^ABC的頂點B、C在x軸上，頂

點A在y軸上，AB=AC.反比例函數y/(x>0)的圖象與邊AC交于點E(l,4)和點F(2,n).點

X

M為邊AB上的動點，過點M作直線MN〃x軸，與反比例函數的圖象交于點N.連接OE、

OF,OM和ON.

(1)求反比例函數的表達式和點A的坐標；

⑵求團OEF的面積；

⑶求回OMN面積的最大值.

25.(本小題滿分12分)

【問題情境】

如圖1,在四邊形ABCD中，AD=DC=4cm,ZADC=60°,AB=BC,點E是線段AB上一動

點，連接DE.將線段DE繞點D逆時針旋轉30。，且長度變?yōu)樵瓉淼膍倍，得到線段DF,作

直線CF交直線AB于點H.數學興趣小組著手研究m為何值時，HF+mBE的值是定值.

【探究實踐】

老師引導同學們可以先通過邊、角的特殊化，發(fā)現m的取值與HF+mBE為定值的關系,

再探究圖1中的問題，這體現了從特殊到一般的數學思想。

經過思考和討論，小明、小華分享了自己的發(fā)現.

⑴如圖2,小明發(fā)現："當NDAB=90°,m=叫時，點H與點A恰好重合，HF+qBE的值是定

值".小華給出了解題思路,連接BD,易證團DEBs^DFC,得到CF與BE的數量關系是,

HF+yBE的值是.

(2)如圖3,小華發(fā)現："當AD=AB,m=f時，HF+亨BE的值是定值"。請判斷小明的結論是否

正確，若正確，請求出此定值，若不正確，請說明理由.

【拓展應用】

(3)如圖1,小聰對比小明和小華的發(fā)現，經過進一步思考發(fā)現：連接DB,只要確定AB的

長，就能求出m的值，使得HF+mBE的值是定值，老師肯定了小聰結論的準確性，若AB=b，

6

請直接寫出m的值及HF+mBE的定值.

笫25眼圖3備用用

26.(本小題滿分12分)在平面直角坐標系xOy中，直線ygx+l與y軸交于點A,與x軸交

于點B,拋物線M:y=ax2+bx+c經過點A,且頂點在直線AB上.

(1)如圖，當拋物線的頂點在點B時，求拋物線M的表達式；

(2)在(1)的條件下，拋物線M上是否存在點C,滿足NABC=NABO.若存在，求點C的坐

標；若不存在，請說明理由；

⑶定義拋物線N:y=bx2+ax+c為拋物線M的換系拋物線，點P(t,p),點Q(t+3,q)在拋物線

N上，若對于24t43,都有p<q<l,求a的取值范圍.

