2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 橢圓 高頻考點(diǎn)+精講（解析版）（藝考生基礎(chǔ)版）

第05講橢因（精講）

目錄

第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶

第二部分：典型例題剖析

題型一：橢圓定義的應(yīng)用

角度L利用橢圓定義求軌跡方程

角度2：利用橢圓定義解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題

角度3：利用橢圓定義求最值

題型二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

題型三：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

角度1：橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距

角度2：求橢圓的離心率

角度3：與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題

第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶

知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義

平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)尸到兩個(gè)定點(diǎn)K、工的距離之和等于常數(shù)（I。片\+\PF2|=2a>閨局），

這個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的

軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)（耳，工）叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離（1與心1）叫作橢圓的

焦距.

說(shuō)明：

若（卜耳卜閨聞），尸的軌跡為線段與工；

\+\PF2

若（處［|<|片工|）,尸的軌跡無(wú)圖形

\+\PF2

定義的集合語(yǔ)言表述

集合P={P|S+pE=2a>閨用}.

第1頁(yè)共27頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上

標(biāo)準(zhǔn)方程2222

=+==1(a>Z>>0)二+1=1(a>Z>>0)

a2b2a2b2

圖象J

B2

XF,5

Bi

焦點(diǎn)坐標(biāo)耳(-C,O),F(C,0)￡(0,—c),g(0,c)

21

反c的a1=b2+c2

關(guān)系

范圍-a<x<a,-b<y<b-b<x<b,-a<y<a

頂點(diǎn)A(—a,O),4(a,0),4（o,—。）4（o,。）

用(0,-6),B2(Q,b)6（--o）與s,o）

軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)=2b,長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2〃

焦點(diǎn)(+c,O)(0,+c)

焦距H=2c

對(duì)稱性對(duì)稱軸：》軸、y軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)

離心率e，,ee(0,l)

a

第2頁(yè)共27頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)三：常用結(jié)論

2222

1、與橢圓t+'=i（。＞人＞。）共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為：T—+F—=i

aba+mb+m

(m>-/?2)

222X2

2、有相同離心率:二+==左（左＞0,焦點(diǎn)在X軸上）或斗+=k（左＞0,焦點(diǎn)

aba

在X軸上）

22

3、橢圓j+==1的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：

/b"

(1)\PF]+\PF2\=2a；

22

(2)\BFY\=\BF2\=af|07^|=c,\^3\=\A^B\=yja+b；

(3)耳|=|&閱=々_。，,閶=|&耳|=々+。,a-c<\PF^<a+c-

2b2

(4)橢圓通經(jīng)長(zhǎng)二二

a

第二部分：典型例題剖析

題型一：橢圓定義的應(yīng)用

角度1:利用橢圓定義求軌跡方程

典型例題

例題1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知A5C的周長(zhǎng)為20,且頂點(diǎn)B（0,-4）,C（0,4）,

則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（）

22222222

A.=1(X0)B.-----F=l(xw0)C./女=1("0)D.7為=1

36202036

【答案】B

【詳解】錯(cuò)解：

???A4BC的周長(zhǎng)為20,頂點(diǎn)B（0,-4）,C（0,4）,

|BC|=8,|AB|+|AC|=20-8=12,

12＞8,

二點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，

二點(diǎn)A的軌跡是橢圓，

a=6,c=4,

第3頁(yè)共27頁(yè)

b2=20,

，橢圓的方程是片+￡=1

2036

故選：D.

錯(cuò)因：

忽略了A、B、C三點(diǎn)不共線這一隱含條件.

正解：

???&ABC的周長(zhǎng)為20,頂點(diǎn)8(0,T),C(0,4),

|BC|=8,|AB|+|AC|=20-8=12,

,,,12>8,

..?點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，

二點(diǎn)A的軌跡是橢圓，

a=6,c=4,

b2=20,

22

/.橢圓的方程是工+匕=l(xw0)

2036

故選：B.

