九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)講練：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系(知識(shí)講解)

專題2.14一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系(知識(shí)講解)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及在各類問(wèn)題中的運(yùn)用.

【要點(diǎn)梳理】

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

1.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

1

如果一元二次方程ax+bx+c-0(a豐0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是七，%2,

那么X]+%=---，苞尤2

a

注意它的使用條件為aWO,A20.

也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除

以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.

2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用

知識(shí)框圖：

1、求代數(shù)式的值

2、求待定系數(shù)

一元二次方程求根公式-根與系數(shù)關(guān)系-應(yīng)用3、構(gòu)造方程

4、解特殊的二元二次方程組

5、二次三項(xiàng)式的因式分解

【典型例題】

類型一、由根與系數(shù)關(guān)系直接求值

￡>1.已知XI,X2是一元二次方程x2—3x—1=0的兩根，不解方程求下列各式的值:

(1)xI-+xI

【答案】⑴11;(2)-3.

【分析】

由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得玉+%=3,網(wǎng)色=-1；

(1)將所求式子變形為(X/+X2)2—2X1X2,然后整體代入上面兩個(gè)式子計(jì)算即可;

(2)將所求式子變形為幺土強(qiáng)，然后整體代入上面兩個(gè)式子計(jì)算即可.

解：%2是一兀二次方程N(yùn)—3x—1=0的兩根，

玉+%=3,芯?9=,

(1)X；+X]2=(Xl+x2)2—2X1X2=32—2x(—1)=11；

11X.+

(2)—+-----------

X

%入2石?2■

【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基本題目，熟練掌握一元二

次方程的兩根之和與兩根之積與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

舉一反三:

【變式1】利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積:

(1)x2+7x+6=0;(2)2x2-3x-2=0.

3

【答案】(1)芯+/=-7,芯％2=6；(2)項(xiàng)+兀2=5，再々=一1

【分析】直接運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.

解：(1)這里。=1力=7,0=6.

A=Z?2-46zc=72-4x1x6=49-24=25>0,

???方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是/，

那么%+%2=-7,再兀2=6.

(2)這里4=2,/?=-3,c=-2.

△=/—4QC=(-3)2-4x2x(-2)=9+16=25>0,

???方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是4%2,那么

31

%+%2=5，％1%2=.

【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知%+%=-'h，網(wǎng)電=c￡是解題

aa

的關(guān)鍵.

【變式2】甲、乙兩人同解一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，甲抄錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，

解得兩根分別為3和2,乙抄錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，解得兩根分別為一5和一1,求原來(lái)的方程.

【答案】%2-5X+5=0

【分析】

解法一：利用甲乙解出的根，可以得出兩個(gè)一元二次方程，取甲方程的一次項(xiàng)系數(shù)，取

乙方程的常數(shù)項(xiàng)，即可重新組合出原來(lái)正確的方程.

解法二：利用根與系數(shù)的關(guān)系，取甲方程的一次項(xiàng)系數(shù)，取乙方程的常數(shù)項(xiàng)，即可重新

組合出原來(lái)正確的方程.

解：解法一：設(shè)原一元二次方程為d+ax+buO,代入甲解出的兩根3、2得

[f49++23a+b=0。,解得[fba==6-5

，因?yàn)榧壮e(cuò)常數(shù)項(xiàng)，所以取a=-5

同理,代入乙解出的兩根一5和一1,可得5=5,而乙抄錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng),所以取b=5,

綜上可得原方程為%2-5X+5=0

解法二：甲抄錯(cuò)常數(shù)項(xiàng)，解得兩個(gè)為3和2,兩根之和正確；乙抄錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，

解得兩根為一5和一1,則兩根之積正確.設(shè)原方程的兩根分別為毛、巧，可得玉+々=5,%%=5,

所以原方程就是—-5尤+5=0.

【點(diǎn)撥】在沒(méi)有學(xué)習(xí)根與系數(shù)關(guān)系之前,可用方程的解的性質(zhì)，代入兩根求出方程系數(shù)，

學(xué)習(xí)之后可直接利用根與系數(shù)關(guān)系得出方程系數(shù)，更為簡(jiǎn)單.

類型二、由根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)的值

^^^2.關(guān)于x的一元二次方程Y-（2%-l）x+療=0的兩根為,且。+6=仍-4,

求m的值.

嘉佳的解題過(guò)程如下：

解：a+b=2m—l,ab=m2,

2m—1=m2-4>

整理,得病-2加-3=0,

解得見(jiàn)=-l,m2=3.

