數(shù)學(xué)（人教版選修22）課件311數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念1．了解數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程．2．理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件．(重點(diǎn))3．掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、分類等有關(guān)概念．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)①定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做__________，滿足__________，a叫做復(fù)數(shù)的_____，b叫做復(fù)數(shù)的_____．②表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母_____表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．(2)復(fù)數(shù)集①定義：__________所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集．②表示：通常用大寫字母C表示．虛數(shù)單位i2＝－1實(shí)部虛部z全體復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)a＝b＝0虛數(shù)純虛數(shù)a＝cb＝d1．設(shè)a，b∈R，“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的(

)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知x－y＋2xi＝2i，則x＝________；y＝________.(1)數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系后，人們發(fā)現(xiàn)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)很多問(wèn)題還不能解決，如從解方程的角度看，象x2＝－1這個(gè)方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)就無(wú)解，為了解決這個(gè)問(wèn)題，需要把數(shù)的范圍作進(jìn)一步的擴(kuò)充，為此，人們引入一個(gè)新數(shù)i，叫虛數(shù)單位，且規(guī)定①i2＝－1;②i可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算；且原有的加、乘運(yùn)算律仍成立．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念說(shuō)明：復(fù)數(shù)集中不全是實(shí)數(shù)的兩數(shù)不能比較大小，如i和0.若i>0，則i·i>0·i，即－1>0，不成立.顯然i≠0，故i和0不能比較大?。?2)我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位．全體復(fù)數(shù)所成的集合C叫做復(fù)數(shù)集．復(fù)數(shù)是數(shù)系擴(kuò)充以后得到的另一種數(shù)，通常用字母z表示．它與實(shí)數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別，但也有內(nèi)在的聯(lián)系：當(dāng)b＝0時(shí)，z＝a為實(shí)數(shù)；當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，z＝bi為純虛數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí)，z＝a＋bi為虛數(shù)．兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部和虛部分別相等．在兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件中，注意前提條件是a，b，c，d∈R，即當(dāng)a，b，c，d∈R時(shí)，a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.若忽略前提條件，則結(jié)論不能成立．利用該條件把復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分離出來(lái)，達(dá)到“化虛為實(shí)”的目的，從而將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)求解．兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件

【想一想】

1.復(fù)數(shù)m＋ni的實(shí)部、虛部一定是m、n嗎？提示：不一定，只有當(dāng)m∈R，n∈R時(shí)，m、n才是該復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部．2．0是復(fù)數(shù)嗎？若是，其實(shí)部、虛部分別是什么？提示：0是實(shí)數(shù)，因此也是復(fù)數(shù)，寫成a＋bi(a，b∈R)的形式為0＋0i，即其實(shí)部和虛部都是0.3．當(dāng)a＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z＝a＋bi一定是純虛數(shù)嗎？為什么？提示：不一定，因?yàn)楫?dāng)a＝0且b＝0時(shí)，z＝0是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，z＝a＋bi才是純虛數(shù)．

下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是(

)①若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y(tǒng)＝1；②若a，b∈R且a>b，則a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0；④一個(gè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部等于零；⑤－1沒(méi)有平方根；⑥若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)．A．0

B．1C．2 D．3[思路探究]根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念判斷．復(fù)數(shù)的基本概念

[自主解答]

①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，不符合復(fù)數(shù)相等的充要條件，①是假命題．②由于兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，∴②是假命題．③當(dāng)x＝1，y＝i時(shí)，x2＋y2＝0也成立，∴③是假命題．④當(dāng)一個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部等于零，虛部也等于零時(shí)，復(fù)數(shù)為0，∴④錯(cuò)．⑤－1的平方根為±i，∴⑤是假命題．⑥當(dāng)a＝－1時(shí)，(a＋1)i＝0是實(shí)數(shù)，∴⑥錯(cuò)．故選A.答案：A1．正確理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念是解答復(fù)數(shù)概念題的關(guān)鍵，另外在判斷命題的正確性時(shí)，需通過(guò)邏輯推理加以證明，但否定一個(gè)命題的正確性時(shí)，只需舉一個(gè)反例即可，所以在解答這類題型時(shí)，可按照“先特殊，后一般”“先否定，后肯定”的方法進(jìn)行解答．2．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的確定方法首先將所給的復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后根據(jù)實(shí)部與虛部的概念確定實(shí)部、虛部．1．已知下列命題：①?gòu)?fù)數(shù)a＋bi不是實(shí)數(shù)；②當(dāng)z∈C時(shí)，z2≥0；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x＝±2；④若復(fù)數(shù)z＝a＋bi，則當(dāng)且僅當(dāng)b≠0時(shí)，z為虛數(shù)；⑤若a、b、c、d∈C時(shí)，有a＋bi＝c＋di，則a＝c且b＝d.其中真命題的個(gè)數(shù)是________．復(fù)數(shù)的分類1．本例中，極易忽略對(duì)m≠0的限制，從而產(chǎn)生增根，所以解題時(shí)應(yīng)注意嚴(yán)謹(jǐn)性．2．復(fù)數(shù)的分類問(wèn)題的解決方法(1)對(duì)于復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的分類問(wèn)題，要理解其分類的充要條件：①?gòu)?fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)?b＝0；②復(fù)數(shù)z為虛數(shù)?b≠0；③復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)?a＝0，且b≠0.(2)利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式進(jìn)行分類時(shí)，主要依據(jù)虛部和實(shí)部滿足的條件，求參數(shù)時(shí)可由此列出方程(組)，但必須要全面考慮所有條件，不能遺漏．2．把題中的“z”換成“z＝lgm＋(m－1)i”，分別求相應(yīng)問(wèn)題．復(fù)數(shù)相等1．復(fù)數(shù)相等的充要條件是化復(fù)為實(shí)的主要依據(jù)，利用實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相等列方程組求實(shí)數(shù)x，y的值．2．復(fù)系數(shù)方程有實(shí)根問(wèn)題，實(shí)際上就是兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的問(wèn)題．3