例題2.(2022?全國(guó)?高二專題練習(xí))動(dòng)點(diǎn)尸到兩定點(diǎn)耳(T,0),乙(4,0)的距離和是10,

則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為()

A.橢圓B.雙曲線C.線段耳月D.不能確定

【答案】A

【詳解】由題意可得|四|+|尸圖=1°>8=由閶，根據(jù)橢圓定義可得，P點(diǎn)的軌跡為橢圓，

故選：A

例題3.(2022?四川?雙流中學(xué)高二期中(理))已知平面上動(dòng)點(diǎn)？到兩個(gè)定點(diǎn)(1,0)和(-L。)

的距離之和等于4,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

2

尤2v

【答案】—+^=1

43

【詳解】平面上動(dòng)點(diǎn)尸到兩個(gè)定點(diǎn)(1,0)和(-1,0)的距離之和等于4,

滿足橢圓的定義，可得c=l，。=2,則人=石，

22

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：工+匕=1,

43

r22

故答案為：土+二v=1.

43

同類題型歸類練

第4頁(yè)共27頁(yè)

1.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)定點(diǎn)匕，死的距離是6,動(dòng)點(diǎn)尸到這兩個(gè)定點(diǎn)的

距離之和是6,那么動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是什么？

【答案】線段耳鳥(niǎo).

【詳解】因耳，居是兩個(gè)定點(diǎn)，且，工1=6,而IPGI+IP與|=6,^\PFl\+\PF2\=\FlF2\,

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段耳區(qū).

2.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知仇0）是圓A：（x-G『+y2=]6內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)c是

圓A上任意一點(diǎn)，線段BC的垂直平分線與AC相交于點(diǎn)D則動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程為

【答案】—+

4

【詳解】連接8。，由題意，忸q=|8|,則忸￡>|+|D4|=|CD|+|D4|=4>2G=|AB|,

由橢圓的定義可得動(dòng)點(diǎn)。的軌跡為橢圓，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為卜6,。），長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,

故短半軸長(zhǎng)為L(zhǎng)故軌跡方程為：—+/=1.

角度2：利用橢圓定義解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題

典型例題

22

例題1.（2022?山西呂梁?高二期中）設(shè)用月為橢圓土+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，直線過(guò)匕交

167

橢圓于A,B兩點(diǎn),貝!1AP/的周長(zhǎng)是（）

A.8B.16C.2幣D.4幣

【答案】B

第5頁(yè)共27頁(yè)

22

【詳解】橢圓土+匕=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=8

167

由橢圓的定義可知|砍|+|然卜2。=8,忸周+忸閶=2a=8,

則一A入3的周長(zhǎng)為|AE|+|AM|+忸周+忸周=16,

故選：B.

22

例題2.（2022?浙江?元濟(jì)高級(jí)中學(xué)高二期中）已知橢圓C：上+2=1（0＜6＜2）的左、

4b

右焦點(diǎn)分別為耳，若斜率為1,且過(guò)點(diǎn)F?的直線/交橢圓C于尸，。兩點(diǎn)，則△尸。月的

周長(zhǎng)為（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

22

【詳解】由橢圓C：\+方=1（0＜人＜2）可得〃=2,

因?yàn)槭?。在橢圓上，根據(jù)橢圓的定義可得|尸耳|+|尸耳仁|。耳|+|。月序2a=4,

所以△尸。耳的周長(zhǎng)為|尸國(guó)+|。耳|+|。尸|=|丹；|+|。耳|+|「即+|。周=4〃=8,

故選：C

22

例題3.（2022?江蘇?高二專題練習(xí)）已知G，B分別為橢圓上+匕=1的左，右焦點(diǎn)，A

169

為上頂點(diǎn)，則A片瓦的面積為（）

A.6B.15C.6A/7D.3近

【答案】D

22

【詳解】由橢圓方程言+合=1得A（O,3）,片卜甘,0）,凡（夕,0）,.?.座|=2萬(wàn).

???SMM=；山丹?|%=；x2Sx3=3夕.

故選：D.