嘉佳的解題過(guò)程漏了考慮哪個(gè)條件？請(qǐng)寫(xiě)出正確的解題過(guò)程.

【答案】加的值為-1.

【分析】

根據(jù)一元二次方程根的判別式結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解答.

解：嘉佳的解題過(guò)程漏了考慮A.。這一條件.正確的解題過(guò)程如下：

根據(jù)題意得△=（2"z-l）2-4加..0,解得機(jī)，;.

4

a+b=2m-l,ab=m2,2m-1=m2-4,

整理得加1-2?i-3=0,解得叫=-1,外=3（舍去），

，加的值為-1.

【點(diǎn)撥】本題中忽略A.0這一條件導(dǎo)致錯(cuò)解針對(duì)這一類題，我們一定要看清題目中所

給的條件，考慮一元二次方程有解的條件是“A?！?，才能得出正確結(jié)果.

舉一反三：

【變式1】已知天、巧是方程尤,-2依+公一Z=。的兩個(gè)實(shí)根，是否存在常數(shù)匕使

%+強(qiáng)=；成立？若存在，請(qǐng)求出上的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

x2項(xiàng)2

【答案】不存在.理由見(jiàn)分析

【分析】

根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系列出關(guān)于左的方程，根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根列出關(guān)于左的不等式，求解即

可.

解：不存在.

/、巧是方程/一2h+左2一％=（）的兩個(gè)實(shí)根,

Ab2-4ac>0,即（-2左）2-4伏2_左）20,

解得，左20；

由題意可知再+%=2%,=k2-k,

22

??%+%2_+X2_（玉+X2）一？%1/3

玉工22

...（2Q22伏2-左）=3,解得匕=0,&=一7,經(jīng)檢驗(yàn)，&=-7是原方程的解，

k-k2

Vk>0,

不存在常數(shù)匕使五+強(qiáng)=|■成立.

x2再2

【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系和解方程，解題關(guān)鍵是根據(jù)根與系數(shù)關(guān)

系列出方程并求解，注意：根的判別式要大于或等于0.

【變式2】已知方程￡+4尤-2加=0的一個(gè)根比另一個(gè)根小4,求這兩個(gè)根和加的值.

【答案】占=0,%2=-4,m=0

【分析】設(shè)兩根為XI和X2,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得X1+X2,X1.X2,由|X2-X1|=4兩邊平方，

得（X1+X2）2-4X「X2=16,代入解得m,此時(shí)方程為x2+4x=0,解出兩根.

解：x2+4x-2m=0

設(shè)兩根為X1和X2,則△=16+8m>0,

且XI+X2=-4,xrX2=-2m

由于僅2兇|=4

兩邊平方得X12-2X1,X2+X22=16

即（X1+X2）2-4Xl.X2=l6

所以16+8m=16

解得：m=0

此時(shí)方程為x2+4x=0,

解得xi=0,X2=-4.

【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是靈活利用一元二次方

程根與系數(shù)的關(guān)系，以及完全平方公式進(jìn)行變形，求出兩根.

類型三、根的判斷別與根與系數(shù)關(guān)系綜合

每，3、已知一元二次方程一一2彳+相=0.

(1)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的范圍；

(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為%、%，且再+39=3,求m的值.

【答案】(1)7〃W1;(2)m=-

【分析】

(1)一元二次方程d—2x+m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，ANO,把系數(shù)代入可求m的范圍;

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系，已知再+%=2結(jié)合占+3%=3,先求不、%，再求m.

解:(1);,方程爐-2工+加=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

，一=b°—4ac=(—2)~—4m—4—4m>Q,

解得m<l；

(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可知，再+3=2,再々=根，

f%,+=2

解方程組、/

lx,+5X2—5

.3

x1,=一

解得?;，

x=一

I92

.313

??m——x—.

f-224

【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根的判別

式、根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式1］已知關(guān)于x的一元二次方程/-(8+人口+8左=0.

(1)證明：無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根.

(2)若x；+考=68,求k的值.

(3)若等腰三角形的一邊長(zhǎng)為5,另兩邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求這個(gè)等腰三

角形的周長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)分析；(2)%=±2；(3)這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為21或18.

【分析】

(1)根據(jù)根的判別式即可得到結(jié)論；

(2)先計(jì)算△=(8+k)2-4x8k,整理得到4=(k-8)2,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△“，

然后根據(jù)4的意義即可得到結(jié)論；

(3)先解出原方程的解為xi=k,X2=8,然后分類討論：腰長(zhǎng)為8時(shí)，則k=8；當(dāng)?shù)?/p>

邊為8時(shí)，則得到k=5,然后分別計(jì)算三角形的周長(zhǎng).