答案

選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的）

1.2024的絕對值是（C）

1

B?一/C.2024D.-2024

2024

2.如圖，是由5個完全相同的小正方體擺成的幾何體，則這個幾何體的俯視圖是（D）

3.海水淡化是解決全球水資源危機的戰(zhàn)略手段,根據《海水淡化利用發(fā)展行動計劃（2021-2025

年）》，到2025年我國海水淡化總規(guī)模將達到2900000噸/日以上.數字2900000用科學

記數法表示為（B）

A.0.29X107B.2.9X106C.29xl05D.290xl04

4.將直角三角板和直尺按照如圖位置擺放，若Nl=56。，則N2的度數是（A）

A.26°B.28°C.30°D.36°

（第4題圖）（第6題圖）

5.我國民間建筑裝飾圖案中,蘊含著豐富的數學之美.下列圖案中既是軸對稱圖形又是中心

對稱圖形的是（C）

7.有四張大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分別印有"前"、"程朋"、"鵡"四個漢字，

將這四張卡片背面朝上洗勻，甲隨機抽出一張并放回，洗勻后，乙再隨機抽出一張，則兩人

抽到漢字可以組成"墨朋"的概率是（B）

8.某小區(qū)內的消防車道有一段彎道，如圖，彎道的內外邊緣均為圓弧，弧AB、弧CD所在圓

的圓心為點O,點C、D分別在OA和OB上.已知消防車道寬AC=4m,ZAOB=120°,則彎道

外邊緣AB的長與內邊緣CD的長的差為（B）

,47r_87rc167r-327r

A.—mB.—mC.—mD.——m

3333

8

A

M

（第8題圖）（第9題圖）

9.如圖，在回ABC中,AB=AC,ZBAC=108°,分別以點A、C為圓心，以大于［AC的長為半徑作

弧，兩弧相交于M、N兩點,作直線MN分別BC和AC于點D、E,連接AD.以下結論不正

確的是（C）

A.ZBDA=72°B.BD=2AEC.—D.CA2=CD?CB

CB2

10.定義：函數圖象上到兩坐標軸的距離都不大于n（n20）的點叫做這個函數圖象的"n階方點",

例如，點（1,3）與點（%2）都是函數y=2x+l圖象的"3階方點若y關于x的二次函數

y=（x-n）2+n2-6的圖象存在"n階方點"，則n的取值范圍是（D）

A.l<n<|B.|<n<2C.2<<3D.l<<3

第II卷（非選擇題共110分）

二.填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）

11.分解因式：xy-y2=y（x—y）.

12.若分式。有意義，則x的值可以是0.（寫出一個即可）

%+1

13.如圖，矩形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖，已知AB長為6,BC長為8,一小球

在矩形ABCD內自由地滾動，并隨機停留在某區(qū)域，它最終停留在黑色區(qū)域的概率為二

（結果保留n）

（第13題圖）（第14題圖）

14.如圖所示，在AABC中，AB=AC=4,ZA=90°,以點A為圓心，以AB的長為半徑作弧BC,

以BC為直徑作半圓弧BFC,則陰影部分的面積為8。

15.如圖，Rt回ABC中,ZABC=90°,AB=6cm,AC=10cm,點D為AC的中點，過點B作EB_L

BD,連接EC,若EB=EC,連接ED交BC于點F,則EF=.cm。

16.如圖，已知矩形ABCD,AB=6,AD=8,點E為邊BC上一點，連接DE,以DE為一邊在與

點C的同側作正方形DEFG,連接AF.當點E在邊BC上運動時,AF的最小值是10立

三.解答題（本大題共10個小題，共86分，請寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

9

17.（本小題滿分6分）計算：|-2'（八2）。+（9工4tan45。.

=2—1+3—4

3(x+2)>*+40

18.（本小題滿分6分）解不等式組:并寫出它的所有整數解.

白亨②‘

解：解不等式①，得x>-l

解不等式②，得x<3

，原不等式組的解集是-l<x<3

，它的所有整數解有：0,1,2

19.（本小題滿分6分）在矩形ABCD中,AC與BD交于點O,BE±AC,CF±BD,垂足分別為

E和F.求證:BE=CF.

證明：?.?四邊形ABCD是菱形

.?.AB=AD,ZB=ZD

又?.?AE_LBC于點E,AF_LCD于點F

/.ZAEB=ZAFD=90°

在AABE與AADF中

[/B=ND

]ZAEB=ZAFD

(ABAD

.?.AABE^AADF(AAS)

.\AE=AF

20.（本小題滿分8分）為增強同學們的環(huán)保意識，某校八年級舉辦"垃圾分類知識競賽"活動，

分為筆試和展演兩個階段。已知年級所有學生都參加了兩個階段的活動.首先將成績分為以

下六組（滿分100分，實際得分用x表示）：

A:70<x<75,B:75<x<80,C:80Wx<85,D:85<x<90,E:90<x<95,F:95<x<100

隨機抽取n名學生，將他們兩個階段的成績均按以上六組進行整理，相關信息如下：

10

筆試成績各組人數的扇形統(tǒng)計圖展演成績領數分布自力圖

請根據以上信息，完成下列問題：

(1)在扇形統(tǒng)計圖中，"E組,'所對應的扇形的圓心角是;

(2)n=,并補全圖2中的頻數分布直方圖；

⑶在筆試階段中，n名學生成績的中位數是分；

(4)已知筆試和展演兩個階段的成績是按照2:3的權重計入總成績,總成績在91分以上的將獲

得"環(huán)保之星"稱號，以下為甲、乙兩位同學的成績，最終誰能獲得"環(huán)保之星"稱號？請通過

計算說明理由.