22

例題4.（2022?黑龍江?高二期中）已知橢圓6宗+營(yíng)=1（。＞6＞。）的左、右焦點(diǎn)分別

為月，尸2，尸為C上一點(diǎn)，，若△片尸耳的面積為36，則C的短袖長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【詳解】由橢圓的定義知附|+|沙|=2匹所以|尸耳『+|叫「+2|尸耳卜|「周=4/,

又|P周2+\PF2f一2戶/訃戶用cos4；Pg=忸用「，即\pF^+\PF^一|尸￡卜|尸閭=402,

第6頁(yè)共27頁(yè)

兩式相減，得|尸團(tuán).|尸詞=畫(huà)”="，，因?yàn)椤骷桌锏拿娣e為3百，

即fP/|P周sing=34，所以逆=3?,解得b=3,所以短軸長(zhǎng)為6.

233

故選:D.

同類題型歸類練

1.（2022?遼寧沈陽(yáng)?高二期中）橢圓"的左、右焦點(diǎn)分別為4（-3,0）,6（3,0）,過(guò)點(diǎn)片的

直線交橢圓M于點(diǎn)4A若△AB耳的周長(zhǎng)為20,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】B

【詳解】因?yàn)椤鰽8&的周長(zhǎng)為20,由橢圓定義可知：4a=20,即a=5,

又因?yàn)閏=3,所以加=42-02=52-32=16，

所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+1=1.

2516

故選：B.

22

2.（2022?福建?莆田第四中學(xué)高二期中）設(shè)可,工分別是橢圓C:工+匕=1的左、右焦點(diǎn),

2516

P是C上的點(diǎn)，則△尸￡居的周長(zhǎng)為.

【答案】16

【詳解】解：由橢圓C:二+上=1,

2516

得a=5,Z?=4,c=3,

因?yàn)镻是C上的點(diǎn)，所以|尸耳|+|尸耳|=2a=10,

所以的周長(zhǎng)為|尸盟+歸局+寓閶=16.

故答案為：16.

3.（2022?四川?遂寧中學(xué)高二階段練習(xí)（理））己知尸2是橢圓三+/=1的兩個(gè)焦點(diǎn),

4

點(diǎn)尸在橢圓上，軸，貝人尸片工的面積為.

【答案】—##^73

22

【詳解】由題意不妨設(shè)「（-6,0）,4（6,0）,

?「2尸2心軸，二尸（6，±g），

第7頁(yè)共27頁(yè)

△尸々鳥(niǎo)的面積=；|尸居||々居1=Jx；x2石=1,

ZZZ9

故答案為：息.

點(diǎn)M是橢圓上一點(diǎn)，SL\MF\-\MF^=2,則的面積是.

【答案】4

【詳解】由橢圓的定義可知，|岬|+|昨|=6,

又|西-皿=2,

MF\+MF=6MF.=4

聯(lián)立兩式{2可得

MF\-MF2=2MF2=2

又巧罵|=2百,

2

所以周+|崢「=閨圖2,

所以△月耳知是以|崢吟|為直角邊的直角三角形，

所以△片用W的面積為小叫卜阿國(guó)=94、2=4.

故答案為：4.

22

5.(2022,全國(guó)?高二單元測(cè)試)已知小招是橢圓C:/方=l(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P

為橢圓C上一點(diǎn)，且明工尸耳.若△尸片耳的面積為9,求實(shí)數(shù)6的值.

【答案】6=3

【詳解】因?yàn)镻耳」尸招，所以/月尸&=90。,

所以△片尸鳥(niǎo)為直角三角形，

第8頁(yè)共27頁(yè)

|W『+|%|2=（2c）2,］尸制+|%|=2a,

歸父+儼用2=（歸川+1尸居/一2|尸/訃|尸司，

即（2c）2=（2a）2-4xg|P￡HP周，

S△耳pg，咫H%=9，

所以4c2=4/—4x9=0,所以4〃2=4X9.所以人=3；

綜上，b=3.