解：(1)A=(8+%)2—4x8左=(左一8)2.

,(k-S)2..O,

/.A..0,

無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；

(2)X]+々=8+左,玉々=8左,X；+考=68,(%+々)2=片+考+2%彳2，

二.(8+左)2=68+16左，

解得％=±2；

(3)解方程Y-(8+左)龍+8左=0得再=k,x2=8.

①當(dāng)腰長(zhǎng)為8時(shí)，左=8.

8+5=13>8,能構(gòu)成三角形,

周長(zhǎng)為8+8+5=21.

②當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為8時(shí)，k=5.

5+5=10>8

.??能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)為5+5+8=18.

綜上，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為21或18.

【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩

個(gè)為XI,X2,則X1+X2=-2,xi-X2=-.也考查了一元二次方程的判別式和等腰三角形的

aa

性質(zhì)，掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

【變式2]已知關(guān)于x的一元二次方程無(wú)2左+1)無(wú)-2=0.

(1)求證：無(wú)論左為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根毛，巧滿足玉-々=3,求上的值.

【答案】(1)見(jiàn)分析(2)0,-2

【分析】

(1)根據(jù)根的判別式即可求證出答案；

(2)可以根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得人與的毛、巧的關(guān)系式，進(jìn)一步可以求

出答案.

解：(1)證明：：=(2k+1)—4x—2)=2左2+4%+9=2(%+1)2+7,

??,無(wú)論左為何實(shí)數(shù)，2(左+1)220,

AA=2(A:+l)2+7>0,

無(wú)論左為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得:

卒2T2-2,

%+%2=2k+1,

*.*x1-x2=3,

2

(Xj-x2)=9,

2

(玉+x2)-4玉龍2—9,

.?.(2A+l)2_4x[g公_2)=9,化簡(jiǎn)得：k2+2k=0,

解得k—Q,—2.

【點(diǎn)撥】本題主要考查根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握概念和運(yùn)算技巧即可解

題.

類型四、根與系數(shù)關(guān)系拓展應(yīng)用1

^^>4、已知機(jī)，w是方程N(yùn)-2x-1=0的兩個(gè)根，是否存在實(shí)數(shù)a使-(m+n)(Tm2

-14m+fl)(3w2-6n-7)的值等于8?若存在，求出。的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】存在，a=-6

【分析】

根據(jù)方程的解的定義得出加2-2加=1,"2_2”=1,m+n=2,再整體代入即可得出。的值.

解：存在，理由如下：

,:m,w是方程2%-1=0的兩個(gè)根，

??加之-2m1,—29T1,〃—■2,

-(m+n)(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)

=-(m+n)[7(m2-2m)+a][3(/-2H)-7]

=-2x(7+a)(3-7)

=8(7+a),

由8(7+〃)=8得a=-6,

?,?存在實(shí)數(shù)a=-6,使-(m+n)(7m2-14m+?)(3n2-6n-7)的值等于8.

【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的解、根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是得出/-2加=1,

/-2及=1,m+n=2,注意解題中的整體代入思想.

【變式II閱讀材料：已知方程夕2-1=0,1-9-夕2=()且〃療1,求P,+l的值.

q

解：由p2-p-1=0,及1-g-g2=o可知冰o,

又,：pq=^l,

???〃，一1.

q

11

VIFF2=O可變形為(_)29——_1=0,

qq

i91

根據(jù)p2-p-1=0和(一)-1=0的特征，

qq

；.p、L是方程N(yùn)-x-1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

q

qq

根據(jù)閱讀材料所提供的方法，完成下面的解答.

已知：2m2-5機(jī)-1=0,二+*-2=0,且*〃，求：

nn

(1)mn的值；

(2)-z-H—Z-.

mn

【答案】(1)-：；29.

【分析】

(1)由題意可知：可以將方程2九2一5九一1=0化簡(jiǎn)為占+?-2=0的形式，根據(jù)根與

mm

系數(shù)的關(guān)系直接得：工」的值；

mn

(2)將士+士變形為=fl+」求解.

mnn)mn

解：由2m2—5m—l=0知m#),

,?*—z-T2=0,YYl^R,

nn

.一J,

mn

和L是方程f+5x-2=0的兩個(gè)根，

mn

(1)由,和1是方程/+5x—2=0的兩個(gè)根得!,=-2,

mnmn

,1

經(jīng)檢驗(yàn)：加=4是原方程的根，且符合題意.