解：(1)20；54"

⑵略

(3)85.5

(4)甲：92X—+89X—=90.201

''2+32+3

73

乙:90X——+95X—=93<91

2+32+3

，乙將獲得"環(huán)保之星"稱號

21.(本小題滿分8分)數學興趣小組用所學的數學知識來解決實際問題，實踐報告如下:

活動課

遮陽超前擋幅的設計

U

牌們所在的社區(qū)服務中心在境外安裝了

忸陽結票發(fā)現?日正午時納涼面積

忖夠，現在為使房前的納深區(qū)域增加到

E2.76m?.計劃在遮陽蹲前道加裝一快

?擋板(前擋板里亙于地面).如圖1

問*醵癡k.現在要計算所㈱前冷板的富序3C的

?—

11

我們實地測■了相關數18.井匐出了的

面示?圖.如陽2,遮陽MA/7長為4，，i

,其與墻面的夾角，BAD=7。.?

靠墻穌肉地高4，)為3.5，n通過查閱責

料.了蟠到本地■日正午的太陽?度角

(太陽光線與地面夾角，。尸E)?小為

測事數60"若假設此時房前恰好有2.76，“寬

誑抽象的陰影￡?尸.如而3.求出/”?的長即

幅型可.

經過討論，我們準備按照如下步》1解決

問II：

(1)運用所學的三角函數的相關知識.

解決思

構造亶魯三魯形，先求出遮陽

路

到墻面的距禽；

(2)繼續(xù)構造直角三角形,求出NCFE

為60時,BC的長度，

運籟過

程

該報告運算過程還沒有完成，請按照解決思路，幫助興趣小組完成該部分.(結果精確到

0.01m,參考數據：sin70o=0.940,cos70°=0.342,tan70°=2.747,73=1.732)

解：(1)如圖，作BM_LAD于M

VAB=4m,ZBAD=70°

.?.在RtaBAM中，sinZBAM=—=—

AB4

:.BM=sin70°X4=0.940X4=3.76m

答：遮陽篷前端B到墻面AD的距離約為3.76m

(2)解：如圖3,作BMLAD于M,CH_LAD于H,延長BC交DE于K,則BK_LDE

，四邊形BMIIC,四邊形HDKC是矩形，

由(1)得BM=3.76m

DK=HC=BM=3.76m

在RtZkABM中，cosZBAM=—=—

AB4

/.AM=cos70°x3=0.342x4=1.368m

由題意得:DF=2.76m

/.FK=DK-DF=3.76-2.76=lm

在RtACFK中，tanNCFK="=空

FK2

12

.?.CK=lxtan60°~lxl.732=1.732m

.\BC=AD-AM-CK=3.5-1.368-1.732=0.40m

答:擋沿部分BC的長約為0.40m.

22.(本小題滿分8分)如圖，AB為。。的直徑，點D為。。上一點，點E是弧AD的中點,

連接BE和AE,過點A的切線與BE的延長線交于點C,弦BE、AD相交于點F.

(1)求證：ZADE=ZCAE;

(2)若NADE=30。，AE=V3,求BF的長.