角度3：利用橢圓定義求最值

典型例題

例題1.（2022?重慶八中模擬預(yù)測(cè)）已知片，外分別為橢圓C：X+V=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P

4

為橢圓上一點(diǎn)，則|必|-歸國(guó)的最大值為（）

A.2B.2AC.4D.4A/3

【答案】B

【詳解】橢圓上的點(diǎn)尸滿足戶國(guó)-盧用〈閨周，

當(dāng)點(diǎn)尸為每耳的延長(zhǎng)線與C的交點(diǎn)時(shí)，

「周一歸可達(dá)到最大值，最大值為由閭=26.

故選：B

22

例題2.（多選）（2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試）已知F是橢圓口工+匕=1的左焦點(diǎn),

10064

尸為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。（3,4）,則忸。|+忸川的最大值和最小值分別為（）

A.最大值為25B.最小值為15C.最大值為10+質(zhì)'D.最小值為10-歷

【答案】AB

【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為月，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：。=10*=8,

可得c=>/?2-b2=V100-64=6，所以尸（一6,0）,片（6,0）,

由橢圓的定義可知：\PFt\+\PF\=2a=20,

\PQ\+|^|=|Pe|+20-|P^|<20+也周=20+7（3-6）2+42=25,

當(dāng)且僅當(dāng)。、月、尸三點(diǎn)依次共線，

|PQ|+|P川=|PQ|+20Tp周=20_（歸周_歸0|）220_血耳|=20_而不弄=15,當(dāng)且僅當(dāng)

P、。、月三點(diǎn)依次共線，

第9頁(yè)共27頁(yè)

故選：AB

22

例題3.（2022?江蘇?泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓C：亮+。=1，P為

25lo

橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A（3,〃?）、>：1B（-3,0）,貝！||/科+|尸卻的最小值為.

[答案]^36+療##+36

【詳解】解：橢圓C：（+5=1中“=5，6=4,所以。=后萬(wàn)=3,所以3（-3,0）為橢

圓的左焦點(diǎn)，

又點(diǎn)4（3,機(jī)）卜>野則言+[>1,所以點(diǎn)A在橢圓外，

所以當(dāng)點(diǎn)尸為線段A3與橢圓的交點(diǎn)時(shí)|總+|尸耳最小，

其最小值為|A.=A/62+m2二136+葉2.

故答案為：,36+療

同類題型歸類練

1.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）己知P為橢圓5+3=1上的一點(diǎn)，M,N分別為圓（x+3）

2+y2=l和圓（x—3）2+y2=4上的點(diǎn)，貝1|儼乂|+上/\/|的最小值為.

【答案】7

【詳解】由橢圓方程知a=5,b=4,c=3.兩圓的圓心分別為橢圓的左右焦點(diǎn)Fi,F2,

設(shè)兩圓半徑分別為匕，「2,則fl=1,-2=2.

所以|PM|m/7?=\PFi\~ri=\PFi\~l,\PN\min=|PFz|一「2=|PFz|-2,

故|PM|+|PN|的最小值為|PF"+|PF2|—3=2。一3=7.

故答案為：7

22

2.（2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試）已知橢圓C的方程為±+'=1,2（-2,0）,A（4,2）,M為C上

任意一點(diǎn)，貝IjI以41TMB|的最小值為.

【答案】2A/2-6

【詳解】由題意，a=3,b=y[5,c=2,所以8（-2,0）為左焦點(diǎn)，。（2,0）為右焦點(diǎn)，

所|MA|-|M3|=|MA|-（2a-|Mr>|）=|M4|+|M0-2aN|AD\-2a=2y/2-6,

當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào).

故答案為：2及-6.

題型二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

典型例題

第10頁(yè)共27頁(yè)

22

例題1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若方程上—+上=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)上的取值

1-kk-5

范圍為()

A.(5,7)B.(5,6)C.(6,7)D.(5,6)U(6,7)

【答案】D

【詳解】錯(cuò)解：

[7-k＞0

由題意可知＜7＞解得5＜左＜7.

"一5＞0

故選：A.

錯(cuò)因：

未考慮橢圓方程中分母不等的情況，

正解：

「7-左＞0

由題意可知,人一5＞。解得5＜左＜7且左26.