(2)由一和一是方程d+5x-2=0的兩個(gè)根得一+—=-5,

mnmnmn

—+—--—=25+4=29.

mn

【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，代數(shù)式的值，乘法公式，掌握一元二次

方程根與系數(shù)關(guān)系與乘法公式恒等變形是解題關(guān)鍵.

【變式2］定義：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(arO)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為xi,

X2(X1<X2),分別以XI,X2為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)得到點(diǎn)M(XI,X2),則稱點(diǎn)M為該一元二

次方程的衍生點(diǎn).

(1)若方程為X2-2X=0,寫(xiě)出該方程的衍生點(diǎn)M的坐標(biāo).

(2)若關(guān)于X的一元二次方程x2-(2m+l)x+2m=0(m<0)的衍生點(diǎn)為M,過(guò)點(diǎn)

M向x軸和y軸作垂線，兩條垂線與坐標(biāo)軸恰好圍成一個(gè)正方形，求m的值.

(3)是否存在b,c,使得不論k(k^O)為何值，關(guān)于x的方程x?+bx+c=0的衍生點(diǎn)

M始終在直線y=kx-2(k-2)的圖象上，若有請(qǐng)直接寫(xiě)出b,c的值，若沒(méi)有說(shuō)明理由.

【答案】(1)衍生點(diǎn)為M(0,2)；(2)」；(3)存在，b=-6,c=8；

2

【分析】

(1)求出方程的兩根，根據(jù)一元二次方程的衍生點(diǎn)即可解決問(wèn)題；

(2)求出方程的兩根，根據(jù)一元二次方程的衍生點(diǎn)的定義，再利用正方形的性質(zhì)構(gòu)建

方程即可解決問(wèn)題；

(3)求出定點(diǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題即可；

解：(1)Vx2-2x=0,

/.x(x-2)=0,

解得：xi=0,X2=2

故方程x2-2x=0的衍生點(diǎn)為M(0,2).

(2)x2-(2m+l)x+2m=0(m<0)

Vm<0

2m<0

解得：xi=2m,X2=L

方程x2-(2m+l)x+2m=0(m<0)的衍生點(diǎn)為M(2m,1).

點(diǎn)M在第二象限內(nèi)且縱坐標(biāo)為1,由于過(guò)點(diǎn)M向兩坐標(biāo)軸做垂線，兩條垂線與x

軸y軸恰好圍城一個(gè)正方形,

所以2m=-1,解得加=一心.

(3)存在.

直線y=kx-2(k-2)=k(x-2)+4,過(guò)定點(diǎn)M(2,4),

x2+bx+c=0兩個(gè)根為xi=2,X2=4,

/.2+4=-b,2x4=c,

，b=-6,c=8.

【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的解法及根與系數(shù)的關(guān)系、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題.

類型五、根與系數(shù)關(guān)系拓展應(yīng)用2

^^5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的邊與x軸重合，頂點(diǎn)A在y軸的正

半軸上，線段08,OC(OB<OC)的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程尤2-7x+6=0的兩個(gè)根，且滿足

CO=240.

(1)求直線AC的解析式；

(2)若尸為直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作RDLx軸，垂足為。，尸￡)與直線交于點(diǎn)

Q,設(shè)△CP0的面積為S(SwO)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為a,求S與。的函數(shù)關(guān)系式；

(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,2),當(dāng)AMAB為直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出機(jī)的值.

一片H----a,ci(-

42'/

7221么八

------CL---------CL,—O<〃<0

142

(3加的值為一3或一1或2或7；

【分析】

(1)根據(jù)一元二次方程的解求出。2和0C的長(zhǎng)度，然后得到點(diǎn)8,點(diǎn)C坐標(biāo)和。4的

長(zhǎng)度，進(jìn)而得到點(diǎn)A坐標(biāo)，最后使用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式；

(2)根據(jù)點(diǎn)A,點(diǎn)B坐標(biāo)使用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，根據(jù)直線解析式

和直線AC解析式求出點(diǎn)P,Q,。坐標(biāo)，進(jìn)而求出P。和C。的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形面積

公式求出S,最后對(duì)A的值進(jìn)行分類討論即可；

(3)根據(jù)AM42的直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)勾股定理求解即可.