解：⑴丁AC與回。相切于點A

.\AB±AC

.\ZBAE+ZCAE=90°

VAB是直徑

回NAEB=90°

.\ZBAE+ZABE=90°

團NABE=NCAE

VMAE=MAE

團NABE=NADE

團NCAE=NADE

(2)：E是弧AD的中點

.\AE=DE

回NDAE=NADE=30°

VZAEB=90°

團NAFE=60°

在RtaAEF中，AE=V3

.*.AF=2

VZABE=ZADE=30°

AZBAF=60°-ZABE=30°

回NBAF=NABE

.\BF=AF=2

23.(本小題滿分10分)"體育承載著國家強盛、民族振興的夢想，體育強則中國強，國運興

則體育興."為引導學生在體育鍛煉中享受樂趣、增強體質，學校開展大課間活動，七年級五

班擬組織學生參加跳繩活動，需購買A、B兩種跳繩若干，已知購買3根A種跳繩和1根B

種跳繩共需105元；購買5根A種跳繩和3根B種跳繩共需215元.

(1)求A、B兩種跳繩的單價；

13

⑵如果班級計劃購買A、B兩型跳繩共48根，B型跳繩個數不少于A型跳繩個數的2倍，那

么購買跳繩所需最少費用是多少元？

解：⑴設A種跳繩的單價為a元，B種跳繩的單價為b元

由題意可得比北上雅解得｛■嘉

答：A種跳繩的單價為25元，B種跳繩的單價為30元

⑵解：設購買A型跳繩m根

?.?班級計劃購買A、B兩型跳繩共48根

，購買B型跳繩(48-m)根.

根據題意得：48-m>2m

解得：m<16.

設購買跳繩所需費用為w元，

則w=25m+30(48-m)

即w=-5m+1440

V-5<0

隨m的增大而減小

.?.當m=16時，w取得最小值，最小值=-5x16+1440=1360.

答：購買跳繩所需最少費用是1360元.

24.(本小題滿分10分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，^ABC的頂點B、C在x軸上，頂

點A在y軸上，AB=AC.反比例函數y=：(x>0)的圖象與邊AC交于點E(l,4)和點R2,n).點

M為邊AB上的動點，過點M作直線MN〃x軸，與反比例函數的圖象交于點N.連接OE、

OF,OM和ON.

(1)求反比例函數的表達式和點A的坐標；

⑵求回OEF的面積；

⑶求團OMN面積的最大值.

解：(1)將點E(l,4)代入反比例函數y=［可得k=4..

將F(2,n)代入y=：可得n=2

設直線AC的表達式為y=kx+b,將E(l,4),F(2,2)代入，可得k=-2,b=6

14

AA的坐標為(0,6)

⑵如圖，作EH_Lx軸于H,FGLx軸于G,易得SAEOH=S/OG=2

ccc(FG+EH)HG

5AEOF=5AEOF+5AFOG-SAEOW=5梯形FGHE=---------------------

VEH=4,FG=2,HG=OG-OH=1

SaoEF=3

(3)[

4

25.(本小題滿分12分)

【問題情境】

如圖1,在四邊形ABCD中，AD=DC=4cm,ZADC=60°,AB=BC,點E是線段AB上一動

點,連接DE.將線段DE繞點D逆時針旋轉30。，且長度變?yōu)樵瓉淼膍倍，得到線段DF,作

直線CF交直線AB于點H.數學興趣小組著手研究m為何值時，HF+mBE的值是定值.

【探究實踐】

老師引導同學們可以先通過邊、角的特殊化，發(fā)現m的取值與HF+mBE為定值的關系,

再探究圖1中的問題，這體現了從特殊到一般的數學思想。

經過思考和討論，小明、小華分享了自己的發(fā)現.

⑴如圖2,小明發(fā)現："當NDAB=90°,m邛時，點H與點A恰好重合，HF+苧BE的值是定

值".小華給出了解題思路,連接BD,易證回DEBs^DFC,得到CF與BE的數量關系是,

HF+yBE的值是.

⑵如圖3,小華發(fā)現："當AD=AB,m4時，HF+qBE的值是定值"。請判斷小明的結論是否

正確，若正確，請求出此定值，若不正確，請說明理由.

［拓展應用］

(3)如圖1,小聰對比小明和小華的發(fā)現，經過進一步思考發(fā)現：連接DB,只要確定AB的

長，就能求出m