7—kk—5

故選：D.

例題2.(2022?山西太原?高二期中)已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(1,0),且過(guò)點(diǎn)(0,右)，

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

【答案】B

22

【詳解】根據(jù)題意，橢圓的焦點(diǎn)在無(wú)軸上，故設(shè)其方程為：5+與=1(。"＞0),顯然c=l,

ab

b=^3,

22

貝11/=〃+/=4,故橢圓方程為'+匕=]

43

故選：B.

例題3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)焦點(diǎn)在X軸上，離心率為兩頂點(diǎn)間的距離為6；

22

(2)以橢圓三+匕=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn).

59

22

[答案】⑴±—J=l

916

第11頁(yè)共27頁(yè)

22

【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為3-/=1（。>0,6>0）.

c5

由一=一,2a=6,得c=5,b2=c2-a2=16b=4,

a3

22

所以雙曲線的方程為工-匕=1.

916

（2）由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上.

22

設(shè)雙曲線的方程為斗一事=1（。>0力>0）,貝h2=9,4=9一5=4,b2=c2-a2=5,

ab

22

所以雙曲線的方程為匕-工=1.

45

同類題型歸類練

22

1.（2022?河南安陽(yáng)?高二期中）已知方程-......匕一=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)

5+2m2m-1

數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

【答案】D

22

【詳解】由題知：一=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,

5+2m-2m+1

所以

-2m+1>5+2m

<-2m+1>0,

5+2m>0

解得-|<加<-1,

故選：D.

2.（2022?廣東高二期中）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)4-2,⑹和點(diǎn)可1,2⑹的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程.

【答案】^+―=1.

155

【詳解】設(shè)橢圓的方程為：twc2+ny2=l（m>0,n>0,m^?z）,因該橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)4-2,6）和

網(wǎng)1,2⑹，

第12頁(yè)共27頁(yè)

4m+3H=1ii22

于是得解得加=1，〃=二,即有±+2L=i,

m+\2n=\'515515

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：^+―=1.

155

3.（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

（l）a=4,b=3,焦點(diǎn)在無(wú)軸上；

（2）Z?=1,c=^15,焦點(diǎn)在y軸上；

⑶〃=10,c=6.

22

【答案】⑴三+匕=1;

169

⑵。無(wú)2=1；

16

仆X2丁工22

（3——+匚=1或——+^—=1.

1006464100

⑴

尤2v2

?「々=4,8=3,橢圓焦點(diǎn)在x軸上，.??其標(biāo)準(zhǔn)方程為：土+匕=1；

169

（2）

,.b=1,c=y/15,〃2=人2+。2=16,

2

.??橢圓焦點(diǎn)在y軸上，，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：匕+/=1；

16

⑶

<2=10,c=6,：.b2=a2-c2=100-36=64,

2222

因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)位置不確定，，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：工+二=1或工+工=1.

1006464100

題型三：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

角度1：橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距

典型例題

22

例題1.（2022?廣東深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期中）橢圓C:土+二=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（)

925

A.（一3,0）和（3,0）B.（0,—3）和（0,3）

C.（TO）和（4,0）D.（O,T）和（0,4）

【答案】D

22

【詳解】由己知橢圓C囁+會(huì)=1,其焦點(diǎn)在y軸上，

第13頁(yè)共27頁(yè)

貝!Ja?=25,/=9,c2=a2-b2=16,

故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-4）和（0,4）

故選：D.

22

例題2.（2022?吉林?撫松縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）焦點(diǎn)在x軸的橢圓±+乙=1的焦

m4

距是4,則m的值為（）

A.8B.3C.5或3D.20

【答案】A

【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸，故機(jī)＞4,而焦距是4,故QZ=2即加=8,

故選：A.

22

例題3.（2022?四川成都?高二期中（理））焦點(diǎn)在x軸上的橢圓三+二=1的焦距是8,

m4

則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）

A.40B.4如C.26D.20

【答案】B

【詳解】由題意得加=4+16=20,則橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為26",長(zhǎng)軸長(zhǎng)為46\

故選：B.