(1)解：解方程X?-7x+6=0得為=6,x2=1,

..?線段。2,OC(OB<OC)的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程尤2—7x+6=0的兩個(gè)根，

.*.08=1,OC=6,

B(l,0),C(-6,0),

'：CO=2AO,

：.OA=3,

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k^0),

/、/、f—6k+Z?=0

把點(diǎn)A(0,3),C(-6,0)代入得，

I(J—D

\=L

解得,2,

b=3

直線AC的解析式為y=；x+3；

(2)解：設(shè)直線AB的解析式為尸px+q,

把A(0,3),3(1,0)代入直線AB解析式得第=；+,

解得[片：

〔4=3

直線AB的解析式為y=-3w+3,

???POLx軸，垂足為。，尸。與直線AB交于點(diǎn)。，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a,

+3),Q(a,—3a+3),D(a,0),

PQ=(一3。+3)一1/a+3J=5a,CD=|a+6],

117

：.S=-PQCD=-x-a也+6|,

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí)，即當(dāng)4=0或〃=-6時(shí)，此時(shí)S=0,不符合題意,

](7、721

當(dāng)々＜—6時(shí)，S=+6)]=,

(〃+6)=-"乙

當(dāng)一6＜。＜0時(shí),S=-x

2v742

S，L(a+6)="L,

當(dāng)〃＞0時(shí),

221742

一a2Ha,

.o_42'/

??3—4；

721「

—a2-----a,—6＜。＜0n

I42

(3)解：；A(0,3),3(1,0),M(m,2),

/.AB=J(l-Op+(0-3)2=布，AM=J(〃?_op+(2-3)2=JW+1,

BM=^(m-l)2+(2-0)2=y]nr-2m+5,

當(dāng)NMA2=90。時(shí)，AM2+AB2=BM2,

解得m=-3,

當(dāng)NABM=90。時(shí)，AB2+BM2=AM2，

解得m=n,

當(dāng)NAM2=90。時(shí)，AM2+BM2=AB2,

解得見(jiàn)=T,，％=2,

.?.根的值為一3或-1或2或7.

【點(diǎn)撥】本題考查解一元二次方程、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、三角形面積公式、

勾股定理，正確應(yīng)用分類討論思想是解題關(guān)鍵.

【變式4c在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，心與丁軸交于點(diǎn)3(0,2),點(diǎn)「

的坐標(biāo)為(-1,3),線段。4,OC的長(zhǎng)分別是方程尤2_9尤+14=0的兩根，OC＞OA.

(1)求線段AC的長(zhǎng)；

(2)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?zé)o軸負(fù)半軸向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)。

作直線/與x軸垂直，設(shè)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒，直線/掃過(guò)四邊形O3PC的面積為S,求S與

f的關(guān)系式；

(3)/為直線/上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以A,P,M,N為頂點(diǎn)的四邊形

請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為(2,3)或(-4,0)或(-1,-3).

【分析】

(1)解方程可求得。4、OC的長(zhǎng)，則可求得A、C的坐標(biāo)，從而可得AC長(zhǎng)；

(2)分兩種情況：①當(dāng)0〈也1時(shí)；②當(dāng)1〈江7時(shí)，利用梯形的面積公式即可求解；

(3)分兩種情況：①AP為正方形的對(duì)角線時(shí)，②AP為正方形的邊時(shí)，根據(jù)正方形以

及等腰直角三角形的性質(zhì)，可求得N點(diǎn)坐標(biāo).

(1)解：解方程N(yùn)-9x+14=0可得x=2或x=7,

:線段OC的長(zhǎng)分別是方程N(yùn)-9x+14=0的兩根，且。0。4,

：.OA=2,OC=7,

AA(2,0),C(-7,0),

AC=2-(-7)=9.

(2)解：過(guò)點(diǎn)P作/WLOC于"，而尸(-1,3),

:.OH=1,PH=3,CH=6

設(shè)直線AB解析式為而點(diǎn)8(0,2),

[一4+6=3[^=-1

。，解得/)，

[6=2\b=2

直線AB解析式為y=-x+2,

①如圖1所示，當(dāng)0<二1時(shí)，點(diǎn)E(-r,r+2),

；.S=S赭那OBEO=?(2+f+2)=；〃+2f(0<z<l)；

②如圖2所示，當(dāng)1〈匹7時(shí)，

設(shè)直線CP解析式為

VC(-7,0),點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-1,3),

1

m=—

f-7m+n=0,解得5

\-m+n=3

n=—

17

直線CP解析式為y=5尤+],

7

設(shè)L

-

2

7

-

2

：.S=S梯形OBPH+S梯形HPED=