平面向量的應(yīng)用（完整版講）（原卷版）

10.3平面向量的應(yīng)用（精講）考點(diǎn)一夾角【例11】（2023·江蘇）若向量，與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（）A． B．C． D．【例12】．（2023秋·福建莆田）已知O為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，其中，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023春·福建廈門）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AF與DE交于M，則.2．（2023春·湖南懷化）在中，已知，，，和邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，則的余弦值為3．（2023秋·山東棗莊）如圖，在中，已知，，，是的中點(diǎn)，，設(shè)與相交于點(diǎn)，則．考點(diǎn)二最值【例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，為等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為（

）A． B．1C． D．2【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，，若P為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2022春·遼寧大連·）設(shè)平面向量滿足與的夾角為且，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·河北保定）已知邊長(zhǎng)為2的菱形中，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的最大值為（

）A．0 B． C． D．3

考點(diǎn)三平面向量與四心【例31】（2023春·四川成都）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，，為的外心，則D．若為的垂心，，則【例32】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）點(diǎn)O在△所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的是（

）A．已知平面向量滿足，且，則△是等邊三角形B．若，則點(diǎn)O為△的重心C．若，則點(diǎn)O為△的外心；D．若，則點(diǎn)O為△的垂心【一隅三反】1．（2023春·黑龍江哈爾濱）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為、、，則有，設(shè)O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的是（

）．A．若，則O為的重心B．若，則C．若O為（不為直角三角形）的垂心，則D．若，，，則2．（2023春·湖北武漢）（多選）下列說法中正確的是（

）A．已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，滿足，則是的重心C．已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，滿足，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的內(nèi)心D．若平面向量，共線，且，滿足，則為5或13．（2023春·廣東佛山）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則.設(shè)是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，、、分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．，，，則C．若為的內(nèi)心，，則D．若為的重心，則考點(diǎn)四平面向量與三角函數(shù)【例41】（2023·江蘇揚(yáng)州·儀征中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，，，則的取值范圍是．【例42】（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，.(1)求角的值；(2)若，邊上的中點(diǎn)為，求的長(zhǎng)度.【一隅三反】1．（2023春·湖北）如圖，在中，，，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，，與交于點(diǎn)．(1)設(shè)，，試用，表示；(2)求的長(zhǎng)．2．（2023春·吉林長(zhǎng)春）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求A；(2)若，三角形面積，求邊上的中線的長(zhǎng)．3．（2023春·北京）在中，D為邊AC上一點(diǎn)，滿足，若，，，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五平面向量證明線段垂直【例5】（2023·云南）在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，(且)，D為AB的中點(diǎn)，E為的重心，F(xiàn)為的外心．(1)求重心E的坐標(biāo)；(2)用向量法證明：．【一隅三反】1．（2023春·陜西西安）已知在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)與相交于點(diǎn).(1)請(qǐng)用、表示向量；(2)設(shè)和的夾角為，若，且，求證：.2．（2023春·上海浦東新）已知在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)與相交于點(diǎn)．記，．(1)請(qǐng)用，表示向量；(2)若，設(shè)，的夾角為，若，求證：．3．（2022秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，點(diǎn)到直線的距離為，若點(diǎn)滿足，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)且斜率不為零的直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)，證明：.考點(diǎn)六向量在物理上的應(yīng)用【例6】（2023春·廣東清遠(yuǎn)）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東A處出發(fā)，航行到位于河對(duì)岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，求此時(shí)小貨船航行速度為多少.（

）A．km/h B．km/hC．km/h D．km/h【一隅三反】1（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）（

）A． B．61 C．75 D．602．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）物體受到一個(gè)水平向右的力及與它成60°角的另一個(gè)力的大小為2N，它們的合力F與水平方向成30°角，則的大小為（

）A．3N B． C．2N D．3．（2023廣東）（多選）在水流