例題4.（2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試）橢圓《+《=1的短軸長(zhǎng)為_(kāi)_____.

94

【答案】4

22

【詳解】解：因?yàn)闄E圓C:±+匕=1,

（4

所以從=4,

所以6=2,

所以橢圓的短軸長(zhǎng)為26=4,

故答案為：4.

同類題型歸類練

1.（2022?遼寧葫蘆島?高二橢圓Y+2,2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.^\/2,0）,卜a',0）

【答案】C

【詳解】解：由Y+2y2=l得

第14頁(yè)共27頁(yè)

2

a?=1,。2=—,

2

故選：C.

2.（2022?福建?廈門雙十中學(xué)高二期中）已知橢圓A+?nieAd）的焦距是2,則加的值

是.

【答案】5

22

【詳解】在橢圓±+、■=>4）中，a=Vm,6=2,

由已知可得2c=2，？—/=2、祖—4=2,解得m=5.

故答案為：5.

3.（2022?四川成都?高二期中（理））橢圓上+上=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

167

【答案】8

22

【詳解】解：由橢圓三+二=1的幾何性質(zhì)可知〃=16,,。=4,.?.長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=8。

167

故答案為：8.

角度2：求橢圓的離心率

典型例題

例題1.（2022?四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高二期中（理））數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相

垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長(zhǎng)半軸、短半軸的平

22

方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若圓±+夫=1的蒙日?qǐng)A為/+9=20,則該橢圓

12b

的離心率為（）

A.BB.-C.-D.逅

3333

【答案】A

【詳解】由題意12+〃=20,/=8,所以0=力2_52=位與=2,

第15頁(yè)共27頁(yè)

離心率為弋=盤=%

故選：A.

22

例題2.（2022?北京市昌平區(qū)第二中學(xué)高二期中）已知月為橢圓。：5+白=1（。＞人＞0）上

ab

的點(diǎn)，點(diǎn)尸到橢圓焦點(diǎn)的距離的最小值為2,最大值為18,則橢圓的離心率為（)

A-iB-?c-1D-i

【答案】B

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)尸到橢圓焦點(diǎn)的距離的最小值為2,最大值為18,

a-c=2_a=10

所以

a+c=lSc=8

c4

所以橢圓的離心率為：e

a5

故選：B.

22

例題3.（2022?甘肅?蘭州西北中學(xué)高三期中（理））已知橢圓。:±+3=1優(yōu)＞0）與圓

9b

O：f+y2=4有四個(gè)交點(diǎn)，則橢圓。的離心率的取值范圍是（)

A.0,B.D.

3°4

【答案】C

r22

【詳解】橢圓C:工+斗=1。＞0）與圓。：/+;/=4有四個(gè)交點(diǎn),

9b

則橢圓。的焦點(diǎn)必在1軸上，且必有人＜2

則橢圓C的離心率e

離心率的取值范圍是

故選：C

第16頁(yè)共27頁(yè)

22

例題4.（2022?浙江?長(zhǎng)興縣教育研究中心高二期中）設(shè)F是橢圓C:'+點(diǎn)=1（。＞6＞0）

的右焦點(diǎn)，若/關(guān)于直線、=—x的對(duì)稱點(diǎn)F'在橢圓C上,則橢圓C的離心率為（)

3

A/3-1

A.B.C.D.V3-1

432

【答案】D

【詳解】解：依題意可得尸（c,。）,

m-c

nv3m+c

設(shè)廠'（相㈤，由題意可得＜—=—x------------

232

m2n2r

—r+~r=l

〃b

c23c2

可得機(jī)=L,V3c>-xm2n23。2

n=--,代/4入一7+f5十獷=1'即方+=1,

22a2b24(a2-c2

=1

即1+4(j2)

可得eJ8e2+4=0,解得e?=4+2豆（舍去）或e?=4-2百,

因?yàn)?<e<l,所以/=4-2A/J=(V?-1),則e=V5-1.

故選：D.

例題5.（2022?山東青島?高二期中）設(shè)6，F(xiàn)?是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上的點(diǎn),

且A8由耳=0,cos/A月8=手，則橢圓的離心率為.

【答案】叵

2

【詳解】因?yàn)锳用/居=0,

所以他，耳鳥(niǎo)，即

設(shè)橢圓的焦距為2c,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2“,

=2c,

在中，cosZAFtF2=~~

2c3A/2

所以M=Ml=-----cAFC又健月+|傷|=2a,

cosZ/百巴202,\2\=^,

3

所以2j5c=2a，

第17頁(yè)共27頁(yè)

所以橢圓的離心率為e=￡=XZ.

a2

故答案為：巫.

2

22

例題6.（2022?安徽?合肥市第八中學(xué)高二期中）已知橢圓C：3+%=1（。>6>°）的

左、右焦點(diǎn)分別為X，E，尸為坐標(biāo)平面上一點(diǎn)，且滿足尸耳?尸4=0的點(diǎn)尸均在橢圓C的

內(nèi)部，則橢圓。的離心率的取值范圍為（）

邛圖B.H）

【答案】A

【詳解】"?尸￡=0

ZFtPF2=90

所以點(diǎn)尸的軌跡為以百鳥(niǎo)為直徑的圓，且該圓在橢圓C的內(nèi)部，

所以C<。,所以c2</=H—。2,

所以2c2</，即e2<3，

所以0<e<"

2

故選：A.

同類題型歸類練

1.（2022?江蘇省海州高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0,73）,且焦點(diǎn)分別為耳（-1,0）

和月（1,0）,則橢圓的離心率為（）

3211

A.—B.—C.-D.一

4324

【答案】C

【詳解】由于橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)8（。，/），且焦點(diǎn)分別為4（-1,0）和耳（1,0）,

所以橢圓的焦點(diǎn)在％軸上，且/?=#t,c=1,a=，/?2+。2_2,

1

所以橢圓的離心率為e=￡c=

a2

故選：C

第18頁(yè)共27頁(yè)

22

2.（2022?吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）橢圓+與=1（相＞0）的焦點(diǎn)為耳，后，上頂點(diǎn)

m+1m

jr

為A,若N邛4K=§,則橢圓的離心率為（）

A1R3c1nV2

4422

【答案】C

【詳解】由題意可得0=4?+1—〃/=1,1=7"，如下圖所示：

TV7T

又因?yàn)?為4凡=￡根據(jù)對(duì)稱性可得//A。=占，

36

可得tanZ.F,AO=—=——，解得m=6.

m3

i^a=yjnr+1=2＞故禺心'率為—=彳，

a2

故選：C.

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）過(guò)橢圓左焦點(diǎn)凡傾斜角為60。的直線交橢圓于A、8兩點(diǎn),

若|E4|=2|EB|,則橢圓的離心率為（）

A.—B.-C.4D.立

3322

【答案】B

【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為匕，連接A片,8月，如下所示：

第19頁(yè)共27頁(yè)

在AAF片中，由余弦定理可得cos60。=工=、+4片-（2”4,整理可得:x=一廠，即

24cxa-%c

山川_AF&十5c工十5&2

在尸耳中，同理可得：*L1，故笆=2=-f-=-4-,解得6=不

a+—cBF113

7a——c1——e

“22

故選：B.

22

4.（多選）（2022?新疆?烏市八中高二期中）已知橢圓M:=+3=l（a>b>0）的左、右焦

ab

點(diǎn)分別為居，月，若橢圓〃與坐標(biāo)軸分別交于A3,CD四點(diǎn)，且從耳，g,A,SC。這六點(diǎn)

中，可以找到三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，則橢圓M的離心率的可能取值為（）

A6R1「gD指

A.b.—C.D.

2223

【答案】ABD

【詳解】不妨設(shè)48為長(zhǎng)軸端點(diǎn)，C,。為短軸端點(diǎn)，已知A8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，用鳥(niǎo)關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱，C,少關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，相應(yīng)的三角形只取其中一個(gè)，

首先MC可能是等邊三角形，因?yàn)閨OC|<|（加